M A T E M A T I K A - siswijaya.tripod.comsiswijaya.tripod.com/Matematika.pdf · Contoh Spesifikasi...

Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)

M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA

SMA/MA

©Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN

PANDUAN MATERI UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2004/2005


DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan i

KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan persiapan penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah/Madrasah Tahun Pelajaran 2004/2005, Pusat Penilaian Pendidikan Balitbang Depdiknas menyiapkan panduan materi untuk setiap mata pelajaran yang diujikan pada Ujian Nasional dan Ujian Sekolah. Panduan tersebut mencakup: 1. Gambaran Umum Format dan Bentuk Ujian 2. Standar Kompetensi Lulusan (SKL) dan Ruang Lingkup Materi 3. Contoh Spesifikasi Soal 4. Pedoman Penskoran Panduan ini dimaksudkan sebagai pedoman bagi sekolah/madrasah dalam mempersiapkan penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah, serta sebagai informasi dan acuan bagi peserta didik, guru, dan pihak-pihak terkait dalam menghadapi Ujian Nasional dan Ujian Sekolah/Madrasah. Semoga panduan ini digunakan sebagai acuan oleh semua pihak yang terkait dalam penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah Tahun Pelajaran 2004/2005. Jakarta, Januari 2005 Kepala Pusat Penilaian Pendidikan, Balitbang Depdiknas Bahrul Hayat, Ph.D. NIP. 131 602 652


DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan ii

DAFTAR ISI

Halaman

Kata Pengantar ........................................................................................................... i Daftar Isi .................................................................................................................... ii

Gambaran Umum....................................................................................................... 1 Standar Kompetensi Lulusan ..................................................................................... 2

Ruang Lingkup dan Ringkasan Materi ...................................................................... 4

• Standar Kompetensi Lulusan 1 ...................................................................... 4









DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 1

• Pada ujian nasional tahun pelajaran 2004/2005, bentuk tes Matematika

tingkat SMA/MA berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda,

sebanyak 30 soal dengan alokasi waktu 120 menit.

• Acuan yang digunakan dalam menyusun tes ujian nasional adalah

kurikulum 1994 beserta suplemennya, dan standar kompetensi lulusan.

• Materi yang diujikan untuk mengukur kompetensi tersebut meliputi:

eksponen, logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma,

persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat, sistem persamaan liniear,

matriks, program liniear, vektor, notasi sigma, barisan dan deret

bilangan, fungsi komposisi, fungsi invers, suku banyak, dan teorema

sisa, lingkaran ellips, parabola, hiperbola, transformasi, bangun ruang,

ukuran pemusatan, ukuran penyebaran, peluang, fungsi trigonometri,

persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, logika matematika, limit,

diferensial, dan integral.

GAMBARAN UMUM



Standar Kompetensi Lulusan

Standar Kompetensi Lulusan (SKL) Ruang Lingkup Materi

1. Siswa mampu melakukan operasi hitung aljabar, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

• Bentuk pangkat dan akar • Eksponen dan logaritma • Persamaan kuadrat • Pertidaksamaan kuadrat • Sistem persamaan linear dan kuadrat • Program linear • Matriks • Vektor • Suku banyak

2. Siswa mampu menyatakan dan mengkaji hubungan antara dua himpunan yang dapat dirumuskan sebagai fungsi atau barisan bilangan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

• Fungsi linear dan fungsi kuadrat • Fungsi komposisi dan fungsi invers • Barisan dan deret

3. Siswa mampu memahami sifat dan konsep kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan sudut, garis dan bidang dalam ruang, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

• Ruang dimensi tiga

4. Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan menggunakan kaidah pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

• Statistika • Peluang

5. Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan segitiga, khususnya sudut dan identitas trigonometri, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

• Trigonometri

6. Siswa mampu memahami dasar-dasar logika dan mampu menarik kesimpulan dari serangkaian premis yang diberikan.

• Logika matematika



7. Siswa mampu memahami konsep irisan

kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

• Irisan kerucut • Transformasi

8. Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung limit fungsi di suatu titik, turunan, dan integral.

• Limit • Turunan • Integral



RUANG LINGKUP DAN RINGKASAN MATERI

Ruang Lingkup

• Bentuk pangkat dan akar • Eksponen dan logaritma • Persamaan kuadrat • Pertidaksamaan kuadrat • Sistem persamaan linear dan kuadrat • Program linear • Matriks • Vektor • Suku banyak Ringkasan Materi

I. 1. Eksponen, Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma. A. Sifat-sifat eksponen

1. pa × qa = qpa + 5. p

ba

= p

p

ba

2. pa : qa = qpa − 6. 0a = 1

3. qpa

= q.pa 7. -pa = pa

1

4. ( )pb.a = pb.pa 8. q pa = q

p

a

STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 1

Siswa mampu melakukan operasi hitung aljabar, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.



B. Sifat-sifat logaritma 1. bloga + cloga = bcloga

2. bloga − cloga = cbloga

3. nbloga = bn a log

4. bloga × clogb = cloga

5. bloga = alogcblogc

C. Bentuk persamaan eksponen

1. Jika ( )xfa = 1 maka ( )xf = 0

2. Jika ( )xfa = pa maka ( )xf = p

3. Jika ( )xfa = ( )xga maka ( )xf = ( )xg 4. Persamaan eksponen yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.

D. Pertidaksamaan eksponen 1. Untuk 10 << a

a. Jika ( )xfa ≥ ( )xga maka ( )xf ≤ ( )xg

b. Jika ( )xfa ≤ ( )xga maka ( )xf ≥ ( )xg 2. Untuk 1 a >

a. Jika ( )xfa ≥ ( )xga maka ( )xf ≥ ( )xg

b. Jika ( )xfa ≤ ( )xga maka ( )xf ≤ ( )xg

E. Bentuk persamaan logaritma 1. Jika )x(floga = ploga maka ( ) pxf =

2. Jika )x(floga = )x(gloga maka ( ) ( )xgxf = dengan syarat : ( ) 0>xf dan ( ) 0>xg

3. Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.

F. Pertidaksamaan logaritma 1. Untuk 10 << a

a. Jika )x(floga ≥ )x(gloga maka ( )xf ≤ ( )xg

b. Jika )x(floga ≤ )x(gloga maka ( )xf ≥ ( )xg 2. Untuk 1> a

a. Jika )x(floga ≥ )x(gloga maka ( )xf ≥ ( )xg

b. Jika )x(floga ≤ )x(gloga maka ( )xf ≤ ( )xg dengan syarat : ( ) 0>xf dan ( ) 0>xg



Contoh:

1. Nilai x yang memenuhi persamaan 34x + = 4 58 +x adalah ….

a. 59

− c. 52 e.

59

b. 52

− d. 54

Pembahasan :

34 x + = 4 58 +x

( ) 322 x +

= ( ) 45

32+x

2x + 6 = 4

153 +x

5x = −9

x = 59

−

Kunci : A

Contoh: 2. Himpunan penyelesaian )232log(2 +− xx < )10log(2 x− , x R∈ adalah …. a. { 12| <<− xx atau 42 << x }

b. { 1| <xx atau 2>x } c. { 42| <<− xx } d. { 10| >xx } e. { }

Latihan dan Pembahasan



Pembahasan : syarat : )xxlog( 2322 +− < )xlog( −102 ⊗ 0232 >+− xx

xxx −<+− 10232 ( )2−x ( ) 01 >−x

0822 <−− xx 1<x atau 2>x ( )4−x ( ) 02 <+x ⊗ 010 >− x

42 <<− x 10<x 42 <<− x

1<x atau 2>x 10<x 12 <<− x atau 42 << x Kunci : A

3. Nilai x yang memenuhi 4332 +− xx < 19 −x adalah ….

a. 21 << x c. 23 <<− x e. 21 <<− x b. 32 << x d. 32 <<− x Pembahasan :

4323 +− xx < 19 −x

4323 +− xx < ( )123 −x

22432 −<+− xxx

0652 <+− xx ( )( ) 032 <−− xx

32 << x Kunci : B

4. Jika 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan : 023323 =+−

xlog.xlog ,

maka 1x . 2x = …. a. 2 c. 8 e. 27 b. 3 d. 24

-2 4

1 2

10



Pembahasan : 023323 =+−

xlog.xlog

01323 =

−

− xlogxlog

23 =xlog atau 13 =xlog 9=x atau 3=x 1x . 2x = 9 . 3 = 27 Kunci : E

I. 2. Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat.

A. Persamaan Kuadrat 1. Bentuk Umum : 02 =++ cbxax , ,,ba dan Rc ∈ dan 0≠a 2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara

a. memfaktorkan b. melengkapi kuadrat sempurna

c. menggunakan rumus ABC : a

acbbx . 242

21−±−

=

3. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat : 02 =++ cbxax mempunyai : akar real berlainan jika 0D > akar real sama jika 0D = akar tidak real jika 0D <

D adalah diskriminan 02 =++ cbxax , acb 42D −= 4. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat : Akar-akar persamaan 02 =++ cbxax adalah x1 dan x2.

1x + 2x = ab

− dan 1x . 2x = ac

5. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya dengan cara : a. perkalian faktor : ( )1xx − ( )2xx − = 0 b. menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut :

( ) 022121 =++− x.xxxxx

6. Menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui.



B. Pertidaksamaan Kuadrat 1. Bentuk Umum : 02 <++ cbxax , bisa juga menggunakan tanda >, ≤

atau ≥ , ,,ba dan Rc ∈ , 0≠a 2. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis

bilangan atau grafik fungsi kuadrat. 3. Pemakaian diskriminan persamaan kuadrat .

Menentukan koefisien persamaan kuadrat yang akarnya memenuhi sifat tertentu. misal : akar real, akar tidak real, akar berkebalikan, dan sebagainya.

1. Jika 1x dan 2x akar-akar persamaan 012 =++ pxx , maka persamaan kuadrat

yang akar-akarnya 21

22xx

+ dan 1x + 2x adalah ….

a. 03222 =+− xpx d. 0232 =+− ppxx

b. 02322 =++ ppxx e. 022 =++ pxpx

c. 02232 =++ ppxx Pembahasan : Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β .

α = 21

22xx

+ = ( )

21

212xx

xx + = p2− dan β = 21 xx + = p−

Jadi persamaan kuadrat baru : ( )( ) 0=β−α− xx ( )( ) ( )( ) 02 =−−−− pxpx ( )( ) 02 =++ pxpx

02232 =++ ppxx Kunci : C

2. Jika 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan kuadrat 02 =−+ pxx , p konstanta

positif, maka =+1

2

2

1xx

xx ….

a. p12 −− c.

p12 − e.

p12 +

b. 21−

p d.

p1




Pembahasan :

=+1

2

2

1xx

xx

( )p

pxx

xxxxxx

xx−+

=−+

=+ 212222

21

2121

21

21

21−−=

p

Kunci : A

3. Persamaan kuadrat ( ) 0922 =+−+ xmx mempunyai akar-akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah …. a. 4−≤m atau 8≥m c. 4−≤m atau 10≥m e. 48 ≤≤− m b. 8−≤m atau 4≥m d. 84 ≤≤− m

Pembahasan : Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata jika 0D ≥

042 ≥− acb

( ) 091422 ≥−− ..m

036442 ≥−+− mm 03242 ≥−− mm

( )( ) 048 ≥+− mm 4−≤m atau 8≥m

Kunci : A

4. Persamaan ( ) ( ) 0122812 =+−+− mxmx mempunyai akar kembar, maka nilai m = …. a. 2− c. 0 e. 2

b. 23

− d. 23

Pembahasan : Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika D = 0 D = 0

042 =− acb

( ) ( )mm −−− 14228 .12 = 0 0442 =++ mm

04848243264 =+−+− mmm ( ) 022 =+m

0161624 =++ mm 2−=m Kunci : A

-4 8+ + + +



I. 3. Sistem Persamaan Linear. Bentuk Umum :

A. Sistem Persamaan Linear 2 peubah

=+=+

321

321bybxbayaxa

B. Sistem Persamaan Linear 3 peubah

=++=++=++

4321

4321

4321

czcycxcbzbybxbazayaxa

C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Dengan cara : 1. Substitusi 2. Eliminasi 3. Determinan 4. Matriks

1. Himpunan penyelesaian :

=++=+=+

4261

zyxzyyx

adalah ( ){ }z,y,x . Nilai dari =+ zx …. a. −5 c. 1 e. 3

b. −3 d. 2

Pembahasan : 1=+ yx 6=+ zy 6=+ zy 42 =++ zyx 5−=− zx 22 =− x 1−=x 5−=− zx 451 =+−=z 41+−=+∴ zx 3= Kunci : E




2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan :

=−

=+

2123

1345

yx

yx

adalah ( ){ }00 y,x . Nilai 00 yx − = ….

a. 8 c. 158 e.

152

b. 2 d. 156

Pembahasan :

1345=+

yx × 1 1345

=+yx

2123=−

yx × 2 4246

=−yx

5511=

x

51

5511

==x → xo = 51

2123=−

yx

621152−=−=

y

31

62

−=−

=y → yo = 31

−

Nilai 00 yx − = 158

1553)

31(

51

=+

=−−

Kunci : C I. 4. Program linear

Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear (bentuk atau fungsi obyektif atau fungsi tujuan) pada daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai optimum tersebut dapat ditentukan dengan cara : 1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. 2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut. 3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut tersebut.



1. Nilai minimum fungsi objektif ( )yx 105 + pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah terasir gambar di bawah adalah…

a. 400 b. 320 c. 240 d. 200 e 160 Pembahasan :

Persamaan garis yang melalui (16, 0) dan (32, 0) 322 =+ yx ……. ( garis 1g )

Persamaan garis yang melalui (36, 0) dan (0, 24) 7232 =+ yx ……( garis 2g )

Persamaan garis yang melalui (48, 0) dan (0, 16) 483 =+ yx ……..( garis 3g )

0 16 36

16

48

24

32

X

Y

0 16 36

16

48

24

32

Y

g1g2

g3

A

B

Hp

X




A adalah titik potong garis 1g dan 2g B adalah titik potong garis 2g dan 3g 2x + y = 32 2x + 3 y = 72 2x + 3 y = 72 x + 3 y = 48 −2 y = −40 x = 24 20=y

322 =+ yx 483 =+ yx 122 =x 243 =y 6=x 8=y Koordinat titik A (6, 20) Koordinat titik B (24, 8) Koordinat titik sudut pada daerah penyelesaian (0, 32), (6, 20), (24, 8), dan (48, 0) Nilai optimum : Bentuk obyektif : 5x + 10y Pada titik (0, 32) 5.0 + 10.32 = 320 (6, 20) 5.6 + 10.20 = 230 (24, 8) 5.24 + 10.8 = 200 Nilai minimum (48, 0) 5.48 + 10.0 = 240

∴ Nilai minimum = 200 Kunci : D

2. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah …. a. 30% c. 34% e. 40%

b. 32% d. 36%

Pembahasan : Misal banyaknya kue jenis I = x buah dan kue jenis II = y buah 100000300200 ≤+ yx Sistem pertidaksamaan linear : 400≤+ yx 0≥x 0≥y

Laba kue I = 40% = 10040

× 200 = 80

Laba kue II = 30% = 10030

× 300 = 90

⊗ Bentuk obyektif : yx 9080 +



Daerah himpunan penyelesaian : Garis 100032 =+ yx

Titik potong dengan sumbu X adalah (500, 0) dan sumbu Y adalah (0, 3

1000 )

Garis x + y = 400 Titik potong dengan sumbu X adalah (400, 0) dan sumbu Y adalah (0, 400)

Titik potong : 100032 =+ yx × 1 400=+ yx × 2 100032 =+ yx 80022 =+ yx 200=y 200=x (200, 200) Bentuk obyektif : 80x + 90y Koordinat titik-titik sudut dan nilai optimum bentuk obyektif (0, 0) 800.0 + 90.0 = 0 (400, 0) 80.400 + 90.0 = 32000 (200, 200) 80. 200 + 90.200 = 34000 maksimum

(0, 3

1000 ) 80.0 + 90. 3

1000 = 30000

Laba maksimum Rp 34.000,0 = %% 3410010000034000

=×

Kunci : C

3. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan :

6024 ≤+ yx 4842 ≤+ yx

0≥x , 0≥y adalah …. a. 120 c. 116 e. 112 b. 118 d. 114

Pembahasan : Daerah himpunan penyelesaian : garis 6024 =+ yx

Titik potong dengan sumbu X adalah (15, 0) dan sumbu Y adalah (0, 30) garis 4842 =+ yx Titik potong dengan sumbu X adalah (24, 0) dan sumbu Y adalah (0, 12)

400

10003

400 5000

(200, 200)

X

Y

Hp



Titik potong garis

6024 =+ yx 1×

4842 =+ yx 21

×

6024 =+ yx 242 =+ yx 363 =x 12=x 6=y (12, 6)

⊗ Bentuk obyektif : yxz 86 += Koordinat titik sudut- titik sudut : (0, 0), (15, 0), (0, 12), (12, 6) Nilai optimum : yxz 86 += pada titik : (0, 0) z = 6.0 + 8.0 = 0 (15, 0) z = 6.15 + 8.0 = 90 (0, 12) z = 6.0 + 8.12 = 96 (12, 6) z = 6.12 + 8.6 = 120 maksimum Kunci : A

I. 5. Matriks

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom.

Misal : Matriks A =

dcba

Matriks B =

hgfe

1. Transpose Matriks

==

dbcatAA

2.

±±±±

=

±

=±

hdgcfbea

hgfe

dcba

BA

3.

=

=⋅ kdkc

kbkadcbakk A , k = konstanta

4.

++++

=

=⋅

dhcfdgcebhafbgae

hgfe

dcba

BA

5. Determinan matriks A = Det. A = bcad −=A Matriks A disebut Matriks Singular jika det. A = 0

12

0 X

Y

30

15 24



6. Invers Matriks

−

−−

=−=acbd

bcad11AA

7. A . I = I . A = A,

=

0011

I , I adalah matriks identitas

8. IA 1-A1-AA == . .

9. Jika B .AXmakaBXA -1 , ==

Jika -1A . BXmakaBAX , == X adalah matriks

1. Diketahui matriks A =

− 31

02 dan B =

2021

.

Matriks C yang memenuhi ABC = I dengan I matriks identitas adalah ….

a.

− 41

4241 c.

− 41

4261 e.

− 41

42

b.

−31

121

31

61

d.

−

61

121

31

31

Pembahasan :

ABC = I

− 31

02

2021

C =

1001

− 41

42 C =

1001

C = 1

4142 −

−

1001

= 121

−2144

1001

=

−

61

121

31

31

Kunci : D




2. Diketahui matriks A =

−−

p4394

, B =

−3155p

, dan C =

−−

p64810

. Jika

matriks A – B = 1C− , nilai 2p = ….

a. –1 c. 21 e. 2

b. – 21 d. 1

Pembahasan : A – B = 1C−

−−

p4394

–

−3155p

= 1

64810 −

−−

p

−−

−−342

454p

p =

32601

+− p

−−10486 p

–4 = 3260

8+−

−p

–8 = 240p – 128 240p = 120

p = 21

2p = 1 Kunci : D

3. Diketahui hasil kali matriks

2134

×

dcba

=

79316

.

Nilai a+b+c+d = …. a. 6 c. 8 e. 10 b. 7 d. 9



Pembahasan :

2134

dcba

=

79316

dcba

= 51

−

−4132

79316

dcba

= 51

−2520155

a = 1, b = -3, c = 4, dan d = 5 a + b + c + d = 1 – 3 + 4 + 5 = 7

Kunci : B I.6. Vektor 1. Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang (besar) dan arah. 2. Jika suatu titik A( 1a , 2a , 3a ) dalam ruang (juga pada bidang) dan O titik pangkal,

maka aOA = adalah vektor posisi dari titik A dan dapat ditulis

==

3

2

1

aaa

aOA atau

kajaiaaOA 321 ++== 3. Vektor dapat dijumlahkan dengan aturan jajar genjang atau aturan segitiga. OBABOA =+ OAOBAB −= abAB −=

−−−

=332211

ababab

AB dan ( ) ( ) ( )233

222

211AB ababab −+−+−=

A (a1, a2, a3)

B (b1, b2, b3)0 b

a



4. Jika

=

3

2

1

aaa

a dan

=

3

2

1

bbb

b , maka: (i).

+++

=+

33

22

11

bababa

ba

(ii). Untuk m = bilangan real (skalar)

=

=

3

2

1

3

2

1

a amamam

aaa

mm

5. Jika kajaiaaOA 321 ++== ,

kbjbibbOB 321 ++== dan P terletak pada AB dengan perbandingan :

AP : PB = m : n atau ( )AP PB nm =

maka : n mmnpOP

++

==OB OA

6. Jika

=

3

2

1

aaa

a dan

=

3

2

1

bbb

b , maka a . b = 332211 bababa ++

atau a . b = a b cos ∠ ( ) b ,a

cos ∠ ( ) b ,a = 2

32

22

12

32

22

1

332211

bbb aaa

b a b a b a

++++

++

Untuk cos ∠ ( ) b ,a = 1 a dan b berimpit searah

cos ∠ ( ) b ,a = –1 a dan b berimpit berlawanan

cos ∠ ( ) b ,a = 0 a ⊥ b a . b = 0 7. Jika c = proyeksi vektor a pada vektor b

maka b b

b. a c 2= . (Proyeksi vektor)

dan

. c b

ba= . (Proyeksi skalar)

Contoh:

Diketahui vektor

=

421

a ,

=

045

b , dan

−=

26

10c , maka =+− cb3a2 ….

ac

b



Jawab :

=

842

a2 ,

−−

=−0

1215

b3 , dan

−=

26 10

c

−−

=

−++−+−

=+−6 23

2086124

1015232 cba

1. Diketahui titik A(5, 7, 2) dan B(−3, −1, 6). Titik D membagi AB di luar dengan

perbandingan −1 : 3. Panjang AD = …. a. 30 c. 36 d. 42 b. 34 d. 38

Pembahasan :

AD : DB = −1 : 3, sehingga

=

+

−−

−

=+−+−

=011 9

2275

36 13

31a 3bd

AD =

−=

−

24 4

275

011 9

AD 3641616 AD =++=

Kunci : C 2. Jika vektor a dan vektor b membuat sudut 060 , 4 a = dan 10 =b , maka

a . ( )ab + = …. a. 23 c. 36 e. 36 3 b. 24 d. 24 3




Pembahasan : a . ( )ab + = a . a . a +b

= a b cos +0602

a

= 24 21 . 01 . 4 +

= 36 Kunci : C 3. Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 6.

Vektor

−=y

x4a dan

−=

2 1 2

b serta 89 =a , maka nilai x = ….

a. –6 c. 3 e. 8 b. –3 d. 6

Pembahasan:

4142426

+++−−

=yx yx 24218 +−−=

yx 2222 +−= yx +−=11 11+= xy

89 a =

22 1689 yx ++=

( )22 111689 xx +++= 22 221211689 xxx ++++= 048222 2 =++ xx 024112 =++ xx ( )3+x ( )8+x = 0 x = –3 atau x = –8 Kunci : B I. 7. Suku banyak

Bentuk Umum Suku banyak :

22

11

−−+−

−+ nxnanxnanxna +….+ 01 axa + a = konstanta n = bilangan cacah Suku banyak sering dinyatakan dengan ( )xf Nilai suku banyak ( )xf untuk x = k adalah ( )kf



Teorema Sisa ⊗ Jika suku banyak ( )xf dibagi ( )ax − maka sisanya adalah ( )af . Suku banyak ( )xf dapat ditulis dalam bentuk : (x – a) = pembagi H(x) = hasil bagi S = sisa S = f(a) ⊗ Jika ( )xf dibagi oleh pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n –1. Misal : pembagi = fungsi kuadrat Sisa = fungsi linear Teorema faktor ⊗ Suku banyak ( )xf mempunyai faktor ( )ax − jika dan hanya jika ( )af = 0

1. Jika suku banyak P(x) = 42x + 3ax – 23x + 5x + b dibagi oleh

−12x

memberi sisa ( )56 +x maka a . b = …. a. –6 c. 1 e. 8 b. –3 d. 6 Pembahasan : Sisa = S = f(x) = 6x + 5

Pembagi

−12x = ( )1+x ( )1−x

dibagi ( )1+x , maka sisa f(–1) = –1 dibagi ( )1−x , maka sisa f(1) = 11 P(x) dibagi ( )1+x sisanya P(–1) = f(–1) = –1

P(x) = 42x + 3ax – 23x + 5 + b P(–1) = 2 – a – 3 – 5 + b = –1

– a + b = 5 ……….(1) P(x) dibagi ( )1−x sisanya P(1) = f(1) = 11 P(1) = 2 + a – 3 + 5 + b = 11 a + b = 7 ……….(2) Persamaan 1 : – a + b = 5 Persamaan 2 : a + b = 7 2b = 12

f(x) = (x – a) . H(x) + S




b = 6 a = 1 a . b = 1 . 6 = 6 Kunci : D

2. Diketahui ( )1+x salah satu faktor dari suku banyak :

( )xf = 42x – 32x + 2px – x – 2. Salah satu faktor yang lain adalah …. a. ( )2−x c. ( )1−x e. ( )3+x b. ( )2+x d. ( )3−x Pembahasan : Jika ( )1+x faktor dari ( )xf , maka ( )1−f = 0

( )xf = 42x – 32x + 2px – x – 2 ( )1−f = 2 + 2 + p + 1 – 2 = 0

p = –3 ( )xf = 42x – 32x + 3x2 – x – 2

∴ faktor yang lain adalah ( )2−x Kunci : A

-1 2 -2 -3 -1 -2-2 4 -1 2

2 2 -4 1 -2 0 4 0 2

2 0 1 0



Ruang Lingkup

• Fungsi linear dan fungsi kuadrat • Fungsi komposisi dan fungsi invers • Barisan dan deret Ringkasan Materi

II. 1. Notasi Sigma, Barisan Bilangan, dan Deret

A. Notasi Sigma Notasi sigma atau ∑ digunakan untuk menyatakan operasi penjumlahan bilangan berurutan. Sifat-sifat Notasi ∑ :

1. ∑=

n

mii = ∑

=

n

mpp

2. ∑=

n

miik. = ∑

=

n

miik , k = konstanta

3. ∑−

=

1a

mii + ∑

=

n

aiik. = ∑

=

n

miik.

4. ( )∑+

+=−

an

amiai = ( )∑

−

−=+

an

amiai

5. ∑=

n

miai ± ∑

=

n

mibi = ( )∑

=±

n

mibiai

Siswa mampu menyatakan dan mengkaji hubungan antara dua himpunan yang dapat dirumuskan sebagai fungsi atau barisan bilangan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.




B. Barisan dan Deret Aritmetika ⊗ Barisan Aritmetika

,1U ,2U ,3U … , nU ,a ,ba + ,ba 2+ … , ( )bna 1−+

⊗ Deret Aritmetika

U1 + U2 + U3 + … + nU a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n –1) b) keterangan :

U1 = a = suku pertama b = U2 – U1 = beda nU = ( )bna 1−+ = suku ke–n

nS = ( ){ }bnan 122

−+ = ( )nUan+

2 = Jumlah n suku pertama

nU = 1SS -nn −

C. Barisan dan Deret Geometri ⊗ Barisan Geometri

,1U ,2U ,3U … , nU

,a ,ar ,ar2 … 1−nar ⊗ Deret Geometri

U1 + U2 + U3 + … + nU

+++ 2arara … 1−+ nar keterangan :

U1 = a = suku pertama

r = 1

2UU = rasio

nU = 1−nar = suku ke–n

nS = ,nr

nra

1

1

−

−

1>r

nS = ,nr

nra

−

−

1

1 10 << r

nS = Jumlah n suku pertama



D. Deret Geometri tak hingga Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika 11 <<− r ,

0≠r

raS−

=∞ 1

=∞S Jumlah sampai tak hingga =a suku pertama =r rasio

1. Nilai dari ∑=

100

12

kk + ( )∑ +

=

100

123

kk = ….

a. 25450 c. 25700 e. 50750 b. 25520 d. 50500 Pembahasan :

∑=

100

12

kk + ( )∑ +

=

100

123

kk =

( )∑ ++=

100

1232

kkk = ( )∑ +

=

100

125

kk = +++ 17127 … + 502

selanjutnya penjumlahan di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika.

+++ 17127 … + 502 = … a = 7 b = 5 502U =n ( ) 5021 =−+ bna ( ) 502517 =−+ n 502557 =−+ n 5005 =n

100=n (n dapat ditentukan dari indeks atas )100

1∑=k

( )nann U21S +=

( )502750S100 += = 25450 Kunci : A




2. Suku kedua suatu barisan geometri adalah 2 dan suku kelima adalah 2716 . Suku

ketujuh adalah ….

a. 8434 c.

24364 e.

24332

b. 8132 d.

24334

Pembahasan :

2U2 == ar

2716U 4

5 == ar

2784

UU

2

5 ==ar

ar

2783 =r

32

=r

2=ar 3 23

122

=== .r

a

243

646

3

236U7 =

== ⋅ar

Kunci : C

3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah nnn 252S += . Beda dari deret

aritmetika tersebut adalah ….

a. 215− c. 2 e.

215

b. 2− d. 212

Pembahasan : nnn 252S +=

a==+=213

251S1

954S2 =+= 1SSU −−= nnn 122 SSU −=

215

2139U2 =−=



beda = b = 2213

215U-U 12 =−=

Kunci : C 4. Empat bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan

pertama dan keempat adalah 46 dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …. a. 40 c. 98 e. 190

b. 50 d. 100 Pembahasan : Misal bilangan tersebut ,a ,ba + ,ba 2+ ba 3+ .

( ) 463 =+ baa 4632 =+ aba

( )ba + ( ) 1442 =+ ba 144232 2 =++ baba

46 14422 =+ b

9822 =b 7=b

4632 =+ aba

046212 =−+ aa ( )( ) 0223 =−+ aa 2=a ∴ ke-4 bilangan tersebut 2, 9, 16, 23 Jumlah ke-4 bilangan tersebut = 2+9+16+23 = 50 Kunci : B 5. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri.

Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah …. a. 324 orang c. 648 orang e. 4.374 orang

b. 486 orang d. 1.458 orang Pembahasan : 61U = 543U =

6542

1U3U

==a

ar 92 =r 3=r

458153656U .ar === ⋅ orang

Kunci : D



6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah ….

a. 47 c.

74 e.

41

b. 43 d.

21

Pembahasan : Misal deret tersebut ,a ,ar ,ar2 ,ar3 ,ar4 ,ar5 … 1−nar,

7S =∞

−= 213 rar

71

=− ra ( )

−=− 21317 rrr

( )ra −= 17 233277 rrr −=−

3S =∞genap 03724 =+− rr

321

=− r

ar ( )( ) 0134 =−− rr

,r43

= 1=r

43

=r

47

417

4317 ==

−= .a

Kunci : A



II. 2. Fungsi kuadrat, Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. A. Fungsi Kuadrat

1. Bentuk Umum : ( ) cbxaxxf ++= 2 , a ,b dan Rc ∈ dan 0≠a 2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabola, dengan persamaan :

cbxaxy ++= 2

3. Nilai maksimum atau nilai minimum cbxaxy ++= 2 adalah a

Dy4

−=

untuk a

bx2

−=

4. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya : a. mempunyai titik balik maksimum/minimum ( )q,p

adalah ( ) ( ) qpxxfy +−α== 2 b. memotong sumbu X di ( )01 ,x dan ( )02 ,x

adalah ( ) ( )( )21 xxxxxfy −−α==

B. Komposisi Fungsi : 1. Komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi (lebih) secara berturutan. 2. Notasi Komposisi Fungsi :

A∈x , B∈y , dan C∈z y)x(f = , z)y(g = dan z)x(h = ( )( ) ( )( )xfgxfg)x(h o==

( )xfg o = komposisi fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g. 3. Sifat Komposisi Fungsi :

fggf oo ≠ ffIIf == oo , I adalah fungsi identitas ( ) ( )hgfhgf oooo =

C. Fungsi Invers A∈x dan B∈y

( ) yxf = , ( ) xyf =−1

1−f adalah fungsi invers dari f. Fungsi f mempunyai fungsi invers jika f korespondensi satu-satu. Sifat Fungsi Invers : 1. Iffff == −− oo 11

2. ( ) 111 −−− = gffg oo

x y z

h

A CBf g

x yf -1

A Bf



1. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum 2− untuk 3=x dan untuk

0=x nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah ....

a. ( ) 862 ++= xxxf d. ( ) 161222 +−= xxxf

b. ( ) 862 +−= xxxf e. ( ) 161222 −−= xxxf

c. ( ) 161222 ++= xxxf Pembahasan : Fungsi kuadrat dengan nilai minimum 2− untuk 3=x

adalah ( ) ( ) 223 −−α= xxf

( ) 160 =f ( ) ( ) 1622300 =−−α=f 189 =α 2=α

∴Fungsi kuadrat ( ) ( ) 2232 −−= xxf

( ) 161222 +−= xxxf Kunci : D

2. Nilai maksimum dari fungsi ( ) ( ) kxkxxf 21522 −+++−= adalah 5. Nilai k yang positif adalah .… a. 1 c. 7 e. 9 b. 5 d. 8 Pembahasan :

Nilai maksimum adalah a

acb

aDy

4

42

4

−

−=−

=

( ) ( ) kxkxxf 21522 −+++−=




Nilai maksimum : 54

42

=

−

−=a

acby

( ) ( )( )

( ) 524

212425=

−

−−−+

−kk

58

16825102

=−

−+++− kkk

403362 =+− kk

0762 =−− kk ( )( ) 071 =−+ kk 1−=k atau 7=k Kunci : C

3. Diketahui fungsi ( ) 36 −= xxf dan ( ) 45 += xxg Jika ( )( ) 81=agf o maka nilai =a …. a. –2 c. 1 e. 3

b. –1 d. 2

Pembahasan : ( )( ) 81=agf ( ) 8145 =+af

( ) 813456 =−+a 6030 =a 2=a Kunci : D

4. Diketahui ( )12

11−

−=−

xxxf ,

21

≠x dan ( )xf 1− adalah invers dari ( )xf .

Rumus ( ) =−− 121 xf ….

a. 122

+−−

xx ,

21

−≠x c. 12

1+

−xx ,

21

−≠x e. 42

1−+

xx , 2≠x

b. 341

++−

xx ,

43

−≠x d. 3412

++−

xx ,

43

−≠x



Pembahasan :

( )12

11−

−=−

xxxf

( ) ( )( ) 112

11−+

−+=

xxxf

( )12 +

=xxxf

Misal : ( ) yxf = maka ( ) xyf =−1

12 +

=xxy ( )

121

−−

=−y

yyf

xyxy =+2 ( )12

1−

−=−

xxxf

yxxy −=−2 ( ) ( )( ) 1122

12121−−

−−=−−

xxxf

( ) yyx −=−12 3412

−+−

=xx

12 −

−=

yyx

Kunci : D

5. Ditentukan ( )( ) ( )( )xgfxfg = . Jika ( ) pxxf += 2 dan ( ) 1203 += xxg , maka nilai p = …. a. 30 c. 90 e. 150

b. 60 d. 120

Pembahasan : ( )( ) ( )( )xgfxfg = ( ) ( )12032 +=+ xfpxg

( ) ( ) pxpx ++=++ 1203212023 pxpx ++=++ 240612036

1202 =p 60=p Kunci : B



6. Fungsi RR:f → didefinisikan sebagai ( )4312

+−

=xxxf ,

34

−≠x .

Invers dari fungsi f adalah ( )xf 1− = ….

a. 2314

+−

xx ,

32

−≠x c. x

x32

14−

+ , 32

≠x e. 2314

++

xx ,

32

−≠x

b. 2314

−+

xx ,

32

≠x d. 2314

−−

xx ,

32

≠x

Pembahasan : Misal : ( ) yxf = , maka ( )xyf =−1 Cara I : Cara II :

( )4312

+−

=xxxf Menggunakan rumus :

4312

+−

=xxy ( )

dcxbaxxf

++

=

1243 −=+ xyxy ( )acxbdxxf

−+−

=−1

1423 −−=− yxxy ( )4312

+−

=xxxf

( ) 1423 −−=− yyx ( )23141

−−−

=−xxxf

2314

−−−

=yyx ( )

xxxf

32141

−+

=−

( )23141

−−−

=−yyyf Kunci : C

( )x

xxf32

141−

+=−

Kunci : C



Ruang Lingkup • Ruang dimensi tiga Ringkasan Materi

Dimensi Tiga. A. Irisan :

Irisan bidang α dengan bangun ruang adalah bidang datar yang dibatasi oleh garis potong-garis potong bidang α dengan sisi-sisi bangun ruang tersebut. Irisan bidang dapat digambarkan dengan cara : 1. Menggunakan sumbu Afinitas 2. Menggunakan diagonal bidang irisan

B. Garis tegak lurus bidang

Garis g tegak lurus pada bidang α, jika garis g tegak lurus pada dua garis yang berpotongan yang terletak pada bidang α.

C. Jarak

1. Jarak antara dua titik Jarak titik A dan titik B = panjang ruas A B garis AB

2. Jarak antara titik dan garis

Jarak titik A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus g)

Siswa mampu memahami sifat dan konsep kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan sudut, garis dan bidang dalam ruang, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.


αl

g

h

g

h

A

Bgg



3. Jarak antara titik dan bidang

Jarak titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α)

4. Jarak antara dua garis sejajar Garis g sejajar h. Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus g dan h)

5. Jarak antara dua garis bersilangan

Garis g bersilangan dengan garis h. Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus garis g dan garis h)

6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar

Garis g sejajar dengan bidang α. Jarak antara garis g dan bidang α = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus garis g dan bidang α)

7. Jarak antara dua bidang yang sejajar

Bidang α sejajar dengan bidang β. Jarak bidang α dan bidang β = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus bidang α dan bidang β)

α

A

B

B

α

β

A

A

B

g

h

g

h

αB

A

g

h

g

h

α

gA

B

g



D. Proyeksi 1. Proyeksi titik pada garis Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g. (AB tegak lurus g) 2. Proyeksi titik pada bidang

Titik B adalah proyeksi titik A pada bidang α. (AB tegak lurus bidang α)

3. Proyeksi garis pada bidang 1. Garis g menembus bidang α

Garis BA menembus bidang α di titik A. Titik B′ adalah proyeksi titik B pada bidang α. Proyeksi garis BA pada bidang α = ruas garis AB′.

2. Garis g sejajar bidang α Titik A dan B pada garis g.

Titik A′ dan B′ berturut-turut proyeksi titik A dan B pada bidang α. Proyeksi garis g pada bidang α = ruas garis A′ B′

E. Sudut 1. Sudut antara dua garis yang bersilangan

Garis g dan h bersilangan. ∠ (g, h) = ∠ (g', h) = ∠ (g, h') = ∠ (g', h') dimana g' // g dan h' // h

α

A

B

αB

B

A

A

Bgg

g

αBA

BA g

α

h

g g

h

g'g

hh'



2. Sudut antara garis dan bidang

Garis BA menembus bidang α di titik A. Titik B′ adalah proyeksi titik B pada bidang α, garis AB′ proyeksi AB pada bidang α. ∠ (BA, bidang α) = ∠ (BA, AB′)

3. Sudut antara dua bidang.

(α, β) garis potong bidang α dengan bidang β.

AB tegak lurus (α, β) BC tegak lurus (α, β) Sudut antara bidang α dan bidang β adalah : ∠ (AB, BC) = ∠ ABC 1. Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong

EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah …. a. 32 cm c. 23 cm e. 6 cm b. 4 cm d. 62 cm

Pembahasan : HS tegak lurus DH HS tegak lurus AS Jadi HS = jarak DH ke AS

HF = 267266 22 ==+ cm

HS = 21 HF =

21 . 26 = 23 cm

Kunci : C

αB

B

A

A B

CD

E F

GHS


β

α

(α, β )

A

C

B



2. Pada kubus ABCD. EFGH, jika θ adalah sudut antara bidang ACF dan ACGE, maka sin θ = ….

a. 21 c. 2

21 e. 6

21

b. 331 d. 3

21

Pembahasan : AC adalah garis potong bidang ACF dan ACGE FM tegak lurus AC MN tegak lurus AC Sudut antara bidang ACF dan ACGE adalah ∠ FMN. ∆ FMN siku-siku di N Misal : AB = a cm FH = a 2 cm

NF = 221 a cm

Perhatikan : ∆ FBM

BF = a cm, MB = 221 a cm

MF = 2

2 221

+ aa = 2

23 a = 6

21 a

331

621

221

MFNFθ FMN ====∠

a

asinsin

Kunci : B 3. Pada kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke

diagonal ruang AG adalah …. a. 63 cm c. 33 cm e. 3 cm b. 62 cm d. 32 cm

A B

CD

E F

GH

N

θ

M



Pembahasan : AE // CG ∠ (CG, AFH) = ∠ (AE, AFH) AP = proyeksi AE ke AFH ∠ (AE, AFH) = ∠ (AE, AP) = ∠ EAP atau ∠ EAN.

tan ∠ EAN = 221

623

ANEN

==

Kunci : D

A B

CD

E F

GH

N

P



Ruang Lingkup • Statistika • Peluang

Ringkasan Materi III. 1. Statistika.

Rumus ukuran pemusatan (rata-rata, modus, median, dan kuartil) dan ukuran penyebaran (simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam antar varians, dan simpangan baku) A. Untuk data tunggal :

Dari data : ,x1 ,x2 ,x3 … , nx

1. Rata-rata = Mean = ∑=

=++

=n

iix

nnxxx

x n

1

21 1....

2. Modus adalah ukuran yang paling banyak muncul. 3. Median adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 2 bagian

sama banyak. 4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 4 bagian

sama banyak. Kuartil terdiri atas Q1, Q2, dan Q3. Q2 = median

5. Jangkauan = ukuran terbesar – ukuran terkecil. 6. Jangkauan antar kuartil = Q3 – Q1

7. Jangkauan semi interkuartil = Simpangan kuartil

= Simpangan kuartil = Qd = ( )13 Q-Q21

Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan menggunakan kaidah pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.




8. Simpangan rata-rata = ∑=

−=n

xxn 1i

ir 1S

9. Ragam (Variansi) = ( )∑=

−=n

ii xx

n 1

2 12S

10. Simpangan baku = S = ( )∑=

−=n

ii xx

n 1

212S

B. Untuk data kelompok :

1. Mean = rata-rata = rataan = x∑

∑=

=

=n

ii

n

iii

f

Xf

1

1

2. Modus =

+

+=21

1SS

Sbo tM . i

bt = tepi bawah kelas modus 1S = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya 2S = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i = interval kelas modus = kelas dengan frekuensi terbesar 3. Kuartil

∑ −+=

nfknffn

ntbnQ

4Q i

n = 1, 2, 3 nQ = kuartil ke-n ntb = tepi bawah kelas nQ ∑ f = jumlah frekuensi knf = frekuensi kumulatif sebelum kelas nQ Qnf = frekuensi di kelas nQ i = interval

4. Simpangan rata-rata = xxfn

S k

n

kkR −= ∑

=1

1

5. Ragam = (Varians) = ( )2

1

2 1 xxfn

S k

n

kk −= ∑

=



6. Simpangan baku = ( )2

1

2 1 xxfn

SS k

n

kk −== ∑

=

1. Median data pada tabel adalah ….

a. 46,3 b. 46,8 c. 47,1 d. 47,3 e. 47,8

Pembahasan : ∑ = 40f

Kelas Median pada frekuensi kumulatif untuk (∑ f = 20) ⇒ kelas interval 46 – 54

2bt = 46 – 0,5 = 45,5

2kf = 18

2Qf = 10 i = 9

Jadi Median = if

fftQ

Q

kb ⋅

∑ −⋅+=

2

242

22

= 45,5 + 10

1820 − .9 = 47,3

Kunci : D

2. Modus dari histogram di samping adalah …. a. 47,5 b. 46,5 c. 46,4 d. 45,2 e. 44,7

Nilai Frekuensi19 - 2728 - 3637 - 4546 - 5455 - 6364 - 7273 - 81

46810633

29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5

4

8

12

2

5

8

12

64

3

0

f


Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif

19 – 27 28 – 36 37 – 45 46 – 54 55 – 63 64 – 72 73 – 81

4 6 8 10 6 3 3

6 10 18 28 34 37 40

∑ = 40f



Pembahasan :

frekuensi terbesar = 12 Modus =

+

+=21

1SS

Sbo tM .i

bt = 44,5 = 44,5 +

+ 644 . 5

1S = 12 – 8 = 4 = 46,5

2S = 12 – 6 = 6 i = 5 Kunci : B 3. Histogram pada gambar menunjukkan nilai test matematika di suatu kelas. Nilai rata-rata = ….

a. 69 b. 69,5 c. 70 d. 70,5 e. 71

Pembahasan : Nilai rata-rata =

50

3500=

∑∑ ⋅

fxf

= 70 ∑ = 50f ∑ = 3500fx

Kunci:C III. 2. Peluang

A. Kaidah Pencacahan Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p × q) cara.

42

12

0

f

14

18

Nilai57 62 67 72 77

5762677277

( f )Frekuensi

( x )Titik tengah f . x

24181412

11424812061008924



Faktorial : n ! = 1 × 2 × 3 × … × n 0 ! = 1 1 ! = 1

B. Permutasi

Banyak permutasi (susunan berurutan) k unsur dari n unsur adalah

( ) ( ) ,!

!P,Pkn

nnkn k −== k ≤ n

Permutasi dengan beberapa unsur sama

Banyak susunan dari n unsur dengan p unsur sama, q unsur sama, dst, …

adalah …...qp

n×× ! !

!

C. Kombinasi

Banyak kombinasi (susunan) k unsur dari n unsur adalah

( ) ( ) ,! !

!C,Cknk

nnkn k −== k ≤ n

D. Teorema Binomial Newton

(x+y) n = C(n,0) nx + C(n,1) ynx 1− + C(n,2) 22 ynx − +….. + C(n,n) ny .

E. Peluang suatu kejadian

Peluang suatu kejadian A = P(A) =nk atau

P(A) = (S)(A)

nn

k = hasil kejadian A n = seluruh hasil yang mungkin terjadi n(A) = banyak anggota himpunan A n(S) = banyak anggota himpunan ruang sampel

F. Kisaran Nilai Peluang 1P(A)0 ≤≤ G. Frekuensi Harapan Kejadian A = (A)Fh (A)Fh = P(A) × N P(A) = peluang kejadian A N = banyak percobaan Peluang komplemen kejadian A = P(A′) = 1–P(A)



H. Peluang Kejadian Majemuk 1. Peluang gabungan dua kejadian

B)P(A U = B)P(AP(B)P(A) I−+ 2. Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas B)P(A U = P(A) + P(B) 3. Peluang kejadian yang saling bebas stokastik B)P(A I = P(A) × P(B) 4. Peluang kejadian bersyarat (peluang kejadian A setelah B terjadi)

B)|P(A = P(B)

B)P(A I atau B)P(A I = B)|P(A × P(B)

\

1. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus.

Seseorang berangkat dari kota A ke C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A ia tidak mau menggunakan bus yang sama, banyak cara perjalanan orang tersebut adalah … a. 12 c. 72 e. 144 b. 36 d. 96 Pembahasan : Banyak cara perjalanan orang tersebut adalah 4×3×2×3 = 72 Kunci : C

2. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus tes fisika adalah 0,2. Banyak siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah …. a. 6 orang c. 14 orang e. 32 orang b. 7 orang d. 24 orang Pembahasan :

10440 == ,)m(p

10220 == ,)f(p

m dan f kejadian saling lepas,

106

102

104

=+=+= )f(P)m(P)fm(P U

A B C




Banyak siswa yang lulus = 2440106

=× orang

Kunci : D

3. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang muncul jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah ….

a. 365 c.

368 e.

3611

b. 367 d.

369

Pembahasan : Misal : A kejadian muncul jumlah mata dadu 9 B kejadian muncul jumlah mata dadu 10

A = { }3) (6, 4), (5, 5), (4, 6), (3, → 364P(A) =

B = { }4) (6, 5), (5, 6), (4, → 363P(B) =

A dan B kejadian saling lepas,

B)P(A U = P(A) + P(B) = 367

363

364

=+

Kunci : B

4. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan rupiah dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah ….

a. 565 c.

288 e.

5630

b. 286 d.

5629

Pembahasan : Misal : A kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet pertama B kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet kedua A dan B kejadian saling bebas, B)P(A I = P(A) . P(B)

= 72 .

43

= 286

Kunci : B



Ruang Lingkup • Trigonometri

Ringkasan Materi V.1. Rumus-rumus segitiga dalam trigonometri

A. Hubungan antara sin a, cos a, dan tan a 1. 122 =+ acosasin

2. acosasinatan =

B. Pada setiap segitiga berlaku :

1. Aturan sinus :

CsinBsinAsin

cba==

2. Aturan kosinus : 2222 −+= cba bc cos A 2222 −+= cab ac cos B 2222 −+= bac ab cos C 3. Luas segitiga ABC

= 21 sincb ⋅⋅ A

= 21 sinca ⋅⋅ B

= 21 sinba ⋅⋅ C

Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan segitiga, khususnya sudut dan identitas trigonometri, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

A B

C

ab

c




V.2. Rumus-rumus Trigonometri Rumus trigonometri untuk

1. Jumlah dan selisih dua sudut cos a( ± )b = cos a cos b m sin a sin b sin a( ± )b = sin a cos b ± cos a sin b

tan a( ± )b = btanatan

btan atan 1

m

±

2. Sudut rangkap acosasinasin 2 2 = aacosasinaacos 2222 sin 2 1 1 2 cos 2 −=−=−=

atan

a tanatan21

2 2 −

=

3. Perkalian sinus dan kosinus 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a − b)

2 sin a sin b = cos (a − b) − cos (a + b) 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a − b) 2 cos a sin b = sin (a + b) − sin (a − b)

4. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus ( ) ( )bacosbacosb cos a cos −+=+

21

21 2

( ) ( )basinbasinb cos a cos −+−=−21

21 2

( ) ( )bacosbasinb sin a sin −+=+21

21 2

( ) ( )basinbacosb sin a sin −+=−21

21 2

V.3. Grafik fungsi trigonometri

1. f(x) = a cos (kx + b) = a cos k

+

kbx

2. f(x) = a sin (kx + b) = a sin k

+

kbx

Untuk menggambar grafik y = f(x) = a cos k

+

kb x atau

y = f(x) = a sin k

+

kb x digunakan langkah-langkah sebagai berikut :

a. gambar grafik y = cos x atau y = sin x b. kalikan semua ordinatnya dengan k



c. geser grafik ke kiri sejauh kb jika

kb positif,

geser grafik ke kanan sejauh kb jika

kb negatif

d. periode grafik adalah kπ 2

V.4. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri

⊗ Persamaan trigonometri 1. Persamaan dasar trigonometri

a. sin x = sin a, x = a + k.2 π x = ( π − a ) + k.2 π b. cos x = cos a, x = ± a + k.2 π c. tan x = tan a, x = a + k.π

2. Persamaan yang dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan Misal : sin 2x + cos x = 0 2 sin x cos x + cos x = 0 cos x (2 sin x + 1) = 0 …. dan seterusnya.

3. Persamaan yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat Misal : 01 2 2 =−− x sinxcos ( ) 01 1 2 2 =−−− xsinxsin

01 2 2 =−+ xsinxsin …. dan seterusnya.

4. Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = C, dapat diselesaikan dengan 222 C ≥+ ba

⊗ Pertidaksamaan trigonometri Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan 1. Menggambar grafiknya 2. Menggunakan garis bilangan

1. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, dan 21 cm

adalah .…

a. 2151 c. 5

51 e. 5

31

b. 2161 d. 5

61




Pembahasan : α−+= cos c a c a b 2 222

cos α = ca

bca2

222 −+

32

6040

652212536

==××−+

=

32

=rx 5492 =−=y

5=y

35

==αrysin

Kunci : E

2. Diketahui A adalah sudut lancip dan 2

1 A 21

xxcos +

= .

Nilai sin A adalah ….

a. x

x 12 − c. 12 −x e. x

x 12 +

b. 12 +x

x d. 12 +x

Pembahasan : 1A A 2

12212 =+ cossin

x

xx

xcossin2

1 2

1 1 A 1 A 212

212 −

=+

−=−=

x

xsin2

1 A 21 −

=

A A 2 A 21

21 cossinsin =

= 2 . x

xx

xx

x 1 2

1 2

1 2 −=

+=

−

Kunci : A

A B

C

21 6

5α



3. Persamaan grafik di samping adalah ….

a. y = 2 sin

π

−2

x

b. y = sin

π

−2

2 x

c. y = 2 sin

π

+2

x

d. y = sin

π

+2

2 x

e. y = 2 sin ( )π+ 2 x Pembahasan : Grafik pada gambar tersebut dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik

y = sin x sejauh 2π ke kiri, dan mengalikan setiap y dengan 2, periodenya

tetap 2π.

∴ Jadi y = 2 sin

π

+2

x

Kunci : C

3. Untuk 0 ≤ x < 360, himpunan penyelesaian dari 033 00 =−− xcosxsin adalah …. a. {120, 180} c. {30, 270} e. {0, 300, 360}

b. {90, 210} d. {0, 300} Pembahasan : 03 3 00 =−− xcosxsin

3 3 00 =− xcosxsin 231 =+=k

3

1 −=αtan α di kwadran II

α = 1500 3 3 00 =− xcosxsin

( ) 3150 2 0 =−xcos

( ) 3 150 210 =−xcos

x − 150 = 30 atau 330 x = 180 atau 120 Kunci : A

π

y

xπ

2π2

2π

2

2

3π2

X

Y



4. Himpunan penyelesaian ( ) ( ) 01 70 20 00 ≤−−++ xsinxsin

Untuk 00 3600 ≤≤ x adalah ….

a. { }0000 360160 atau 700 | ≤≤≤≤ xxx

b. { }0000 160135 atau 7025 | ≤≤≤≤ xxx

c. { }00 160 atau 70 | ≥≤ xxx

d. { }00 160 70 | ≤≤ xx

e. { }00 11020 | ≤≤ xx Pembahasan :

( ) ( ) 0 1 70 20 00 ≤−−++ xsinxsin

( ) ( ) 1 70 20 00 ≤−++ xsinxsin

2 ( ) ( ) 1 45 25 00 ≤− cosxsin

( ) 221 25 0 ≤−xsin

00 4525 =−x atau 0135 070=x atau 0160

Yang diminta : ( ) 0 221 25 0 ≤−−xsin

Yang memenuhi adalah daerah I dan III

∴ { }0000 360160 atau 700 | ≤≤≤≤ xxx Kunci : A

I II III360016007000



Ruang Lingkup • Logika matematika Ringkasan Materi VI.1. Pernyataan kalimat terbuka serta ingkarannya Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja,

tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Contoh : 7 adalah bilangan ganjil (benar)

Malang adalah ibu kota Jawa Timur (salah).

Pernyataan dinotasikan dengan huruf p, q, r, s, …

Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah/variabel dan belum

dapat ditentukan nilai benar atau salah.

Jika peubah/variabel diganti dengan konstanta maka menjadi suatu pernyataan.

Contoh : 3 + x = 8,

Jika x diganti dengan 5 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.

Ingkaran adalah pernyataan baru dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai

pernyataan semula, dinotasikan dengan ″~″

Contoh : Pernyataan p : 6 > 2 (B) maka ~ p : 6 ≤ 2 (S)

p : 4 + 1 = 5 (B) maka ∼ p : 4 + 1 ≠ 5 (S)

Siswa mampu memahami dasar-dasar logika dan mampu menarik kesimpulan dari serangkaian premis yang diberikan.




VI.2. Operasi logika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi).

A. Konjungsi

Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p ∧ q. Dua pernyataan p dan q (p ∧ q) bernilai benar, hanya jika komponen p dan q bernilai benar. Tabel kebenaran dari p ∧ q

p q p ∧ q B B B B S S S B S S S S

B. Disjungsi Disjungsi dari pernyataan p atau q dinotasikan dengan p ∨ q

Disjungsi dua pernyataan p atau q bernilai salah, hanya jika komponen-komponennya bernilai salah.

Tabel kebenaran dari p ∨ q p q p ∨ q

B B B B S B S B B S S S

C. Implikasi Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p → q″ Implikasi p → q bernilai salah, hanya jika p benar dan q salah Tabel kebenaran implikasi p → q

p q p → q B B B B S S S B B S S B



D. Biimplikasi Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p ↔ q″.

Biimplikasi dua pernyataan benar, hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama

Tabel kebenaran biimplikasi p ↔ q

p q p ↔ q B B B B S S S B S S S B

VI.3. Pernyataan Majemuk A. Pernyataan Majemuk yang ekuivalen

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh :

1. Tunjukkan bahwa : p → q ≡ ~ p ∨ q Jawab :

p q ∼p ∼p ∨ q p → q B B S B B B S S S S S B B B B S S B B B

sama terbukti

2. Tunjukkan bahwa : p ∧ ∼ q ≡ ∼ (q ∨ ∼p) Jawab :

p q ∼p ∼q p ∧ ∼q q ∨ ∼p ∼ (q ∨ ∼p) B B S S S B S B S S B B S B S B B S S B S S S B B S B S

sama terbukti



B. Negasi Pernyataan Majemuk • Negasi Konjungsi dan Disjungsi ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q Hukum De Morgan ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q Dapat ditunjukan pada tabel berikut :

p q ∼p ∼q p ∧ q ∼(p ∧ q) ∼p ∨ ∼q B B S S B S S B S S B S B B S B B S S B B S S B B S B B

sama

p q ∼p ∼q p ∨ q ∼(p ∨ q) ∼p ∧ ∼q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B

sama

p q ∼p ∼q p → q ∼(p → q) p ∧ ∼q B B S S B S S B S S B S B B S B B S B S S S S B B B S S

sama Contoh: Tentukan Negasi dari : 1. Jika 932 = maka 6 + 2 > 7 Jawab : ~(p → q) ≡ p ∧ ∼q Negasi dari jika 932 = maka 6 + 2 > 7 adalah 932 = dan 6 + 2 ≤ 7



2. Jika Mandor tidak datang maka semua kuli senang Jawab : Negasinya adalah : Mandor tidak datang dan ada kuli yang tidak

senang. VI.4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi lain yaitu : q → p, yang disebut konvers dari p → q

∼p → ∼q , disebut invers dari p → q ∼q → ∼p , disebut kontraposisi dari p → q Hubungan tersebut dapat ditunjukan dalam tabel berikut :

P q ∼p ∼q p → q q → p ∼p → ∼q ∼q → ∼p B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B B B B B

sama sama Contoh: Tentukan konvers, invers, dan kontroposisi dari implikasi Jika harga BBM naik, maka semua harga barang naik. Jawab: Konversnya ialah Jika semua harga barang naik, maka harga BBM naik. Inversnya adalah Jika harga BBM tidak naik, maka ada harga barang yang tidak naik Kontraposisinya adalah Jika ada harga barang yang tidak naik maka harga BBM tidak naik. VI.5. Penarikan Kesimpulan 1. Prinsip Modus Ponens Premis 1 : p q benar Premis 2 : p benar Konklusi : ∴ q benar Contoh: Jika 3x = 12 maka x = 4 benar 3x = 12 benar ∴ x = 4 benar 2. Prinsip Modus Tollens

Premis 1 : p q benar Premis 2 : ∼q benar Konklusi : ∴ ∼ p benar



Contoh : Jika segitiga ABC sama kaki, maka ∠ Α = ∠ B benar ∠ A ≠ ∠ B benar ∴Segitiga ABC bukan segitiga sama kaki benar 3. Prinsip Silogisma Premis 1 : p q benar Premis 2 : q r benar Konklusi ∴ p r benar Contoh: Selidikilah sah tidaknya argumentasi berikut : p ∼q p ∴ ∼q Jawab: Untuk menyelidikinya dibuat tabel kebenaran dari {(p → ∼q) ∧ p} → ∼q Cara 1.

p q ∼q p → ∼q (p → ∼q) ∧ p [(p → ∼q) ∧ p] → ∼q B B S S S B B S B B B B S B S B S B S S B B S B

→ nilai selalu benar jadi argumentasi sah Cara 2.

p q ∼q p → ∼q B B S S B S B B S B S B S S B B

Pada baris ke-2 Premis 1 → benar Premis 2 → benar Konklusi → benar → argumentasi sah Contoh:

1. Invers dari pernyataan (p ∧ ∼q) → p adalah ….

Jawab : p → q inversnya adalah ∼p → ∼q Jadi invers dari (p ∧ ∼q) → p adalah ∼(p ∧ ∼q) → ∼p atau (∼p ∨ q) → ∼p



2. Ingkaran pernyataan “Beberapa peserta UAN membawa kalkulator “ adalah …

Jawab : “Semua peserta UAN tidak membawa kalkulator“ 1. Diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut 1. p → q 2. p → q 3. p → q ∼q p → r p ∴ ∼p ∴ q → r ∴ q Argumentasi yang sah adalah ….

a. hanya 1 c hanya 2 dan 3 e. 1, 2, dan 3. b. hanya 1 dan 2 d. hanya 1 dan 3

Jawab: 1.

p q ∼p ∼q p → q B B S S B B S S B S S B B S B S S B B B

2.

p q r p → q p → r q → r B B B B B B B B S B S S B S B S B B B S S S S B S B B B B B S B S B B S S S B B B B S S S B B B

3.

p q p → q B B B B S S S B B S S B

Kunci : D

Tidak sah

sah

sah (Modus Ponens)




Ruang Lingkup • Irisan kerucut • Transformasi Ringkasan Materi VII.1. Irisan Kerucut A. Lingkaran

1. Persamaan lingkaran a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dengan jari-jari r adalah

222 ryx =+ b. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r adalah

( ) ( ) rbyax =−+− 22

c. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah 0CBA22 =++++ yxyx ,

pusatnya

−− B

21 A,

21 dan CB

21A

21R

22−

−+

−=

2. Jari-jari lingkaran Lingkaran menyinggung sumbu X maka R = b

Lingkaran menyinggung sumbu Y maka R = a

Lingkaran menyinggung garis Ax + By + C = 0,

maka R = BA

CBbAa 22 +

++

R

M (a, b)R

M (a, b)

x

y

X

Y

M (a, b)

RAx + By + C = 0

Siswa mampu memahami konsep irisan kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.




Titik P(c, d) pada lingkaran,

maka R = ( ) ( )22 bdac −+−

R = AB21

3. Kedudukan garis terhadap lingkaran

a. Garis memotong lingkaran di dua titik berlainan, maka D > 0

b. Garis menyinggung lingkaran,

maka D = 0

c. Garis tidak memotong lingkaran, maka D < 0 4. a. Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik ( )11 , yx pada lingkaran

(i) 222 ryx =+ adalah 211 ryyxx =+

(ii) ( ) ( ) 222 rbyax =−+− adalah ( )( ) ( )( ) 211 rbybyaxax =−−+−−

(iii) 0CBA22 =++++ yxyx adalah

( ) ( ) 0CB21A

21

1111 =++++++ yyxxyyxx

b. Persamaan garis singgung dengan gradien tertentu.

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran

(i) 222 ryx =+ adalah 21 mrmxy +±=

(ii) ( ) ( ) 222 rbyax =−+− adalah ( ) 21 mraxmby +±−=−

(iii) 0CBA22 =++++ yxyx adalah

( ) ( )( )CBA1 2412

412 −++±+=+ maxmby

M (a, b)R

P (c, d )

RA

B



c. Persamaan garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (–1, 7) pada

lingkaran 2522 =+ yx Jawab :

Persamaan garis yang melalui (–1, 7) dengan gradien m adalah : ( )17 +=− xmy 7++= mmxy

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran 2522 =+ yx

adalah 215 mmxy +±= .

2157 mmxmmx +±=++

m + 7 = ± 5 21 m+ (m + 7)2 = 25 (1 + m2) 025254914 22 =−−++ mmm 0241424 2 =−− mm 012712 2 =−− mm (4m + 3) (3m – 4) = 0

34m1 = atau

43

2 −=m

Jadi persamaan garis singgungnya adalah ∴ 2534 +− yx = 0 atau 02543 =−+ yx

1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 4) dengan pusat (−4, 1) adalah …. a. 0412822 =−−−+ yxyx d. 0412822 =−+++ yxyx

b. 0412822 =−−++ yxyx e. 0412822 =+−++ yxyx

c. 0412822 =−+−+ yxyx Pembahasan :

( ) ( )22 413-4- R −+=

58949 =+=

Persamaan lingkaran: ( ) ( ) 5814 22 =−++ yx

05812168 22 =−+−+++ yyxx

0412822 =−−++ yxyx Kunci: B




2. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan menyinggung garis 082 =+− yx adalah ….

a. ( ) ( ) 521 22 =−++ yx d. ( ) ( ) 521 22 =++− yx

b. ( ) ( ) 521 22 =+++ yx e. ( ) ( ) 521 22 =−−+ yx

c. ( ) ( ) 521 22 =−+− yx Pembahasan :

R = 5 41

8)2(211 =+

+−+.

Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan R = 5 adalah ( ) ( ) 521 22 =−+− yx

Kunci: C 3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 01710222 =+−−+ yxyx yang

sejajar dengan garis 0243 =++ yx adalah …. a. 3x + 4y = 38 d. 3x – 4y = 8 b. 3x + 4y = –8 e. 3x – 4y = –8 c. 3x – 4y = 38

Pembahasan :

3 1751R 22 =−+= , Pusat (1, 5)

gradien garis 0243 =++ yx adalah 43

1 −=m

gradien yang sejajar garis singgung adalah 43

2 −=m

Persamaan garis singgung yang sejajar garis 0243 =++ yx pada lingkaran

dengan pusat (1, 5) dan R = 3 adalah 21 )( mraxmby +±−=−

( ) ( )16913 1

435 +±−−=− xy

y – 5 = –43 x +

415

43

±

15 33204 ±+−=− xy 3834 +−= xy atau 834 +−= xy Kunci: A

(1, 2)

x - 2y + 8 = 0



B. Parabola 1.a. Persamaan parabola yang berpuncak di (0, 0) dan fokus di :

(i). (p, 0) adalah pxy 42 = , 0>p

(ii). (−p, 0) adalah pxy 42 −= , 0>p

(iii). (0, p) adalah pyx 42 = , 0>p

(iv). (0, −p) adalah pyx 4 2 −= , 0>p

1.b. Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) dan fokus di : (i). (a + p, b) adalah ( ) ( )axpby −=− 42 , 0>p

(ii). (a − p, b) adalah ( ) ( )axpby −−=− 42 , 0>p

(iii). (a, b + p) adalah ( ) ( )bypax −=− 42 , 0>p

(iv) . (a, b − p) adalah ( ) ( )bypax −−=− 42 , 0>p 2. Kedudukan garis terhadap parabola; sama seperti pada lingkaran. 3.a. Persamaan garis singgung di titik ( )11 , yx pada parabola

(i) pxy 42 = adalah ( )11 2 xxpyy +=

(ii) pxy 42 −= adalah ( )11 2 xxpyy +−=

(iii) pyx 42 = adalah ( )11 2 yypxx +=

(iv) pyx 42 −= adalah ( )11 2 yypxx +−=

(v) ( ) ( )axpby −=− 42 adalah ( )( ) ( )axxpbyby 2 2 11 −+=−−

(vi) ( ) ( )axpby −−=− 42 adalah ( )( ) ( )axxpbyby 2 2 11 −+−=−−

(vii) ( ) ( )bypax −=− 42 adalah ( )( ) ( )byypaxax 2 2 11 −+=−−

(viii) ( ) ( )bypay −−=− 42 adalah ( )( ) ( )byypaxax 2 2 11 −+−=−−

b. Persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien tertentu Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola

(i). pxy 42 = adalah mpmxy +=

(ii). pxy 42 −= adalah mpmxy −=

(iii). pyx 42 = adalah pmmxy 2−=

(iv). pyx 42 −= adalah pmmxy 2+=

(v). ( ) ( )axpby −=− 42 adalah ( )mpaxmby +−=−



(vi). ( ) ( )axpby −−=− 42 adalah ( )mpaxmby −−=−

(vii). ( ) ( )bypax −=− 42 adalah ( ) pmaxmby 2−−=−

(viii). ( ) ( )bypax −−=− 42 adalah ( ) pmaxmby 2+−=− c. Persamaan garis singgung pada parabola xy 42 = melalui titik (−1, 0) Penyelesaian : p = 1

Persamaan garis singgung dengan gradien m melalui (−1, 0) adalah y − 0 = m( x +1 ) y = mx + m Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola xy 42 =

adalah m

mxy 1+=

m

mxmmx 1+=+ 12 =m 1 ±=m

Jadi persamaan garis singgungnya adalah : y = x + 1 atau y = −x − 1

1. Persamaan parabola dengan puncak (2, −3) dan fokus (0, −3) adalah …. a. 07862 =+−+ xyy d. 07862 =+−− xyy

b. 07862 =−−+ xyy e. 07862 =−++ xyy

c. 07862 =++− xyy Pembahasan : p = 2 ( ) ( )242 −−=− xpby

( ) ( )283 2 −−=+ xy

168962 +−=++ xyy

07862 =−++ xyy Kunci : E 2. Persamaan parabola dengan puncak (−2, 3), sumbu simetri sejajar sumbu X dan

melalui (2, 7) adalah …. a. ( ) ( )223 2 +=− xy c. ( ) ( )243 2 +=− xy e. ( ) ( )243 2 +−=− xy

b. ( ) ( )223 2 −−=− xy d. ( ) ( )243 2 −=− xy


(2, -3)(0, -3)

0 2

p = 2

x

y

X

Y



Pembahasan : Persamaan parabola : ( ) ( )243 2 +=− xpy melalui (2, 7)

maka ( ) ( )22437 2 +=− p 16 = 16p p = 1 ∴Persamaan parabola : ( ) ( )243 2 +=− xy Kunci : E 3. Persamaan garis singgung pada parabola ( ) ( )1124 2 −=+ xy yang tegak lurus

garis 2x − 6y + 5 = 0 adalah …. Pembahasan : 1 21 −=m.m

1 31

2 −=m.

32 −=m

( ) ( )1124 2 −=+ xy 4p = 12 p = 3

(-2, 3)

(2, 7)Y

X



Persamaan garis singgung dengan gradien = −3 adalah

( )3

3134−

+−−=+ xy

423 −+−= xy 023 =++ xy

C. E l i p s

Titik pusat (0, 0) Titik pusat (h, k)

Persamaan elips 12

2

2

2=+

by

ax 1

2

2

2

2 =

−+

−

bky

ahx

Sumbu utama Sumbu x Garis y = k

Fokus (c, 0) dan (−c, 0) (c+h, k) dan (−c+h, k)

Puncak (a, 0) dan (−a, 0) (a+h, k) dan (−a+h, k)

Garis singgung di titik ( )11 y,x

121

21 =+

b

yy

a

xx ( )( ) ( )( )

121

21 =

−−+

−−

b

kyky

a

hxhx

Gradien m 222 bmamxy +±= ( ) 222 bmahxmky +±−=−

Bentuk Umum persamaan elips : 0EDCBA 22 =++++ yxyx

Titik pusat (0, 0) Titik pusat (h, k)

Persamaan elips 12

2

2

2=+

bx

ay 1

2

2

2

2 =

−

+

−

bhx

aky

Sumbu utama Sumbu y Garis x = h

Fokus (0, c) dan (0, −c) (h, c+k) dan (h, −c+k)

Puncak (0, a) dan (0, −a) (h, a+k) dan (h, −a+k)


121

21 =+

b

xx

a

yy ( )( ) ( )( )

121

21 =

−−+

−−

b

hxhx

a

kyky

Gradien m 222 ambmxy +±= ( ) 222 ambhxmky +±−=−

• Hubungan antara a, b, dan c : 222 cba += a = 2

1 sumbu panjang(mayor)

b = 21 sumbu pendek (minor)

2c = jarak dua fokus • Kedudukan garis terhadap elips, sama seperti pada lingkaran dan parabola



• Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar elips

Misal : Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (−2, −1) pada elips 55 22 =+ yx Penyelesaian : • Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−2, −1) adalah : y + 1 = m (x + 2) y = mx + 2m −1 • Persamaan garis singgung dengan gradien m pada elips 55 22 =+ yx adalah

222 mbamxy +±=

55 22 =+ yx 15

22 =+

yx 52 =a

25 mmxy +±=

2512 mmxmmx +±=−+

( ) 22 512 mm +=−

22 5144 mmm +=+− 0443 2 =−− mm ( )( ) 0223 =−+ mm

32

1 −=m , 22 =m

∴Jadi persamaan garis singgungnya : 0732 =++ yx atau 32 += xy

1. Salah satu koordinat fokus elips 11610018259 22 =−++ yxyx adalah …. a. (5, 2) c. (3, 2) e. (−2, 3) b. (−3, 2) d. (−1, 6)

Pembahasan : ( ) ( ) 10091164425129 22 ++=+−+++ yyxx

( ) ( ) 192

251 22

=−

++ yx

2925 c+= c = 4 Koordinat fokus (−1 + 4, 2) dan (−1−4, 2) = (3, 2) dan (−5, 2) Kunci : C




2. Elips yang berpuncak di titik (0, ± 6) melalui titik (3, 2) persamaannya adalah….

a. 36

2x + 48

9 2y = 1 c. 36

2x + 81

8 2y = 1 e. 36

2x + 40

6 2y = 1

b. 36

2y + 81

8 2x = 1 d. 36

2y + 48

9 2y = 1

Pembahasan :

Elips dengan puncak (0, ±6), persamaannya : 12

2

2

2=+

bx

ay

136 2

22=+

bxy

Melalui (3, 2), maka : 19364

2 =+b

989

2 =b

8812 =b

∴Persamaan elips : 181

836

22=+

xy

Kunci: B 3. Salah satu persamaan garis singgung pada elips 092844 22 =−−−+ yxyx

yang bersudut 0135 dengan sumbu X positif adalah …. a. 553 ++− x c. 553 −+x e. 553 −−− x b. 553 +−− x d. 553 −−x Pembahasan :

( ) ( ) 449212444 222 ++=+−++− yyxx

( ) ( ) 100142 22 =−+− yx

( ) ( ) 125

1100

2 22=

−+

− yx

1135tan 0 −==m Persamaan garis singgung dengan m = −1 adalah ( ) 251100211 +±−−=− .xy 55 21 ±+−=− xy 55 3 ++−= xy atau 55 3 −+−= xy Kunci : A



D. Hiperbola Titik pusat O(0,0) Titik pusat (h, k) Persamaan hiperbola 12

2

2

2=−

by

ax ( ) ( ) 12

2

2

2=

−−

−

bky

ahx

Sumbu utama Sumbu x y = k Fokus (c, 0) dan (−c, 0) (c+h, k) dan (−c+h, k) Puncak (a, 0) dan (−a, 0) (a+h, k) dan (−a+h, k) Asimtot

xaby ±= ( )hx

abky −±=−

Garis singgung di titik ( )11 y,x 12

121 =−

b

yy

a

xx ( )( ) ( )( )12

12

1 =−−

−−−

b

kyky

a

hxhx

Gradien m 222 bmamxy −±= ( ) 222 bmahxmky −±−=−

Bentuk Umum persamaan hiperbola : 0EDCBA 22 =++++ yxyx Titik pusat (0, 0) Titik pusat (h, k)

Persamaan hiperbola 12

2

2

2=−

bx

ay ( ) ( ) 1

2

2

2

2 =−

−−

bhx

aky

Sumbu utama Sumbu y x = h

Fokus (0, c) dan (0, −c) (h, k+c) dan (h, k−c)

Puncak (0, a) dan (0, −a) (h, k+a) dan (h, k−a)

Asimtot xbay ±= ( )hx

baky −±=−


121

21 =−

bxx

ayy ( )( ) ( )( )

121

21 =

−−−

−−

b

hxhx

a

kyky

Gradien m 222 mbamxy −±= ( ) 222 mbahxmky −±−=− • Hubungan antara a, b, dan c : 222 bac +=

1>=ace , e = eksentrisitas

• Kedudukan garis terhadap hiperbola, sama seperti pada lingkaran, parabola, dan elips.



• Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar hiperbola Misal : Tentukan persamaan garis singgung di titik (−1, 1) pada hiperbola 3284 22 =− yx

Penyelesaian : Hiperbola 3284 22 =− yx 148

22=−

yx

•Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−1, 1) adalah: y −1 = m(x + 1) atau y = mx+ m +1

•Persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola 148

22=−

yx

adalah 48 2 −±= mmxy

481 2 −±=++ mmxmmx 0527 2 =−− mm

4812 22 −=++ mmm ( )( ) 0157 =−+ mm

m = 75

− atau m = 1

Persamaan garis singgungnya :

72

75

+−=xy atau 257 +−= xy

dan 2+= xy

1. Persamaan hiperbola dengan jarak dua fokus = 20, sumbu utama adalah sumbu X, dengan pusat O dan asimtot membentuk sudut 300 dengan sumbu positipX adalah ….

a. 175125

22=−

yx c. 12575

22=−

yx e. 12575

22=−

xy

b. 125125

22=−

yx d. 175125

22=−

xy

Pembahasan : 2c = 20 c = 10

3

130 0 =tan

abtan =030

31

=ab




222 bac += 3ba =

223100 bb += 35=a ; sumbu utama adalah sumbu X

252 =b Persamaan hiperbola adalah : 12575

22=−

yx

b = 5 Kunci : C 2. Salah satu persamaan asimtot hiperbola 163272169 22 =+−− yxyx adalah ….

a. 0234 =+− yx c. 0234 =++ yx e. 0234 =−− xy b. 0234 =−+ yx d. 0834 =+− xy

Pembahasan : ( ) ( )12161689 22 +−−+− yyxx = 16 + 144 –16

( ) ( ) 191

164 22

=−

−− yx a = 4

b = 3

Asimtot : ( )4431 −±=− xy

1343

1 +−= xy → 0834 =+− xy

1343

2 ++−= xy → 01634 =−+ xy

Kunci : D

3. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola ( ) ( ) 142

81 22

=−

−− yx

yang tegak lurus garis 07 =+− yx adalah …. a. 5−−= xy c. 1+−= xy e. 1+= xy

b. 1−−= xy d. 5+= xy Pembahasan : Gradien garis 07 =+− yx adalah 11 =m Gradien garis singgung yang tegak lurus garis tersebut adalah 12 −=m Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

( ) ( ) 41.8 112 2 −−±−−=− xy 2 12 ±+−=− xy 5+−= xy atau 1+−= xy Kunci : C



VII.2. Transformasi 1. Jenis-jenis transformasi

a. Translasi (pergeseran) b. Refleksi (pencerminan) c. Rotasi (perputaran) d. Dilatasi (perkalian atau perbesaran)

2. Setiap matriks transformasi dapat ditentukan dengan mencari hasil suatu transformasi titik (1, 0) dan (0, 1). Peta (bayangan) titik (1, 0) sebagai kolom pertama matriks, sedangkan peta (bayangan) titik (0, 1) sebagai kolom kedua. Contoh: Karena refleksi terhadap sumbu X maka peta titik (1, 0) petanya

adalah (1, 0), sedangkan peta titik (0, 1) adalah (0, −1). Jadi matriks

yang bersesuaian dengan refleksi terhadap sumbu X adalah

−1001

.

3. Komposisi transformasi a. Komposisi dua translasi berturutan 1T dilanjutkan 2T dapat diganti dengan

translasi tunggal. ( ) ( )( )yxyx ,T o T , T o T 2121 =

Misal :

=

ba

1T ,

=

dc

2T maka

++

=dbca

21 T o T

b. Komposisi dua refleksi berturutan menghasilkan translasi dua kali jarak

antara dua sumbu. Urutan refleksi menentukan arah translasi. Jika 1M = refleksi terhadap garis ax = 2M = refleksi terhadap garis bx =

maka : ( ) ( )( )yxabyx , 2 P M o M ,P 12 +−′ →

( ) ( )( )yxbayx , 2 P M o M ,P 21 +−′ → Jika 1M = refleksi terhadap garis cy = 2M = refleksi terhadap garis dy =

maka : ( ) ( )( )ycdxyx +−′ → 2 , P M o M ,P 12

( ) ( )( )ydcxyx 2 , P M o M ,P 21 +−′ → c. Komposisi dua refleksi berturutan terhadap dua sumbu yang berpotongan

(tegak lurus atau tidak tegak lurus) dapat diganti dengan suatu rotasi yang : 1. Berpusat pada titik potong dua sumbu 2. Bersudut dua kali sudut antara dua sumbu 3. Arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua



Misal: X = refleksi terhadap sumbu X berpotongan tegak lurus Y = refleksi terhadap sumbu Y H = Rotasi sebesar π pusat O ( ) ( ) ( )ba ba ba ,H ,X o Y , Y o X == d. Komposisi dua rotasi yang sepusat sebesar 1θ dilanjutkan 2θ dapat diganti

dengan rotasi sebesar ( )21 θ+θ dengan pusat yang sama. Contoh : Tentukan peta titik (2, 4) karena rotasi pusat O sebesar 020 dilanjutkan 040 .

Jawab :

−=

′′

yx

cossinsincos

yx

00

00

60 60 60 60

−=

42

33

21

21

21

21

+−

=23321

e. Komposisi transformasi dengan matriks.

Contoh : Tentukan peta titik (2, 4) karena refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan

terhadap garis y = x dan dilanjutkan rotasi pusat O bersudut 4π .

Jawab : ( ) ( ) ( )

==

′′ −

42

o M o 4π σ, R Xxyy

x

=

ππ

π−

π

44

44cossin

sincos

0110

−1001

42

=

−

22

22

21

21

21

21

−0110

42

=

−−

223



f. Luas bangun suatu hasil transformasi.

Suatu bangun A ditransformasikan dengan matriks

dcba

, hasilnya

A′ dengan luas bcad A −=′ luas A Contoh : Hitung luas ∆ ABC dengan A(3, 1), B(7, 1), dan C(7, 4) karena

transformasi oleh matriks

2213

.

Jawab : L = 6 4 3 21

=⋅⋅

L = 24 6 2-6 CBA =⋅=′′′ satuan luas

g. Peta suatu kurva oleh suatu transformasi.

Contoh : Tentukan persamaan bayangan garis 023 =++ yx oleh

transformasi yang berkaitan dengan matriks

2132

.

Jawab : Misal : (a, b) pada kurva 023 =++ yx , maka 023 =++ ba

Jika ( )ba ′′ , adalah peta (a, b) karena tranformasi

2132

,

maka

′′

−

−−

=

ba

ba

2132

341

baa ′−′= 32 bab ′+′−= 2 sehingga : a + 3b + 2 = 0 ( ) ( ) 02 2 3 3 2 =+′+′−+′−′ baba 023 =+′+′− ba ∴Petanya adalah : 023 =++− yx Contoh: 1. Tentukan bayangan titik (4, 2) karena rotasi pusat O sebesar π, dilanjutkan

dilatasi pusat (1, 2) dengan faktor skala 2. Jawab : )2 4,( ) R(0, 2) (4, −−π

Titik (−4, −2) karena [ ]2 2), A(1, adalah ( )( )

−=−′−=−′

bykbyaxkax

( )( ) 62222

91421−=′→−−=−′

−=′→−−=−′

yyxx

∴Petanya adalah (−9, −6)



2. Tentukan bayangan titik (2, −3) karena refleksi terhadap garis x = 3, dilanjutkan x = 5.

Jawab: =1M refleksi terhadap x = 3 =2M refleksi terhadap x = 5

( ) ( )( ) ( )3 ,63 ,2352 MM

3 ,2 1 2 −=−+− →−o

1. Garis y = −3x + 1 dirotasikan dengan R

090 O, , kemudian direfleksikan

terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah …. a. 3y = x + 1 c. 3y = −x − 1 e. y = 3x − 1 b. 3y = x − 1 d. y = −x − 1 Pembahasan :

−

−

=

yx

y'x'

0110

1001

−

−=

yx

0110

−

=

y'x'

yx

0110

101

=

x'y'

yx

y'x −= x'y −= Bayangannya adalah: y = –3x + 1 ( ) 13 +−=− y'x' 13 +−=− y'x' 13 += xy Kunci : A




Ruang Lingkup • Limit • Turunan • Integral Ringkasan Materi VIII.1. Limit Fungsi

A. Limit Fungsi Aljabar Pengertian

ax→lim f(x) = L adalah nilai f(x) dapat dibuat dekat ke L jika x dibuat

dekat ke a (perlu diperhatikan arti dekat). Contoh : a.

2lim

→x5 = 5

b. 2

lim→x

x = 2

Pada penyelesaikan soal limit, hasil yang harus dihindari adalah : ∞∞∞∞∞

∞∞

− 1 , ,0 , 0 , , ,00 00. (hasilnya tak tentu).

B. Teorema Limit a. Diketahui f(x) = c (konstanta),

maka :

ax→lim f(x) = c

b. ax→

lim {f(x) ± g(x)} =ax

lim→

f(x) ax→

± lim g(x)

c.

ax→lim {f(x) . g(x)}

ax→= lim f(x) .

ax→lim g(x)

d. .lim

ax→c f(x) =

axc

→lim. f(x)

Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung limit fungsi di suatu titik, turunan, dan integral.




e. ( )( )

ax

ax

ax g(x)

f(x)

xgxf

→

→

→=

lim

limlim , dengan

ax→lim g (x) ≠ 0

Jika p(x) dan q(x) suatu suku banyak, maka :

( )( )

( )( )aqap

xqxplim

ax=

→, dengan q (a) ≠ 0

Contoh: 1. ( )633

2−+

→xxlim

x = 3

2xlim

x→+ xlim

x3

2→–

2→xlim 6

= 23 + 3 . 2 – 6 = 8

2. xxx

xxxlimx +−

++→ 23

23

0 2

43 = 12

43 2

2

0 +−

++→ xx

xxlimx

= 100400

+−++ = 4

3. x

xxlimx

−−+→

990

= x

xxlimx

−−+→

99 0

. xxxx

−++−++

9999

= ( ) ( )( )xxx

xx`limx −++

−−+→ 99

99 0

= ( )xxxxlim

x −++→ 992

0

= 31

62

992

0==

−++→ xxlimx

4.

−−+

∞→xxxxlim

x53 22

= xxxxlimx

53 22 −−+∞→

. xxxx

xxxx

53

5322

22

+++

+++

= xxxx

xxxxlimx 53

53

22

22

+++

−−+

∞→

= xxxx

xlimx 53

8 22 +++∞→



= 411

85131

8 =+

=+++

∞→

xx

limx

• Limit Fungsi Trigonometri

1 0

=→ x

xsinlimx

1 0

=→ x

xtanlimx

1 0

=→ xsin

xlimx

1 =∞→ xtan

xlimx

Dari ketentuan di atas diperoleh :

ba

bxaxsinlim

x=

→

0

ba

bxaxtanlim

x=

→

0

ba

bxtanaxsinlim

x=

→

0

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan adalah : » sin2 A + cos2 A = 1 » cos A = sin (90o – A) » cot A = tan (90o – A) » sin 2A = 2 sin A cos A » cos 2A = 1 – 2 sin2 A = 2 cos2 A – 1 = cos2 A – sin2 A Contoh:

1. x

xsinlimx

4 0→

Jawab :

x

xsinlimx

4 0→

= x

xsinlimx

4 0→

. 44

= x

xsinlimx 4

4 0→

. 4

= x

xsinlimx 4

4 0→

. 40→x

lim

= 1 . 4 = 4



2. 20

1 x

xcoslimx

−→

Jawab : Jika x disubstitusikan maka hasilnya 00 , sehingga bentuk itu harus diubah

menjadi :

2212

0

211

x

xsinlimx

−−

→ = 2

212

0

2

x

xsinlimx→

= x

xsinlimx

21

02

→.

x

xsin 21

.2121

2121

.

= x

xsinlimx 2

121

0 2

→.

x.

xsin

21

21

.41

= x

xsinlimx 2

121

0 2

→.

x

xsinlimx 2

121

0

→ .

41

0→xlim

= 2 . 1 .41 1 .

= 21

3. 30

x

xsinxtanlimx

−→

Jawab : Jika x = 0 disubstitusikan maka hasilnya00 , sehingga bentuk tersebut

diubah menjadi :

( )3030

1 x.xcos

xcosxsinlimx

xsinxcosxsin

limxx

−=

−

→→

= xx cos

1lim0→

. x

xsin . 2cos1x

x−

= xcos

limx

10→

. x

xx

sinlim0→

. 2212

0

sin2lim

xx

x→2121

2121

.

= xcos

limx

10→

. x

xx

sinlim0→

= x

xsinlimx 2

121

0→ .

x

xsinlimx 2

121

0→



= 21

0→xlim

= 1 . 1 . 1 . 1 . 21

= 21

VIII.2. Hitung Diferensial

A. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri Misal : y = f(x). Turunan fungsi y terhadap x, ditulis dengan y ′(x) = f ′(x) atau

dxdy atau

dxdf didefinisikan sebagai

hxfhxf

limxfh

)()( )(0

−+=′

→.

Nilai fungsi turunan f ′ untuk x = a adalah :

( ) ( ) ( )h

afhaflimaf

h

−+=′

→0

Rumus–rumus turunan: f (x) f ′(x)

xn 1−nnx , n bilangan Rasional axn 1−nanx , n bilangan Rasional sin x cos x cos x – sin x

Operasi aljabar fungsi turunan : a. y = f (x) ± g (x), maka y′ = f ′ (x) ± g′ (x) b. y = c f (x), maka y′ = c f ′ (x) c. y = f(x) . g(x), maka y′ = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x)

d. ( )( )xgxfy = , maka ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )2

xgxg xfxg xfy

′−′=′

Contoh: Tentukan turunan dari :

a. y = (2x + 3)(3x – 5)

b. xxxxy

332

2

2

+

+−=



Jawab : a. y = (2x + 3)(3x – 5)

cara 1 : y = 6x2 – x – 15 y′ = 12x – 1 atau dengan cara 2 : y = (2x + 3)(3x – 5) y′ = 2(3x – 5) + (2x + 3)3 = 6x – 10 + 6x + 9 = 12x – 1

b. xxxxy

332

2

2

+

+−=

( )( ) ( )( )( )22

22

3

3232362

xx

xxxxxxy+

++−−++−=′

= ( )( )22

2323

3

6566166

xx

xxxxxx

+

−+−−+

= ( )22

2

3

11

xx

x

+

B. Persamaan garis singgung Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) melalui titik (a, f(a)) adalah

y – f(a) = f′ (a) (x – a) Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 4 – 3x + x2 di titik dengan absis 3.

Jawab : gradien garis singgungnya adalah y′ = –3 + 2x Gradien di titik dengan absis 3 adalah y′ = –3 + 6 = 3 Ordinat titik singgung y = 4 – 3 . 3 + 9 = 4

Persamaan garis singgung dengan gradien 3 di titik (3, 4) adalah :

y – 4 = 3(x – 3) y = 3x – 5

C. Fungsi naik dan fungsi turun

Syarat yang berkaitan dengan fungsi naik dan fungsi turun Jika f adalah fungsi yang kontinu dan diferensiabel pada interval (a, b), maka : • Jika f′ (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada interval (a, b). • Jika f′ (x) 0> untuk setiap x ∈ (a, b), maka f naik pada interval (a, b).



• Jika f′ (x) 0< untuk setiap x ∈ (a, b), maka f turun pada interval (a, b). • Jika f′ (x) 0≥ untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak turun pada interval (a, b). • Jika f′ (x) 0≤ untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak naik pada interval (a, b). Contoh: Tentukan interval, dimana fungsi :

a. naik b. turun, jika fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 2

Jawab : a. Fungsi f (x) naik, maka f′ (x) 0> f′ (x) = 3x2 – 12x + 9 3x2 – 12x + 9 > 0 3 (x2 – 4x + 3) > 0 (x – 3)(x – 1) > 0 f (x) naik untuk x > 3 atau x < 1 b. f (x) turun jika f′ (x) 0< 3x2 – 12x + 9 < 0 3 (x2 – 4x + 3) < 0 (x – 3)(x – 1) > 0 f (x) turun untuk 1 < x < 3

D. Nilai−nilai Stasioner

Titik dengan ax = yang memenuhi persamaan f′ (a) = 0 disebut titik stasioner Jenis Titik Stasioner

♦ Titik maksimum ax < ax = ax >

f (x) Naik Turun

f ′ (x) Positif Nol negatif

f ′′ (x) Negatif ♦ Titik minimum

ax < ax = ax >

f (x) Turun Naik

f ′ (x) Negatif Nol Positif

f ′′ (x) Positif

1 3- - - - - -+++ +++

- - - - - -+++ +++1 3



♦Titik balik di x= a x < a x = a x > a

f ′ (x) Naik Turun

f ′′ (x) Positif Nol Negatif

f ′ (x) Turun Naik

f ′′ (x) Negatif Nol Positif

Contoh: Tentukan nilai stasioner dan jenisnya fungsi f (x) = x3 (x – 4) + 5

Jawab : f (x) = x4 – 4x3 + 5 f′ (x) = 4x3 – 12x2

Nilai stasioner diperoleh jika ( ) 0=′ xf 4x3 – 12x2 = 0 4x2 (x – 3) = 0 x = 0 atau x = 3 Jadi f (0) = 5 f (3) = 81 – 108 + 5 = –22 Jenisnya : x = 0 x = 3

x −0 0 +0 −3 3 +3 4x2 + 0 + + 0 + x – 3 − 0 − − 0 +

f′ (x) + 0 − − 0 + Belok Balik minimum Jadi titik belok di (0, 0) dan Nilai balik minimum adalah f (3) = –22 ∴ Titik balik minimum (3, −22) E. Menggambar Grafik Langkah-langkahnya adalah menentukan : ∗ Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat ∗ Titik stasioner dan jenisnya ∗ Beberapa titik



Contoh: Gambarlah kurva y = 2x2 – 5x + 2 Jawab : Titik potong dengan sumbu Y → x = 0 → y = 2 Titik potong (0, 2) Titik potong dengan sumbu X → y = 0 2x2 – 5x + 2 = 0

(2x – 1)(x – 2) = 0 → 21

=x atau x = 2

Titik stasioner dan jenisnya y′ = 4x – 5 y′ = 0

y ″ = 4 > 0 → minimum

→ y minimum untuk 45

=x atau 892

455

452

2−=+

−

⋅=y

Koordinat titik balik minimum

−

89

45 ,

F. Turunan kedua dan pemakaiannya Contoh : Sehelai karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x cm. Dari bangun yang didapat dibuat kotak tanpa tutup yang tingginya x cm.

Tentukanlah ukuran kotak agar volumenya maksimum !

45

=x

Sketsa: ∗ Beberapa titik untuk x = −1 y = 9→ (−1, 9) x = 3 y = 5→ (3, 5) 9

(3,5)

2 x

y

21

45

(-1,9)

0

89

Y

X



Jawab : Volum = (8x – 2x)(5 – 2x)(x) = 40x – 26x2 + 4x3 Nilai stasioner V’(x) = 0 40 – 52x + 12x2 = 0 3x2 – 13x + 10 = 0 (3x – 10)(x – 1) = 0

3

10=x atau x = 1

(tidak mungkin) V″ = –52 + 24 x

V″ (x = 1) = –52 + 24 = –28 < 0 → maksimum

Vmaks = 40 – 26 + 4 = 18 dm3 ∴Jadi panjang kotak 6 dm, lebar 3 dm, dan tinggi 1 dm.

1. Jika xsin

y 1−= , maka =

dxdy ….

a. cosec x c. - cosec x e. sec x tan x b. cosec x cotan x d. - cotan x cosec x

Pembahasan :

( )=

−−=

x

xdxdy

2sin

cos1 cosec x cotan x

Kunci : B 2. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 2x3 – 4x + 3 pada titik yang

berabsis 1− adalah …. a. y = 2x + 3y c. y = −2x − 3y e. y = − 2x – 2y b. y = 3x + 7 d. y = −2x − 1

Pembahasan : x = −1 maka y = 2 (−1)3 – 4(-1) + 3 = 5 y′ = gradien = 6x2 – 4 Di titik x = -1 adalah m = 6 – 4 = 2 Persamaan garis melalui (−1, 5) dengan gradien 2 adalah y – 5 = 2 (x + 1) y = 2x + 7 Kunci : B

xx

8 2x

5

2x




3. Nilai maksimum dari f (x) = 2x3 + 5x2 – 4x dalam interval −3 ≤ x ≤ −1 adalah ….

a. 28 b. 27 c. 19 d. 12 e. 7 Pembahasan : f ′ (x) = 6x2 + 10x - 4 0 = 3x2 + 5x − 2 (3x − 1)(x + 2) = 0

31

=x atau x = −2

f″(x) = 12x + 10 f″ (−2) = –24 + 10 = –14 < 0 → maksimum f (–2) = 2.( –2)3 + 5.( –2)2 – 4 (–2) = –16 + 20 + 8 = 12

Kunci : B VIII.3. Integral A. Integral tak tentu Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika F′(x) = f(x) dan f kontinu, maka : ∫ += C)F( )( xdxxf → (C = kostanta)

Rumus−rumus

a. C )F( )f( +=∫ xdxx

b. C +=∫ kxdxk

c. C1

1 ++

= +∫ nn xn

kdxkx , dengan 1−≠n

d. { } ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()(

e. { } ∫ ∫∫ −=− dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()(

tidak terletak dalam interval (tidak memenuhi)



Contoh:

1. Selesaikan dxxx )5()32( −+∫

Jawab : dxxxdxxx )1572( )5()32( 2∫∫ −−=−+

= C1527

32 23 +−− xxx

2. dxxxxxdxx

xx )44( )2( 21

23

22 −

++=+

∫∫

= dx )x4x4x( 21

23

++∫

= cx1

4x24x

11 1

21

21

23

21

23

++

+++

++

= Cx382xx

52 2

322

5+++

= Cxx382xxx

52 22 +++

B. Penerapan Integral tak tentu Contoh:

1. Tentukan persamaan kurva dengan gradien garis singgung di titik (x, y) sama dengan 2x − 3, dan kurva melalui titik (1, −3)!

Jawab : )32( −= xdxdy

dy = 2x − 3 dx ∫ ∫ −= dxxdy )32(

y = x2 − 3x + C Kurva melalui (1, −3), maka −3 = 1 − 3 + C → C = 1

∴Persamaan kurvanya adalah : y = x2 – 3x – 1



2. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan V m per detik. Pada saat t detik persamaan kecepatannya adalah V = 8 t − 1. Pada saat t = 1, posisi benda yaitu S = 6 m. a. Tentukan persamaan posisi benda sebagai fungsi t! b. Berapa jauh posisi benda pada saat t = 4?

Jawab : a. ∫ +−=−= C4 )1 8()(S 2 ttdttt b. S(4) = 4 (4)2 – 4 + 3 = 63 m

Diketahui : S(l) = 6, jadi : 4(1)2 – (1) + C = 6

C = 3 maka : S = 4t2 – t + 3

C. Integral tertentu Teorama Dasar Integral

[ ] (a)F(b)F (x)F )( −==∫ba

b

adxxf

dengan F ′(x) = f (x)

Sifat−sifat Integral Tertentu

(i) ∫∫ −=a

bdxxf

b

adxxf )( )(

(ii) 0 )( =∫a

adxxf

(iii) ∫∫∫ +=b

cdxxf

c

adxxf

b

adxxf )( )( )( , dengan a < c < b

(iv) ∫∫ =b

adxxfk

b

adxxfk )( )( , k = konstanta

(v) { } ∫∫∫ ±=±b

adxxg

b

adxxf

b

adxxgxf )( )( )()(

(vi) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka ∫b

axf )( dx ≥ 0

(vii) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka ∫b

axf )( dx ≤ 0



Contoh:

1. 13

22 )46( 233

1

2 xxdxxx +=+∫

= ( ) ( )[ ]2323 1 21 2)3( 2)3( 2 +−

+ = 68

2. dxxxdxx

x )( )1( 22

1

22

2

1

2 −−=− ∫∫

= ( )

+−

+=+ 1

31

212

31 1

31 33 2

1xx =

611

34

21

38

=−+

D. Beberapa penggunaan Integral

a. Luas daerah

y = f (x)

x = a x = b x

y

∫=b

adxxf )(L

y = f (x)

x = a x = b x

y

∫ =−=b

axf )(L ∫

b

adxxf )(dx

x = f (y)

y =

d

x

y

y =

c

∫=d

cdyyf )( Luas

y = f (x)

x

yx=a

x=b x=c

=L ∫b

adxxf )( ∫

c

bxf )( dx+

X

Y

Y

X

Y

X

X

YY 1 2

3 4



1. Hitung luas daerah antara kurva y = x3 – x2 – 6x dan sumbu X Pembahasan :

Titik potong dengan sumbu X→ y = 0 maka x3 – x2 – 6x = 0 x(x2 – x – 6) = 0 x(x – 3)(x + 2) = 0 Koordinat titik potong dengan sumbu X : (0, 0), (−2, 0), dan (3, 0) untuk x = −1 →(−2 < x < 0), maka y + untuk x = 2 →(0 < x < 3), maka y –

Luas I = ∫−

0

2

(3x3 – x2 – 6x) dx = 41 x4 –

31 x3

0

2

23−

− x = 3

16

Luas II = ∫3

0

(x3 – x2 – 6x) dx = 41 x4 –

31 x3

3

0

23x− = 463

L = LI + LII = 12253 satuan luas

(x))dx

x=a

x=b

y1= f1 (x)

y2= f2 (x)

x-

y

∫=b

aL ( y1 - y2 ) dx

∫=b

aL ( y1 - y2 ) dx

atau

X

Y

a b

( ))(22 xfy =)(11 xfy =

( )( xfLb

a∫ −= 1 ( )) dxxf 2

x

y

X

Y 6


5

0-2 3I

II

y

x

Y

X

∫ −=b

adx (x))fxf 2)((L 1



2. Hitung luas daerah antara kurva y = x2 – 5x dan y = −x2 + 3x – 6 Pembahasan : Batas integral yaitu titik potong dua kurva x2 – 5x = −x2 + 3x – 6 2x2 – 8x + 6 = 0 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 3)(x – 1) x = 3 atau x = 1 Grafik y = x2 – 5x adalah parabola terbuka ke atas memotong sumbu X di (0, 0) dan (5, 0)

Grafik y = −x2 + 3x – 6 parabola terbuka kebawah tidak memotong sumbu X karena D < 0

memotong sumbu Y di (0, −6) dan sumbu simetri x = 23

Luas daerah yang diarsir = ∫3

1

{(−x2 + 3x – 6) – (x2 – 5x)} dx

= ∫3

1

(−2x2 + 8x – 6) dx

x6x4x32 3

1

23−+−=

38

= satuan luas

b Volum benda putar 1. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = f(x), garis x = a, garis y = b, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X adalah

V = π ∫b

a

(f(x))2 dx

2. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva x = f(y), garis y = c, garis y = d dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y adalah

V = π ∫d

c

{f(y)}2 dy

23

31

5

-6

0

y

xX

Y

x = f (y)y

xX

Y

d

c

x

y = f (x)Y

Xa b



3. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara dua kurva y1 = f1(x) dan y2 = f2(x), garis x = a, garis x = b diputar mengelilingi sumbu X adalah

V = π ( )( ) ( )( )[ ]∫ −b

a

22

21 xfxf dx

(dengan catatan f1 (x) > f2 (x), dimana a < x < b) 4. Volum benda putar yang terjadi Jika daerah antara dua kurva x1 = f1(y) dan x2 = f2(y), garis y = c, garis y = d diputar mengelilingi sumbu Y adalah

V = π ( )( ) ( )( )[ ] 22

21∫ −

d

c

yfyf dy

(dengan catatan f1 (y) > f2 (y) dimana c < y < d 1. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x + 1,

sumbu y, garis x = 2 dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600.

Pembahasan :V = ∫2

0

π(x + 1)2 dx = π ∫2

0

(x2 + 2x + 1) dx

= π 2

0

23 xxx31

++ =

326

π

2. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara xy2 = 2, y = 1, y = 4 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y.

Pembahasan : x = 2y2

Volume = ∫∫ −π=

π

4

1

44

1

2

2 dyy4dyy2

)(1 yf

)(2 yfy

x

d

c


xa b

y

y1 = f1 (x)

y2 = f2 (x)

Y

X



= π 4

1

3y34

− − =

1651 π satuan volum

3. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah antara dua kurva

y = x2, y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X. Pembahasan :

V = π ∫−

2

1

{(x + 2)2 − (x2) 2 }dx

= π ∫−

2

1

(x2 + 4x − + 4 – x4) dx

= 31 x3 + 2x 2 + 4x − x

51 2

1-

5

+−+−−

−++=

5142

31

53224422

31 3 ...

= π5214 satuan volum

E. Aturan Rantai

Misal : y = f(x) dan u = g(x) atau y = f(g(x)), maka y ′ = f ′ (g(x)), maka y ′ = f ′ (g(x)) . g ′ (x) Dengan notasi Leibniz dapat ditulis :

dxdu.

dudy

dxdy

=

Contoh : Tentukan turunan pertama dari :

1. y = (x2 + 2x)7

Jawab :

Cara 1 : y ′ = 7(x2 + 2x)6 (2x + 2) = (14x + 14)(x2 + 2x)6 Cara 2 : y = u7, u = x2 + 2x

dudy = 7u6,

dxdu = 2x + 2

dxdy = 7u6 (2x + 2)

21

2

-1-2

1

= xy 22

+= x

y

y

xX

Y



= 7(x2 + 2x)6 (2x + 2) = (14x + 14)(x2 + 2x)6

2. y = sin3 x Jawab : Cara 1 : y = sin3 x = (sin x)3 y ′ = 3 sin2 x cos x

= 23 sin x sin 2x

Cara 2 : y = u3 , u = sin x

dudy =3u2 ,

dxdu = cos x

dxdy = 3u2.cos x = 3 sin2 x cos x

= 23 sin x sin 2x

F. Integral fungsi Trigonometri

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = − cos x + C

∫ sec 2 x dx = tan x + C

∫ cosec 2x dx = − cotan x + C

∫ sec x tan x dx = sec x + C

∫ cosec x cotan x dx = − cosec x + C

1. Selesaikanlah ! ∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx Pembahasan : ∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx = −3 cos x − 5 sin x + C

2. ∫ ( x3 + sec2 x) dx Pembahasan :

∫ ( x3 + sec2 x) dx = 41 x4 + tan x + C




3. ∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx Pembahasan : ∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx = sec x + 2 cos x + C

a. ∫ cos (ax + b) dx = a1 sin (ax + b) + C

∫ sin (ax + b) dx = −a1 cos (ax + b) + C

∫ sec 2 (ax + b) dx = a1 tan (ax + b) + C

∫ cos ec2 (ax + b) dx = −a1 cotan (ax + b) + C

∫ sec (ax + b) tan (ax + b) dx = a1 sec (ax + b) + C

∫ cos ec(ax + b) cotan (ax + b) dx = −a1 cosec (ax + b) + C

Selesaikan !

1. ∫ sec 2 (4x + π) dx

2. ∫ sin 2 x dx

3. ∫ ( 3 sin 2x + cos 3x) dx

4. ∫ sin 3x cos 4x dx

5. ∫ sin 3 x dx Jawab :

1. ∫ sec 2 (4x + π) dx 41 tan (4x + π) + C

2. ∫ sin 2 x dx = ∫ (21

−21 cos 2x) dx

= 21 x −

21 .

21 sin 2x + C

= 21 x −

41 sin 2x + C




3. ∫ ( 3 sin 2x + 4 cos 3x) dx

= −23 cos 2x +

34 sin 3x + C

4. ∫ sin 3x cos 4x dx

= ∫ 21 {(sin 7x + sin ( −x) )} dx

= 21

∫ sin( 7x − sin x) dx

= −21 cos 7x +

21 cos x + C

5. ∫ sin 3 x dx

= ∫ sin x(sin2 x)dx

= ∫ sin x(21

−21 cos 2x) dx

= 21

∫ sin x dx −21

∫ sin x cos 2x dx

= −21 cos x −

21

∫ 21 (sin 3x – sin x) dx

= −21 cos x −

21 cos 3x +

41 cos x + C

G. Integral Substitusi ∫ f (x) dx = F(x) + C Jika u = g(x) maka : ∫ f (g(x)) o g′ (x) dx = F(g(x)) + C

Contoh : 1. ∫ ( 4x + 5)8 dx cara a : misal u = 4x + 5

4

4 dudxdxdu

=→=

→ ∫ ( 4x + 5)8 dx = 98 u9.4

14

du.u =∫ + C

= 361 (4x + 5)9 + C



cara b : ∫ ( 4x + 5)8 dx = ∫ 41 (4x + 5)8 d (4x + 5)

= 361 (4x + 5)9 + C

2. ∫ − 43

2

)1x(x15 dx = ∫15 x2 (x3 − 1)-4 dx

cara a : misal u = (x3 − 1)

22

33

xdudxx

dxdu

=→=

→ ∫15 x2 (x3 − 1)-4 dx = ∫15 x2 u-4. 2x3du

= u35 Cu

35

33 −=+

−− + C

= 33 )1x(35−

− + C

cara b : ∫ 5 (x3 − 1)-4 d(x3 − 1)

= 3

5−

(x3 − 1)-3 + C

= C)1(3

533 +

−−

x

3. cosdxxsinxcos

4 ∫∫ = x sin-4 x dx

cara a : misal u = sin x

xcos

dudxxcosdxdu

=→=

xcos

du.uxcos 4∫→

31

−= u-3 + C

C3

13 +−=

xsin



cara b : ∫ cos x sin-4 x dx = ∫ sin −4 x d sin x

31

−= sin-3 x + C

C3

13 +−=

xsin

H. Integral Parsial

∫ u dv = uv − ∫ v du

Contoh : Selesaikan ! 1. ∫ x sin 3x dx u dv u = x dv = sin 3x dx

du = dx v = ∫ sin 3x dx = −31 cos 3x

∫ sin 3x dx = −31 xcos 3x + ∫ 3

1 cos 3x dx

= −31 xcos 3x +

91 sin 3x + C

2. dxxxdxxx ∫∫ +=+ 21

)34( 34

u = x dv = 21

)34( +x dx

du = dx v = )34( )34(41)34( 2

121

++=+ ∫∫ xdxdxx

23

)34(61

+= x

dxxxxdxxx )34(61)34(

61 )34( 2

323

21

∫∫ +−+=+

)34( )34(41

61)34(

61 2

323

++−+= ∫ xdx.xx

C)34(51

21

61)34(

61 2

523

++−+= x..xx

C)34(101)34(

61 2

3+

+−+= xxx



3. ∫ 2x cos x dx u = x2 dv = cos x dx du = 2x dx v = sin x = x2 . sin x − 2 ∫ x sin x dx u = x dv = sin x du = dx v = −cos x = x2 sin x −2 (−x + ∫ cos x dx)

= x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C Catatan :

Jika fungsi u turunan ke–k nya sama dengan nol (0) dan integralnya ada, maka dapat diselesaikan dengan cara praktis dari Tanzalin. Contoh : ∫ 2x cos x dx = ∴Jadi x2 cos x dx = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C

4. dxxxdxx

x∫∫

−+=

+21

232

3)1(

1

dx)x(x.x 1 21

22 −+= ∫

u dv

misal : u = x2 dv = x(x2 + 1 21

) dx

du = 2x dx v = (x2 + 1 21

)

∫ 3x (x2 + 1 21

)−

dx = x2 (x2 + 1 21

) − ∫ ( x2 + 1 21

) . 2x dx

= x2 (x2 + 1 21

) − ∫ ( x2 + 1 21

) d(x2 + 1)

= x2 (x2 + 1 21

) − 32 (x2 + 1 2

3

) + C

x2

2x

2

0

sin x

-cos x

-sin x

cos x

di-in

tegr

al-k

an

di-d

ifere

nsia

l-kan

didi

fere

nsia

lkan

diin

tegr

alka

n

M A T E M A T I K A - siswijaya.tripod.comsiswijaya.tripod.com/Matematika.pdf · Contoh Spesifikasi...

Documents

Transcript of M A T E M A T I K A - siswijaya.tripod.comsiswijaya.tripod.com/Matematika.pdf · Contoh Spesifikasi...