BAB. I INTEGRAL

A. Pendahuluan.

1. Pengertian integral.

Integral adalah lawan (kebalikan) dari diferensial. Dapat diumpamakan

bahwa operasi diferensial itu, diketahui orang tuanya, disuruh mencari

anaknya, sedangkan operasi integral, diketahui anaknya, disuruh mencari

orang tuanya.Amatilah :

No. Fungsi yang diturunkan = f(x) Fungsi turunan = f ‘(x)No. Fungsi yang diturunkan = f(x) Fungsi turunan = f ‘(x)

(Orang tuanya) (Anaknya)

1. 2x 2

2. x2 2x

3. x3 3x2

4. 3x2+5x-7 6x+5

5. x3+x2-4x+3 3x2+2x-4

6. cos x - sin x

7. 2 sin x – 3 cos x 2 cos x + 3 sin x

8. (3x +2)4 + (3x+2)3 12(3x+2)3+9(3x+2)2.

Dalam diferensial, jika F(x) = x n maka F’(x) = n x n -1. F’(x) = f (x) adalah

fungsi turunan dari fungsi F(x). Jika F(x) = x2 maka F’(x) = f (x) = 2x dan jika

F(x) = x3 maka F’(x) = f (x) = 3x2. Untuk menentukan fungsi semula, yaitu

fungsi yang didiferensialkan ( yang diturunkan ),bila diketahui fungsi turunannya

maka menggunakan operasi lawan dari operasi diferensial, yang disebut hitung

integral.Contoh :

1. Jika F(x) = ½ x2 maka F ‘(x) = f (x) = x

2. Jika F(x) = ½ x2 +3 maka F ‘(x) = f (x) = x

3. Jika F(x) = ½ x2 - 7 maka F ‘(x) = f (x) = x

4. Jika F(x) = ½ x2 + 35 maka F ‘(x) = f (x) = x...

Jika F(x) = ½ x2 + c maka F ‘(x) = f (x) = x

Sebaliknya :

Jika F ‘(x) = f (x) = x maka F(x) = ½ x2 + c

Fungsi F(x) = ½ x2 + c merupakan anti turunan dari fungsi F ‘(x) = f (x) = x.

Fungsi F(x) diperoleh dengan mengintegralkan fungsi F ‘(x) = f (x) = x, ditulis

dengan notasi :

∫ ∫ ∫ +==== cxxdxdxxfdxxFxF2

21)()(')(

∫ ∫ +=== cxdxxdxxFxF3

3

12)(')(

Untuk F(x) = 1/3 x3 + c yang turunannya adalah F ‘(x) = x2

2. Integral tak tentu

1. Jika turunan suatu fungsi adalah F ‘(x) = f (x) = 2x, maka fungsi yang diturunkan

∫ ∫ +=== cxxdxdxxfxF2

2)()(

1. Jika turunan suatu fungsi adalah F ‘(x) = f (x) = 2x, maka fungsi yang diturunkan

(fungsi anti turunannya) adalah F(x) = x2, F(x) = x2 + 1, F(x) = x2 - 2, F(x) = x2 + 5

…, secara umum adalah F(x) = x2 + c, ini berarti :

yang disebut hasil dari integral tak tentu

2. Rumus untuk integral tak tentu dari f (x) = x n dengan 1−≠n

Dari rumus diferensial :

Jika F(x) = x n maka F ‘(x) = n x n – 1, dapat dikembangkan :

Jika F(x) = x n + 1 maka F ‘(x) = (n+1) x n

nnnxxn

nxmakaFx

nxJikaF =+

+=

+=

−++ 1)1(1)1(

1

1)('

1

1)(

∫ ∫ −≠++

===+

11

1)(')(

1cuntuknx

ndxxdxxFxF

nn

∫ += cxFdxxf )()(

Sebaliknya :

Jika F ‘(x) = x n maka

Secara umum, jika F(x) suatu fungsi anti turunan dari f (x), maka :

Yang merupakan himpunan semua fungsi anti turunan dari fungsi f (x).

Contoh :Contoh :

1. Integralkan : a. x 3 b. 1/x2

Penyelesaian :

∫ +=++

=→+

cxcxdxxx41333

4

1

13

1

∫ ∫ +−=+−

=++−

==→−+−−

cx

cxcxdxxdxxx

1

1

1

12

111 1122

22

2. cxxcxcxdxxdxx +=+=++

==+

∫∫3 2

3

5

1

32

3 2

5

31

1

12

5

3

2

3

2

3. ∫ ∫ ++−=+−=− cxxxdxxxdxx 963

4)9124()32(

2322

4. Jika F ‘(x) = 6x+5 dan F(-2) = 9 maka tentukan F(x) !

Penyelesaian :

F(x) = 3x2 + 5x + c

F(-2) = 3.(-2)2 + 5.-2 + c

9 = 12 – 10 + c

c = 7

F(x) = 3x2 + 5x + 7

∫ ∫ +== dxxdxxFxF )56()(')(

F(x) = 3x2 + 5x + 7

Latihan 1.

Integralkan !

1. a. x b. x 2 c. x 5 d. x 8 e. x p

2. a. 4x b. 6x2 c. 5x4 d. – 8x3 e. 3

3. a. x -3 b. 4x -2 c. 1/x 4 d. – 6 / x 5 e. - 2 / x -6

4. a. x 2/5 b. x 4/3 c. x – ½ d. x V x e. 4 / Vx

3. Beberapa penggunaan integral tak tentu

Contoh :

a. Suatu kurva dengan persamaan y = f (x). Pada setiap titik (x,y) dari kurva itu,

gradien garis singgungnya adalah 2x. Kurva itu melalui titik (1,-2). Tentukan

persamaan kurva itu !

xxfydx

dy2)('' ===

Penyelesaian :

Dengan menggunakan notasi diferensial untuk gradien suatu kurva pada

setiap titik,

dx

∫ ∫=== xdxdxxfxfy 2)(')(

y = x 2 + c

Kurva itu melalui titik (1,-2) � -2 = 12 + c

c = -3

Persamaan kurva itu adalah y = x2 - 3

b. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v m / detik. Pada saat

t detik, kecepatan dinyatakan oleh persamaan v = 3 – 4t. Pada saat

t = 2 detik, benda telah menempuh jarak 10 meter. Tentukan persa-

maan gerak benda itu !

Penyelesaian :

Dengan menggunakan notasi diferensial pada mata pelajaran fisika, jarak yang

ditempuh oleh benda dinyatakan s = f (t)

ttfsdt

dsv 43)('' −====

dt

∫ ∫ ∫ −=== dttvdtdttfs )43()('

s = 3t – 2t2 + c

s = 10 untuk t = 2 � 10 = 3.2 – 2.22 + c

10 = 6 – 8 + c

c = 12

Jadi persamaan gerak benda itu, s = - 2t2 + 3t + 12

4. Integral fungsi trigonometri

cxxdxdxyy +===→ ∫∫ sincos'

∫∫ +=−−=−==→ cxxdxxdxdxyy coscos.sin'

caxaxdx +=→ ∫ sin1

cos

Dari diferensial : Jika y = sin x maka y ‘ = cos x

Dari diferensial : Jika y = cos x maka y ‘ = - sin x

Untuk f(x) = sin ax � f ‘(x) = a . cos axf(x) = 1/a sin ax � f ‘(x) = 1/a . a cos axf(x) = 1/a sin ax � f ‘(x) = cos ax

∫ +−=→ cxxdx cossin

caxa

axdx +=→ ∫ sin1

cosf(x) = 1/a sin ax � f ‘(x) = cos ax

caxa

axdx +−=∫ cos1

sin

Contoh : cxxdx +=∫ 2sin2

12cos.1

cxxdx +−=∫ 4cos4

14sin.2

cxcxdxx +−=+−−−=−∫ )3cos(3

13cos(

3

1.)3sin(.3 πππ

cxxdxdxx +==−∫ ∫ 2sin2

12cos)1cos2(.4

2

∫ ∫ += dxxxxdxx )sin5(sin2cos3sin2.5

cxx +−−= cos5cos5

1

∫ ∫ −= dxxxxdxx )4cos2(cos2

1sin3sin.6

cxx +−= 4sin8

12sin

4

1

B. Luas daerah1. Pengantar.

Untuk daerah yang berbentuk tertentu dan baku seperti persegi,

persegi-panjang, segitiga, trapesium dan lingkaran, cara menghitung luas

daerahnya dengan menggunakan rumus-rumus geometri.

s

Bentuk persegi,

L = s2

p

l

b

a

t

r

Bentuk persegi-panjang,

L = p . l

Bentuk trapesium,

L = ½ (a + b) . t

Bentuk lingkaran,

L = 2rπ

2. Dengan menggunakan persegi satuan.

Untuk daerah yang bentuknya tidak baku, bukan bentuk seperti bahasan 3.1,

cara menghitung luasnya dengan menggunakan persegi-persegi satuan

A

L

Gb. 2( i ) ( ii )

Pada Gb. 2 (i) kurva tertutup A membatasi daerah yang luasnya dinyatakan L.

Mencari luas daerah itu, dengan mengcopy, ditaruh di kertas petak dengan per-

segi satuan, seperti pada Gb. 2 (ii). Dengan menghitung, ada 46 buah persegi

satuan yang utuh dan 19 persegi satuan tidak utuh, yang menutupi daerah itu.

Berarti luas daerah itu antara 46 persegi satuan dan 65 persegi satuan.

46 < L < 65

Perhitungan itu akan lebih teliti bila menggunakan kertas petak persegi yang

ukurannya lebih kecil

3. Dengan aturan trapesium.

Untuk menghitung luas daerah seperti pada Gb. 3, alasnya dibagi

menjadi sejumlah bagian yang sama (misalnya 5), yang masing-masing

lebarnya h satuan

Kemudian digambar garis-garis vertikal

yang panjangnya y1, y2,y3,. . . ,y6, sehing-

ga luas daerah itu terbagi menjadi 5 pias.

masing-masing pias luasnya mendekati

luas trapesium. Luas seluruh daerah di –

bawah kurva adalah :y

y5

y6

bawah kurva adalah :

L= 1/2 h(y1+y2)+1/2 h(y2+y3)+ . . +1/2 h(y5+y6)

L= 1/2 h[(y1+y6)+2 (y2+y3+y4+y5)]

L= h [1/2(y1+y6)+ (y2+y3+y4+y5)]

y1y2

y3

y4

y5

h h h h h

Contoh :

3

7

4

4

2

4

4

102

80

A B

C

P

Luas daerah ABCP

adalah …..

● ● ● ● ● ●

4. Dengan notasi integral.

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x), sumbu X, garis x = a dan x = b cara

menghitung luasnya adalah :

y = f (x)

L f (xi)f (xi)

Y

−∆− ix

ox = a x = b

x2x3 xn

x1 xi

xi

X

Interval [ a , b ] dibagi menjadi n interval dengan lebar masing-masing

nxxxx ∆∆∆∆ ..,, ,3,21 dengan x1,x2,x3,..,xn adalah koordinat x dari n titik

Pada sumbu X, yang masing-masing terletak dalam interval itu, sehingga

umumnya titik xi terletak dalam interval yang panjangnyaix∆

Kemudian dibuat n persegi-panjang seperti gambar tadi. Pada gambar disebe-

lah kanan digambar persegi panjang yang ke_i dengan skala besar. Tinggi per-

segi-panjang adalah f (xi) dengan nilai f pada x = xi, dan lebarnya ix∆

11).( xxf ∆

22 ).( xxf ∆

Dengan demikian :

Luas persegi-panjang pertama =

Luas persegi-panjang kedua =

Luas persegi-panjang ketiga =

…………………………………….

Luas persegi-panjang terakhir =

33).( xxf ∆

nn xxf ∆).(

Untuk menyingkat “jumlah dari” digunakan huruf besar Yunani sigma = ∑Untuk menyingkat “jumlah dari” digunakan huruf besar Yunani sigma = ∑

Ditulis dengan notasi : ∑=

∆≈n

i

ii xxfL1

).(

Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi interval [ a , b ],

Relasi itu ditulis dengan notasi : ∑=

=

∆≈bx

ax

xxfL ).(

Untuk fungsi yang dapat didiferensialkan, dapat ditunjukkan bahwa : ∑=

=

∆bx

ax

xxf ).(

dapat dibuat sedekat mungkin dengan L, dengan jalan membuat n cukup besar,

Ini ekuivalen dengan membuat x∆ cukup kecil, sehingga dapat didefinisikan :

∑=

=→∆

∆=bx

axx

xxfL ).(lim0

∫=

b

a

dxxfL )(

∫=

3

1

xdxL

Sebagai penyederhanaan, bentuk limit tersebut dapat ditulis dengan notasi :

Dibaca : Luas L sama dengan integral f (x) dari a ke b

Contoh :

1.

L

Luas daerah yang diarsir dinyatakan :

1 3

y = x

L

3

2.

o 2

L

y = x3

∫=

2

0

3dxxL

3.y = sin x

π31

π

L

∫=

π

π3

1

sin xdxL

4. ∫3

1

2dxx digambar :

1 3

y = x2

L

∫−

++−

3

1

2)32( dxxx

•

5.y = -x2 +2x+3

-1 3

3 •

•

L

satuanluasa

DDL

32

2210

6

64

)1(6

1616

6==

−==

C. Integral tertentu.

1. Pengertian integral tertentu

Dari notasi integral yang menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f (x)

di atas sumbu X, sebelah kiri dibatasi garis x = a, sebelah kanan oleh garis x=b

seperti dalam bahasan A.4 adalah :∫=

b

a

dxxfL )(

Penyelesaian integral itu adalah : )()()]([)( aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==∫

Dengan F(x) merupakan anti-turunan dari f (x) yang daerah asalnya bxa ≤≤

Penyelesaian ini disebut nilai integral tertentu

Contoh :

a. [ ] 10212)11()33()12(223

1

2

3

1

=−=+−+=+=+∫ xxdxx

b. [ ] 429221

11 9

4

9

4

1

21

9

4

2

9

4

21

−==

+−==

+−−

∫∫ xxdxxdxx

=2.3 – 2.2 = 6 – 4 = 2

c. [ ]5 2

23

5

2

2

5

2

2463)4129()23( −

−−

+−=+−=− ∫∫ xxxdxxxdxx

= (3.53 - 6.52 + 4.5) – [3.(-2)3 – 6.(-2)2 + 4.(-2)] = (375 – 150 + 20) –(-24 – 24 – 8)

= 245 + 56 = 301

2. Sifat-sifat integral tertentu

Perhatikan perhitungan integral tertentu berikut ini :

[ ] [ ] 1578)916()19()34()13(2222224

3

23

1

2

4

3

3

1

=+=−+−=−+−=+=+∫∫ xxxdxxdxa. … (I)

[ ] 15116142224

1

2

4

1

=−=−==∫ xxdx --- (ii)

Dari (I) dan (II) ternyata : ∫∫∫ =+

4

1

4

3

3

1

222 xdxxdxxdx

Sifat i ) ∫∫∫ =+

c

a

c

b

b

a

dxxfdxxfxf )()()(

Coba beri contoh lain !

b. Hitunglah ! dxx∫2

23

[ ]2

∫1

Amatilah ! [ ] 7.3).(3)1.2..(3.333

7

3

1

3

83

3

13

3

12

1

3

3

1

2

1

2==−=−==∫ xdxx

Sifat ii ). ∫∫ =

b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

Buatlah contoh lainnya

c. [ ]31

23

3

1

2

3

1

253)563()]52()43[( −

−−

−+=−+=−++ ∫∫ xxxdxxxdxxxx =(27+27-15) – (-1+3+5) = 46

Selesaikan ! ∫∫−−

−++

3

1

3

1

2)52()43( dxxdxxx

Sifat iii ) ∫∫∫ +=+

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

d. Apakah ? ∫∫ −−=−

2

5

2

5

2

2)12()12( dxxdxx

∫∫ −=

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

=∫3

1

34 dtt

Coba yang lain ! Sifat iv )

e. =∫3

1

34 dss =∫

3

1

34 duu=∫

3

1

34 dxx

=3

4x =

3.... =

3.... =

3....=

3

1

4x =

3

1.... =

3

1.... =

3

1....

Lanjutkan !

Sifat v ). ...)()()()( ==== ∫∫∫∫b

a

b

a

b

a

b

a

duufdssfdttfdxxf

……. …….. ……… ………

D. Isi benda putar

1. Macam-macam benda putar.

a. tabung

b. kendang

c. buah pepaya

d. bola

e. tempolong

f. cangkir, dsb.

2. Rumus volum benda putar.

∆

o a b

L

Daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f (x)

sumbu X, garis x = a dan garis x = b dipu-

tar 3600 mengelilingi sumbu X

X

Y

xi

f(xi)

Persegi-panjang yang ke - i direbahkan, di-

perbesar seperti gb. bawah, diputar menge-

lilingi sb. X, menjadi tabung, dengan tinggi

Xi , dan jari-jari f (xi), sehinggga isinya :

xxfV ∆= .)]([2

π

y = f (x)

ii xxfV ∆= .)]([2π

o a bXxi

xi

f(xi)

∆

ii xxfV ∆= .)]([2

π

Volum benda putar yang terjadi seluruhnya

adalah :

∑=

=→∆

∆=bx

axx

xxfV .)]([2

0lim π

∫∫ ==

b

a

b

a

dxydxxfV22

)]([ ππ

.●

Bagaimana untuk pemutaran terhadap sumbu Y ?

Contoh :

1.

πππππ 9)09()0.3.(3

313

31

3

0

3

31

3

0

2=−=−=== ∫ xdxxV

30

y = x

Periksalah dengan rumus isi kerucut !

∫=

4

0

ydyV π

4

0

2

2

1 yπ=

30 isi kerucut !

2. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2,

sumbu Y dan garis y = 4 diputar 360o

mengelilingi sumbu Y.

4

= 8 π

E. Integral lanjutan

∫ ∫

1. Integral dengan substitusi

Ciri-ciri dari integral dengan substitusi.

adalah suatu permasalahan integral yang bentuknya sebagian merupakan

turunan pertama dari bagian lain

Bentuk umum : f(x){F(x)}n dx atau {f(x)}n.f ‘(x) dx

Contoh : du

dxxxx∫ ++42

)3)(32(

Contoh :

1. Dapat dilihat bahwa (2x+3) merupakan turunan pertama

dari (x2 + 3x)

Dengan perumpamaan : u = (x2 + 3x) ���� u’ = du/dx = 2x - 3

du = (2x+3) dx

Soal berubah menjadi : cxxcuduu ++=+=∫52

515

514

)3(

du

u

2. ∫ = ?cos.sin2

xdxx

cxctdtt +=+=→ ∫3

3

13

3

12sin

∫ =−

?1

6

3

2

x

dxx

andaikan t = sin x dengan dt = cos x dx

misalkan p = x3 – 1 � dp = 3x2 dx

2 dp = 6x2 dx

cxcpcpdppp

dp+−=+=+

+−==→

+−−

∫ ∫ 1441

1.22

2 31

2

1

2

1

2

1

2

1

∫ =−− ?)43()32( 3 22dxxxx

Untuk 3x2 – 4x = U � dU = (6x – 4) dx

- ½ dU = (2 – 3x) dx

cxxxxcUCUdUUdUU +−−−=+−=++

−=−=−→+

∫∫ 3 2221

32

3 2)34()34(

10

3

5

3.

2

1

1

1.

2

1

2

1

2

13

5

3

2

3

2

2. Integral parsial

∫ udv

dx

dvuv

dx

du

dx

dy.. +=

Bentuknya : Dengan u = f(x) dan v = f(x)

Dari turunan : y = u . v

� y ‘ = u ‘. v + u . v ‘

dx

dy = v . du + u . dv

Contoh :

∫ = ?cos..1 xdxx � u = x, dv = cos x dx

∫ ∫== xdxdvdxdu cos,

v = sin x

∫ ∫∫ −=−= xdxxxduvvudvu sinsin....dy = v . du + u . dv

dy – v . du = u . dv

u . dv = dy – v . du

∫ ∫ ∫−=→ duvdydvu ..

∫ ∫−= duvydvu ..

∫ ∫−= duvvudvu ...

∫ ∫∫ −=−= xdxxxduvvudvu sinsin....

= x.sin x – (- cos x) + c

∫ ++=→ cxxxxdxx cossin.cos.

Cara lain :

∫ = ?cos..1 xdxx

1 sin x

0 - cos x

(-)

= x sin x+cos x + c

kiri kanan

turunkan integralkan

∫ =− ?1.2 dxxx

∫ ∫ −== dxxdvdxdu 21

)1(,

23

)1(3

2−= xv

u = x , dv = (x – 1)1/2

∫ ∫ ∫−==− vduvudvudxxx ..1

dxxxx 23

23

)1(3

2)1(

3

2. −−−= ∫

cxxxx +−+

−−−=+1

23

23

21

)1(1

1.

3

2)1)(1.(

3

2

cxxxx +−−−−=51

)1(4

)1)(1.(2

∫ =− ?)53sin(..32 dxxx

2x -1/3 cos(3x-5)

2 -1/9 sin(3x-5)

0 1/27 cos(3x-5)

(-1)

cxxxxx +−+−+−−= )53cos(.27

2)53sin(.

9

2)53cos(.

3

1 2

cxxxx +−+−−−= )53sin(.9

2)53cos().

9

2(

3

1 2

cxxxx +−−−−= 35

21

)1(15

4)1)(1.(

3

2

cxxxxx +−−−−−= 21

21

)1()1(15

4)1)(

3

2

3

2(

22

cxxxxx +−+−−−= 21

)1)}.(15

4

15

8

15

4()

3

2

3

2{(

22

cxxx +−−+= 1)15

4

15

4

5

2(

2

993

?)12(

64

3 2=

−∫

x

xdxdxxdvxu 3

2

)12(,6−

−==

31

32

)12(2

3)12(

1

1.

2

1,6

1

32

−=−+−

==+−

xxvdvdu

dxxxx .6.)12(3

2)12(

3

2.6 3

131

−−−= ∫

cxxxx +−−−−= 31

31

)12).(12.(5

6)12.(4

cxxx +−+−= 31

)12).(5

6

5

124(

cxx +−+= 3 12).68(5

1

Piye !

Mudheng ora ?

moas , you …

Latihan : (unjian nasional 2006)

....sincos

26

6

lim3

=−

−

→x

x

x

π

π

π33.32.3.3

3

1.3

2

1. −− edcba1. Nilai dari

2. Salah satu garis singgung kurva y = x2 + 10x + 25 di titik yang berordinat 4,

memotong sumbu Y di titik …. A. (0,7) b. (0,16) c. (0,- 8) d. (0,- 11) e. (0, - 12)

3. Sebuah tempat terbuat dari seng berbentuk silinder tanpa tutup, dengan volume

27 cm3. Supaya luas seng yang diperlukan minimum, maka jari-jari silinder . . . .

3.

3. cma ππ

.3

.2

cmb ππ

.3

. 3

2cmc π

π.

3.

3 2cmd π

π.

3.

3 2

2cme π

π

....)('028(sin)(.42

=−= xadalahfxxftamafungsiTurunanper π

)28sin(2. π−xa )28sin(8. π−xb )416sin(2. π−xc )416sin(8. π−xd )416sin(16. π−xe

satuanluasadalahx ....50 ≤≤

5. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2- 2x pada interval

a. 30 b. 26 c. 64/3 d. 50/3 e. 14/3

∫ =+−−−

....)16)(3(.632 dxxxxHasildari

Cxxa ++−−−42

)16(8

1.

Cxxb ++−−−42

)16(4

1.

Cxxc ++−−−42

)16(2

1.

Cxxd ++−−− 22

)16(4

1.

Cxxe ++−−− 22

)16(2

1.

∫ +− xdxxxHasildari sin)13(.72

∫ +− xdxxxHasildari sin)13(.72

cxxxxxa +−+++− sin)32(cos)13.(2

cxxxxxb +−+−+− sin)32(cos)13.(2

cxxxxxc +−++− cos)32(sin)13.(2

cxxxxxd +−++− sin)32(cos)13.(2

cxxxxxe +−++− sin)32(cos)33.(2

Ulangan Harian

∫ ++= xxxxdxuntukfxfTentukan 4712)()(.135

∫+= !)(2sin43)(.22 dxxfkanxmakatentuxxJikaf

∫ ++

7

3

23)524(.3 dxxxHitung

4. Hitung luas daerah di antara kurva y = x2 – 2x dan y = - x2

5. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh

kurva y = - x2 – 2x dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X !