DETERMINAN

MENGHITUNG DETERMINANSIFAT-SIFAT DETERMINAN

Menghitung Determinan

Perkalian Elementer Ekspansi Kofaktor Reduksi Baris

Matriks Segitiga

•Menghitung Determinan Dengan Perkalian Elementer

PERMUTASI

Definisi:Suatu permutasi bilangan bulat {1,2,…,n} adalah suatu susunan bilangan-bilangan bulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulangan

Contoh: 6 permutasi berbeda dari bilangan bulat {1,2,3} adalah:{1,2,3} {2,1,3} {3,1,2}{1,3,2} {2,3,1} {3,2,1}

PERMUTASIDalam permutasi dikatakan terjadi sebuah inversi/ pembalikan bilamana suatu bilangan bulat yg lebih besar mendahului yang lebih kecil.

Contoh:Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut:(a) (6,5,3,1,4,2) (b) (2,4,1,3) c (1,2,3,4)

Penyelesaian Jumlah iversi/pembalikan: 5+4+2+0+1=12 Jumlah iversi/Pembalikan: 1+2+0=3 Tidak ada inversi/pembalikan dalam permutasi ini

PERMUTASI

Definisi: Suatu permutasi disebut genap jika

total jumlah inversi merupakan suatu

bilangan bulat genap dan disebut ganjil

jika total jumlah inversi merupakan suatu

bilangan bulat ganjil

PERMUTASIContoh. Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai

permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau ganjil

Permutasi Jumlah Inversi Klasifikasi

(1,2,3) 0 genap

(1,3,2) 1 Ganjil

(2,1,3) 1 Ganjil

(2,3,1) 2 Genap

(3,1,2) 2 Genap

(3,2,1) 3 Ganjil

DETERMINANA adalah matriks bujursangkar. Determinan matriks A yang disimbolkan det(A) dapat didefinisikan sebgai jumlah semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.

Contoh: Daftarkan semua hasil kali bertanda dari matriks-matriks berikut ini

a. b.

2221

1211

aa

aa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

DETERMINANPenyelesaian:

Hasil Kali

Dasar

Permutasi Terkait

Klasifikasi

Hasil Kali Dasar

Bertanda

a11a22 (1,2) genap a11a22

a12a21 (2,1) Ganjil -a12a21

DETERMINANPenyelesaian:

Hasil Kali Dasar

Permutasi Terkait

Klasifikasi

Hasil Kali Dasar

Bertanda

a11a22a33 (1,2,3) genap a11a22a33

a11a23a32 (1,3,2) Ganjil -a11a23a32

a12a21a33 (2,1,3) Ganjil -a12a21a33

a12a23a31 (2,3,1) Genap a12a23a31

a13a21a32 (3,1,2) Genap a13a21a32

a13a22a31 (3,2,1) Ganjil -a13a22a31

DETERMINANSehingga diperoleh:

a. det = a11a22 - a12a21

b. det = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33 -a13a22a31

2221

1211

aa

aa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

DETERMINANDengan menggunakan jembatan keledai (mnemonic) dapat

dihitung:

+ - + + + - - -

2221

1211

aa

aa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

aa

aa

aa

Contoh :

Diperoleh :det (A) = -2, det( A1) = -8, det( A2) = 2,

det(A3) = -2

1 2 3

1 2 3 4 8 12 0 1 4 1 2 3

0 1 4 , 0 1 4 , 1 2 3 , 2 3 2

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1

A A A A

MENGHITUNG DETERMINAN

DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR

Ekspansi kofaktorDefinisi:

Bila A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka

minor elemen aij (disimbolkan dengan Mij)

didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang ada setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.

Nilai (-1)i+j Mij ditulis sebagai Cij dan dinamakan sebagai

kofaktor elemen aij.

Jadi, Cij = (-1)i+jMij

Ekspansi kofaktor

Contoh:

Diketahui A =

Maka M32 = det = det

= (1)(-3) – (1)(-1)

=-3+1 = -2

Jadi, C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)(-2) = 2

122

331

121

122

331

121

31

11

Ekspansi kofaktor

Teorema:

Apabila diberikan matriks A yang berukuran nxn, maka determinan matriks A dapat dihitung dengan menggunakan:

Expansi kofaktor sepanjang kolom j:

det(A) = a1jC1j + a2jC2j +...+ anjCnj

Expansi kofaktor sepanjang baris i:

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+...+ ainCin

Ekspansi kofaktor

Contoh:

Hitung Determinan matriks A =

Penghitungan det. ekspansi kofaktor baris 1:

det (A) = 1 -2 +1

Penghitungan det. ekspansi kofaktor kolom 2 ?

122

331

121

12

33

12

31

22

31

Matriks Kofaktor

Jika A adalah sembarang matriks nxn dan Cik adalah kofaktor dari aij, maka matriks kofaktor dari A adalah:

Matriks Adjoint A yg disimbolkan Adj (A) adalah Transpose dari matriks kofaktor A

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

...

.

.

...

...

21

22221

11211

REDUKSI BARIS

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks menggunakan operasi baris elementer sehingga matriks berada pada bentuk eselon baris.

Teorema 2.1.

Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka

det(A) = 0

Teorema:

Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama.

Teorema: Misalkan A adalah sebarang matriks n x n.

(a) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det (A’) = k det (A)

(b) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila 2 baris A dipertukarkan, maka det(A’)=-det(A)

(c) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan 1 baris A ditambahkan pada baris lain, maka det (A’) = det (A)

Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan dari operasi baris elementer tertentu.

Operasi det ( A ) det ( A’ )

( i ) | A | k | A |

( ii ) | A | - | A |

( iii ) | A | | A |

det(kA) = kndet(A) n : jumlah baris

det(A+B) ≠ det(A) + det(B) det(AB) = det(A).det(B) det(A) = det(AT) implikasi : berlaku operasi kolom

11 12 13 11 12 133

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

ka ka ka a a a

ka ka ka k a a a

ka ka ka a a a

TeoremaAnggap A, B, dan C adalah matriks nxn yang berbeda hanya pada salah satu barisnya, katakanlah beris ke –r, dan anggap baris ke-r dari C bisa diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota yang berpadanan pada baris ke-r dari A dan B. Maka:

Det ( C ) = det (A) + det ( B )Hasil yg sama berlaku untuk kolom

Contoh:

110

302

571

741

302

571

171401

302

571