MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN METODE … · 2017. 2. 20. · Persamaan Diferensial...

i

MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN

MENGGUNAKAN METODE HEUN

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Rahmawati Risma Wijaya

NIM: 123114007

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

SOLVING THE ROSS’ MODEL USING THE HEUN’S

METHOD

FINAL ASSIGNMENT

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika

Mathematics Study Program

Written by :


Student ID: 123114007

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Kupersembahkan tugas akhir ini untuk:

TuhanYesus yang sangat mencintaiku dan kucintai, kedua orang tuaku yang

sangat kucintai dan kusayangi, adikku yang sangat kusayangi, dan untuk semua

sahabat terbaikku.


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa makalah yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar

pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 17 Januari 2017



vii

ABSTRAK

Model Ross adalah suatu model matematika yang terdiri dari sistem

persamaan diferensial yang digunakan untuk menyelesaikan penyebaran penyakit

malaria.

Dalam tugas akhir ini, model Ross diselesaikan dengan menggunakan dua

metode, yaitu metode Euler dan metode Heun. Metode Euler adalah salah satu

dari metode satu langkah yang paling sederhana. Dibandingkan dengan beberapa

metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu

dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga

memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti. Metode Euler

mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h).

Buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan metode Heun, yang

merupakan perbaikan metode Euler (modified Euler’s method). Pada metode

Heun, solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal

(prediktor), selanjutnya solusi perkiraan awal diperbaiki dengan metode Heun

(korektor).


viii

ABSTRACT

Ross’ model is a mathematical model which consists of differential

equation system which is used to solve the spreading of malaria disease.

In this final assignment, Ross’ model is solved by two methods. They are

Euler method and Heun methods. Euler method is one of the simplest one step

method. Compared to other methods, this method belong to the less accurately

method. However, this method is needed to be learnt before learning other more

accurate methods. Euler method has a low accuracy because of the big error. This

error can be minimized using Heun method, which is the improvement of Euler

method. On Heun method, the solution of Euler method is used as the initial

estimation, then this initial estimation is repaired with Heun method.


ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Rahmawati Risma Wijaya

NIM : 123114007

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

Menyelesaikan Model Ross dengan Menggunakan Metode Heun

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan

ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 17 Januari 2017

Yang menyatakan



x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat

yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.

Banyak tantangan dalam proses penulisan makalah ini, namun dengan penyertaan

Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya makalah ini dapat

diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi.

2. Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Kepala Program Studi

Matematika sekaligus dosen pembimbing yang dengan sabar dan penuh

antusias dalam membimbing selama proses penulisan tugas akhir ini.

3. Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc. selaku Bapak dan Ibu Dosen Program Studi

Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat bagi

penulis.

4. Kedua orang tuaku, Sumadi dan Kristini, dan adikku Ginza Yeremia Mey

Adhi Rhizma yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan

memberikan masukkan positif kepadaku.

5. Wisnu Adi Putra yang telah memberikan semangat dan dukungan

kepadaku dengan penuh kasih.


xi

6. Sahabat-sahabatku di Program Studi Matematika, Sila, Putri, Ega, Bobi,

Lia, Arum, Dewi, Amanda, Ferni, Juli, Happy, Anggun, Noni, Ilga, Oxi,

Ajeng, Budi, Rian, Tika yang selalu setia mendengar keluh kesah,

menemani dan memeberi semangat yang sangat berarti.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu dalam penyusunan makalah ini.

Yogyakarta, 17 Januari 2017

Penulis,



xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi

ABSTRAK .......................................................................................................... vii

ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS ....................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................... ix

KATA PENGANTAR .......................................................................................... x

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... xiv

DAFTAR TABEL ............................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

A. Latar Belakang ......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................... 4

C. Pembatasan Masalah ................................................................................ 4

D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 4


xiii

E. Manfaat Penulisan .................................................................................... 4

F. Metode Penulisan ..................................................................................... 5

G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 5

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................. 7

A. Persamaan Diferensial ............................................................................... 7

B. Sistem Persamaan Diferensial ................................................................... 9

C. Titik Kesetimbangan ............................................................................... 10

D. Metode Euler ........................................................................................... 10

E. Metode Heun ........................................................................................... 16

BAB III MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN

METODE HEUN .............................................................................................. 22

A. Model Ross ............................................................................................. 22

B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler ......................... 38

C. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Heun ......................... 41

BAB V PENUTUP ............................................................................................. 45

A. Kesimpulan ............................................................................................ 45

B. Saran ........................................................................................................ 46

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 47

LAMPIRAN ....................................................................................................... 48


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Gfrafik Hasil Perhitungan Analitik ................................................. 13

Gambar 2.2 Grafik Hasil Perhitungan Metode Euler .......................................... 15

Gambar 2.3 Grafik Hasil Perhitungan Metode Heun .......................................... 18

Gambar 2.4 Grafik Perbandingan Analitik, Metode Euler dan Metode Heun .... 20

Gambar 2.5 Grafik Error Metode Euler dan Metode Heun ................................ 21

Gambar 3.1 Grafik Fraksi Infeksi ....................................................................... 37

Gambar 3.2 Grafik Model Ross Menggunakan Metode Euler ........................... 40

Gambar 3.2 Grafik Model Ross Menggunakan Metode Heun ........................... 43


xv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Hasil Perhitungan Analitik .................................................................. 12

Tabel 2.2 Hasil Perhitungan Metode Euler ......................................................... 14

Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Metode Heun ......................................................... 17

Tabel 2.4 Perbandingan Analitik, Metode Euler dan Metode Heun ................... 19

Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Euler ............. 39

Tabel 3.2 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Heun ............. 42


1

BAB I

MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN


A. Latar Belakang

Ronald Ross lahir pada tahun 1857 di India Utara. Selama cuti

pada tahun 1894, Ross mulai mempelajari penyakit malaria. Ross bertemu

dengan Landon Patrick Manson, seorang spesialis kedokteran tropis, yang

menunjukkan hasil penelitian mikroskop dokter Alphonse Laveran pada

tahun 1880 mengenai darah pasien penyakit malaria yang mengandung

parasit. Manson mengasumsikan bahwa parasit bisa datang dari nyamuk.

Manson percaya bahwa manusia terinfeksi oleh parasit ketika minum air

yang terkontaminasi oleh nyamuk. Dari 1895 sampai 1898, Ross

melanjutkan penelitian di India dan menguji ide Manson. Pada tahun 1897

Ross menemukan di dalam perut spesies nyamuk tertentu yang belum

pernah ia pelajari sebelumnya beberapa parasit serupa dengan yang

diamati oleh Laveran. Ross menemukan parasit di kelenjar ludah nyamuk

Anopheles dan mencoba melakukan eksperimen untuk menginfeksi

burung sehat dengan membiarkan nyamuk menggigit mereka. Ini

membuktikan bahwa malaria ditularkan oleh gigitan nyamuk dan bukan

oleh konsumsi air yang terkontaminasi. Ross melakukan perjalanan ke

Afrika, Mauritius, dan daerah Mediterranea untuk mempromosikan

pembasmian nyamuk. Metode ini berhasil di Mesir sepanjang terusan

1


2

Suez, sepanjangterusan Panama yang sedang dibangun, Kuba dan

Malaysia. Ross mengklaim bahwa malaria bisa diberantas hanya dengan

mengurangi jumlah nyamuk. Pada tahun 1911, Ross mencoba untuk

membangun model matematika dari penularan malaria untuk mendukung

klaimnya. Modelnya terdiri dari sistem dua persamaan diferensial.

Notasi yang digunakan sebagai berikut:

N: jumlah populasi manusia di daerah tertentu;

I (t): jumlah manusia yang terinfeksi malaria pada waktu t;

n: jumlah populasi nyamuk (diasumsikan konstan);

i (t): jumlah nyamuk yang terinfeksi malaria;

b: frekuensi nyamuk menggigit;

p: Probabilitas transmisi malaria dari manusia ke nyamuk setiap satu

gigitan;

p’ : probabilitas transmisi malaria dari nyamuk ke manusia setiap satu

gigitan;

a : tingkat di mana manusia pulih dari malaria;

m: tingkat kematian nyamuk per hari.

Selama interval waktu pendek dt, setiap nyamuk yang terinfeksi menggigit

bdt manusia dan 𝑁−𝐼

𝑁 adalah proporsi manusia yang belum terinfeksi.

Dengan memperhitungkan probabilitas transmisi p’ terdapat bp’i𝑁−𝐼

𝑁 𝑑𝑡

manusia baru yang terinfeksi. Selama interval waktu yang sama, jumlah

manusia yang disembuhkan adalah aI dt, sehingga


3

𝑑𝐼

𝑑𝑡=bp’i

𝑁−𝐼

𝑁− 𝑎𝐼.

Demikian pula setiap nyamuk yang tidak terinfeksi menggigit b dt

manusia, dan 𝐼

𝑁 adalah proporsi manusia yang sudah terinfeksi. Dengan

memperhitungkan probabilitas transmisi p terdapat bp(n-i)𝐼

𝑁 𝑑𝑡 nyamuk

baru yang terinfeksi. Sementara itu, dengan asumsi bahwa infeksi tidak

mempengaruhi kematian, jumlah nyamuk yang mati adalah mi dt. Jadi,

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)

𝐼

𝑁− 𝑚𝑖.

Ross mencari nilai-nilai numerik untuk parameterdari modelnya. Ia

berasumsi bahwa :

1. Kematian nyamuk adalah sedemikian rupa sehingga hanya

sepertiga dari mereka yang masih hidup setelah sepuluh hari, jadi

𝑒−10𝑚 = 1

3 dan 𝑚 = (log 3)/10 per hari;

2. Setelah tiga bulan manusia masih terinfeksi, jadi 𝑒−90𝑎 = 1/2 dan

𝑎 = (log 2)/90 per hari;

3. Satu dari delapan gigitan nyamuk setiap hari, jadi 𝑒−𝑏 = 1/8 dan

𝑏 = log (8

7) per hari;

4. Nyamuk yang terinfeksi biasanya tidak menular selama sepuluh

hari pertama setelah infeksi karena parasit harus melalui beberapa

tahap transformasi. Karena sepertiga dari nyamuk bisa bertahan

sepuluh hari, Ross mengasumsikan bahwa ada juga sekitar

sepertiga dari semua nyamuk yang terinfeksi yang

menularkan: 𝑝′ = 1/3;


4

5. Ross mengasumsikan bahwa ada juga sekitar seperempat dari

semua manusia yang terinfeksi yang menularkan: 𝑝 = 1/4.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana memodelkan penyebaran penyakit malaria ?

2. Bagaimana menyelesaikan model Ross menggunakan metode Heun?

C. Batasan Masalah

Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:

Dalam menyelesaikan model Ross, penulis hanya akan menggunakan

metode Heun.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk menyelesaikan

model Ross dengan menggunakan metode Heun.

E. Manfaat penulisan

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah

kita dapat mengetahui bagaimana cara menyelesaikan model Ross

menggunakan metode Heun.


5

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah

metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku

atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan metode Ross.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

A. Persamaan Diferensial

B. Sistem Persamaan Diferensial

C. Titik Kesetimbangan

D. Metode Euler

E. Metode Heun

BABIII MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN


A. Model Ross


6

B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler

C. Penyelesain Model Ross Menggunakan Metode Heun

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


7

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Persamaan Diferensial

Definisi 2.1 Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial adalah persamaan yang memuat suatu

fungsi dan turunan-turunannya. Jika fungsi yang tidak diketahui

mempunyai satu variabel bebas, misalnya 𝑦 = 𝑓(𝑥) maka Persamaan

Diferensial tersebut disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Turunan-

turunan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah 𝑑𝑦

𝑑𝑥,

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2,

𝑑3𝑦

𝑑𝑥2, …

Contoh 2.1

𝜕𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝑦

𝜕𝑡+ 𝑥𝑦 = 5

Definisi 2.2 Orde Persamaan Diferensial

Orde Persamaan Diferensial adalah orde turunan tertinggi yang

terlibat dalam Persamaan Diferensial. PDB linear berorde 𝑛 mempunyai

bentuk 𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+ … + 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) ,

dengan 𝑎0(𝑥) ≠ 0.

Ciri-ciri Persamaan Diferensial linear :

1. Dalam satu suku tidak ada perkalian (pembagian) antara 𝑦 dengan 𝑦

atau turunannya.

7


8

2. Dalam satu suku tidak ada fungsi transendental (trigonometri,

logaritma, eksponen, dll) dari fungsi 𝑦 atau turunannya.

Definisi 2.3 Solusi Persamaan Diferensial

Solusi (penyelesaian) Persamaan Diferensial adalah fungsi yang

memenuhi Persamaan Diferensial. Bentuk solusi Persamaan Diferensial

bisa eksplisit 𝑦 = 𝑓(𝑥) ataupum implisit 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0. Suatu Persamaan

Diferensial bisa juga tidak mempunyai solusi dalam himpunan bilangan

real, tetapi mempunyai solusi dalam himpunan bilangan kompleks, solusi

ini disebut solusi formal Persamaan Diferensial.

Penyelesaian Persamaan Diferensial tidak tunggal, sehingga

penyelesaian Persamaan Diferensial membentuk keluarga fungsi dan

disebut keluarga penyelesaian Persamaan Diferensial.

Contoh 2.2

Persamaan Diferensial 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 mempunyai keluarga penyelesaian 𝑦 =

𝑥2 + 𝑐, 𝑐 adalah konstan dan disebut parameter.

Definisi 2.4 Masalah Nilai Awal (MNA)

Masalah Nilai Awal (MNA) adalah suatu Persamaan Diferensial yang

dilengkapi dengan data pada satu titik awal domain.


9

Definisi 2.5 Masalah Nilai Batas (MNB)

Masalah Nilai Batas adalah Persamaan Diferensial yang dilengkapi data

pada titik-titik batas domain.

B. Sistem Persamaan Diferensial

Definisi 2.6 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat 𝑛

buah persamaan diferensial dan 𝑛 buah fungsi yang nilainya tidak

diketahui.

Sistem persamaan diferensial linear dinyatakan dalam bentuk

sebagai berikut:

𝑑𝑥1𝑑𝑡

= 𝑝11(𝑡)𝑥1 + 𝑝12(𝑡)𝑥2 + … + 𝑝1𝑛(𝑡)𝑥𝑛 + 𝑓1(𝑡)

𝑑𝑥2𝑑𝑡

= 𝑝21(𝑡)𝑥1 + 𝑝22(𝑡)𝑥2 + … + 𝑝2𝑛(𝑡)𝑥𝑛 + 𝑓2(𝑡)

.

. (2.1)

. 𝑑𝑥𝑛𝑑𝑡

= 𝑝𝑛1(𝑡)𝑥1 + 𝑝𝑛2(𝑡)𝑥2 + … + 𝑝𝑛𝑛(𝑡)𝑥𝑛 + 𝑓𝑛(𝑡)

dengan kondisi awal 𝑥𝑖(𝑡0) = 𝛼𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Solusi dari persamaan di atas adalah pasangan 𝑛 buah fungsi yaitu

𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡) yang saling berkaitan satu sama lainnya terhadap

interval yang sama.


10

C. Titik Kesetimbangan

Dengan memperhatikan titik-titik kesetimbangan dari sistem

persamaan diferensial (2.1) dapat membantu dalam menentukan apakah

titik-titik kesetimbangan stabil atau tidak.

Definisi 2.7 Titik Kesetimbangan

Nilai atau titik kesetimbangan adalah solusi dari persamaan 𝑦′ =

𝑔(𝑥, 𝑦) ≡ 0 atau 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≡ 𝑐, untuk nilai sembarang 𝑥.

Titik kesetimbangan 𝑥∗ dikatakan stabil jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0

terdapat bilangan 𝛿 > 0 sedemikian hingga |𝑥0 − 𝑥∗| < 𝛿 berlaku

|𝑥(𝑡) − 𝑥∗| < 𝜀 untuk setiap 𝑡 > 0.

D. Metode Euler

Definisi 2.8 Solusi Numeris

Solusi numeris merupakan hampiran (aproksimasi) dari solusi analisis.

Berikut adalah Persamaan Diferensial tingkat satu :

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑦(𝑎) = 𝛽 (2.2)

Tahap awal penyelesaian pendekatan numerik adalah dengan menentukan

titik-titik dalam jarak yang sama pada interval [𝑎, 𝑏], yaitu dengan

menerapkan 𝑡𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ, 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 dengan ℎ menyatakan jarak antar

titik yang dirumuskan oleh ℎ =𝑏−𝑎

𝑛. Metode Euler menghampiri turunan

pertama di 𝑡 = 𝑡𝑖 dalam persamaan (2.2) dengan persamaan


11

𝑦𝑖′ =

𝑑𝑦𝑖𝑑𝑡

≈𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖

=𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖

ℎ

Pada saat 𝑡 = 1 persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai

𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖ℎ

≈ 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖)

Jadi metode Euler mendapatkan barisan numerik {𝑦𝑖}𝑖=0𝑛 yang dinyatakan

sebagai

𝑦0 = 𝛽

𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖), 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 (2.3)

Contoh 2.3

Selesaikan Persamaan Diferensial berikut :

𝑦′(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1, 0 < 𝑡 < 2 , 𝑦(0) = 0.5

secara analitik.

Penyelesaian:

Solusi persamaan diferensial homogen 𝑦′(𝑡) − 𝑦(𝑡) = 0 dari persamaan

diferensial nonhomogen di atas adalah 𝑦𝑐 = 𝑐𝑒𝑡, sebab persamaan

karakteristiknya yaitu 𝑚 − 1 = 0 memiliki tepat satu akar 𝑚 = 1.

Akan dicari solusi yang terkait dengan 𝐹(𝑡) = −𝑡2 + 1 dengan metode

koefisien tak tentu.

Himpunan koefisien tak tentu dari −𝑡2 + 1 adalah {𝑡2, 𝑡, 1}.

Dibentuk kombinasi linear 𝑦𝑝 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶.

Substitusi 𝑦𝑝 ke persamaan diferensial awal menghasilkan

2𝐴𝑡 + 𝐵 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶 − 𝑡2 + 1


12

𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 − 2𝐴𝑡 + 𝐶 − 𝐵 = 𝑡2 − 1

𝐴𝑡2 + (𝐵 − 2𝐴)𝑡 + 𝐶 − 𝐵 = 𝑡2 − 1

Sehingga diperoleh 𝐴 = 1, 𝐵 = 2, 𝐶 = 1

Jadi 𝑦𝑝 = 𝑡2 + 2𝑡 + 1

Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah

𝑦(𝑡) = 𝑦𝑐(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡) = 𝑐𝑒𝑡 + 𝑡2 + 2𝑡 + 1

Diketahui 𝑦(0) = 0.5 maka 𝑐 + 1 = 0.5 jadi 𝑐 = −0.5. Akibatnya solusi

persamaan diferensial dari masalah nilai awal tersebut adalah

𝑦(𝑡) = −0.5𝑒𝑡 + 𝑡2 + 2𝑡 + 1

Dari solusi di atas diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.1 di bawah ini.

Tabel 2.1 Hasil Perhitungan Analitik

𝑡𝑖 Analitik

0 0.5000

0.2 0.8293

0.4 1.2141

0.6 1.6489

0.8 2.1272

1.0 2.6409

1.2 3.1799

1.4 3.7324

1.6 4.2835

1.8 4.8152


13

2.0 5.3055

Dari penyelesaian di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar 2.1 di

bawah ini.

Gambar 2.1 Grafik Hasil Perhitungan Analitik

Contoh 2.4


𝑦′(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1, 0 < 𝑡 < 2 , 𝑦(0) = 0.5

Menggunakan metode Euler dengan 𝑛 = 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t

y


14

Penyelesaian :

Dicari jarak antar titik dalam interval [0,2] yaitu ℎ =2−0

10= 0.2

Sehingga mempunyai titik-titik diskrit yang dihasilkan oleh

𝑡𝑖 = 0 + 𝑖(0.2) = (0.2)𝑖, 𝑖 = 0,1, … ,10

yaitu

𝑡0 = 0, 𝑡1 = 0.2, 𝑡2 = 0.4, 𝑡3 = 0.6, 𝑡4 = 0.8, 𝑡5 = 1.0, 𝑡6 = 1.2, 𝑡7 = 1.4,

𝑡8 = 1.6, 𝑡9 = 1.8, 𝑡10 = 2.0

Karena diketahui 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1 dan 𝑦(0) = 0.5

Maka persamaan Euler dapat dinyatakan sebagai

𝑦0 = 0.5

𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + 0.2(𝑦𝑖 − 𝑡𝑖2 + 1) , 𝑖 = 0,1,2, … ,9


Tabel 2.2 Hasil Peritungan Metode Euler

𝑡𝑖 Euler

0 0.5000

0.2 0.7920

0.4 1.1184

0.6 1.4701

0.8 1.8361

1.0 2.2033

1.2 2.5560

1.4 2.8752


15

Dari perhitungan di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar 2.1 di

bawah ini.

Gambar 2.2 Grafik Hasil Perhitungan Metode Euler

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5

1

1.5

2

2.5

3

t

y

1.6 3.1382

1.8 3.3179

2.0 3.3814


16

E. Metode Heun

Metode Heun memperbaiki taksiran turunan pertama dengan mengambil

rata-rata dari kedua turunan pada titik-titik ujung subinterval. Turunan di

titik awal subinterval [𝑡𝑖 , 𝑡𝑖+1] yaitu 𝑦𝑖′ = 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖).

Taksiran untuk 𝑦𝑖+1dihitung menggunakan metode Euler :

𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) (2.4)

Yang selanjutnya digunakan untuk menaksir turunan di titik akhir

subinterval :𝑦′𝑖+1 = 𝑓(𝑡𝑖+1, 𝑦𝑖+1) ≈ 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖)).

Diperoleh rata-rata turunan pertama di 𝑡 = 𝑡𝑖 yaitu

𝑦′𝑖 ≈𝑓(𝑡𝑖,𝑦𝑖)+𝑓(𝑡𝑖+ℎ,𝑦𝑖+ℎ𝑓(𝑡𝑖,𝑦𝑖))

2 (2.5)

Jadi, metode Heun diperoleh dengan mengganti 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) pada persamaan

(2.4) dengan ruas kanan dari persamaan (2.5) :

𝑦0 = 𝛽

𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 +ℎ

2[𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖))]

dengan 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1.

Contoh 2.5


𝑦′(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1, 0 < 𝑡 < 2 , 𝑦(0) = 0.5

Menggunakan metode Heun dengan 𝑛 = 10

Penyelesaian :

Dicari jarak antar titik dalam interval [0,2] yaitu ℎ =2−0

10= 0.2


17

Sehingga mempunyai titik-titik diskrit yang dihasilkan oleh

𝑡𝑖 = 0 + 𝑖(0.2) = (0.2)𝑖, 𝑖 = 0,1, … ,10

yaitu

𝑡0 = 0, 𝑡1 = 0.2, 𝑡2 = 0.4, 𝑡3 = 0.6, 𝑡4 = 0.8, 𝑡5 = 1.0, 𝑡6 = 1.2, 𝑡7 = 1.4,

𝑡8 = 1.6, 𝑡9 = 1.8, 𝑡10 = 2.0

Karena diketahui 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1 dan 𝑦(0) = 0.5

Maka persamaan Heun dapat dinyatakan sebagai

𝑦0 = 0.5

𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 +0.2

2((𝑦𝑖 − 𝑡𝑖

2 + 1) + ((𝑦𝑖 + 0.2(𝑦𝑖 − 𝑡𝑖2 + 1)) − 𝑡𝑖

2 + 1))

Untuk 𝑖 = 0,1,2, … ,9


Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Metode Heun

𝑡𝑖 Heun

0 0.5000

0.2 0.8212

0.4 1.1867

0.6 1.5885

0.8 2.0172

1.0 2.4610

1.2 2.9056

1.4 3.3336

1.6 3.7238


18

1.8 3.7238

2.0 4.2814

Dari perhitungan di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar 2.2 di

bawah ini.

Gambar 2.3 Grafik Hasil Perhitungan Metode Heun

Dari contoh 2.3, contoh 2.4 dan contoh 2.5 di atas kita dapat simpulkan

dengan Tabel 2.1 dan Gambar 2.4 di bawah ini.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

y


19

Tabel 2.4 Perbandingan Hasil Perhitungan Analitik, Metode Euler,

Metode Heun dan Errornya

𝑡𝑖 Analitik Euler Heun Error Euler Error Heun

0 0.5000 0.5000 0.5000 0 0

0.2 0.8293 0.7920 0.8212 0.0373 0.0081

0.4 1.2141 1.1184 1.1867 0.0957 0.0274

0.6 1.6489 1.4701 1.5885 0.1788 0.0604

0.8 2.1272 1.8361 2.0172 0.2911 0.1100

1.0 2.6409 2.2033 2.4610 0.4376 0.1799

1.2 3.1799 2.5560 2.9056 0.6239 0.2743

1.4 3.7324 2.8752 3.3336 0.8572 0.3988

1.6 4.2835 3.1382 3.7238 1.1453 0.5597

1.8 4.8152 3.3179 3.7238 1.4973 1.0914

2.0 5.3055 3.3814 4.2814 1.9241 1.0181

Dari Tabel 2.1 di atas dapat kita lihat penyelesaian dengan menggunakan

metode Euler dan metode Heun menghasilkan nilai yang berbeda. Dan dari

tabel di atas juga ditunjukan error keduanya. Dari error tersebut kita dapat

mengatahui bahwa hasil metode Heun lebih akurat dibanding dengan hasil

metode Euler. Perbedaan ketiga metode di atas dapat kita lihat pada

Gambar 2.4.


20

Gambar 2.4 Grafik Perbandingan Hasil Perhitungan Analitik,

Metode Euler, dan Metode Heun

Pada Gambar 2.4 grafik warna merah menunjukkan hasil

perhitungan secara analitik, grafik warna hijau menunjukkan hasil

perhitungan menggunakan metode Heun, dan grafik warna biru

menunjukkan hasilm perhitungan menggunakan metode Euler. Dari grafik

di atas kita dapat melihat lebih jelas tingkat keakuratan kedua metode ter-

sebut. Metode Heun lebih akurat disbanding dengan metode Euler.

Berikut diberikan grafik error Euler dan error Heun pada Gambar 2.5.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t

y


21

Gambar 2.5 Grafik Perbandingan Error Metode Euler dan

Metode Heun

Pada Gambar 2.5 grafik berwarna hijau menunjukkan error Heun

dan grafik berwarna biru menunjukkan error Euler. Dari grafik tersebut

terlihat jelas bahwa error Euler lebih tinggi dibandingkan dengan error

Heun.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t

err

or


22

BAB III

MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN

METODE HEUN

A. Model Ross

Model Ross terdiri dari sistem dua persamaan diferensial.

Notasi yang digunakan sebagai berikut:

N : jumlah populasi manusia di daerah tertentu;

I (t): jumlah manusia yang terinfeksi malaria pada waktu t;

n: jumlah populasi nyamuk (diasumsikan konstan);

i (t): jumlah nyamuk yang terinfeksi malaria;

b: frekuensi nyamuk menggigit per hari;

p: Probabilitas transmisi malaria dari manusia ke nyamuk dalam satu

gigitan;

p’ : probabilitas transmisi malaria dari nyamuk ke manusia dalam satu

gigitan;

a : tingkat manusia pulih dari malaria per hari;

m: tingkat kematian nyamuk per hari.

Selama interval waktu pendek dt, setiap nyamuk yang terinfeksi menggigit

b dt manusia. 𝑁−𝐼

𝑁 adalah proporsi manusia yang belum terinfeksi. Dengan

memperhitungkan probabilitas transmisi p’ terdapat bp’i𝑁−𝐼

𝑁 𝑑𝑡 manusia

baru yang terinfeksi. Selama interval waktu yang sama, jumlah manusia

yang disembuhkan adalah aI dt, sehingga

22


23

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝑏𝑝′𝑖

𝑁−𝐼

𝑁− 𝑎𝐼.

Demikian pula setiap nyamuk yang tidak terinfeksi menggigit b dt

manusia, dimana 𝐼

𝑁 adalah proporsi manusia yang sudah terinfeksi. Dengan

memperhitungkan probabilitas transmisi p terdapat bp(n-i)𝐼

𝑁 𝑑𝑡nyamuk

baru yang terinfeksi. Sementara itu, dengan asumsi bahwa infeksi tidak

mempengaruhi kematian, jumlah nyamuk yang mati adalah mi dt. Jadi,

𝑑𝑖


𝐼

𝑁− 𝑚𝑖.

Teorema 3.1

Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi 𝑖(𝑡) tetap konstan terhadap

waktu 𝑑𝐼

𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 maka 𝑖 = 𝑛

1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1+𝑚 𝑏𝑝⁄.

Bukti 1:

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)𝐼

𝑁− 𝑚𝑖 = 0

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)𝐼

𝑁= 𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)𝐼 = 𝑁𝑚𝑖

𝐼 =𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)

Selalu setimbang ketika 𝐼 = 0 dan 𝑖 = 0

𝑏𝑝′𝑖 𝑁 − 𝐼

𝑁− 𝑎𝐼 = 0

Substitusi 𝐼 yang sudah diperoleh ke dalam persamaan di atas.


24

𝑏𝑝′𝑖 (𝑁 − 𝑁𝑚𝑖 𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)⁄

𝑁) − 𝑎 (

𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 0

𝑏𝑝′𝑖 (𝑁

𝑁−

𝑁𝑚𝑖

𝑁𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) − 𝑎 (

𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 0

𝑏𝑝′𝑖 (1 −𝑁𝑚𝑖

𝑁𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) − 𝑎 (

𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 0

𝑏𝑝′𝑖 (1 −𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) − 𝑎 (

𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 0

𝑏𝑝′𝑖 (𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)−

𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 𝑎 (

𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖))

𝑏𝑝′𝑖 (𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖) − 𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 𝑎 (

𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖))

Kemudian kedua ruas dikalikan dengan 𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖).

𝑏𝑝′𝑖(𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖) − 𝑚𝑖) = 𝑎(𝑁𝑚𝑖)

𝑏𝑝′𝑖(𝑏𝑝𝑛 − 𝑏𝑝𝑖 − 𝑚𝑖) = 𝑎𝑁𝑚𝑖

𝑏2𝑝𝑝′𝑛𝑖 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑖2 − 𝑏𝑝′𝑚𝑖2 = 𝑎𝑁𝑚𝑖

𝑏2𝑝𝑝′𝑛𝑖 = 𝑏2𝑝𝑝′𝑖2 + 𝑏𝑝′𝑚𝑖2 + 𝑎𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)𝑖2 + (𝑎𝑁𝑚 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)𝑖 = 0

𝑖[𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)𝑖 + (𝑎𝑁𝑚 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)] = 0

𝑖 = 0

Atau

𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)𝑖 + 𝑎𝑁𝑚 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 = 0

𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)𝑖 = −𝑎𝑁𝑚 + 𝑏2𝑝𝑝′𝑛

𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁𝑚

𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚

Dengan menggunakan sifat distributif, penyebut diubah menjadi


25

𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚), sehingga

𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁

𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)

𝑖 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁

𝑏𝑝′) (

1

𝑏𝑝 + 𝑚)

Kemudian (𝑏2𝑝𝑝′𝑛−𝑎𝑚𝑁

𝑏𝑝′) (

1

𝑏𝑝+𝑚) dikalikan dengan

𝑏𝑝

𝑏𝑝, diperoleh


𝑏2𝑝𝑝′) (

𝑏𝑝

𝑏𝑝 + 𝑚)

𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′⁄⁄

(𝑏𝑝 + 𝑚) 𝑏𝑝⁄

𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁𝑚𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄⁄

𝑏𝑝 𝑏𝑝 + 𝑚 𝑏𝑝⁄⁄

𝑖 =𝑛 − 𝑎𝑚𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄

𝑖 = 𝑛1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄

Terbukti ketika 𝑑𝐼

𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 dan untuk 𝑖 ≠ 0, diperoleh

𝑖 = 𝑛1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1+𝑚 𝑏𝑝⁄

Bukti 2:

Untuk membuktikan 𝑖 = 𝑛1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1+𝑚 𝑏𝑝⁄ dapat dilakukan dengan cara lain,

yaitu dengan mengalikan persamaan kesetimbangan tersebut dengan 1 𝐼𝑖⁄ ,

sebagai berikut :

(𝑏𝑝′𝑖𝑁 − 𝐼

𝑁− 𝑎𝐼) (

1

𝐼𝑖) = 0


26

(𝑏𝑝′𝑖𝑁 − 𝑏𝑝′𝑖𝐼

𝑁− 𝑎𝐼) (

1

𝐼𝑖) = 0

(𝑏𝑝′𝑖𝑁 − 𝑏𝑝′𝑖𝐼 − 𝑎𝐼𝑁

𝑁) (

1

𝐼𝑖) = 0

𝑏𝑝′𝑖𝑁 − 𝑏𝑝′𝑖𝐼 − 𝑎𝐼𝑁

𝑁𝐼𝑖= 0

𝑏𝑝′𝑖𝑁

𝑁𝐼𝑖−

𝑏𝑝′𝑖𝐼

𝑁𝐼𝑖−

𝑎𝐼𝑁

𝑁𝐼𝑖= 0

𝑏𝑝′

𝐼−

𝑏𝑝′

𝑁−

𝑎

𝑖= 0

𝑏𝑝′

𝐼−

𝑎

𝑖=

𝑏𝑝′

𝑁

Sehingga untuk persamaan pertama diperoleh :

𝑏𝑝′

𝐼−

𝑎

𝑖=

𝑏𝑝′

𝑁

Untuk persamaan yang kedua sama dengan persamaan pertama di atas

dikali dengan 1 𝐼𝑖⁄

(𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)𝐼

𝑁− 𝑚𝑖) (

1

𝐼𝑖) = 0

((𝑏𝑝𝑛 − 𝑏𝑝𝑖)𝐼

𝑁− 𝑚𝑖) (

1

𝐼𝑖) = 0

(𝑏𝑝𝑛𝐼 − 𝑏𝑝𝑖𝐼 − 𝑚𝑖𝑁

𝑁) (

1

𝐼𝑖) = 0

𝑏𝑝𝑛𝐼 − 𝑏𝑝𝑖𝐼 − 𝑚𝑖𝑁

𝑁𝐼𝑖= 0

𝑏𝑝𝑛𝐼

𝑁𝐼𝑖−

𝑏𝑝𝑖𝐼

𝑁𝐼𝑖−

𝑚𝑖𝑁

𝑁𝐼𝑖= 0

𝑏𝑝𝑛

𝑁𝑖−

𝑏𝑝

𝑁−

𝑚

𝐼= 0


27

−𝑚

𝐼+

𝑏𝑝𝑛

𝑁𝑖=

𝑏𝑝

𝑁

Diperoleh solusi yang mudah, yaitu :

𝑏𝑝′

𝐼−

𝑎

𝑖=

𝑏𝑝′

𝑁

−𝑚

𝐼+

𝑏𝑝𝑛

𝑁𝑖=

𝑏𝑝

𝑁

Misalkan : 1

𝐼= 𝑥 dan

1

𝑖= 𝑦

Maka

𝑏𝑝′1

𝐼− 𝑎

1

𝑖=

𝑏𝑝′

𝑁

𝑏𝑝′𝑥 − 𝑎𝑦 =𝑏𝑝′

𝑁 ..................(*)

−𝑚1

𝐼+ (

𝑏𝑝𝑛

𝑁) (

1

𝑖) =

𝑏𝑝

𝑁

−𝑚𝑥 +𝑏𝑝𝑛

𝑁𝑦 =

𝑏𝑝

𝑁 .....................(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh :

𝑏𝑝′𝑥 − 𝑎𝑦 =𝑏𝑝′

𝑁 (3.1)


𝑁𝑦 =

𝑏𝑝

𝑁 (3.2)

Untuk memperoleh 𝑦 digunakan cara eliminasi dan subsitusi, sehingga

𝑏𝑝′𝑚𝑥 − 𝑎𝑚𝑦 =𝑏𝑝′𝑚

𝑁

−𝑏𝑝′𝑚𝑥 +𝑏2𝑝𝑝′𝑛

𝑁𝑦 =

𝑏2𝑝𝑝′

𝑁

+

−𝑎𝑚𝑦 +𝑏2𝑝𝑝′𝑛

𝑁𝑦 =

𝑏𝑝′𝑚

𝑁+

𝑏2𝑝𝑝′

𝑁


28

−𝑎𝑚𝑁 + 𝑏2𝑝𝑝′

𝑁𝑦 =

𝑏𝑝′𝑚 + 𝑏2𝑝𝑝′

𝑁

𝑦 = (𝑏𝑝′𝑚 + 𝑏2𝑝𝑝′

𝑁) (

𝑁

−𝑎𝑚𝑁 + 𝑏2𝑝𝑝′)

Kemudian (𝑏𝑝′𝑚+𝑏2𝑝𝑝′

𝑁) (

𝑁

−𝑎𝑚𝑁+𝑏2𝑝𝑝′) dikalikan dengan

𝑁

𝑁, sehingga

diperoleh

𝑦 =𝑏𝑝′𝑚 + 𝑏2𝑝𝑝′

−𝑎𝑚𝑁 + 𝑏2𝑝𝑝′

𝑦 =𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚

𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁

Karena 1

𝑖= 𝑦 maka

𝑦 =1

𝑖

𝑖 =1

𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚 𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁⁄

𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁



𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)


𝑏𝑝′) (

1

𝑏𝑝 + 𝑚)


𝑏𝑝′) (

1


𝑏𝑝

𝑏𝑝, diperoleh


𝑏2𝑝𝑝′) (

𝑏𝑝

𝑏𝑝 + 𝑚)

𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′⁄⁄

(𝑏𝑝 + 𝑚) 𝑏𝑝⁄


29

𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁𝑚𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄⁄

𝑏𝑝 𝑏𝑝 + 𝑚 𝑏𝑝⁄⁄

𝑖 =𝑛 − 𝑎𝑚𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄

𝑖 = 𝑛1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄


𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 dan untuk 𝑖 ≠ 0, diperoleh

𝑖 = 𝑛1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1+𝑚 𝑏𝑝⁄

Teorema 3.2

Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi 𝑖(𝑡) tetap konstan terhadap

waktu 𝑑𝐼

𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 maka 𝐼 = 𝑁

1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1+𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄.

Bukti 1:

Untuk 𝑖 = 0 maka 𝐼 = 0

Untuk



Maka

𝐼 =𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)

Subsitusi 𝑖 ke dalam persamaan 𝐼 =𝑁𝑚𝑖

𝑏𝑝(𝑛−𝑖), sehingga

𝐼 =𝑁𝑚[(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)]⁄

𝑏𝑝[𝑛 − (𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)]⁄

𝐼 =(𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚2𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)⁄

𝑏𝑝[(𝑛(𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚) − (𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)]⁄⁄


30


𝑏𝑝[(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝′𝑚𝑛 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)]⁄


𝑏𝑝[(𝑏𝑝′𝑚𝑛 + 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)]⁄


(𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)⁄

𝐼 = (𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚2𝑁

𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚) (


𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁)

Kemudian (𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛−𝑎𝑚2𝑁

𝑏2𝑝𝑝′+𝑏𝑝′𝑚) (

𝑏2𝑝𝑝′+𝑏𝑝′𝑚

𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛+𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁) dikalikan dengan

𝑏2𝑝𝑝′+𝑏𝑝′𝑚

𝑏2𝑝𝑝′+𝑏𝑝′𝑚, sehingga diperoleh

𝐼 =𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚2𝑁

𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁

Dengan menggunakan sifat distributif diperoleh

𝐼 =𝑁𝑚(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)

𝑏𝑝𝑚(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)

𝐼 =𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)

𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)

𝐼 =𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2


𝐼 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2

𝑏𝑝) (

1

𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)

Kemudian (𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛−𝑎𝑚𝑁2

𝑏𝑝) (

1

𝑏𝑝′𝑛+𝑎𝑁) dikalikan dengan

𝑏𝑝′𝑛

𝑏𝑝′𝑛, sehingga

diperoleh


𝑏2𝑝𝑝′𝑛) (

𝑏𝑝′𝑛



31

𝐼 =(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2) 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) 𝑏𝑝′𝑛⁄

𝐼 =(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛) − (𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)⁄⁄

(𝑏𝑝′𝑛 𝑏𝑝′𝑛) + (𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛)⁄⁄

𝐼 =𝑁 − 𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄

𝐼 = 𝑁1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄



𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 dan untuk 𝐼 ≠ 0, diperoleh

𝐼 = 𝑁1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1+𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄

Bukti 2:

Untuk membuktikan 𝐼 = 𝑁1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1+𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄ dapat dilakukan dengan cara

lain, yaitu dengan menggunakan persamaan (3.2)


𝑁𝑦 =

𝑏𝑝

𝑁

−𝑚𝑥 + (𝑏𝑝𝑛

𝑁) (


𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) =

𝑏𝑝

𝑁

−𝑚𝑥 +𝑏𝑝𝑛(𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)

𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)=

𝑏𝑝

𝑁

𝑚𝑥 =𝑏𝑝𝑛(𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)

𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)−

𝑏𝑝

𝑁

𝑚𝑥 =𝑏𝑝𝑛(𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚) − 𝑏𝑝(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)

𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)

𝑚𝑥 =𝑏3𝑝2𝑝′𝑛 + 𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 − 𝑏3𝑝2𝑝′𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁



32

𝑚𝑥 =𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁


𝑚𝑥 =𝑚(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑁)


𝑥 = (𝑚(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑁)

𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)) (

1

𝑚)

𝑥 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑁


𝑥 =𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁)


Karena 1

𝐼= 𝑥 maka

𝐼 =1

𝑥

𝐼 =1

𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁) 𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)⁄

𝐼 =𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)

𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁)

𝐼 =𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2



𝑏𝑝) (

1


Kemudian (𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛−𝑎𝑚𝑁2

𝑏𝑝) (

1

𝑏𝑝′𝑛+𝑎𝑁) dikalikan dengan

𝑏𝑝′𝑛


diperoleh



𝑏𝑝′𝑛


𝐼 =(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2) 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄



33

𝐼 =(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛) − (𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)⁄⁄

(𝑏𝑝′𝑛 𝑏𝑝′𝑛) + (𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛)⁄⁄

𝐼 =𝑁 − 𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄





𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 dan untuk 𝐼 ≠ 0, diperoleh

𝐼 = 𝑁1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1+𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄

Teorema 3.3

Jika𝐼 > 0 dan 𝑖 > 0 maka jumlah nyamuk di atas ambang batas kritis 𝑛 >

𝑛∗ =𝑎𝑚𝑁

𝑏2𝑝𝑝′.

Bukti :

Pertama untuk 𝐼 > 0

𝑁1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄> 0

𝑁 − 𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄> 0

(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛) − (𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)⁄⁄

(𝑏𝑝′𝑛 𝑏𝑝′𝑛) + (𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛)⁄⁄> 0

(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2) 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) 𝑏𝑝′𝑛⁄> 0

(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2


𝑏𝑝′𝑛

𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) > 0


34

Kemudian dikalikan(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛−𝑎𝑚𝑁2


𝑏𝑝′𝑛

𝑏𝑝′𝑛+𝑎𝑁) dengan

𝑏𝑝′𝑛


diperoleh

(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2

𝑏𝑝) (

1

𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) > 0

𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2

𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)> 0

𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛

𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)−

𝑎𝑚𝑁2

𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)> 0

𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛

𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑁>

𝑎𝑚𝑁2

𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑁

Kemudian kedua ruas dikalikan dengan 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑁, diperoleh

𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 > 𝑎𝑚𝑁2

𝑛 >𝑎𝑚𝑁2

𝑏2𝑝𝑝′𝑁

𝑛 >𝑎𝑚𝑁

𝑏2𝑝𝑝′

Kedua untuk 𝑖 > 0

𝑛1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄> 0

𝑛 − 𝑎𝑚𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄

1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄> 0

𝑏2𝑝𝑝′𝑛2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁𝑚𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄⁄

𝑏𝑝 𝑏𝑝 + 𝑚 𝑏𝑝⁄⁄> 0

𝑏2𝑝𝑝′𝑛 𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′⁄⁄

(𝑏𝑝 + 𝑚) 𝑏𝑝⁄> 0

(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁

𝑏2𝑝𝑝′) (

𝑏𝑝

𝑏𝑝 + 𝑚) > 0


35


𝑏2𝑝𝑝′) (

𝑏𝑝


𝑏𝑝

𝑏𝑝, diperoleh

(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁

𝑏𝑝′) (

1

𝑏𝑝 + 𝑚) > 0

𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁

𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)> 0


𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚> 0

𝑏2𝑝𝑝′𝑛

𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚−

𝑎𝑚𝑁

𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚> 0

𝑏2𝑝𝑝′𝑛

𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚>

𝑎𝑚𝑁


Kedua ruas dikalian dengan 𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚, diperoleh

𝑏2𝑝𝑝′𝑛 > 𝑎𝑚𝑁

𝑛 >𝑎𝑚𝑁

𝑏2𝑝𝑝′

Jadi terbukti 𝑛 > 𝑛∗ =𝑎𝑚𝑁

𝑏2𝑝𝑝′.

Setelah diselesaikan dengan menggunakan Teorema 2.1 danTeorema 2.2

fraksi infeksi 𝐼 𝑁⁄ pada populasi manusia sebagai fungsi dari rasio 𝑛 𝑁⁄

antara nyamuk dan populasi manusia. Dapat ditunjukkan dengan perhi-

tungan dan grafik pada Gambar 3.1 di bawah ini.

Berikut akan digambar grafik fraksi infeksi 𝐼 𝑁⁄ pada populasi manusia

sebagai fungsi dari rasio 𝑛 𝑁⁄ antara nyamuk dan populasi manusia dengan

parameter-parameter di bawah ini.

Diketahui :

𝑚 = (log 3)/10


36

𝑎 = (log 2)/90

𝑏 = log (8

7)

𝑝′ = 1/3

𝑝 = 1/4

Dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diketahui di atas,

akan digambar grafik sesuai dengan perhitungan di bawah ini.



𝐼

𝑁=

1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄


𝐼

𝑁=

(𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁) 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄


𝐼

𝑁=

(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) 𝑏𝑝⁄

𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁

𝐼

𝑁=


𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑁

𝐼

𝑁=

𝑁

𝑁(

𝑏2𝑝𝑝′(𝑛 𝑁) − 𝑎𝑚⁄

𝑏2𝑝𝑝′(𝑛 𝑁) + 𝑎𝑏𝑝⁄)

𝐼

𝑁= (

𝑏2𝑝𝑝′(𝑛 𝑁) − 𝑎𝑚⁄

𝑏2𝑝𝑝′(𝑛 𝑁) + 𝑎𝑏𝑝⁄)

Misalkan : 𝐼

𝑁= 𝑦 dan

𝑛

𝑁= 𝑥

𝑥𝑖 = 0,1,2, … ,5

𝑦1 =𝑏2𝑝𝑝′𝑥0 − 𝑎𝑚

𝑏2𝑝𝑝′𝑥0 + 𝑎𝑏𝑝= −3.2909


𝑏2𝑝𝑝′𝑥1 + 𝑎𝑏𝑝= 0.3671


37


𝑏2𝑝𝑝′𝑥2 + 𝑎𝑏𝑝= 0.6583


𝑏2𝑝𝑝′𝑥3 + 𝑎𝑏𝑝= 0.7660


𝑏2𝑝𝑝′𝑥4 + 𝑎𝑏𝑝= 0.8221


𝑏2𝑝𝑝′𝑥5 + 𝑎𝑏𝑝= 0.8565

Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.1 di bawah ini

Gambar 3.1 Grafik Fraksi Infeksi 𝑰 𝑵⁄ pada Populasi Manusia

Sebagai Fungsi dari Rasio 𝒏 𝑵⁄ antara Nyamuk dan Populasi

Manusia

Bentuk kurva dalam Gambar 3.1 menunjukkan bahwa fraksi manusia yang

terinfeksi lebih tinggi dari 50% jika rasio 𝑛 𝑁⁄ di atas nilai kritis 𝑛∗ 𝑁⁄ .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n/N

I/N


38

Tetapi fraksi ini tidak berubah banyak ketika rasio 𝑛 𝑁⁄ meningkat lebih

lanjut. Ross mengatakan bahwa nilai numerik dari ambang 𝑛∗ 𝑁⁄ =

0.5694 sangat sensitif terhadap frekuensi jumlah nyamuk menggigit 𝑏

tetapi tidak mengubah bentuk keseluruhan dari kurva tersebut. Penjelasan

kualitatif Ross lebih penting dari hitung-hitungannya karena nilai numerik

dari parameternya tidak pasti.

B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler

Berikut akan digambar grafik menggunakan metode Euler dengan


Diketahui :

𝑚 = (log 3)/10

𝑎 = (log 2)/90

𝑏 = log (8

7)

𝑝′ = 1/3

𝑝 = 1/4

𝑛 = 10

𝑁 = 100


dan dengan menggunakan metode Euler, akan digambar grafik sesuai

dengan perhitungan di bawah ini.


39

𝑡 = [0,100]

ℎ = 0.01

𝐼(1) = 0.5

𝑖(1) = 0.25

𝑓(1) = 𝑏𝑝′𝑖(1)𝑁 − 𝐼(1)

𝑁− 𝑎𝐼(1) = 0.0031

𝐼(2) = 𝐼(1) + ℎ𝑓(1) = 0.5000

𝑔(1) =𝑏𝑝𝑛 − 𝑖(1)𝐼(1)

𝑁− 𝑚𝑖(1) = −0.0112

𝑖(2) = 𝑖(1) + ℎ𝑔(1) = 0.2499

Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Euler

𝑡𝑖 I i

0 0.5000 0.2500

0.01 0.5000 0.2499

0.02 0.5001 0.2498

0.03 0.5001 0.2497

0.04 0.5001 0.2496

0.05 0.5002 0.2494

0.06 0.5002 0.2493

0.07 0.5002 0.2492

0.08 0.5003 0.2491

0.09 0.5003 0.2490

0.10 0.5003 0.2489


40

Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.2 di bawah ini.

Gambar 3.2 Grafik Hasil Perhitungan Model Ross

Menggunakan Metode Euler

Dengan menggunakan metode Euler dan parameter yang sudah

diketahui, diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.2. Pada grafik pertama

berwarna merah menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi malaria

terhadap waktu, grafik kedua berwarna hijau menunjukkan frekuensi

nyamuk yang terinfeksi malaria terhadap waktu, dan grafik ketiga

berwarna biru menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi malaria

terhadap frekuensi nyamuk yang terinfeksi malaria.


41

C. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Heun

Berikut akan digambar grafik menggunakan metode Heun dengan


Diketahui :

𝑚 = (log 3)/10

𝑎 = (log 2)/90

𝑏 = log (8

7)

𝑝′ = 1/3

𝑝 = 1/4

𝑛 = 10

𝑁 = 100


dan dengan menggunakan metode Heun, akan digambar grafik sesuai

dengan perhitungan di bawah ini.

𝑡 = [0,100]

ℎ = 0.01

𝐼(1) = 0.5

𝑖(1) = 0.25

𝑓(1) = 𝑏𝑝′𝑖(1)𝑁 − 𝐼(1)

𝑁− 𝑎𝐼(1) = 0.0031

𝑧(1) = 𝐼(1) + ℎ𝑓(1) = 0.5000

𝑔(1) =𝑏𝑝𝑛 − 𝑖(1)𝐼(1)

𝑁− 𝑚𝑖(1) = −0.0112


42

𝑦(1) = 𝑖(1) + ℎ𝑔(1) = 0.2499

𝐼(2) = 𝐼(1) +ℎ

2(𝑓(1) + 𝑏𝑝′𝑦(1)

𝑁 − 𝑧(1)

𝑁− 𝑎𝑧(1)) = 0.5000

𝑖(2) = 𝑖(1) +ℎ

2(𝑓(1) +

𝑏𝑝𝑛 − 𝑦(1)𝑧(1)

𝑁− 𝑚𝑦(1)) = 0.2499

Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Heun

𝑡𝑖 I i

0 0.5000 0.2500

0.01 0.5000 0.2499

0.02 0.5001 0.2498

0.03 0.5001 0.2497

0.04 0.5001 0.2496

0.05 0.5002 0.2494

0.06 0.5002 0.2493

0.07 0.5002 0.2492

0.08 0.5003 0.2491

0.09 0.5003 0.2490

0.10 0.5003 0.2489

Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.2 di bawah ini.


43

Gambar 3.3 Grafik Hasil Perhitungan Model Ross

Menggunakan Metode Heun

Dengan menggunakan metode Heun dan parameter yang sudah

diketahui, diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.3. Pada grafik pertama

berwarna merah menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi malaria

terhadap waktu, grafik kedua berwarna hijau menunjukkan frekuensi

nyamuk yang terinfeksi malaria terhadap waktu, dan grafik ketigaberwarna

biru menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi malaria terhadap

frekuensi nyamuk yang terinfeksi malaria.

Pada Gambar 3.2 dan Gambar 3.3 menurut model Ross yang

diselesaikan menggunakan metode Euler dan metode Heun pada grafik


44

pertama menunjukkan bahwa frekuensi manusia yang terinfeksi malaria

meningkat sampai 0.5298, kemudian setelah itu frekuensi manusia yang

terinfeksi malaria menurun hingga manusia pulih dari malaria. Pada grafik

kedua menunjukkan bahwa semakin lama, tidak ada nyamuk yang terin-

feksi malaria. Dan pada grafik yang ketiga menunjukkan bahwa semakin

banyak manusia yang terinfeksi malaria, semakin banyak juga nyamuk

yang terinfeksi malaria. Begitu juga sebaliknya, semakin sedikit frekuensi

manusia yang terinfeksi malaria, semakin sedikit pula nyamuk yang terin-

feksi malaria.


45

BAB IV

PENUTUP

Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebe-

lumnya, serta saran bagi peneliti selanjutnya.

A. KESIMPULAN

Berdasarkan bab-bab sebelumnya dapat disimpulkan:

1. Model Ross untuk menyelesaikan penyebaran penyakit malaria

adalah

𝑑𝐼

𝑑𝑡=bp’i

𝑁−𝐼

𝑁− 𝑎𝐼

𝑑𝑖


𝐼

𝑁− 𝑚𝑖.

2. Solusi model Ross dengan menggunakan metode Euler adalah

𝐼(𝑘) = 𝐼(𝑘 − 1) + ℎ (𝑏𝑝′𝑖(𝑘 − 1)𝑁 − 𝐼(𝑘 − 1)

𝑁− 𝑎𝐼(𝑘 − 1))

𝑖(𝑘) = 𝑖(𝑘 − 1) + ℎ (𝑏𝑝𝑛 − 𝑖(𝑘 − 1)𝐼(𝑘 − 1)

𝑁− 𝑚𝑖(𝑘 − 1))

3. Solusi model Ross dengan menggunakan metode Heun adalah

𝑓(𝑘 − 1) = 𝑏𝑝′𝑖(𝑘 − 1)𝑁 − 𝐼(𝑘 − 1)

𝑁− 𝑎𝐼(𝑘 − 1)

𝑧(𝑘 − 1) = 𝐼(𝑘 − 1) + ℎ (𝑏𝑝′𝑖(𝑘 − 1)𝑁 − 𝐼(𝑘 − 1)

𝑁− 𝑎𝐼(𝑘 − 1))

𝑔(𝑘 − 1) =𝑏𝑝𝑛 − 𝑖(𝑘 − 1)𝐼(𝑘 − 1)

𝑁− 𝑚𝑖(𝑘 − 1)

𝑦(𝑘 − 1) = 𝑖(𝑘 − 1) + ℎ𝑔(𝑘 − 1)

𝐼(𝑘) = 𝐼(𝑘 − 1) +ℎ

2(𝑓(𝑘 − 1) + 𝑏𝑝′𝑦(𝑘 − 1)

𝑁 − 𝑧(𝑘 − 1)

𝑁− 𝑎𝑧(𝑘 − 1))

45


46

𝑖(𝑘) = 𝑖(𝑘 − 1) +ℎ

2(𝑓(𝑘 − 1) +

𝑏𝑝𝑛 − 𝑦(𝑘 − 1)𝑧(𝑘 − 1)

𝑁− 𝑚𝑦(𝑘 − 1))

4. Dari grafik hasil perhitungan model Ross menggunakan metode

Heun dapat disimpulkan, pertama menunjukkan bahwa frekuensi

manusia yang terinfeksi malaria meningkat sampai 0.5298,

kemudian setelah itu frekuensi manusia yang terinfeksi malaria

menurun hingga manusia pulih dari malaria. Kedua menunjukkan

bahwa semakin lama, tidak ada nyamuk yang terinfeksi malaria.

Dan ketiga menunjukkan bahwa semakin banyak manusia yang

terinfeksi malaria, semakin banyak juga nyamuk yang terinfeksi

malaria. Begitu juga sebaliknya, semakin sedikit frekuensi manusia

yang terinfeksi malaria, semakin sedikit pula nyamuk yang terin-

feksi malaria.

B. SARAN

Dalam makalah ini model Ross hanya diselesaikan menggunakan

metode Euler dan metode Heun. Model Ross juga dapat diselesaikan

dengan metode lain yang lebih akurat, misalnya dengan menggunakan

metode Rung-Kutta. Sehingga masih terbuka lebih lanjut untuk

diselesaikan menggunakan metode tersebut.


47

DAFTAR PUSTAKA

Bacaer, Nicolas. (2011). A Short History of Mathematical Populations Dynamics.

London: Springer-Verlag.

Koella, Jacob C. (1991). On The Use of Mathematical Models of Malaria

Transmission. Acta Tropica,49:1-25.

Mandal, Sandip, et al. (2011). Mathematical Model of Malaria – a review.

Malaria Journal,10:1-19.

Singer, Burton. (1984). Mathematical Model of Infectious Diseases: Seeking New

Tools for Planning and Evaluating Control Program. Population and

Development Review, 10: 347-365.

Fitri, Ahmad, dkk. (2014). Model Matematika (Linear) PopulasiAnjing Rabies

denganVaksinasi. JurnalMatematika, 4:70-79.


48

LAMPIRAN

Program Contoh Analitik (Gambar 2.1) clc

clear

close all

n=10;

h=0.2;

x=0:h:2;

q=length(x);

y=zeros(1,q);

y(1)=0.5;

t=zeros(1,q);

t(1)=0;

for k=2:q

t(k)=t(k-1)+0.2;

y(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;

end

plot(t,y);

xlabel('t')

ylabel('y')

axis([0 max(t) min(y) max(y)])

disp(' t y')

disp(' ===========')

disp([ t' y'])

Program Contoh Euler (Gambar 2.2) clc

clear

close all

n=10;

h=0.2;

x=0:h:2;

q=length(x);

y=zeros(1,q);

y(1)=0.5;

t=zeros(1,q);

t(1)=0;

for k=2:q

t(k)=t(k-1)+0.2;

y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);

end

plot(t,y);

xlabel('t')

ylabel('y')



49

disp(' t y')

disp(' ===========')

disp([ t' y'])

Program Contoh Heun (Gambar2.3) clc

clear

close all

n=10;

h=0.2;

x=0:h:2;

q=length(x);

y=zeros(1,q);

y(1)=0.5;

t=zeros(1,q);

t(1)=0;

for k=2:q

t(k)=t(k-1)+0.2;

z(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);

y(k)=y(k-1)+h/2*((y(k-1)-t(k)^2+1)+(z(k)-

t(k)^2+1));

end

plot(t,y);

xlabel('t')

ylabel('y')


disp(' t y')

disp(' ===========')

disp([ t' y'])

Program Gabungan Analiti, Euler, dan Heun (Gambar 2.4) clc

clear

close all

n=10;

h=0.2;

x=0:h:2;

q=length(x);

y=zeros(1,q);

y(1)=0.5;

t=zeros(1,q);

t(1)=0;

%euler

for k=2:q

t(k)=t(k-1)+0.2;

y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);


50

end

plot(t,y);

xlabel('t')

ylabel('y')


disp(' t y')

disp(' ===========')

disp([ t' y'])

%heun

for k=2:q

t(k)=t(k-1)+0.2;

z(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);

y(k)=y(k-1)+h/2*((y(k-1)-t(k)^2+1)+(z(k)-

t(k)^2+1));

end

hold on

plot(t,y,'g');

xlabel('t')

ylabel('y')


disp(' t y')

disp(' ===========')

disp([ t' y'])

%analitik

for k=2:q

t(k)=t(k-1)+0.2;

y(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;

end

hold on

plot(t,y,'r');

xlabel('t')

ylabel('y')


disp(' t y')

disp(' ===========')

disp([ t' y'])

Program Error (Gambar 2.5) clc

clear

close all

n=10;

h=0.2;

x=0:h:2;

q=length(x);

z=zeros(1,q);

z(1)=0.5;


51

t=zeros(1,q);

t(1)=0;

%analitik

for k=2:q

t(k)=t(k-1)+0.2;

z(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;

end

n=10;

h=0.2;

x=0:h:2;

q=length(x);

y=zeros(1,q);

y(1)=0.5;

z=zeros(1,q);

z(1)=0.5;

t=zeros(1,q);

t(1)=0;

%euler

for k=2:q

t(k)=t(k-1)+0.2;

y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);

z(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;

er(k)=abs(z(k)-y(k));

end

plot(t,er)

hold on

%heun

n=10;

h=0.2;

x=0:h:2;

q=length(x);

y=zeros(1,q);

y(1)=0.5;

z=zeros(1,q);

z(1)=0.5;

l=zeros(1,q);

l(1)=0.5;

t=zeros(1,q);

t(1)=0;

for k=2:q

t(k)=t(k-1)+0.2;

z(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);

y(k)=y(k-1)+h/2*((y(k-1)-t(k)^2+1)+(z(k)-

t(k)^2+1));

l(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;

err(k)=abs(l(k)-y(k));

end


52

plot(t,err,'g')

xlabel('t')

ylabel('error')

disp(' t analitik euler heun

eror euler eror heun')

disp('============================================

============================')

disp([t' l' z' y' er'

err' ])

Program Fraksi Infeksi (Gambar 3.1) clc

clear

close all

m=log10(3)/10;

a=log10(2)/90;

b=log10(8/7);

p_prime= 1/3;

p=1/4;

n_star_per_N=a*m/(b^2*p*p_prime)

x=0:0.01:5;

y=(b^2*p*p_prime*x-a*m)./(b^2*p*p_prime*x+a*b*p);

plot(x,y)

xlabel('n/N')

ylabel('I/N')

axis([0 5 0 1])

disp(' n/N I/N')

disp(' ===========')

disp([ x' y'])

Program Metode Euler Untuk Model Ross (Gambar 3.2)

clc

clear

closeall

m=log10(3)/10;

a=log10(2)/90;

b=log10(8/7);

p_prime= 1/3;

p=1/4;

n=10;

N=100;

h=0.01;

t=0:h:100;

q=length(t);

I=zeros(1,q);


53

I(1)=0.5;

i=zeros(1,q);

i(1)=0.25;

for k=2:q

f1=b*p_prime*i(k-1)*(N-I(k-1))/N-a*I(k-1);

f2=b*p*(n-i(k-1))*I(k-1)/N-m*i(k-1);

I(k)=I(k-1)+h*f1;%*t(k-1)*I(k-1)*i(k-1);

i(k)=i(k-1)+h*f2;%*t(k-1)*I(k-1)*i(k-1);

end

subplot(3,1,1),plot(t,I,'r');

xlabel('t')

ylabel('I')

axis([0 max(t) min(I) max(I)])

disp(' t I')

disp(' ===========')

disp([ t' I'])

subplot(3,1,2),plot(t,i,'g');

xlabel('t')

ylabel('i')

axis([0 max(t) min(i) max(i)])

disp(' t i')

disp(' ===========')

disp([ t' i'])

subplot(3,1,3),plot(i,I,'b');

xlabel('i')

ylabel('I')

axis([min(i) max(i) min(I) max(I)])

disp(' i I')

disp(' ===========')

disp([ i' I'])

disp(' min(i) max(i) min(I) max(I)')

disp([ min(i)' max(i)' min(I)' max(I)'])

Program Metode Heun Untuk Model Ross (Gambar 3.3)

clc

clear

closeall

m=log10(3)/10;

a=log10(2)/90;

b=log10(8/7);

p_prime= 1/3;

p=1/4;

n=10;

N=100;

h=0.01;


54

t=0:h:100;

q=length(t);

I=zeros(1,q);

I(1)=0.5;

i=zeros(1,q);

i(1)=0.25;

for k=2:q

f1=b*p_prime*i(k-1)*(N-I(k-1))/N-a*I(k-1);

f2=b*p*(n-i(k-1))*I(k-1)/N-m*i(k-1);

z1(k)=I(k-1)+h*f1;

z2(k)=i(k-1)+h*f2;

I(k)=I(k-1)+h/2*(f1+(b*p_prime*z2(k)*(N-z1(k))/N-

a*z1(k)));

i(k)=i(k-1)+h/2*(f2+(b*p*(n-z2(k))*z1(k)/N-

m*z2(k)));

end

subplot(3,1,1),plot(t,I,'r');

xlabel('t')

ylabel('I')

axis([0 max(t) min(I) max(I)])

disp(' t I')

disp(' ===========')

disp([ t' I'])

subplot(3,1,2),plot(t,i,'g');

xlabel('t')

ylabel('i')

axis([0 max(t) min(i) max(i)])

disp(' t i')

disp(' ===========')

disp([ t' i'])

subplot(3,1,3),plot(i,I,'b');

xlabel('i')

ylabel('I')

axis([min(i) max(i) min(I) max(I)])

disp(' i I')

disp(' ===========')

disp([ i' I'])

disp(' min(i) max(i) min(I) max(I)')

disp([ min(i)' max(i)' min(I)' max(I)'])


MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN METODE … · 2017. 2. 20. · Persamaan Diferensial...

Documents

Transcript of MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN METODE … · 2017. 2. 20. · Persamaan Diferensial...