Trihastuti Agustinah

Determinan

Introduksi (1)

Matriks bujursangkarNotasi: det(A) atau |A| atau

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

Determinan Orde -1: det(A) = det[a11]=a11Orde -2:

2221

1211det)det(aaaa

A 211222112221

1211 aaaaaaaa

2221

1211

aaaa

+-

Untuk diingat:

Introduksi (2)

Determinan Orde -3:

Untuk diingat:

322113312312332211

333231

232221

131211

det)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa

A

322311332112312213 aaaaaaaaa

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

+ + +

– – –

Contoh 1:Dapatkan determinan dari

24

13A

987654321

B

10)4)(1()2)(3()det( A

Dengan menggunakan metode yang diberikan

240)72()48()105()96()84()45()det( B

Catatan:Determinan matriks sama dengan

hasilkali elemen-elemen yang terletak pada panah positif

dikurangi hasilkali elemen-elemen yang terletak pada panah negatif

Untuk diingat:Metode tsb tidak dapat digunakan untuk

matriks berukuran 4x4 atau diatasnya

Teorema determinanA matriks bujursangkar

Jika A memiliki baris atau kolom nol, maka det(A)=0det(A)=det(AT)

A matriks segitiga nxn upper, lower, diagdet(A) = hasilkali entri-entri pada diagonal utamadet(A) = a11 a22 ••• ann

Contoh:

8)2)(4)(1(200

240321

Evaluasi determinan: reduksi baris Reduksi matriks ke dalam bentuk segitiga Gunakan operasi baris elementerHitung determinanPenghitungan menggunakan komputer

sistematis mudah diprogram

Contoh: dapatkan determinan dari

162963510

A

162510963

162963510

)det(

A1. pertukarkan baris

pertama dengan baris kedua

2. faktor bersama dari baris pertama yaitu 3, dikeluarkan 162

510321

3

3. tambahkan -2 kali baris pertama pada baris ketiga 5100

510321

3

4. tambahkan -10 kali baris kedua pada baris ketiga

5500510521

3

5. faktor bersama (-55), dikeluarkan 165)1)(55)(3(100510521

)55(3

solusi: reduksi A ke dalam bentuk eselon baris

Sifat-sifat determinanA dan B matriks bujursangkar berukuran sama

det(AB)=det(A)det(B)Jika A dapat-dibalik maka det(A-1)=1/det(A)Contoh:

Buktikan bahwa det(AB)=det(A)det(B) dan det(A-1)=1/det(A)

Aplikasi determinan Sistem linear

n persamaann variabel (unknown)ditulis dalam bentuk Ax=x dengan skalardapat dinyatakan juga dalam x – Ax=0

: nilai eigen (eigenvalue) atau nilai karakteristik dari A

Jika adalah nilai eigen A, maka solusi nontrivial (I-A)x=0 disebut vektor eigen (eigenvector) untuk yang bersesuaian

Sistem linear memiliki solusi det(I-A)=0

Contoh 2: Dapatkan eigenvalue dari

2431

A

Persamaan karakteristik

024

31)det(

AI

0)5)(2(

Eigenvalue A: = 2 dan =5

Ekspansi kofaktorA: matriks bujursangkarMij : minor dari entri aij

Determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari A

Cij = (-1)i+jMij : kofaktor dari entri aij

Cij = ± Mij

Tanda (-1)i+j membentuk pola

Evaluasi determinan via ekspansi kofaktorMatriks 3x3

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

det(A):322113312312332211)det( aaaaaaaaaA

322311332112312213 aaaaaaaaa

)()()()det( 221323123133123213213223332211 aaaaaaaaaaaaaaaA

atau

313121211111)det( CaCaCaA

Contoh 3:Dapatkan determinan A melalui ekspansi

kofaktor

245342013

A

Adjoint dari matriksA: matriks nxnCij: kofaktor dari aij

Matriks kofaktor:

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

21

22221

11211

Adjoint A: transpos matriks kofaktorNotasi: adj(A)Invers A: )(

)det(11 AadjA

A

Contoh 4: Dapatkan invers dari matriks

042361123

A

Aturan cramerSistem persamaan linear Ax = bdet(A) ≠ 0Solusi unik:

)det()det( 1

1 AAx

)det()det( 2

2 AAx

)det()det(

AAx n

n

,

∙∙∙

dengan Aj: matriks A dengan kolom ke-j diganti dengan b

Contoh 5:Dapatkan solusi dari sistem linear berikut

dengan menggunakan aturan cramer

30643 321 xxx

832 321 xxx

62 31 xx