C - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web view= 5x + x + c 3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y]...

BAB II

TEKNIK INTEGRAL

Terdapat beberapa macam teknik atau cara pengintergralan digunakan untuk

menentukan antiturunan (integral tak tentu) suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk

memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik

pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik

pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral

tersebut adalah:

1) Teknik substitusi,

2) Integral fungsi trigonometri,

3) Subtitusi fungsi trigonometri,

4) Integral parsial

5) Integral fungsi rasional, dan

6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri

2.1 Teknik Substitusi

Teknik substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk

memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a. dx = + c, asalkan n -1 atau

b. = + c, asalkan n -1

Karena rumus di atas adalah pedoman umumnya, maka integrannya

menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di

atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran

sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus

dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan

dengan metode substitusi.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1. dx

Misal u =

Substitusi bentuk terakhir ke dx, diperoleh

= -2

Dengan rumus dasar di dapat

dx = -2

= -2

= -

2. =

Substitusi E =

=

d( ) = d

2E dE = 3 dx

dx =

=

=

=

=

Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 17

= + c

=

2.

Misal A = 3x + 12

d(A) = d(3x+12)

dA = 3 dx

dx =

Sehingga =

=

=

=

=

3. dx

Misal A = 2x

d(A) = d(2x)

dA = 2 dx

dx =

dx =

=

=


=

=

=

=

=

4. (4x+2) dx

Jawab

Misal A =

A = 4x 4x

2A dA = (8x+4) dx

2A dA = 2(4x+2) dx

A dA = (4x+2) dx

Sehingga

(4x+2) dx = .A dA

=

=

= + c

5.

Jawab

Misal P =

P = 3t + 4 t =

d(P ) = d(3t+4)

2P dp = 3 dt dt = , sehingga


=

=

6.

Jawab

Misal U =

U = 16 - x x = 16 - U

d(U ) = d(16 - x )

2U du = (-2x)dx

dx =

= du

=

= -

=

=

=

7.

Jawab

Misal M = (t+2)

M = (t+2)

2M dM = 3(t+2) dt


=

=

= + C

= + C

=

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1)

2)

3)

4)

5)

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.


15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

2.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci,

berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk

menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar

tersebut adalah:

1.

2.

3.

=

4.

=

5.

6.

Berdasarkan bentuk-bentuk integral di atas, selanjutnya diberikan beberapa kasus

bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

a. Bentuk dengan m bilangan ganjil atau genap positip


Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m

digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas

atau sin = 1 - cos atau cos = 1 - sin dan .

Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan

tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh:

m bilangan ganjil

1.

Jawab

=

= dx

=

=

=

2.

Jawab

= dx

=

=

=

=

=

3.

Jawab:

Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =

Sehingga


=

=

=

=

=

=

Bentuk , , jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat

dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

sin = dan cos

Contoh:

1.

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

= =

=

=

2.

Jawab

= dx

=

=

=


= 42sin

4xx

+

=

=

3.

Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = ,

sehingga

=

=

=

=

=

=

=

Karena u = 2x, maka

=

Soal-soal

Tentukan

1.

2.

3.

4.


5.

b. Bentuk

Bentuk ini mempunyai ciri-ciri m atau n ganjil dan m dan n genap sekaligus.

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan,

maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas

dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m

ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1.

Jika m dan n genap digunakan kesamaan setengah sudut

dan sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.

Contoh

1.

Jawab

Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

=

=

=

=

= (teorema 1)

= (hasil teorema 1)

=

2.

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

=

=

=

=


3.

Jawab

Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap

=

=

=

=

Atau

=

=

=

=

4.

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

=

=

=

=

=

=

4.

Jawab


Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan

kesamaan setengah sudut sin = dan cos .

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

c. dan

Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + dan

1+cot . Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +

dan 1+cot .

Perhatikan contoh berikut:

1.


Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap,

selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +

Sehingga diperoleh

=

=

=

=

=

=

2.

Karena pangkat n genap, maka gunakan kesaman identintas ,

sehingga didapat

=

=

=

=

=

=

=

=

d. , dan

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n

sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan atau

Contoh

1.


Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan

identitas 1+tan , sehingga diperoleh

=

=

=

=

2.

Jawab

=

=

=

=

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan

substitusi kesamaan identitas 1 + tan atau 1 + cot = csc .

Contoh:

1. =

=

=

=

=

2. =

=

=

= + C


e. ,

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus

kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx =

sin mx sin nx =

cos mx cos nx =

Contoh

1. 3x cos 4x dx = dx

= + sin (-x) dx

= - x + C

2. dx = dx

=

= 5x + x + c

3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy

= dy

=

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini.

6.

7.

8.


9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri

Metode substitusi fungsi trigonometri

digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. , a Real

b. = , a Real

c. , a Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

=

=


= atau yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat

sempurna.

Bentuk integral yang integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat

diubah menjadi sejenisnya. Selesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t atau sin t =

dengan - .

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena x = a sin t maka =

=

= a cos t

dx = a cos t dt.

Selanjutnya bentuk dan substitusikan ke dalam

integral semula.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. dx

Jawab

Misal x = 2 sin t sin t =

dx = 2 cos t dt

=

Sehingga

=


= 4 = 4 = 2 + 2 dt

=

= +c

Atau 4 = 4 ( + )

= 2 sint cost + 2t + C

= 2 + 2 arc sin + C

=

2.

Jawab

=

Misal (x-2) = 2 sin t, sin t =

dx = 2 cos t dt

, sehingga

=

=

= t + C

= arc sin + C

3.

Jawab

=


Misal (x-3) = 5 sin t,

dx = 5 cos t dt

= 5 cos t, sehingga

=

=

= t + C

= arc sin + C

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca

1.

2.

3.

4. dx

Jawab

Substitusi x =

dx =

= , sehingga

dx =

= 9

= 9

=

=


=

=

=

=

= + C

=

5.

Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk atau bentuk lain yang dapat

diubah sejenisnya, selesaiannya menggunakan

substitusi x = a tan t atau dan dx = a sec , dengan -


Karena x = a tan t maka =

=

= a sec t

Selanjutnya bentuk dan dx = a sec .substitusikan ke dalam

integral semula.

Contoh:


Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.

1.

Jawab

Misal x = 3 tan t

dx = 3 sec t2 dt

3 sec t, sehingga

=

=

= ln

= ln + C

= ln

2.

Jawab

=

=

Misal (x+2) = tan t

x = (tan t) - 2

dx = sec t dan

= sec t, sehingga

=

= - dt

= 2 sec t – 5 ln

= 2


Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya

menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec t tan t dt,

- .


Karena x = a tan t maka =

=

= a

Selanjutnya bentuk = a dan dx = a substitusikan ke dalam

integral semula.


Contoh:


1.

Jawab

Misal x = 3 sec t

dx = 3 sec t tan t dt

= 3 tan t, sehingga

=

= 3

= 3

= 3 tan t – 3 t + C

= 3

2.

Jawab

=

Misal (x-1) = 3 sec t,

dx = 3 sec t tgn t dt

= 3 tgn t, sehingga

=

=

= ln

= ln

Soal-soal

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.

1. dx


2.

3.

4.

5.

6.

2.4 Integral Parsial (Integral Bagian)

Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral

yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dan u = f(x), v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh

dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan

dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi udv dan

dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit

dibandingkan dengan tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Tentukan integral persial berikut ini

1.

Jawab

Bentuk diubah menjadi udv,

Misal u = x , dv = 1 dx


dv = cos x dx , v = dx = sin x

Akibatnya = x d(sin x).

Dengan rumus integral parsial

, diperoleh

x d(sin x) = x sin x - d(x)

= x sin x - dx

= x sin x + cos x + C

Akhirnya diperoleh = x sin x + cos x + C

2. dx

Pilih u = x , du = dx

dv = , v = dx =

Sehingga dx =

Berdasarkan rumus integral parsial

, diperoleh

dx =

= -

= -

= -

= -

3. e dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx

dv = , v = = , sehingga:

e dx = sin x d(

=


=

Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode parsial

Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx

dv = , v = = , sehingga:

e dx = cos x d(

=

=

=

Akhirnya diperoleh

e dx =

=

e dx =

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. dx

8.

9. e dx

10. dx

11. dx

12.


13.

14. dx

15.

16. dx

17. dx

18. dx

19. dx

20. dx

21. dx

22.

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = ,

dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) 0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x) = a + a x + a x + a x + … + a x , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional

adalah fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh

1. f(x) = …………….fungsi rasional sejati

2. f(x) = …………….fungsi rasional tidak sejati)

3. f(x) = .............fungsi rasional tidak sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang

lebih kecil dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak

sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.


Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka

fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan

diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

f(x) =

= x +

F(x) = , g(x) 0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = sampai tidak dapat

difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:

- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)

- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax +bx + c)

- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax px + qx + c)

- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran

dapat ditentukan antiturunannya,

Misal :

(Penyebut kombinasi liner berbeda)

(kombinasi lenear berulang)

(kombinasi kuadrat berbeda)

(kombinasi linear dan kuadrat)


5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan

hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A , A , …

A dan B , B , …B .

6. Berdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya

dapat ditentukan dengan menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh

masing-masing konstanta.

7. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh : (Faktor linear berbeda)

1. Tentukan

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

dx =

=

=

=

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

dx =

= -

= ln

= ln

2. integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

=

=


=

3.

Jawab

=

=

=

=

Diperoleh A + B + C = 0

A + 3B – 2C = 1

-6A = 1

Atau A = - , B = , C =

Sehingga =

=

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut:

1)

2)

3)

4)

5)

6)


7)

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1. ,

Jawab

Karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:

=

=

=

=

= dx

Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga

= dx

=

= ln

2.

Jawab

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi

fungsi rasional sejati. Sehingga:

=


=

Selanjuntnya

=

=

=

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:

dx

= 5 ln

3.

Jawab

Integran fungsi rasional sejati, sehingga:

=

=

=

=

Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

=


=

= ½ ln

4. dx

Jawab

Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari pembilang

integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati)

dx =

= +

= +

Selanjutnya dicari =

=

=

=

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4,

atau A = -1, B = , C =

Hasil akhir pengintegralan

-

Soal-soal

Tentukan

1.


2.

3.

4.

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan

berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut

dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan

kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh

1.

Karena integran fungsi rasional sejati maka

=

=

=

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

=

=

=


2.

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

=

=

=

=

Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:

=

=

= arctg x +

3.

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x

, sehingga:

=

=

=

Maka diperoleh

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau

A = 2, B = -1, C = 0, D = -1

=


=

=

=

Jadi =

4.

Jawab

=

=

=

=

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1

=

=

= ln + ½ arc tan

5.

Jawab:

=

=

= ½ x2 - 5


= x2 – 5.

= ½ x2 -

= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C

= ½ x2 – ln + C

Soal-soal


1)

2)

3)

4)

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri

Fungsi F(x) = dan g(x) mememuat fungsi trigonometri

dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati

atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai

derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan

METODE SUBSTITUSI.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya

memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) =

2. F(x) =

3. F(x) =

4. F(x) =


5. F(x) =

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

2.

3.

4. dx

5. dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

x = 2 arc tan z sehingga dx = .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.

Karena x = 2 arc tan z maka:

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

1 + tan = sec

1 + z

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

sin

, sehingga didapat


sin

=

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

cos 2x = cos sin x

=

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

sin 2x = 2 sin x cos x

sin x = 2 sin cos

= 2

=

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat

diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = , cos x =

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Tentukan selesaian dari

1.

Jawab

=


=

=

=

= + C

=

2.

Jawab =

=

=

=

=

=

=

3. =

Jawab


=

=

=

=

=

=

=

=

Soal-soal

Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!

1. NPM GANJIL

2. NPM GENAP

3.

4.

5. NPM GANJIL


6. NPM GENAP

7.

8.

9.

10. = ln

11. dx = -ln


C - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web view= 5x + x + c 3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y]...

Documents

Transcript of C - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web view= 5x + x + c 3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y]...