8/3/2013

1

MatematikaMatematikaMatematikaMatematika IIIIIIII

Sudaryatno Sudirham

1 2

ISITurunan Fungsi-Fungsi:

• Fungsi Polinom

• Perkalian Fungsi, Pangkat dari Fungsi, Fungsi

Rasional, Fungsi Implisit

• Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi,

Logaritmik, Eksponensial

Integral:

• Integral Tak-Tentu

• Integral Tentu

Persamaan Diferensial

• Persamaan Diferensial Orde-1

• Persamaan Diferensial Orde-2

TurunanTurunanTurunanTurunan FungsiFungsiFungsiFungsi----FungsiFungsiFungsiFungsi

3

Kita telah melihat bahwakemiringan garis lurus adalah

)(

)(

12

12

xx

yy

x

ym

−−=

∆∆=

Bagaimanakah dengan garis lengkung?

∆x∆y

0

1

2

-1

0 1 2 3 4 x

y

4

Pengertian-Pengertian

P1

∆y

∆x

x

yP2

y = f(x)

Jarak kedua titik potong semakin keciljika ∆x di perkecil menjadi ∆x*

Pada kondisi ∆x mendekati nol, kita peroleh

)()()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

y

xx′=

∆−∆+=

∆∆

→∆→∆

Ini merupakan fungsi turunan dari

)(xf di titik P

Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

P1∆y*

∆x*

x

y y = f(x)

∗2P

Garis Lengkung

Garis lurus dengan kemiringan ∆y/∆xmemotong garis lengkung di dua titik

5

(x1,y1)

(x2,y2)

x

y

f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),

f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)

),(xfy =Pada suatu garis lengkungkita dapat memperoleh turunannya di berbagaititik pada garis lengkung tersebut

6

8/3/2013

2

maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”

x

y

x ∆∆

→∆ 0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada

Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

x

yy

dx

d

dx

dy

x ∆∆==

→∆ 0lim)(

Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasidi semua x dalam dalam domain tersebut

kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.

kita baca “turunan fungsi y terhadap x”

7

kxfy == )(0

00)()(

lim0

0 =∆

=∆

−∆+=′→∆ xx

xfxxfy

x

Contoh:

xxfy 2)(11 ==

222)(2

lim)(0

1 =∆∆=

∆−∆+=′

→∆ x

x

x

xxxxf

x

Contoh:

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5x

yxy 21 =

2)(1 =′ xf

Fungsi ramp

Fungsi tetapan

8

Mononom

222 2)( xxfy ==

xxxx

xxxxx

x

xxxxf

x

xx

4)222(lim

2)2(2lim

2)(2lim)(

0

222

0

22

02

=∆+×=∆

−∆+∆+=∆

−∆+=′

→∆

→∆→∆

Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononompangkat 1 (kurva garis lurus)

Contoh:

333 2)( xxfy ==

2222

0

33323

0

33

03

623232lim

2)33(2lim

2)(2lim)(

xxxxx

x

xxxxxxx

x

xxxxf

x

x

x

=∆+∆×+×=∆

−∆+∆+∆+=

∆−∆+=′

→∆

→∆

→∆

Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononompangkat 2 (kurva parabola)

Contoh:

9

nmxxfy == )(

)1()( −×=′ nxnmy

Secara umum, turunan fungsi mononom

adalah

kxfy =′=′ )(

Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus

dan turunannya berupa nilai konstan,

nmxy =

)(xfy ′=′Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,

nmxy =

Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi

)(xfy ′′=′′ turunan dari )(xfy ′=′

)(xfy ′′′=′′′ turunan dari )(xfy ′′=′′*) Untuk n berupa

bilangan tak bulat akandibahas kemudian

*)

10

dx

dyxfy =′=′ )( disebut turunan pertama,

2

2)(

dx

ydxfy =′′=′′ turunan kedua,

3

3)(

dx

ydxfy =′′′=′′′ turunan ke-tiga, dst.

344 2)( xxfy ==

12

;12)2(6

;6)3(2

4

)12(4

2)13(4

=′′′==′′

==′−

−

y

xxy

xxy

Contoh:

11

nmxxfy == )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan

akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.

-100

0

100

200

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

4xy =

34xy =′

212xy =′′ xy 24=′′′

24=′′′′y

212xy =′′34xy =′

Contoh:34xy =′ 212xy =′′ xy 24=′′′ 24=′′′′y

4xy = dan turunan-turunannya Fungsi

12

8/3/2013

3

Contoh: 24)(11 +== xxfy

{ } { }4

242)(4lim)(1 =

∆+−+∆+=′

→∆ x

xxxxf

xx

f1(x) = 4x + 2

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x

y

4)('1 =xf Turunan fungsi inisama dengan

turunan f(x)=4x karena turunan daritetapan 2 adalah 0.

Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)

13

Polinom

)2(4)(22 −== xxfy 84)(2 −= xxf

4)(2 =′ xf

)2(4)(2 −−−−==== xxf

4)(2 ====′′′′ xf

-15

-10

-5

0

5

10

-1 0 1 2 3 4x

y

Contoh:

14

Contoh: 524)( 233 −+== xxxfy

{ } { }28224

5245)(2)(4lim

22

03

+=+×=∆

−+−−∆++∆+=′

→∆xx

x

xxxxxxy

x

5245)( 2344 −++== xxxxfy

{ } { }281522435

5245 5)(2)(4)(5lim

22

2323

04

++=+×+×=∆

−++−−∆++∆++∆+=′

→∆

xxxx

x

xxxxxxxxxy

x

Contoh:

Secara Umum:

Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu

memang memiliki turunan.

15

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

dx

dy +== )(

)(

))(()(

vwvwwvvw

wwvvyy

∆∆+∆+∆+=∆+∆+=∆+

x

wv

x

vw

x

wv

x

vwvwvwwvwv

x

yyy

x

y

∆∆∆+

∆∆+

∆∆=

∆−∆∆+∆+∆+

=∆

−∆+=

∆∆

)()(

vwy =Jika

maka

16

Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

Contoh:

44422323

3018126362)32(

xxxxxxxdx

xxdy =+=×+×=

×=′

56xy = 430xy =′Turunan adalah

Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi

dx

duvw

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

duv

dx

dvuw

dx

dwuv

dx

uvdw

dx

dwuv

dx

wuvd

dx

uvwd

)()()(

)( )(

)())(()(

++=

++=+==

Jika uvwy =

56xy =

44442

222

3012126)4)((3x

)6)(2()1)(32()(

xxxxxx

xxxxxdx

uvwd

dx

dy

=++=×+

×+×==

Contoh:Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

17

vvvvy ××== 2361Contoh:

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dvvv

dx

dy

5

4555

22345

32

23231

6

2

)()()(

=

++++=

++

++=

++=

dx

dvv

dx

dv

dv

dv

dx

dv 566

6==

dx

dvnv

dx

dv nn

1−=

Contoh ini menunjukkan bahwa

Secara Umum:

18

Fungsi Yang Merupakan Pangkatdari suatu Fungsi

8/3/2013

4

Contoh: 2332 )1()1( −+= xxy

)12()1)(1(6

)1()1(6)1()1(6

2)1(3)1()3)(1(2)1(

)1()1(

)1()1(

3223

22233322

22232332

3223

2332

−++−=

+−+−+=

+−+−+=

+−+−+=

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

dx

xdx

dx

xdx

dx

dy

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

19

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi

w

vy = 1−= vwy

−=

+−=+−=

+==

=

−−

−−−

dx

dwv

dx

dvw

w

dx

dv

wdx

dv

w

v

dx

dvw

dx

dvvw

dx

dvw

dx

dwv

dx

vwd

w

v

dx

d

dx

dy

2

212

111

1

1

)(

2w

dx

dwv

dx

dvw

w

v

dx

d

−=

atau

Jadi:

20

Fungsi Rasional

3

2 3

x

xy

−=

4

2

6

244

6

223

9)93(2

)3)(3()2(

x

x

x

xxx

x

xxxx

dx

dy

+−=−−=

−−=

Contoh:

22 1

xxy +=

3

2 22

4

2102

xx

xxx

dx

dy −=×−×+=

Contoh:

1dengan ;1

1 22

2≠

−+= x

x

xy

2222

33

22

22

)1(

4

)1(

2222

)1(

2)1(2)1(

−−=

−−−−=

−+−−=

x

x

x

xxxx

x

xxxx

dx

dy

(agar penyebut tidak nol)Contoh:

21

(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)

q

pn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0Bilangan tidak bulat

dx

dvpv

dx

dyqy pq 11 −− =

Jika y ≠ 0, kita dapatkandx

dv

qy

pv

dx

vd

dx

dyq

pqp

1

1/ )(−

−==

( ) )/(1/1 qppqqpq vvy −−− ==

dx

dvv

q

p

dx

dvv

q

p

dx

dv

qv

pv

dx

vd

dx

dy

qp

qpppqpp

pqp

1)/(

)/()1()/(

1/

)(

−

+−−−

−

=

===

sehingga

qpn vvy /== pq vy =

Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

22

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Kaidah rantai

)(tfx = dapat diturunkan terhadap t,

)(xFy = dapat diturunkan terhadap x dan Jika

( ) )()( tgtfFy == dapat diturunkan terhadap t menjadimaka

dt

dx

dx

dy

dt

dy =

Apabila kita mempunyai persamaan

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk

)(dan )( tfytfx ==

)(xFy =

23

Fungsi Parametrik danKaidah Rantai

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisitnamun sebagian yang lain tidak.

Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunanfungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di

atas.

Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalambentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi

implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapatdidiferensiasi terhadap x.

24

Fungsi Implisit

8/3/2013

5

Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

822 =++ yxyxContoh:

yxdx

dyyx

dx

dyy

dx

dxy

dx

dyxx

−−=+

=+++

2)2(

022

yx

yx

dx

dy

2

2

++−=

0)2( ≠+ yx kita peroleh turunanJika

25

434 434 =−+ yxyx

0124)3(44

0)3()4(

44

3323

43

33

=−++

=−++

dx

dyyy

dx

dyyxx

dx

yd

dx

xdy

dx

dyxx

Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh

Contoh:

)(3

)(32

33

yxy

yx

dx

dy

−+−=

0)( 32 ≠− yxy kita dapat memperoleh turunanUntuk

26

x

xxxxxx

xxx

dx

xd

dx

dy

∆−∆+∆=

∆−∆+==

sinsincoscossin

sin)sin(sin

xy sin= maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu

xdx

xdcos

sin =

27

Turunan Fungsi Trigonometri

x

xxxxxx

xxx

dx

xd

dx

dy

∆−∆−∆=

∆−∆+==

cossinsincoscos

cos)cos(cos

xy cos= maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu

xdx

xdsin

cos −=

28

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 222

2sec

cos

1

cos

)sin(sincos

cos

sintan ==−−=

=

xxx

xxx

x

x

dx

d

dx

xd 222

2csc

sin

1

sin

)(coscossin

sin

coscot −=−=−−=

=

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdtansec

cos

sin

cos

)sin(0

cos

1sec22

==−−=

=

xxx

x

x

x

xdx

d

dx

xdcotcsc

sin

cos

sin

)(cos0

sin

1csc22

−=−=−=

=

29

Contoh:

Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah

Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah

dt

dvCi C

C =

( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt

d

dt

dvCi C

C =××==

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

vC iC

vC

iC

t [detik]

30

8/3/2013

6

Contoh:

Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = −0,2cos400t ampere.

Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

dt

diLv L

L =

( ) tttdt

d

dt

diLv L

L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 =×××=−×==

vL

iL

vL iL

-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]

31

xy 1sin−= yx sin= ydydx cos=

ydx

dy

cos

1=21

1

xdx

dy

−=x

1

21 x−

y

ydx

dy

sin

1−= 21

1

xdx

dy

−

−=

x

1 21 x−y

xy 1cos−= yx cos= ydydx sin−=

32

Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

xy 1tan−= yx tan= dyy

dx2cos

1=

ydx

dy 2cos=21

1

xdx

dy

+=x

1

21 x+y

xy 1cot−= yx cot= dyy

dx2sin

1−=

ydx

dy 2sin−= 21

1

xdx

dy

+−=

x

1

21 x+y

33

xy 1sec−=y

yxcos

1sec == dy

y

xdx

2cos

)sin(0 −−=

1

1

1

1

sin

cos

2

22

2

−=

−×==

xx

x

x

xy

y

dx

dy

1

x12 −xy

xy 1csc−=y

yxsin

1csc == dy

y

xdx

2sin

)(cos0−=

1

1

1

1

cos

sin

2

22

2

−

−=

−×−=

−=

xx

x

x

xy

y

dx

dy1

x

12 −x

y

34

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdcos

)(sin)(sin ==

dx

dvv

dx

dv

dv

vd

dx

vdsin

)(cos)(cos −==

Jika v = f(x), maka

dx

dvv

dx

dv

x

xx

v

v

dx

d

dx

vd 22

22sec

cos

sincos

cos

sin)(tan =+=

=

dx

dvv

v

v

dx

d

dx

vd 2cscsin

cos)(cot −=

=

dx

dvvv

dx

dv

v

v

vdx

d

dx

vdtansec

cos

sin0

cos

1)(sec2

=+=

=

dx

dvvv

vdx

d

dx

vdcotcsc

sin

1)(csc −=

=

35

Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(sin

−=

−

dx

dw

wdx

wd

2

1

1

1)(cos

−−=

−

dx

dw

wdx

wd2

1

1

1)(tan

+=

−

dx

dw

wdx

wd2

1

1

1)(cot

+−=

−

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(sec

2

1

−=

−

dx

dw

wwdx

wd

1

1)(csc

2

1

−−=

−

Jika w = f(x), maka

36

8/3/2013

7

Turunan Fungsi Logaritmik

)0( 1

ln)(1

>== ∫ xdtt

xxfx

xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integralFungsi logaritmik

luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan

sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x

x t

1/x

1/t

x +∆x 1/(x+∆x)

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

y

∫=x

dtt

x1

1

ln

∆=

∆−∆+= ∫

∆+ xx

xdt

txx

xxx

dx

xd 11)ln()ln(ln

Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx × 1/x). Namun jika Δx

makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx × 1/x); dan jika Δx

mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx × 1/x).

xdx

xd 1ln =

ln(x+∆x)−lnx

Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut

37

Turunan Fungsi Eksponensial

xey = xexy == lnln

penurunan secara implisit di kedua sisi

11ln ==

dx

dy

ydx

yd

xeydx

dy ==atau

Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri

xey =′ xey =′′ xey =′′′ dst.

.

dx

dve

dx

dv

dv

de

dx

de vvv

==)(xvv =Jika

xey1tan−

=2

tan1tan

1

tan1

1

x

e

dx

xde

dx

dy xx

+==

−− −

38

dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:

Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi

)(lim0

xfx

y

dx

dy

x′=

∆∆

=→∆

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi yterhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: )(xFy =

dxxFdy )('=2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dxyang dinyatakan dengan

1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;

39

Diferensial dx dan dyPenjelasan secara grafis

Pdx

dy

θ

y

x

Ini adalahpeubah bebas

Ini adalah fungsi(peubah tak bebas)

dxxFdy )('= Pdx

dy

θ

y

x

Jika dx berubah, maka dyberubah sedemikian rupasehingga dy/dx samadengan kemiringan garissinggung pada kurva

θ= tandx

dy dxdy )(tanθ= adalah besar perubahan nilai ysepanjang garis singgung di

titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx

adalah laju perubahan yterhadap perubahan x.

40

Pdx

dyθ

x

y

Pdx

dy

θ

x

y

Pdx

dy

θ

x

y

Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.

Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.

Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

konstan ;0 == cdx

dc

dx

dvc

dx

dcv =

dx

dw

dx

dv

dx

wvd +=+ )(

cdvdcv =

konstan ;0 == cdc

dwdvwvd +=+ )(

dx

dvw

dx

dwv

dx

dvw += wdvvdwvwd +=)(

2w

dx

dwv

dx

dvw

dx

w

vd −

=

2w

vdwwdv

w

vd

−=

dx

dvnv

dx

dv nn

1−= dvnvdv nn 1−=

1−= nn

cnxdx

dcx dxcnxcxd nn 1)( −=

DiferensialTurunan Fungsi

41

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.

2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)

Contoh: 653 23 −+−= xxxy

563 2 +−=′ xxy

dxxxdy )563( 2 +−=sehingga

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

dxxx

dxxdxdxxdxdxdxddy

)563(

563 )6()5()3()(2

223

+−=

+−=−++−+=

42

8/3/2013

8

Integral

43

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x

tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

)(xfdx

dy =

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti inidisebut persamaan diferensial.

036

652

222

2

2

=++

++=

yxdx

dyxy

dx

yd

xxdx

dy

Contoh persamaan diferensial

Pengertian-Pengertian

44

1. Integral Tak Tentu

)(xFy =Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat

memenuhi

)()(

xfdx

xdF =

)(xfdx

dy =Tinjau persamaan diferensial

[ ]0

)()()(+=+=

+dx

xdF

dx

dK

dx

xdF

dx

KxFdKarena maka

KxFy += )(fungsi juga merupakan solusi

45

Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

KxFdxxf +=∫ )()(

dxxfxdF )()( =

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak

tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

)()(

xfdx

xdF =

46

dapat dituliskan

45xdx

dy =

dxxdy 45=

dxxxd 45 5)( =

Kxxddxxy +=== ∫∫ 554 )(5

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahu bahwa

Contoh:

oleh karena itu

47

Carilah solusi persamaan

yxdx

dy 2=

Contoh:

dxyxdy 2= kelompokkan peubah sehinggaruas kiri dan kanan mengandung

peubah berbedadxxdyy 22/1 =−

( ) dyyyd 2/12/12 −= dxxxd 23

3

1 =

( )

= 32/1

3

12 xdyd

Jika kedua ruas diintegrasi

23

12/1

3

12 KxKy +=+

KxKKxy +=−+= 312

32/1

3

1

3

12

48

8/3/2013

9

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini

dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

Kydy +=∫

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.

∫∫ = dyaady

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

1 jika ,1

1−≠+

+=

+

∫ nKn

ydyy

nn

3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

49

Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang

dimiliki oleh K.

kurva 210xy =adalah kurva bernilai tunggal

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x2

y

50

100

-5 -3 -1 1 3 5

K1

K2

K3

yi = 10x2+Ki

y

x

Kxdxx +=∫ 2

310

3

10kurva

adalah kurva bernilai banyak

50

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

30 =sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.

Contoh:

tatv 3==kecepatan percepatan waktu

dt

dsv =Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

dt

dva =Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

.

vdtds =

∫ +=+== KtKt

atdts 22

5,12

3

274 =ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah

K+= 03 3=KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 35,1 2 += ts

51

Luas Sebagai Suatu Integral

)(xfy =Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurvasumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

Contoh:y = f(x) =2

y

x0

2

p x x+∆x q

Apx ∆Apx

)(2 xfx

Apx ==∆

∆atau

2)(lim0

===∆

∆→∆

xfdx

dA

x

A pxpx

xKxdxdAA pxpx +=== ∫∫ 22

Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p

Kp += 20 pK 2−=atau

xApx ∆=∆ 2

pxApx 22 −= )(222 pqpqApq −=−=

52

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp ≤≤

p x x+∆x q

y

x

y = f(x)

0

f(x)f(x+∆x )

Apx ∆Apx

∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan

∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x

xxxfxxfxxfApx ∆∆+≤∆≤∆=∆ )()()( 0

x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x

Jika ∆x → 0: )(lim0

xfdx

dA

x

A pxpx

x==

∆

∆

→∆KxFdxxfdAA pxpx +=== ∫∫ )()(

] qppq xFpFqFA )()()( =−=

53

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep

dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Bidang dibagi dalam segmen-segmen

Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas

segmen

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas tiap segmen dihitung

sebagai f(xk)×∆xk

Luas tiap segmen dihitung

sebagai f(xk+∆x)×∆xk

Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen

54

2. Integral Tentu

8/3/2013

10

kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0

k

n

kk

n

kkk

n

kkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑

=== 110

1

)()()(

Jika ∆xk → 0 ketiga jumlah ini mendekatisuatu nilai limit yang sama

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas tiap segmen dihitungsebagai f(xk)×∆xk

Luas tiap segmen dihitungsebagai f(xk+∆x)×∆xk

Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka

Nilai limit itu merupakan integral tentu

55

∫=q

ppq dxxfA )(

] )()()()( pFqFxFdxxfA qp

q

ppq −=== ∫

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas bidang menjadi

56

Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampaix, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi

dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Definisi

xxy 123 −=Luas antara dan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3.

Contoh:

xxy 123 −=

-20

-10

0

10

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

75,33)5425,20(0

64

)12(

0

3

240

3

3

=−−−=

−=−=

−−∫ x

xdxxxAa

75,33)0(5425,20

64

)12(

3

0

243

0

3

−=−−=

−=−= ∫ x

xdxxxAb

5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA

57

Luas BidangContoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi

mengenai Apx, formulasi

( )))()( pFqFdxxfAq

p−== ∫

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x

p

q

y

xA4

A1

A2

A3

y = f(x)

( )))()( pFqFdxxfAq

ppq −== ∫

4321 AAAAApq +−+−=

58

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

)(11 xfy = )(22 xfy =berada di atas

p q

y

x0

y1

y2

x x+∆x

∆Apx

{ } xxfxfAA pxsegmen ∆−=∆= )()( 21

Rentang qxp ≤≤dibagi dalam n segmen

{ }∑∑∆−=

=∆−=

xqx

px

n

segmen xxfxfA )()( 211

jumlah semua segmen:

{ }∫∑ −==∞→ q

p

n

segmenpq dxxfxfAA )()(lim 211

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit

59

{ } ] 30)12(186)2(4( 32

3

2=−−==−−= +

−+

−∫ xdxApq

41 =y 22 −=yJika dan

berapakah luas bidang antara y1 dan y2

dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.

Contoh:

21 xy = 42 =yJika dan

berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.

2 ,24 212

21 ==−==⇒=→= qxpxxyy

3

32

3

16

3

16

3

88

3

88

34)4(

2

2-

32

2

2

=−−=

−−−−

−

−=−= ∫−

xxdxxApq

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y2

y1y2

di atas y1

y

x

60

8/3/2013

11

221 +−= xy xy −=2Jika dan

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva

22

811 ;1

2

811

02atau 2

2

2

2

1

2221

=−

+−−==−=−

++−==

=++−−=+−→=

qxpx

xxxxyy

5,4 22

1

3

142

3

8

223

)2(

2

1

232

1

2

=

−+−

−−

++−=

++−=++−=

−−∫ x

xxdxxxApq

-4

-2

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y1 di atasy2

y1

y2

y

x

61

Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka

yang memberikan dt

dwp = ∫= pdtw

[kWh]hour Watt kilo 8,0

[Wh]r Watt.hou800100 10080

8

0

8

0

=

==== ∫∫ tdtpdtw

Penerapan Integral

Contoh:

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah

62

dt

dqi = ∫= idtq

coulomb 625,02

25,1

2

05,005,0

5

0

5

0

25

0===== ∫∫ ttdtidtq

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5detik ?

sehingga

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

Contoh:

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

63

Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.

Balok

∆x

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan

maka volume irisan ∆V adalah

xxxAVxxA ∆∆+≤∆≤∆ )()(

Volume balok V adalah ∑ ∆=q

p

xxAV )(

luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).

Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: ∑ ∆≈

q

p

xxAV )(

Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka : ∫∑ =∆=

→∆

q

p

q

pox

dxxAxxAV )()(lim

64

Volume Sebagai Suatu Integral

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x

y

x

∆x

O Q

P

A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.

[ ] ∫∫∫ π=π==hhh

dxxmdxxrdxxAV0

22

0

2

0)()(

m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q.

3

3

PQ/OQ)(

32

3232

kerucuth

rhhm

V π=π=π=

Jika garis OP memotong sumbu-y makadiperoleh kerucut terpotong

65

Rotasi Bidang Sembarang

y

x

∆x

0 a b

f(x)

( ) ( )22 )()()( xfxrxA π=π=

( )∫ π=b

adxxfV 2)(

Rotasi Gabungan Fungsi Linier

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping initerdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

y

x

∆x

0 a b

f2(x)f1(x)

f3(x)

66

8/3/2013

12

Persamaan Diferensial

67

Pengertian

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

xex

y

dx

yd

dx

yd =+

+

+

12

5

2

22

3

3

Contoh:

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.

68

1. Persamaan Diferensial Orde-1

Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

0=+− −− xx keke

xkey −= 0=+ ydt

dyadalah solusi dari persamaan

xkey −=xke

dt

dy −−=karena turunan adalah

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh

Contoh:

Persamaan terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.

69

Pemisahan Peubah

Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaandiferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk

0)()( =+ dxxgdyyf

Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

∫∫ =+ Kdxxgdyyf ))()(

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda

70

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan

yxedx

dy −=

0=− dxedye xy

y

x

e

e

dx

dy =Persamaan ini dapat kita tuliskan

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagaipersamaan dengan peubah terpisah

Kee xy =− Kee xy +=sehingga atau

Contoh:

Kdxedye xy =− ∫∫Integrasi kedua ruas memberikan:

71

Contoh:xydx

dy 1=

0=−x

dxydy

Kx

dxydy =− ∫∫

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

Kxy =− ln2

2

Kxy ′+= 2lnatau

x

dxydy = atau

Integrasi kedua ruas:

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk

=x

yF

dx

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru

x

yv =

vxy =

dx

dvxv

dx

dy +=)(vFdx

dvxv =+

0)(

=−

+vFv

dv

x

dx

Pemisahan peubah:

yang akan memberikan

dan

vvFdx

dvx −= )(

x

dx

vvF

dv=

−)(

atau:

72

8/3/2013

13

Contoh: 02)( 22 =++ xydydxyx

02)1(2

22 =++ xydydx

x

yxUsahakan menjadi homogen

dyx

ydx

x

y2)1(

2

2−=+

)/()/(2

)/(1 2xyF

xy

xy

dx

dy =+−=

Peubah baru v = y/x

vxy =

dx

dvxv

dx

dy += v

v

dx

dvxv

2

1 2+−=+

v

v

v

vv

dx

dvx

2

31

2

1 22 +−=+−−=

x

dx

v

vdv −=+ 231

2 031

22

=+

+v

vdv

x

dxPeubah terpisah atau

)(2

1 2vF

v

v

dx

dy =+−=

73

Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.

031

22

=+

+v

vdv

x

dx

dx

xd

x

)(ln1 =

)6(31

1

)31(

)31(

)31ln()31ln(2

2

2

22v

vdv

vd

vd

vd

dv

vd

+=+

++=+Kita coba hitung

KKvx ′==++ ln3

1)31ln(

3

1ln 2

0)31ln(

3

1 2=++ dv

dv

vd

x

dx

KKvx ′==++ ln)31ln(ln3 2

Kvx ′=+ )31( 23

( ) Kxyx ′=+ 23 )/(31 ( ) Kyxx ′=+ 22 3

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubahbentuk persamaan menjadi

Integrasi ke-dua ruas:

74

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan

Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan

pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.

Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai

)(tfbydt

dya =+

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia

merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.

QPydx

dy=+Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang

juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

75

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.

Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah

fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan

homogen

0=+ bydt

dya

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai

a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.

Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi

penggerak.

76

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaanyang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,

maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,sebab

( )

0

)(

11

22

11

2121

++=+++=

+++

=+

bfdt

dfabf

dt

dfabf

dt

dfa

ffbdt

ffdaby

dt

dya

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah

dari solusi khusus dan solusi homogen.

77

Solusi Homogen

Persamaan homogen 0=+ bydt

dya

Jika ya adalah solusinya maka

0=+ dta

b

y

dy

a

a

Integrasi kedua ruas memberikan

Kta

bya =+ln

sehingga

Kta

bya +−=ln

taba

Kta

b

a eKey )/(−+−==

Inilah solusi homogen

78

8/3/2013

14

)(tfbydt

dya p

p =+

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.

tKtKytAtftAtf

KeyAetf

KyAtf

ytf

scp

tp

t

p

p

ω+ω=→ω=ω=

==→==

==→==

=→=

αα

sincos cos)(atau , sin)( Jika

aleksponensi al,eksponensi)( Jika

konstan konstan,)( Jika

00)( Jika

Jika solusi khusus adalah yp , maka

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) inidapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk sepertiitulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

Jika dugaan solusi total adalahThis image cannot currently be displayed.

Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.

79

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

01000 =+ vdt

dv

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.

Contoh:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.

01000 =+ dtv

dv

Ktv +−= 1000ln

ta

Kt eKev 10001000 −+− ==

Penerapan kondisi awal: aK=12

Solusi total: V 12 1000tev −=

80

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

1210 3 =+− vdt

dv

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.

Solusi homogen: 010 3 =+−a

a vdt

dv0103 =+ dt

v

dv

a

a

taa eKv 1000−=

Solusi khusus: 12=pv karena f(t) = 12

Solusi total (dugaan):t

atotal eKv 100012 −+=

Penerapan kondisi awal: aK+= 120 12−=aK

Solusi total: V 1212 1000ttotal ev −−=

81

Contoh:

tvdt

dv10cos1005 =+

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien

menghasilkan persamaan

Carilah solusi total.

Solusi homogen: 05 =+ aa v

dt

dv05 =+ dt

v

dv

a

a

Ktva =+ 5ln taa eKv 5−=

Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos +=

ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10 =+++−

ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 =+ 100510 =+ cs AA

010sin510sin10 =+− tAtA sc 0510 =+− sc AA

8=sA 4=cA

Solusi total (dugaan): taeKttv 510sin810cos4 −++=

Penerapan kondisi awal: aK+= 40 4−=aK

Solusi total : tettv 5410sin810cos4 −−+=82

Untuk sementara ini mengenai persamaan

diferensial orde-2 silahkan dilihat Buku

Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2

83

Persamaan Diferensial Orde-2

MatematikaMatematikaMatematikaMatematika IIIIIIII

Sudaryatno Sudirham

84