Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan sistem

pertidaksamaan linear adalah metode grafik. Dengan menggambarkan

pertidaksamaan ke dalam koordinat cartesius kita dapat melihat daerah

himpunan penyelesaian atau daerah yang memenuhi pertidaksamaan

tersebut. Untuk itu, tentu kita harus bisa mengubah pertidaksamaan

linear yang diberikan menjadi sebuah grafik. Pada dasarnya, pembuatan

grafik sistem pertidaksamaan linear sama dengan menggambar grafik

garis lurus. Yang menjadi pembeda hanya himpunan penyelesaiannya

saja. Berikut cara untuk menggambar grafik pertidaksamaan linear dan

menentukan himpunan penyelesaian.

Soal dan Jawaban Pertidaksamaan Linear 

1. Gambarkanlah ke dalam koordinat cartesius garis x + 2y = 8 dan 2x +

y = 6

Pembahasan : 

Pertama-tama gambarlah kordinat cartesius seperti di bawah ini :

Selanjutnya tentukan titik potong garis x + 2y = 8 terhadap sumbu x dan

sumbu y seperti berikut :

untuk x = 0 maka y = 4 ---> (0,4)

untuk y = 0 maka x = 8 ---> (8,0)

Kemudian tarik garis lurus yang menghubungkan titik potong tersebut.

Itulah garis x + 2y = 8.

Selanjutnya tentukan titik potong garis 2x + y = 6 terhadap sumbu x dan

sumbu y seperti berikut :

untuk x = 0 maka y = 6 ---> (0,6)

untuk y = 0 maka x = 3 ---> (3,0)

Kemudian tarik garis lurus yang menghubungkan titik potong tersebut.

Itulah garis 2x + y = 6.

2. Gambarkanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≤

6.

Pembahasan :

Gambar koordinat cartesius seperti soal nomor 1 kemudian tentukan titik

potong garis 2x + 3y = 6  seperti berikut :

untuk x = 0 maka y = 2 ---> (0,2)

untuk y = 0 maka x = 3 ---> (3,0)

Tarik garis lurus yang menghubungkan kedua titik potong tersebut

seperti gambar di bawah ini.

Selanjutnya tentukan daerah himpunan penyelesaian untuk

pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 6. Karena lebih kecil sama dengan (≤), maka

daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis 2x +

3y = 6 termasuk semua titik sepanjang garis 2x + 3y = 6 seperti gambar

di bawah ini. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian

pertidaksamaan itu.

3. Gambarkanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x + 2y ≥

6.

Pembahasan :

Gambar koordinat cartesius seperti soal nomor 1 kemudian tentukan titik

potong garis 3x + 2y = 6  seperti berikut :

untuk x = 0 maka y = 3 ---> (0,3)

untuk y = 0 maka x = 2 ---> (2,0)

Tarik garis lurus yang menghubungkan kedua titik potong tersebut

seperti gambar di bawah ini.

Selanjutnya tentukan daerah himpunan penyelesaian untuk

pertidaksamaan 3x + 2y ≥ 6. Karena lebih besar sama dengan (≥), maka

daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas garis 3x + 2y

= 6 termasuk semua titik pada garis 3x + 2y = 6, seperti gambar di

bawah ini.

Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan (<, <, > atau >) dan

mengandung variabel.

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menentukan semua nilai variabel yang menyebabkan

pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Nilai-nilai ini disebut penyelesaian (akar) dari pertidaksamaan

( HP = Himpunan Penyelesain )

A. Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan Linier adalah pertidaksamaan dari suatu fungsi linier, yaitu variabelnya berpangkat satu.

Pertidaksamaan linier dapat mengandung satu variable atau lebih.

Contoh-contoh pertidaksamaan dengan satu variable:

x < 5; x + 2 > 7 ; 5 x + 7 b < 8 a

Contoh-contoh pertidaksamaan dengan dua variable:

X + y < 5; x + 2y > 7 ; 5 x + 7 by < 8 a

Penyelesaian pertidaksamaan memerlukan pengetahuan tentang interval.

a. Pengertian Interval

Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan. Untuk menggambarkan

batas-batas interval pada ujung garis bilangan, biasanya digunakan tanda atau .

(Lingkaran penuh) : Berarti bilangan pada tanda ini termasuk kedalam interval

(Lingkaran kosong) : Berarti bilangan pada tanda itu tidak termasuk kedalam interval.

Berikut ini adalah bentuk-bentuk dari suatu interval yang dinyatakan dalam garis bilangan dan dalam

bentuk himpunan.

Garis Bilangan Himpunan

1. Interval tertutup

2. Interval setengah tertutup

3. Interval terbuka

4. Interval setengah garis

b. Sfat-sifat Pertidaksamaan

Beberapa sifat pertidaksamaan yang sangat penting untuk menentukan penyelesaian suatu

pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.

1) Sifat tak negatif

2) Sifat transitif

Untuk a, b, c bilangan real :

Jika a < b dan b < c maka a < c

Jika a > b dan b > c maka a > c

3) Sifat penjumlahan

Untuk a, b, c bilangan real :

Jika a < b maka a + c < b + c

Jika a > b maka a + c > b + c

Keterangan: Sifat penjumlahan menyatakan bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan

bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap.

4) Sifat perkalian

Untuk a, b, c bilangan real :

Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc

Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc

Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc

Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc

Keterangan: Sifat perkalian menyatakan bahwa jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) positif

yang sama, tanda ketidaksamaan tetap (tidak balik). Akan tetapi, jika kedua ruas dikalikan dengan

bilangan (real) negatif yang sama, tanda ketidaksamaan dibalik.

5) Sifat kebalikan(invers perkalian)

Untuk

Jika a > 0 maka > 0

Jika a < 0 maka < 0

Keterangan: Sifat kebalikan menyatakan bahwa tanda dari suatu bilangan dan kebalikannya adalah

sama. Jika suatu bilangan adalah negatif, kebalikan bilangan ini juga negatif.

c. Menyelesaikan pertidaksamaan linear

Perhatikan pertidaksamaan berikut :

3x + 1 < 5

Pada pertidaksamaan tersebut, pangkat variabel x adalah 1. Pertidaksamaan yang memuat pangkat

tertinggi dari variabel x adalah dinamakan pertidaksamaan linear.

Berarti 3x + 1 < 5 merupakan pertidaksamaan linear.

Contoh 1 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut untuk peubah pada bilangan

real, dan gambarkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan!

a. 5x – 2 < 8

b. 2x + 7 > x + 4

c. 2x – 5 < 6x + 3

Jawab

a. 5x – 2 < 8

5x < 10 x < 2

Jadi HP = { x|x < 2}

O2 Bilangan 2 tidak termasuk

b. 2x + 7 > x + 4

2x > x – 3

x > – 3

Jadi HP = {x|x > – 3}

c. 2x – 5 < 6x + 3

2x < 6x + 8

– 4x < 8

x > -2

Jadi HP = {x|x > -2}

Contoh 2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dengan Tanda Ketidaksamaan Ganda

a. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan -3 < 6x -1 < 3

Jawab :

-3 < 6x -1 < 3 …(*)

Secara umum, pertidaksamaan dengan tanda ganda diselesaikan dengan memisahkannya menjadi dua

pertidaksamaan, seperti berikut :

-3 < 6x – 1 dan 6x – 1 < 3 atau

-2 < 6x dan 6x < 4 atau

< x dan x < atau

< x dan x <

x > – …. dan x < …

Penyelesaian pertidaksamaan (*) adalah yang memenuhi dan . Penyelesainnya dapat diperoleh

dengan bantuan garis bilangan, seperti pada gambar berikut.

Penyelesaian 1

Penyelesaian 2

Kesimpulannya:

Penyelesaian 1 dan 2

Alternatif: Oleh karena variabel x hanya terdapat diruas tengah pertidasamaan, Anda dapat

menyelesaikannya secara lebih cepat tanpa perlu memisahkannya menjadi dua bagian, seperti berikut :

a. – 3 < 6x -1 < 3

– 2 < 6x < 4

b. 2x – 1 < x + 1 < 3 – x … (**)

Oleh karena variable tidak hanya terdapat diruas tengah pertidaksamaan, melainkan terdpat di ketiga

ruas, Anda hanya dapat menyelesaikannya dengan memisahkan pertidaksamaan tersebu menjadi dua

bagian prtidaksamaan, seperti berikut.

2x – 1 < x + 1 dan x + 1 < 3 – x

2x – x < 1 + 1 dan x + x < 3 – 1

X < 2 dan 2x < 2

x < 2 …. dan x < 1 …

Penyelesaian pertidaksamaan (**) adalah memenuhi dan . Penyelesaian yang memenuhi dan dapat

Anda peroleh dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti berikut.

x < 2 Penyelesaian 1

x < 1 Penyelesaian 2

x < 1 Irisan penyelesaian 1 dan 2

Jadi, HP = {x|x < 1, x R}

B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pengertian pertidaksamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat (atau) pertidaksamaan pangkat dua) adalah suatu pertidaksamaan dengan

pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.

Berikut ini adalah contoh-contoh pertidaksamaan kuadrat.

Seperti halnya dengan persamaan kuadrat, pertidasamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk baku

(bentuk umum) berikut ;

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan Garis Bilangan

Selesaikan pertidaksamaan berikut:

x2 + x – 6 < 0

Anda mulai dengan mengganti simbol ketidaksamaan (< 0) dengan tanda sama dengan (=) sehingga

diperoleh persamaan kuadrat x2 + x – 6 = 0, kemudian menentukan akar-akar PK tersebut dan

melukiskannya pada garis bilangan.

(x + 3) (x – 2) = 0 Pemfaktoran

x + 3 = 0

x = – 3

atau :

x – 2 = 0

x = 2

Akar-akar penyelesaian persamaan ini memisahkan garis bilangan menjadi tiga interval : x < -3; -3 < x <

2; dan x > 2. Oleh karena tanda ketidaksamaanya tidak mengandung tanda “=” maka -3 dan 2 bukanlah

penyelesaian dari x2 + x -6 < 0. Dengan demikian, penyelesaian dari ketidaksamaan tersebut terdapat

dalam salah satu atau lebih dari ketiga interval diatas.

Semua nilai dalam suatu inteval ini disubstitusikannya kedalam ruas kiri pertidaksamaan diperoleh :

x = 1 x2 + x – 6 = (1)2 + (1) – 6 = -4 (negatif)

x = -1 x2 + x – 6 = (-1)2 + (-1) – 6 = -6 (negatif)

x2 + x – 6 14 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 14

| | | | | | | | | |

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

tanda x2 + x -6 + + 0 – – – – 0 + +

Dari gambar diperoleh;

Untuk interval x < -3 maka x2 + x – 6 > 0 ( + )

Untuk interval -3 < x < 2 maka x2 + x – 6 < 0 ( – )

Ntuk interval x > 2 maka x2 + x – 6 > 0 ( + )

Dengan demikian penyelesaian dari x2 + x – 6 < 0 adalah interval -3 < x < 2.

Atau HP = { x | -3 < x < 2 }

Adapun penyelesaian dari x2 + x – 6 > 0 (+) adalah interval dari x2 + x – 6 < 0? Oleh karena dalam

kasus ini tanda ketidaksamaannya mengandung tanda sama dengan maka nilai x = -3 dan x = 2

termasuk dalam penyelesaian. Jadi penyelesaian dari x2 + x – 6 < 0 adalah interval -3 < x < 2.

Secara umum, untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat, Anda tentukan dahulu akar-akar

dari persamaan kuadrat yang berkaitan. Untuk selanjutnya, akar PK ini disebut titik kritis. Titik-titik kritis

ini akan mampu membagi garis bilangan atas beberapa interval. Oleh karena tanda dalam setiap interval

selalu sama, untuk setiap interval Anda hanya perlu menguji satu nilai variabel saja. Untuk jelasnya,

pelajariah contoh-contoh berikut:

Contoh 1: Pertidaksamaan Kuadrat (Dua Titik Kritis)

Selesaikan –x2 > – 2x – 3

Jawab :

Pertama, ubah pertidaksamaan kuadrat ke bentuk bakunya (ruas kanan dibuat nol)

-x2 + 2x + 3 > 0

Selanjutnya buat koefisien x2 menjadi positif dengan mengalikan 1 pada kedua ruas. Ingat, mengalikan

bilangan dengan bilangan negatif selalu membalik tanda dari pertidaksamaan. Dari sini diperoleh.

x2 – 2x – 3 < 0 ….(*)

Untuk itu, tentukan titik kritisnya dengan menyelesaikan persamaan x2 – 2x – 3 = 0

x2 – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x – 3 = 0 atau x + 1 = 0

x = 3 x = -1

Kedua titik kritis ini akan memisahkan garis bilangan atas tiga interval.

Oleh karena tanda ketidaksamaannnya mengandung tanda sama dengan (<), titik- titik kritis x = -1 dan

x = 3 termasuk penyelesaian.

Oleh karena itu, titik-titik kritis digambar dengan tanda (lingkaran penuh).

-1 0 1 2 3

( + ) ( – ) ( + )

Selanjutnya, anda uji titik sebarang dalam setiap interval untuk mengetahui tanda setiap ineterval.

Untuk interval x < – 1 ambil x = -2 x2 – 2x – 3 = (-2)2 – 2 (-2) – 3 = 5 > 0 (+)

Untuk interval -1 < -x < 3 ambil x = 0 x2 – 2x – 3 = (0)2 – (0) – 3 = -3 < 0 (-)

Untuk interval x > 3 ambil x = 4 x2 – 2x – 3 = (4)2 – 2 (4) – 3 = 5 > 0 (+)

Dengan demikian, diperoleh hasil berikut.

Dalam interval x < – 1 x2 – 2x – 3 > 0 (+)

-1 < x < 3 x2 – 2x – 3 < 0 (-)

x > 3 x2 – 2x -3 > 0 (+)

Jadi penyelesaian dari pertidaksamaan –x2 > – 2x – 3 atau ekuivalen dengan x2 – 2x – 3 < 0 adalah

HP={x| -1 < x < 3}. (ingat, tanda lingkaran penuh ()

Bagaimana jika Anda diminta untuk menyelesaikan –x2 < -2x – 3 atau ekuivalen dengan x2 – 2x – 3 > 0?

Maka jawabannya adalah:

Dari garis diatas diperoleh penyelesaiannya, yaitu x < -1 atau x > 3.

Contoh 2 Pertidaksamaan kuadrat (satu titik kritis)

Selesaikan x2 – 2x > -1

Jawab:

Pertama ubah dahulu pertidaksamaan kuadrat ke bentuk bakunya (ruas kanan dibuat menjadi nol).

x2 – 2x > -1

x2 – 2x + 1 > 0 … (*)

Pertidaksamaan (*) adalah pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula. x2 – 2x > -

1. Pertidaksamaan (*) inilah yang akan diselesaikan. Adapun titik-titik kritisnya sebagai berikut.

x2 – 2x + 1 = 0

(x – 1) (x – 1 ) = 0

x – 1 = 0

x = 1

atau

x – 1 =0

x = 1

Oleh karena itu titik kritisnya hanya satu,yaitu x = 1, garis bilangan terbagi atas dua interval.

Oleh karena itu, titik-titik kritis digambar dengan tanda (lingkaran penuh).

-1 0 1 2 3

( + ) ( +)

Ambil titik uji x = 0 dalam interval x < 1, dan titik uji x = 2 dalam interval x > 1.

x = 0 x2 – 2x + 1 = 0 – 2 (0) + 1 = 1 > 0 (+)

x = 2 x2 – 2x + 1 = (2)2 – 2(2) + 1 = 1 > 0 )+)

Dengan demikian, penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 2x > -1 atau dengan ekuivalen x2 – 2x + 1 >

0 adalah x < 1 atau x > 1 atau dapat ditulis sebagai x R dengan x 1. Penyelesaian ini ditunjukkan dalam

garis dibawah ini. Sedangkan himpunan penyelesaiannya adalah :

HP = {x| x < 1 atau x > 1, x R}

Atau

HP = {x| x R dan x 1}

Bagaimana jika Anda diminta untuk menyelesaikan pertidaksamaan x2 – 2x > -1 atau ekuivalen dengan

x2 – 2x + 1 > 0? Penyelesaiannya adalah x < 1 atau x > 1 atau dapat ditulis sebagai : x R. Himpunan

penyelesaiannya adalah

HP = { x | x < 1 atau x > 1, x R }

Atau

HP = { x | x R }

Bagaimana jika anda diminta menyelesaikan pertidaksamaan x2 – 2x < – 1 atau ekuivalen dengan x2 –

2x + 1 < 0? Maka penyelesaiannya: Tidak ada satupun nilai yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Jadi pertidaksamaan x2 – 2x < -1 tidak memiliki peyelesaian atau himpunan penyelesainnya adalah

himpunan kusong, ditulis HP = { } atau

Contoh 3: Pertidaksamaan kuadrat (tak memiliki titik kritis)

Selesaikan x2 + x + 2 > 0

Jawab:

Pertama, tentukan nilai titik kritisnya dengan menyelesaikan x2 + x + 2 = 0. Persamaan kuadrat ini

tidak bisa difaktorkan sehingga Anda perlu menghitung dahulu nilai diskriminannya (D). Koefisien-

koefisien, PK x2 + x + 2 = 0 dalah a = 1 ; b = 1 ; c = 2.

D = b2 – 4ac

= (1)2 – 4 (1) (2) = -7 < 0

Oleh karena D < 0, jelas pertidaksamaan tidak memiliki titik kritis yang real. Akibatnya, penyelesaian

dalam kasus ini tidak membagi garis bilangan menjadi beberapa bagian. Dengan demikian, x2 + x + 2

akan memiliki tanda yang sama sepanjang keseluruhan garis bilangan dan tidak bergantung pada nilai

titik uji yang Anda pilih. Oleh karena salah satu titik uji x = 0 memberikan x2 + x + 2 = 02 + 0 + 2 > 0,

setiap bilangan real adalah penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan (x2 + x + 2 > 0).

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x + 2 > 0 adalah

HP = { x | x

Adapun pertidaksamaan x2 + x + 2 < 0 tidak memliki penyelesaiannya atau HP = { }.

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangidengan bilangan

yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi denganbilangan positif

yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan

bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masingdikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2

Pertidaksamaan Linear

→ Variabelnya berpangkat 1

Penyelesaian:

Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan

Contoh: