1. Bilangan Kompleks

1. BILANGAN KOMPLEKS

Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem

bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup

untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu

suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks. Pengertian

bilangan kompleks, bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks

yang diuraikan dalam bab ini diharapkan dapat menjadi dasar untuk

mempelajari bab-bab selanjutnya. Oleh karena itu, setelah membaca Bab

I, mahasiswa diharapkan dapat

mengerti definisi bilangan kompleks.

mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan

kompleks.

menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub,

eksponen, pangkat dan akar.

1.1 Pengertian Bilangan Kompleks

Mengapa perlu bilangan kompleks ?

mempunyai penyelesaian dengan .

tidak mempunyai penyelesaian jika .

1

1. Bilangan Kompleks

Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga

mempunyai penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem

bilangan yaitu bilangan kompleks.

Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z : merupakan pasangan berurut dengan

. Ditulis : . merupakan bilangan yang berbentuk dengan

dan . Ditulis : .

Jika maka

= bagian riil z,

= bagian imajiner z,

= satuan imajiner dan .

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu

1. = himpunan bilangan kompleks

= .

2. Jika dan maka z dinamakan bilangan imajiner

murni.

3. Jika dan maka z merupakan bilangan riil.

4. Kesamaan bilangan kompleks.

Misalkan dan .

jika dan hanya jika dan .

Contoh 1 a.

dan .

b.

dan . □□

1.2 Bidang Kompleks

Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut , sehingga

secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks

(bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair).

2

1. Bilangan Kompleks

Selain itu, bilangan kompleks juga dapat disajikan sebagai

vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan

ujung vektor merupakan titik .

y (sumbu imajinair)

•

O x (sumbu riil)

Gambar 1. Bidang kompleks

1.3 Operasi Aljabar

Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada

bilangan riil.

Operasi Aljabar pada bilangan kompleks

Misalkan dan .

a. Penjumlahan :

b. Pengurangan : c. Perkalian :

d. Pembagian :

Perlu diperhatikan :

1. ( negatif z ).

Jika maka .

2. ( kebalikan z )

Jika maka .

Sifat Operasi Aljabar

a. Hukum komutatif

b. Hukum asosiatif

3

1. Bilangan Kompleks

c. Hukum distributif

d. Elemen netral dalam penjumlahan ( )

e. Elemen netral dalam perkalian ( )

1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk

mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

Definisi modulus (nilai mutlak)

Modulus (nilai mutlak) didefinisikan sebagai

bilangan riil non negatif dan ditulis sebagai

Modulus z = = .

Secara geometri, menyatakan jarak antara titik dan titik asal.

Misalkan dan . Jarak antara dan didefinisikan

dengan

.

Selanjutnya, persamaan menyatakan bilangan kompleks z yang

bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat dan jari-jari

R.

Definisi bilangan kompleks sekawan

Bilangan kompleks sekawan dari

didefinisikan sebagai bilangan kompleks .

Secara geometri, bilangan kompleks sekawan dinyatakan dengan

titik dan merupakan pencerminan titik terhadap sumbu riil.

Contoh 2 a. .

b. menyatakan lingkaran dengan pusat

dan jari-jari .

4

1. Bilangan Kompleks

c. Jika maka . □□

Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k. ,

l.

m. Pertidaksamaan Segitiga :

n.

o.

p. .

1.5 Bentuk Kutub

Bentuk kutub bilangan kompleks

Bilangan kompleks dapat disajikan dalam koordinat kutub . Misalkan dan maka dapat dinyatakan dalam bentuk kutub

dengan

r = modulus (nilai mutlak) = = . = argumen dari z =

= .

5

1. Bilangan Kompleks

y • z = x+ iy r θ x

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan (sesuai

dengan kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari

ditulis dengan adalah tunggal.

Jelas, . Perlu diperhatikan bahwa :

Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen

Misalkan dan

dengan .a. Perkalian

.

b. Pembagian

.

.

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

.

.

Contoh

3

Diketahui . Tentukan bentuk kutub dari z dan .

Penyelesaian :

Menggunakan sifat argumen diperoleh :

.

6

1. Bilangan Kompleks

. □□

Selain dalam bentuk umum dan bentuk kutub , bilangan

kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.

Bentuk eksponen

Bentuk eksponen bilangan kompleks yaitu

dengan dinamakan rumus Euler.

Operasi aljabar bentuk eksponen

Misalkan dan .

a. Perkalian

b. Pembagian

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

Bentuk pangkat

Misalkan , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada

bilangan riil diperoleh

,

Rumus Moivre

Jika , maka bentuk pangkat di atas menjadi , atau

, . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk

yang disebut Rumus Moivre .

1.6 Bentuk Akar

Bentuk akar

Misalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks ditulis

atau . Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat

positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu

7

1. Bilangan Kompleks

, .

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n

beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari .

Contoh 4

Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut

dalam bidang kompleks.

Penyelesaian :

Misalkan , maka dan ,

,

Sehingga diperoleh

.

.

.

y 2

x . □□

Ringkasan

Bilangan kompleks mempunyai bentuk kutub , dan bentuk eksponen , dengan .

8

1. Bilangan Kompleks

Soal-soal

1. Tentukan , , dan untuk

a. b.

2. Tuliskan bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub, tentukan juga .

a. c.

b. d.

3. Buktikan .

4. Tentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut

dalam bidang kompleks.

9