ALJABAR LINIER

Matrik & Determinan3

Vivi Tri Widyaningrum,S.Kom

PEMBAHASAN

Rank dari MatriksRank dari Matriks Penyelesaian Sistem RetangularPenyelesaian Sistem Retangular EigenvalueEigenvalue EigenvectorEigenvector

RANK DARI MATRIKS

Jumlah maksimum vektor baris yang memiliki kebebasan linier dari suatu matriks A = [ aik ] disebut Rank dari A dan dinotasikan oleh ‘rank [A]’

Contoh :Contoh :

A = 3 0 2 2 -6 42 24 5421 -21 0 -15

Memiliki rank 2, karena dari contoh diatas, Memiliki rank 2, karena dari contoh diatas, kedua vektor baris pertama memiliki kedua vektor baris pertama memiliki kebebasan linier, sedangkan ketiga vektor kebebasan linier, sedangkan ketiga vektor baris memiliki ketidakbebasan linier.baris memiliki ketidakbebasan linier.

selanjutnya, perhatikan bahwa rank [A] A = 0 dan rank-baris sama dengan rank-kolom, yaitu rank matriks A sama dengan jumlah maksimum vektor kolom yang memiliki kebebasan linier dari suatu matriks A, atau dapat juga dikatakan bahwa matriks A dan bentuk transposenya AT mnemiliki rank yang sama.

untuk menentukan kebebasan / ketidakbebasan untuk menentukan kebebasan / ketidakbebasan linier vektor sejumlah m, vlinier vektor sejumlah m, v11,v,v22,..,v,..,vpp (masing2 (masing2

terdiri dari n komponen), dikatakan memiliki terdiri dari n komponen), dikatakan memiliki kebebasan linier jika matriks dengan vektor kebebasan linier jika matriks dengan vektor baris vbaris v11,v,v22,..,v,..,vpp memiliki rank p; dan dikatakan memiliki rank p; dan dikatakan

memiliki ketidakbebasan linier jika memiliki memiliki ketidakbebasan linier jika memiliki rank kurang dari p.rank kurang dari p.

untuk menentukan rank matriks A dapat untuk menentukan rank matriks A dapat dilakukan dengan mereduksi A ke bentuk dilakukan dengan mereduksi A ke bentuk eselon dengan menggunakan Eliminasi Gausseselon dengan menggunakan Eliminasi Gauss

Contoh :Contoh :

A = 3 0 2 2 -6 42 24 5421 -21 0 -15

R2 R2 + 2R1; R3 R3 – 7R1;

3 0 2 2 0 42 28 58 0 -21 -14 -29

R3 R3 + 1/2R2; 3 0 2 2 0 42 28 58 0 0 0 0

Dengan hasil diatas, maka sekarang matriks Dengan hasil diatas, maka sekarang matriks adalah dalam bentuk eselon. Dari sini adalah dalam bentuk eselon. Dari sini diperoleh diperoleh rankrank[A] = 2[A] = 2

PENYELESAIAN SISTEM RETANGULAR

Misalkan terdapat suatu sistem :Misalkan terdapat suatu sistem :

Ax = bAx = b

Keterangan :Keterangan :

A = matriks m x nA = matriks m x n

x = matriks n x 1x = matriks n x 1

b = matriks m x 1b = matriks m x 1

Penyelesaian dapat dengan mudah didapatkan Penyelesaian dapat dengan mudah didapatkan jika menggunakan operasi baris elementer jika menggunakan operasi baris elementer (ERO) untuk pada matriks augmented [Ab].(ERO) untuk pada matriks augmented [Ab].

Gambar berikut menunjukkan [Ab] direduksi (r<min atau r=min {m,n}); tanda “ * “ mempresentasikan elemen yang tidak nol – elemen-elemen lain yang ada di atas garis diagonal boleh nol/tidak.

Sistem persamaan dikatakan konsisten jika Sistem persamaan dikatakan konsisten jika memiliki setidaknya sebuah penyelesaian dan memiliki setidaknya sebuah penyelesaian dan dikatakan tidak konsisten jika tidak memiliki dikatakan tidak konsisten jika tidak memiliki penyelesaian.penyelesaian.

TEORI DASAR UNTUK SISTEM PERSAMAAN LINIER

a11x1 + a12x2 + ....+ a1n Xn = b1

a22x1 + a22x2 + ....+ a2n Xn = b2

: : : : : :am1x1 + am2x2 + ....+ amn Xn = bm

Akan memiliki penyelesaian jika dan hanya jika matriks koefisien A, dan matriks augmented H = [Ab], memiliki rank yang sama.

Sebuah sistem persamaan linier :

Jika rank ini, r , sama dengan n, maka sistem tesebut memiliki unique solution.

Jika r < n, maka sistem memiliki penyelesaian yang tidak hingga.

Jika sistem tersebut memiliki penyelesaian, maka penyelesaian tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan Eleminasi gauss

EIGENVALUE DAN EIGENVECTOR

Bentuk umum permasalahan Eigenvalue:Ax = λx ........................(7)

Dengan A adalah matriks m x n dan x adalah matriks nx1 (vektor kolom)

Permasalahannya adalah menemukan λ dengan kondisi persamaan (7) memiliki penyelesaian x yang nontrivial (tidak nol)

λ disebut sebagai eigenvalue dan x disebut sebagai eigenvector dari matriks A.

Persamaan (7) dapat ditulis sebagai berikut: A x = λ I x A x – λ I x = 0 ( A – λ I ) x = 0 .................................(8)Karena besarnya λ berubah-ubah, maka A – λ I juga berubah.Jika det(A –λI) ≠ 0, matriks A – λI dapat disisipkan, dan satu-satunya penyelesaian untuk (8) adalah x = (A- λI)-1 0 = 0Namun, penyelesaian bukan-nol x akan muncul menyebabkan λ sebagai berikut:

det(A - λI) = 0..........................(9)

Persamaan (9) disebut sebagai persamaan karakteristik. Secara umum, jika A adalah matriks n x n maka:

det(A – λI) = λn + an-1 λn-1 + .. + a1 λ + a0 ...(10)

Adalah polynomial tingkat ke-n dalam λ, disebut polynomial karakteristik. Maka (9) ekivalen terhadap

λn + an-1 λn-1 + .. + a1 λ + a0 = 0 ...(10)

dan penyelesaian untuk persamaan ini adalah eigenvalue λ1 ,.....,λn.

Jika x adalah eigenvector dari A dengan eigenvalue λ, dan c ≠ 0 adalah sebuah scalar maka cx juga adalah eigenvector dari A dengan eigenvalue λ, karena

A(cx) = cAx = cλx = λ(cx)

CONTOH:

Tentukan eigenvalue dan eigenvector dari matriks berikut:

Penyelesaian:

Pertama-tama selesaikan persamaan karakteristik

A = 3 -24 -3

xy

Untuk masing-masing eigenvalue harus didapatkan eigenvector-nya. Tuliskan x =

det(A- λI)λI) = 0 det3-λ λ -24 4 -3-λλ = 0 λ = ± 1λ = ± 1

λ = 1: Ax = λ x = 1 = 3 -24 -3

xy

xy

xy

3x -2y = x x = y4x -3y = y x = y

Sehingga semua vector dalam bentuk adalah sebuah eigenvector, dengan α ≠ 0

11

α

λ = -1: Ax = λ x = -1 = 3 -24 -3

xy

xy

-x-y

3x -2y = -x 2x = y4x -3y = -y 2x = y

Sehingga semua vector dalam bentuk adalah sebuah eigenvector, dengan α ≠ 0

12

α

Contoh :

Tentukan Eigenvalue dan Eigenvector dari matriks berikut:

Penyelesaian:Pertama-tama tentukan eigenvalue λ dari persamaan karakteristik berikut:

TUGAS

8 -42 2

1 00 2

2 0 00 4 00 0 3

3 1 40 2 60 0 5

Tentukan Eigenvalue dan Eigenvector dari matrik-matrik berikut:a. b. c. d.

KEAKTIFAN

35