Daftar Isi

Daftar Isi................................................................................................................................................2

1. Aljabar...............................................................................................................................................3

2. Diferensial..........................................................................................................................................3

2.1 Pengertian Diferensial................................................................................................3

2.2 Penerapan Diferensial Ekonomi.................................................................................5

3. Integral............................................................................................................................................10

3.1 INTEGRAL TAK TENTU.......................................................................................................10

3.2 Aplikasi Integral tak tentu dan Penerapan Dalam Ekonomi.............................................12

3.3 Integral Tertentu...............................................................................................................15

3.4 Aplikasi Integral tentu dan penerapan dalam Ekonomi....................................................18

DAFTAR PUSTAKA................................................................................................................................21

2

1. Aljabar

Aljabar Kalkulus, yang berintikan teori tentang Differensial dan integral, berhubungan

dengan perubahan perubahan sangat kecil dalam variable-variabel sebuah fungsi. Dikembangkan

secara terpisah pada abad ke-17 oleh Sir Isaac Newton dan Gottfried Leibneitz, kalkulus semula

digunakan untuk memecahkan masalah-masalah fisika,astronomi, dan geometri. Dewasa ini kalkulus

semakin meluas dimanfaatkan oleh berbagai bidang atau ilmu pengetahuan, termasuk ilmu ekonomi.

Mengingat analisis dalam bisnis dan ekonomi selalu berhubungan, kalkulus memainkan peranan

penting sebagai salah satu alat analisisnya.

Dalam matematika, turunan dari suatu fungsi adalah satu dari dua konsep utama dalam

kalkulus. Integral adalah kebalikan dari differensial. Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan

integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah dan biasanya

dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas. Teori tentang limit dan kesinambungan sebuah

fungsi merupakan akar dari aljabar kalkulus. Oleh karena itu pembahasan mengenai materi kalkulus

selalu diawali dengan pembahasan konsep Limit, Differensial dan integral.

2. Diferensial

2.1 Pengertian Diferensial

Darivatif atau turunan tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang menyertakan limit dari, sewaktu mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang bermanfaat juga untuk menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas.

Jika f َ (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan merupakan

kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x), terdefinisikan

oleh persamaan.

df (x) = f َ (x) .

3

Jika f(x) = x, maka f َ (x) = 1, dan dx = . Jadi jika x merupakan variabel bebas, maka

diferensial dx dari x sama dengan .

Jika y = f(x), maka

dy = fَ (x) dx = dx

Jadi diferensial suatu variabel gayut sama dengan hasil kali turunannya dengan

diferensial variabel bebas.

Secara geometrical perhatikanlah kurva y = f(x) (lihat gambar 9 dibawah ini), dan

misalkan turunannya pada titik P = f َ (x). Maka dx = PQ dan dy = f َ (x) = ( )(PQ) =

Oleh karena itu dy atau df (x) adalah kenaikan ordinat dari tangens yang berpadanan

dengan dx. Argumentasi geometrical ini membawa kita kepada penfsiran derivative sebagai

suatu hasil bagi atau pecahan, jika sembarang kenaikan dari variabel bebas x pada suatu titik

P (x,y) pada kurva y = f(x) dinyatakan dengan dx, maka dalam rumusan turunannya.

= fَ (x) = ( )

dy menyatakan kenaikan yang berpadan dari koordinat tangens pada P.

4

Perhatikan, bahwa diferensial dy dan kenaikan dari fungsi

yang berpadan dengan nilai dx = yang sama, pada umumnya

tidaklah sama. Dalam gambar.9 disamping dy = QT sedang = QP َ

Dari gambar itu dapat dilihat dengan jelas, bahwa = QP', dan dy = QT kurang

lebih sama, jika = PQ sangatlah kecil. Pada hakekatnya jika variabel bebas kecil sekali

perubahannya, maka diferensial fungsi itu hamper sama dengan kenaikan fungsi. Jika

diferensial fungsi dapat dipakai untuk mendekati perubahannya, apabila perubahan variabel

bebas keci sekali.

2.2 Penerapan Diferensial Ekonomi

2.2.1 Elastisitas

Elastisitas dari suatu fungsi berkenaan dengan x dapat

didefinisikan sebagai :

Ini berarti bahwa elastisitas merupakan limit dari rasio antara perubahan

relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang

sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga

dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x.

a) Elastisitas Permintaan

Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price

elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase

5

perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi

permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :

Dimana tak lain adalah Q'd atau f'(P)

Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila

, elastic – uniter jika , dan inelastic bila . Barang yang

permintaanya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar

persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah)

dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.

Contoh kasus:

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 25 – 3

P2 . tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.

Qd = 25 – 3 P2 .

ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1

persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen.

6

b) Elastisitas Penawaran

Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price

elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara

persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka

elastisitas penawarannya :

Dimana tak lain adalah Q's atau f'(P).

Penawaran suatu barang dikatakan bersifat

elastic apabila , elastic – uniter jika dan inelastic bila . Barang

yang penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut (secara

searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.

Contoh kasus :

Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs = -200 + 7 P2. Berapa

elastisitas penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?

Qs = -200 + 7 P2

Q’s = dQs / dP = 14 P

Pada P = 10,

7

Pada P = 15,

berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1 %

maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%

Dan berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 15, harga naik (turun) sebesar

1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%

c) Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan

jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input)

yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap

persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan

sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi

dinyatakan dengan P = f(X), maka efisiensi produksinya :

Dimana adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].

Contoh kasus :

Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 6 X2 – X3.

Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit

dan 7 unit.

P = 6 X2 – X3 P’ = dP / dX = 12 X – 3 X2

8

Pada X = 3,

Pada X = 7,

berarti bahwa, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input dinaikkan

(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %

Dan berarti bahwa, dari kedudukan X = 7, maka jika jumlah input dinaikkan

(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %

2.2.2 Pendapatan Konsumsi

Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan

(pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan

ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan masing –

masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan:

Y = C + S

Baik konsumsi nasional maupun tabungan nasional pada umumnya dilambangkan

sebagai fungsi linear dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus dengan

pendapatan nasional. Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan

semakin besar pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun

akan berkurang pula, sehingga :

DY = ¶C + ¶S à diferensial

Karena ¶C + ¶S = dY à dY/dY = ¶C/dY + ¶S/dY à derivasi

¶C/dY = MPC (Marginal Propensity to Consume)

¶S/dY = MPS (Marginal Propensity to Save)

Sehingga terbukti bahwa MPC + MPS = 1

9

2.2.3 Pendapatan Tabungan

Konsep diferensial dengan mudah dapat diperluas menjadi fungsi yang terdiri

dari dua atau lebih variabel bebas. Perhatikan fungsi tabungan berikut ini :

S = S (Y,i)

Dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah pendapatan nasional (national income),

dan i adalah suku bunga (interes rate). Fungsi ini kita asumsikan seperti semua fungsi yang

akan kita gunakan disini diasumsikan kontinu dan memiliki derivative (parsial) kontinu, atau

secara simbolis, f Є C'. Derivatif parsial mengukur kecenderungan marginal (marginal

propensity to save). Jadi, untuk semua perubahan dalam Y, dY, perubahan S hasilnya dapat

diaproksima dengan kuantitas . Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat

sebagai aproksimasi untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan

total dalam S diaproksimsi dengan diferensial

Atau dengan menggunakan notasi yang lain,

Perhatikan bahwa kedua derivative parsial Sy dan Si kembali menaikan peran sebagai

“pengubah” yang masing – masing mengubah dY dan di menjadi dS yang bersesuaian.

Pernyataan dS, yang merupakan jumlah perubahan – perubahan hasil aproksimasi dari kedua

sumber, disebut diferensial total dari fungsi tabungan. Dan proses untuk mencari diferensial

total ini disebut diferensiasi total (total differentiation), sebaliknya kedua komponen yang

ditambahkan di ruas kanan disebut sebagai diferensial parsial dari fungsi tabungan.

10

Tentu saja ada kemungkinan dimana Y dapat berubah sedangkan i konstan.

Dalam hal ini di = 0 dan diferensial total akan disederhanakan menjadi diferensial parsial:

. Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan dY diperoleh )i konsta

3. Integral

3.1 INTEGRAL TAK TENTU

Anti diferensial adalah operasi untuk mendapatkan himpunan semua antiturunan

dari suatu fungsi yang diberikan. Secara umum, integral tak tentu dari f(x)

didefinisikan sebagai berikut.

ʃ f(x)dx = F(x) + C

Keterangan :

ʃ = operasi antiturunan atau lambang integral

C = konstanta integrasi

f(x) = fungsi integran, fungsi yang akan dicari anti turunannya

F(x) = fungsi hasil integral

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Rumus-rumus integral tak tentu fungsi Aljabar :

1) ʃ dx = x + c

2) ʃ adx = ax + c

3) ʃ axndx = xn+1 + C, C ≠ 1

4) ʃ a f(x) dx = a ʃ f(x) dx

5) ʃ [ f(x) ± g(x) ] dx = ʃ f(x) dx ± g(x) dx

11

Contoh :

o ʃ 2x dx

ʃ 2x dx = x1+1 + c

o ʃ (4x + 6 ) dx

ʃ (4x + 6 ) dx = ʃ 4x dx + ʃ 6x dx

2x2 + 6x + C

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus integral tak tentu fungsi trigonometri :

1) ʃ cos x dx = sin x + c

2) ʃ sin x dx = - cos x + c

3) ʃ tan x dx = - ln ǀcos xǀ + c

4) ʃ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + c

5) ʃ sin (ax + b) dx = - cos (ax + b) + c

Contoh :

o ʃ (3 sin x) dx

ʃ (3 sin x) dx = - 3 cos x + c

o ʃ (x + tan x) dx

ʃ (x + tan x) dx = x2 + ln ǀsec xǀ + c

Dalam dunia ekonomi, integral tak tentu ini sering digunakan dalam menyelesaikan masalah

fungsi biya, fungsi penerimaan, fungsi utilitas, fungsi produksi serta fungsi konsumsi dan

tabungan. Marilah kita lihat masalah seperti apa yang mungkin akan timbul dari masing-

12

masing fungsi tersebut.

fungsi biaya

Contoh kasus:

Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan

biaya total dan biaya rata-ratanya.

fungsi penerimaan

Contoh kasus:

Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika

penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q

fungsi utilitas

Contoh kasus:

Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 –

10Q

fungsi produksi

Contoh kasus:

Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah persamaa

produk total dan produk rata-ratanya.

fungsi konsumsi dan tabungan

Contoh kasus:

carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui

outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.

3.2 Aplikasi Integral tak tentu dan Penerapan Dalam Ekonomi

1. Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan biaya

totalnya ! jika diketahui biaya tetapnya adalah Rp. 4, tentukanlah besarnya biaya totalnya!

Diketahui : MC = 3Q2 - 6Q + 4 FC=k=4

13

Ditanya : persamaan C jika k=4?

Penyelesaian :

C=f(Q) → MC=C’

Biaya total → C=∫ MC dQ = ∫ f′ (Q) dQ

Adalah integrasi dari C = ∫ MCdQ

Dari biaya marginal = ∫ (3Q2 - 6Q + 4) dQ

= 3 Q 2+1 – 6 Q 1+1 + 4 Q 0+1 2+1 1+1 0+1 = 3 Q 3 – 6 Q 2 + 4 Q 1 3 2 1

C = Q3 - 3Q2 + 4Q + k

Jika k = 4 → C = Q3 - 3Q2 + 4Q + kC = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4

2. Carilah persamaan penerimaan total dari suatu perusahaan jika penerimaan marginalnya MR=16-4Q!Diketahui : MR=16-4QDitanya : Persamaan R?Penyelesaian :R=f(Q) → MR=R’Penerimaan total → R= ∫ MR dQ = ∫ f′ (Q) dQ

Adalah integrasi dari → R = ∫ MR dQ

Penerimaan marginal = ∫ (16 – 4Q) dQ

= 16Q – 2Q2

Notes : dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak aka nada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

3. Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya MU= 90-10Q!Diketahui :MP=18x-3x2

Ditanya : Persamaan U?Penyelesaian : U = f(Q) → MU = U′

Utilitas total → U = ∫ MU dQ = f′ (Q) dQ

Adalah integral dari U = ∫ MU dQ

utilitas marjinal U = ∫ (90 – 10Q) dQ

U = 90Q – 5Q2

Notes : Dalam persamaan utilitas total konstanta k = 0, sebab kepuasan konsumen tidak akan ada

jika tak ada barang yang dikonsumsi

14

4. Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah

persamaan biaya totalnya! Jika diketahui biaya tetapnya Rp. 4, tentukanlah besarnya

biaya totalnya!

Diketahui : MC = 3Q2 - 6Q + 4 FC = k = 4

Ditanya : pers. C.…? C jika k = 4....?

Penyelesaian:

C = f(Q) → MC = C′Biaya total → C = ∫ MC dQ = ∫ f′ (Q) dQadalah integrasi C = ∫ MCdQdari biaya marginal = ∫ (3Q2 - 6Q + 4) dQ = 3 Q 2+1 – 6 Q 1+1 + 4 Q 0+1 2+1 1+1 0+1 = 3 Q 3 – 6 Q 2 + 4 Q 1 3 2 1

C = Q3 - 3Q2 + 4Q + k

Jika k = 4 → C = Q3 - 3Q2 + 4Q + k C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4

5. Carilah persamaan penerimaan total dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya

MR = 16 – 4Q!

Diketahui : MR = 16 – 4Q

Ditanya : pers. R….?

Penyelesaian:

R = f(Q) → MR = R′

Penerimaan total → R = ∫ MR dQ = ∫ f′ (Q) dQ

adalah integral dari R = ∫ MR dQ

penerimaan marjinal = ∫ (16 – 4Q) dQ

= 16Q – 2Q2

Notes : Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan

ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

6. Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90

– 10Q!

Diketahui : MU = 90 – 10Q

15

Ditanya : pers. U….?

Penyelesaian:

U = f(Q) → MU = U′

Utilitas total → U = ∫ MU dQ = f′ (Q) dQ

adalah integral dari U = ∫ MU dQ

utilitas marjinal U = ∫ (90 – 10Q) dQ

U = 90Q – 5Q2

Notes : Dalam persamaan utilitas total konstanta k = 0, sebab kepuasan konsumen tidak

akan ada jika tak ada barang yang dikonsumsi

7. Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah

persamaan produk totalnya!

Diketahui : MP = 18x – 3x2

Ditanya : pers. P….?

Penyelesaian :

P = f(x) di mana : P : hasil produksi, x : faktor produksi

→ MP = P′

Produk total P = ∫ MPdX = ∫ f′ (x) dX

adalah integral dari P = ∫ MPdX

produk marjinal P = ∫ (18x – 3x2 ) dX

P = 9x2 – x3

3.3 Integral Tertentu

Integral tertentu adalah integral yang memiliki batas. Jika f suatu fungsi yang

didefinsikan pad selang tutup (a,b) maka integral tentu (integral Riemann) dari f dari a

sampai b dinyatakan oleh :

16

Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas

atas, dan disebut tanda integral tentu.

Berikut sifat-sifat integral tertentu :

1) f (x) dx = 0

2) f (x) dx= - f (x) dx

3) k dx= k (b - a)

4) k f(x) dx = k f (x) dx

5) [f (x) ± g (x)] dx = f (x) dx± g (x) dx

6) f (x) dx= f (x) dx + f (x) dx; a<b<c

7) f (x) dx g (x) dx; jika f (x) dx ≥ g (x) dx

8) f (x) dx ≥ 0, jika f (x) ≥ 0

A. Cara Menghitung Integral

Cara Subtitusi

17

Cara subtitusi pada integral dilakukan apabila satu bentuk integral tidak dapat

langsung diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral. Integral

bentuk ini terlebih dahulu diubah menjadi bentuk integral yang dapat diselesaikan

dengan rumus integral, yaitu dengan cara mensubtitusikan variabel baru, yaitu dengan

mensubtitusikan u = f (x).

ʃ f(x)nd[f(x)] = ʃ undu = un-1 + c, dengann ≠ 1

Contoh :

Tentukan integral dari ʃ 6x2 (2x3 - 4)2dx

Misal u = 2x3 – 4 → du = 6x2 dx

dx =

Sehingga, ʃ 6x2 (2x3 - 4)2dx = 6x2u4

= u2 du = u5 = (2x3 - 4)5 + c

Cara Parsial

Cara parsial digunakan apabila bentuk suatu integral tidak dapat diselesaikan

dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral dan dengan cara subtitusi.

Menghitung integral parsial didefinisikan sebagai berikut.

ʃ u dv = uv - ʃ v du

Contoh :

18

Tentukanlah ʃ x

Misal u = x → du = dx

dv = → v = ʃ dx

= ʃ (2 + x)1/2d(2 + x)

= (2 + x)3/2+ c

Sehingga, ʃ x = x • (2 + x)3/2 - ʃ (2 + x)3/2dx

= x (2 + x) - ʃ (2 + x) d(2 + x)

= x (2 + x) - • (2 + x)5/2 + c

= x (2 + x) 3/2 - (2 + x)5/2 + c

Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibrium atau pada tingkat harga tertentu.

1.      Surplus Konsumen

            Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P0 akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga P0

19

akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x0 (yakni = luas daerah 0ABF).

            Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:

            SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF = oʃxof(x).dx – P0.X0

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.

2.      Surplus Produsen

            Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari po.

Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah P0 . X0 yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = xo

(yakni luas daerah 0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini:                        SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P0.X0 - oʃxcg(x).dx

3.4 Aplikasi Integral tentu dan penerapan dalam Ekonomi

1. Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang dipasar masing-masing dinyatakan dalam

persamaan Q=-30+5P dan Q=60-4P. hitunglah surplus konsumen dan produsen !

Diketahui : Permintaan : Q=60-4P → P=15-0,25Q

Penawaran : Q=-30+5P → P=6+0,2Q

Ditanya : Cs? Ps?

Penyelesaian:

Formula Keseimbangan : Qd=Qs

60 – 4P = -30 + 5P 5P + 4P = 60 + 30

9P = 90 P = 10 ………………. (P = Pe)

P = 10 → Q = 60 – 4P                                                Q = 60 – 4(10)

Q = 60 – 40 = 20 …….........                                (Q = Qe)Jadi, Qe = 20 dan Pe = 10

Surplus Konsumen :

Cs= -Qe Pe

Cs= 20)(10)

20

20

Cs = [15Q – 0,125Q2] – 2000

Cs= -200

Cs=((300-50)-0)-200

= 250-200= 50 (Jadi, Surplus konsumen = 50)

Surplus Produsen :

QePs = Qe Pe – ∫f(Q) dQ

                                                      0 Qe

Ps = (20)(10) – ∫f(6 + 0,2Q) dQ 0 20

Ps = 200 – [6Q + 0,1Q2] 0

Ps = 200 – ((6.20) + (0,1(20)2) – (6.0) + (0,1(0) 2)Ps = 200 – ((120 + 40) – 0) = 200 – 160 = 40

2. Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang di pasar masing-masing dinyatakan

dalam persamaan Q = -30 + 5P dan Q = 60 – 4P. Hitunglah surplus konsumen dan

produsen!

Diketahui : permintaan : Q = 60 – 4P → P = 15 – 0,25QPenawaran : Q = -30 + 5P → P = 6 + 0,2Q

Ditanya : Cs….? Ps….?

Penyelesaian :Formula keseimbangan : Qd = Qs

60 – 4P = -30 + 5P 5P + 4P = 60 + 30

9P = 90 P = 10 ………………. (P = Pe)

P = 10 → Q = 60 – 4P                                                Q = 60 – 4(10)

Q = 60 – 40 = 20 …….........                                (Q = Qe)

Jadi, Qe = 20 dan Pe = 10

21

*Surplus Konsumen

Cara I:

Qe

Cs = ∫ f(Q) dQ – Qe Pe

0

20

Cs = ∫ (15 – 0,25Q) dQ – (20)(10) 0 20

Cs = [15Q – 0,125Q2] – 200 0

Cs = ((15.20) – 0,125(20)2) – (15.0) – 0,125(0) 2) - 200Cs = ((300 – 50) – 0) - 200 = 250 – 200 = 50

Cara II:

Q = 60 – 4PJika P = 0 → Q = 60Jika Q = 0 → P = 15 ………………(P = P)

P 15

Cs = ∫ f(P) dP → Cs = ∫ ( 60 – 4P )dP Pe 10

15

Cs = [ 60P – 2P2 ] → Cs = { 60(15) – 2(15)2 } – { 60(10) – 2(10)2 } 10

Cs = ( 900 - 450 ) – ( 600 – 200 )Cs = 450 – 400

= 50Jadi, surplus konsumen adalah 50

  *Surplus Produsen

Cara I: Qe

Ps = Qe Pe – ∫ f(Q) dQ    0                                                    

Qe

Ps = (20)(10) – ∫ f(6 + 0,2Q) dQ 0 20

Ps = 200 – [6Q + 0,1Q2] 0

Ps = 200 – ((6.20) + (0,1(20)2) – (6.0) + (0,1(0) 2)Ps = 200 – ((120 + 40) – 0) = 200 – 160

= 40

22

Cara II:

Q = -30 + 5PJika P = 0 → Q = - 30Jika Q = 0 → P = 6 ………………(P = P)

Pe 10

Ps = ∫ f(P) dP → Ps = ∫ (-30 + 5P )dP P 6

10

Ps = [ -30P + 2,5P2 ]   6

Ps = { -30(10) + 2,5(10)2 } – { -30(6) + 2,5(6)2 }Ps = ( -300 + 250 ) – ( -180 + 90 )Ps = -50 + 90 = 40

Jadi, surplus produsen adalah 40

DAFTAR PUSTAKA

Dumairy, “Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta,

1991

Afriyanto, Dini. 2007. Matematika, Kelompok Teknologi, Kesehatan, Dan Pertanian.

Bandung: Grafindo Media Pratama.

Darmawan, Achmad. 2012. Manfaat Integral dalam Kehidupan Sehari-hari.

http://darmawaninnodderz.blogspot.com/2012/09/manfaat-dan-

fungsi-integral-dalam-ekonomi-teknik.html. Diakses pada tanggal 2

Januari 2013

Kanginan, Marthen. 2007. Matematika Integral.  Bandung : PT Grafindo Media

Pratama

Sulasim, Kastolan, Johanes. 2007. Kompetensi Matematika 3.

Bandung :Yudhistira.

http://books.google.co.id/books?id=_atldTGGzNQC&printsec=frontcover

23

24