INTEGRAL - danjunisme.comdanjunisme.com/wp-content/uploads/2018/12/Pertemuan-14-Integral.pdfIntegral...
Transcript of INTEGRAL - danjunisme.comdanjunisme.com/wp-content/uploads/2018/12/Pertemuan-14-Integral.pdfIntegral...
SUB PEMBAHASAN
Integral Tak Tentu
Kaidah-kaidah Integrasi Tak Tentu
Integral Tertentu
Kaidah-kaidah Integral Tentu
Integral tak tentu merupakan kebalikan dari diferensial yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal jika turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui.
Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.
Bentuk umum integral dari f(x)
เถฑ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ญ ๐ + ๐
Keterangan:โข k adalah konstanta yang nilainya tidak tertentuโข adalah tanda integral
โข ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ adalah diferensial dari F(x)โข f(x) adalah integranโข dx adalah diferensialโข F(x) adalah integral partikularโโข F(x) + k adalah fungsi asal
โข Formula pangkat
Kaidah 1
โข Formula logaritmis
Kaidah 2
โข Formula eksponensial
Kaidah 3
โข Formula penjumlahan
Kaidah 4
โข Formula perkalian
Kaidah 5
โข Formula subtitusi
Kaidah 6
Kaidah 1. Formula Pangkat
เถฑ๐๐๐ ๐ =๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐
Contoh: a. ๐ฅ4๐๐ฅ =
๐ฅ๐+1
๐+1+ ๐ =
๐ฅ5
5+ ๐ = 0,2๐ฅ5 + ๐
๐ โ ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ0,2๐ฅ5 + ๐ = ๐ฅ4
b. 4 ๐๐ฅ =4๐ฅ0+1
0+1+ ๐ = 4๐ฅ + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ4๐ฅ + ๐ = 4
Lanjutan...contoh
c. 3๐ฅ2๐๐ฅ =3๐ฅ2+1
2+1+ ๐ = ๐ฅ3 + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ๐ฅ3 + ๐ = 3๐ฅ2 d. ๐๐ฅ =
๐ฅ0+1
0+1+ ๐ = ๐ฅ + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ๐ฅ + ๐ = 1
e. (๐ฅ + 1)2๐๐ฅ =(๐ฅ+1)2+1
2+1+ ๐ =
1
3(๐ฅ + 1)3 + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ
1
3(๐ฅ + 1)3+๐ = (๐ฅ + 1)2
Kaidah 2. Formula Logaritmis
เถฑ๐
๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ + ๐
Contoh: a. 3
๐ฅ๐๐ฅ = 3 ln ๐ฅ + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ3 ln ๐ฅ + ๐ =
3
๐ฅ
b. 3
๐ฅ+1๐๐ฅ =
3๐(๐ฅ+1)
๐ฅ+1+ ๐ = 3 ln (๐ฅ + 1) + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ{3 ln ๐ฅ + 1 + ๐} =
3
๐ฅ + 1
Kaidah 3. Formula Eksponensial
เถฑ๐๐๐ ๐ = ๐๐ + ๐
Contoh:
a. ๐๐ฅ+2๐๐ฅ = ๐๐ฅ+2๐ ๐ฅ + 2 = ๐๐ฅ+2 + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ๐๐ฅ+2 + ๐ = ๐๐ฅ+2
b. ๐2๐ฅ๐๐ฅ =1
2 ๐2๐ฅ ๐(2๐ฅ) =
1
2๐2๐ฅ + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ
1
2๐2๐ฅ + ๐ = ๐2๐ฅ
เถฑ๐๐๐ ๐ = ๐๐ + ๐ ๐ข = ๐(๐ฅ)
c. ๐โ3๐ฅ+2๐๐ฅ = โ1
3 ๐โ3๐ฅ+2๐ โ3๐ฅ + 2 = โ
1
3๐โ3๐ฅ+2 + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅโ1
3๐โ3๐ฅ+2 + ๐ = ๐โ3๐ฅ+2
Kaidah 4. Formula Penjumlahan
เถฑ ๐ + ๐(๐) ๐ ๐ = เถฑ๐(๐)๐ ๐ +เถฑ๐ ๐ ๐ ๐ + ๐ = ๐ญ ๐ + ๐ฎ ๐ + ๐
Contoh:
a. (๐ฅ4+3๐ฅ2)๐๐ฅ = ๐ฅ4๐๐ฅ + 3๐ฅ2๐๐ฅ = 0,2๐ฅ5 + ๐ฅ3 + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ0,2๐ฅ5 + ๐ฅ3 + ๐ = ๐ฅ4 + 3๐ฅ2 b. (๐๐ฅ+
1
๐ฅ)๐๐ฅ = ๐๐ฅ ๐๐ฅ +
1
๐ฅ๐๐ฅ = ๐๐ฅ + ln ๐ฅ + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ๐๐ฅ + ln๐ฅ + ๐ = ๐๐ฅ +
1
๐ฅ
c. (3๐ฅ2โ10๐ฅ)๐๐ฅ = 3๐ฅ2 ๐๐ฅ โ 10๐ฅ ๐๐ฅ = ๐ฅ3 + 5๐ฅ2 + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ๐ฅ3 + 5๐ฅ2 + ๐ = 3๐ฅ2 โ 10๐ฅ
Kaidah 5. Formula Perkalian
เถฑ๐๐(๐)๐ ๐ = ๐เถฑ๐(๐)๐ ๐
Contoh:
a. 3๐ฅ2๐๐ฅ = ๐ฅ2๐๐ฅ3 = 3๐ฅ2+1
2+1+ ๐๐ = ๐ฅ3 + ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅ๐ฅ3 + ๐ = 3๐ฅ2
b. โ๐ฅ3๐๐ฅ = 1โ ๐ฅ3 ๐๐ฅ = โ1 +๐ฅ3+1
2+1+ ๐๐ =
1
4๐ฅ4 ยฑ ๐
Bukti: ๐
๐๐ฅโ1
4๐ฅ๐ฅ ยฑ ๐ = โ๐ฅ3
๐ โ ๐
Kaidah 6. Formula Subtitusi
เถฑ๐(๐)๐ ๐
๐ ๐๐ ๐ = เถฑ๐(๐)๐ ๐ = ๐ญ ๐ + ๐
Contoh 1:
6๐ฅ(3๐ฅ2โ10)๐๐ฅ = ๐๐ฅ(18๐ฅ3โ60๐ฅ) = 4,5๐ฅ4 โ 30๐ฅ2 + ๐
Di mana u = g(x)dan ๐๐ข merupakan subtitusi bagi ๐๐ฅ
Selesaikanlah 6๐ฅ(3๐ฅ2โ10)๐๐ฅ
Dengan cara penyelesaian biasa atau langsung:
Dengan cara subtitusi, misal ๐ข = 3๐ฅ2 โ 10; maka ๐๐ข
๐๐ฅ= 6๐ฅ, atau ๐๐ฅ =
๐๐ข
6๐ฅ, sehingga:
6๐ฅ(3๐ฅ2โ10)๐๐ฅ = 6๐ฅ ๐ข๐๐ข
6๐ฅ= ๐ข ๐๐ข =
๐ข2
2+ ๐ =
(3๐ฅ2โ10)2
2+ ๐๐
=1
2(9๐ฅ4 โ 60๐ฅ2 + ๐๐)
= 4,5๐ฅ4 โ 30๐ฅ2 + 50 + ๐๐)
= 4,5๐ฅ4 โ 30๐ฅ2 + ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ = 50 + ๐
Lanjutan....Formula Subtitusi
Contoh 2:
Selesaikanlah ๐ฅ=3
๐ฅ2+6๐ฅ๐๐ฅ
Misal ๐ข = ๐ฅ2 โ 6๐ฅ; maka ๐๐ข
๐๐ฅ= 2๐ฅ + 6๐ฅ
เถฑ๐ฅ + 3
๐ฅ2 + 6๐ฅ๐๐ฅ = เถฑ
12 (
๐๐ข๐๐ฅ
)
๐ข๐๐ฅ
= เถฑ
12๐๐ข
๐ข=1
2เถฑ๐๐ข
๐ข
Karena pembilang (x + 3) =1
3
๐๐ข
๐๐ฅsehingga:
=1
2เถฑ1
๐ข๐๐ข =
1
2ln ๐ข + ๐
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya
(memiliki batas-batas) tertentu.
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva
y = f(x) dan sumbu horizontal x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x
= a dan x = b.
Bentuk Umum Integral Tertentu
เถฑ
๐
๐
๐ ๐ ๐ ๐ = ๐(๐) ๐๐ = ๐ญ ๐ โ ๐ญ(๐)
Keterangan:
โข ๐
๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ dibaca integral f(x) untuk x dari a ke b
โข ๐ adalah batas-bawah integrasiโข ๐ adalah batas-atas integrasi
Untuk a < c < b, berlaku:
๐ .1๐๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ญ(๐) ๐
๐ = ๐ญ ๐ โ ๐ญ(๐)
Contoh:
เถฑ
2
5
๐ฅ4๐๐ฅ =๐ฅ5
5
5
=1
5๐ฅ5 2
5 =1
53125 โ 32 = 618,6
.2๐
๐๐ ๐ ๐ ๐ = ๐
Contoh:
เถฑ
2
2
๐ฅ4๐๐ฅ =๐ฅ2
52
2
=1
5๐ฅ5 2 =
1
532 โ 32 = 0
Lanjutan...
.3๐
๐๐ ๐ ๐ ๐ = โ
๐
๐๐(๐)
Contoh:
เถฑ
2
5
๐ฅ4๐๐ฅ = 618,6
๐ .4๐๐๐ ๐ ๐ ๐ = ๐๐
๐๐ ๐ ๐ ๐
Contoh:
เถฑ
2
5
5๐ฅ4๐๐ฅ = ๐ฅ5 25 = 3125 โ 32 = 3093
5-2๐ฅ4๐๐ฅ = โ
๐ฅ5
5 5
2
= โ1
5๐ฅ5 5
2 = โ1
532 โ 3125 = 0
5เถฑ
2
5
๐ฅ4๐๐ฅ = 5 618,6 = 3093
Lanjutan...
๐ .5๐๐ ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐
๐๐ ๐ ๐ ๐ + ๐
๐๐ ๐ ๐ ๐
Contoh:
เถฑ
2
5
(๐ฅ4+5๐ฅ4)๐๐ฅ = เถฑ2
5
๐ฅ4๐๐ฅ +เถฑ2
5
5๐ฅ4 ๐๐ฅ
๐ .6๐๐ ๐ ๐ ๐ = ๐
๐๐ ๐ ๐ ๐ = ๐
๐๐ ๐ ๐ ๐
Contoh:
เถฑ
2
3
๐ฅ4๐๐ฅ = เถฑ3
5
๐ฅ4 ๐๐ฅ
=๐ฅ5
52
3
+๐ฅ5
53
5
= 618,6 + 3039 = 3.711,6
=1
5243 โ 32 +
1
5(3125 โ 243) = 618,6