BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bilangan merupakan ide abstrak yang digunakan untuk menyatakan

banyaknya anggota suatu himpunan. Karena bilangan merupakan suatu ide

abstrak, maka perlu adanya suatu simbol yang dapat mewakili bilangan tersebut,

simbol ini yang disebut lambang bilangan. Lambang-lambang dasar yang

digunakan untuk menyusun suatu lambang bilangan yang baru disebut angka.

Lambang-lambang bilangan dasar itu adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dalam

matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas

untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan

irasional, dan bilangan kompleks.

Dalam makalah pembahasan hanya terfokus pada konsep bilangan

bilangan bulat dan operasinya. Bilangan bulat merupakan kumpulan bilangan

bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif. Bilangan bulat merupakan

konsep prasyarat yang harus dikuasai oleh semua siswa sebelum memahami

konsep selanjutnya.

Begitu pentingnya pemahaman akan bilangan bulat, maka didalam

pembelajaran mengenai bilangan bulat haruslah dikemas sedemikian rupa

sehingga siswa memahami dengan benar konsep tersebut dan guru diharapkan

tidak menggunakan cara yang mekanik, seperti memberikan aturan secara

langsung untuk dihafal, diingat, dan diterapkan. Untuk itu di dalam makalah ini

akan dibahas mengenai cara mengajarkan konsep bilangan dan operasinya

khususnya bilangan bulat.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini yakni sebagai

berikut:

a. Bagaimana konsep bilangan bulat?

b. Bagaimanakah operasi pada bilangan bulat dan bagaimana cara

mengajarkannya?

1.3 Tujuan Penulisan

a. Untuk mengetahui konsep bilangan bulat.

b. Untuk mengetahui operasi pada bilangan bulat dan cara mengajarkannya.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Konsep Bilangan Bulat

Munculnya konsep bilangan bulat adalah sebagai akibat dari

keterbatasan bilangan asli yang dikenal terlebih dahulu. Terdapat dua konsep

dasar bilangan bulat yaitu konsep tanda bilangan dan kuantitas atau harga mutlak.

Ada dua macam Tanda bilangan yaitu tanda positif yang diberi + dan tanda

negatif yang diberi simbol -. Dengan adanya bilangan bulat negatif akhirnya

diperoleh suatu sistem bilangan yang terdiri atas bilangan cacah dan bilangan

bulat negatf. Dengan demikian, bilangan bulat dapat dibagi menjadi tiga

kelompok sebagi berikut.

Bilangan bulat Positif terdiri atas: 1,2,3,4,5,dst

Bilangan nol

Bilangan bulat negatif yang terdiri atas : -1,-2,-3,-4 dst.

Adapun definisi dari bilangan bulat adalah sebagai berikut:

Himpunan Bilangan Bulat adalah

Bilangan-bilangan dst disebut bilangan bulat positif, bilangan

dstnya disebut bilangan bulat negatif, dan 0 disebut

bilangan bulat yang tidak positif dan juga tidak negatif.

Setiap bilangan bulat memiliki dua ciri penting yaitu yang disebut Tanda Bilangan

dan Kuantitas atau Harga Mutlak. Misalnya bilangan positif 6 dan bilangan

negatif enam ditulis dengan -6, kedua bilangan itu memiliki tanda yang berbeda,

tetapi dia memiliki kuatitas atau harga mutlak yang sama. Dengan demikian

dapatlah disimpulkan sebagai berikut.

Bilangan 7 memiliki tanda positif dan harga mutlak atau kuantitas = 7

Bilangan -7 memiliki tanda negatif dan harga mutlak atau kuantitas = 7

Bilangan 4 memiliki tanda positif dan harga mutlak atau kuantitas = 4

Bilangan -4 memiliki tanda negatif dan harga mutlak atau kuantitas = 4

dsbnya

Invers Jumlah atau Lawan dari Sebuah Bilangan

Bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat diatur berpasangan.

Tiap anggota dari pasangan bilangan tersebut disebut lawan atau invers dari

anggota yang lain pada pasangan bilangan tersebut.

4 lawan dari 4 atau lawan dari 4 adalah 4

3 lawan dari 3 atau lawan dari 3 adalah 3

2 lawan dari 2 atau lawan dari 2 adalah 2

1 lawan dari 1 atau lawan dari 1 adalah 1

Sehingga secara umum dapat disimpulkan bahwa jika terdapat bilangan bulat

Lawan (invers jumlah) dari adalah

Lawan (invers jumlah) dari adalah

Untuk membelajarkan konsep bilangan bulat kita dapat memberikan

contoh kegiatan sebagai berikut. Jika posisi awal dinyatakan oleh bilangan nol (0),

posisi satu langkah (satusatuan) di sebelah kanan dinyatakan oleh bilangan +1

dan posisi satusatuan di sebelah kiri dinyatakan oleh bilangan 1 (negatif satu).

Dengan demikian, posisi dua satuan di sebelah kanan dinyatakan oleh bilangan +2

dan dua posisi dua satuan di sebelah kiri dinyatakan oleh bilangan 2 (negatif

dua). Hal serupa dapat dilakukan untuk menyatakan tiga satuan di sebelah kanan,

tiga satuan di sebelah kiri, empat satuan di sebelah kanan, empat satuan di sebelah

kiri, dan seterusnya. Bilanganbilangan seperti itu disebut bilangan bulat.

Bilangan bulat adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan bulat

negatif (,3, 2, 1), bilangan nol, dan bilangan bulat positif (1, 2, 3, 4,).

Bilangan bulat dapat dinyatakan dengan menggunakan garis bilangan. Contoh dari

bilangan bulat adalah {, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 ,4, }. Misalkan diberikan

garis bilangan seperti gambar di bawah ini.

Dari garis bilangan tersebut diperoleh bahwa makin ke kanan nilai

bilangannya makin besar. Sebaliknya, makin ke kiri nilai bilangannya makin

kecil. Pada garis bilangan, 5 terletak di sebelah kanan 4, maka 5 > 4. Dan, jika

6 0 1 2 3 5 4 1 2 6 7 3 4 5 8

suatu bilangan kurang dari bilangan yang lain, maka pada garis bilangan, bilangan

itu terletak di sebelah kiri. Dengan demikian, jika 3 terletak di sebelah kiri 2,

maka 3 < 2. Pada garis bilangan dengan arah mendatar, berlaku:

1. Jika terletak di sebelah kanan , maka , dan

menghasilkan bilangan bulat positif.

2. Jika terletak di sebelah kiri , maka , dan menghasilkan

bilangan bulat negatif.

Semua bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri 0. Jadi, jika

berarti bilangan negatif. Sebaliknya semua bilangan bulat positif terletak di

sebelah kanan 0. Jadi, jika berarti a bilangan positif.

2.2 Operasi Pada Bilangan Bulat dan Cara Mengajarkannya

2.2.1 Penjumlahan

Penjumlahan menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (2002) adalah

proses, cara, perbuatan penjumlahan. Penjumlahan adalah cara memperoleh

bilangan baru berdasarkan bilangan yang telah diketahui. Penjumlahan pada

bilangan bulat berorientasi pada karakteristik dari bilangan bulat itu sendiri yaitu

yang memiliki tanda bilangan dan kuantitas. Kedua karakteristik ini mesti

tercermin dalam pembahasan mengenai operasi penjumlahan bilangan bulat

tersebut.

Sifat-sifat Penjumlahan pada Bilangan Bulat

Operasi penjumlahan memiliki tiga sifat yaitu sifat pertukaran dan sifat

pengelompokan.

Sifat pertukaran (komutatif), dapat diartikan bahwa pertukaran tempat dari

kedua bilangan yang dijumlahkan tidak berpengaruh terhadap hasil

operasi. Sebagai contoh misalnya: , dimana .

Sifat pengelompokan (asosiatif) berarti bahwa dalam penjumlahan, cara

pengelompokan tidak mempengaruhi hasil terakhir. Perlu disadari bahwa

penjumlahan itu merupakan operasi biner yang artinya hanya didefinisikan

untuk jumlah dua bilangan saja. Ketika ingin mencari jumlah lebih dari

dua bilangan, maka harus dilakukan pengelompokkan dua-dua. Cara

mengelompokkan inilah tidak berpengaruh terhadap hasil akhir. Sebagai

contoh misalnya , berlaku .

Sifat penjumlahan dengan nol, yaitu bahwa semua bilangan asli jika

ditambah dengan nol hasilnya tetap sama dengan bilangan itu sendiri. Jadi

suatu bilangan asli a jika ditambah dengan nol akan tetap sama dengan a.

Sehingga dapat dirumuskan sifat penjumlahan dengan nol ini daam bentuk

, dimana .

Setiap bilangan bulat mempunyai invers aditif. Invers dari bilangan bulat

adalah dan berlaku .

Pembelajaran Penjumlahan pada Bilangan Bulat

a. Penjumlahan dengan Peragaan Gerakan Model

Penjumlahan pada bilangan bulat dapat dilakukan peragaan gerakan

suatu model, yaitu dengan gerakan maju atau gerakan naik dengan

ketentuan sebagai berikut.

1) Arah menghadap model.

a) Positif : Model menghadap ke kanan atau ke atas.

b) Negatif : Model menghadap ke kiri atau ke bawah.

2) Titik permulaan selalu dimulai dari titik yang mewakili bilangan 0.

Contoh:

Hitunglah jumlah dari 6 + (-4) dengan peragaan gerakan!

Penyelesaian:

Tetapkan posisi awal model sebagai titik nol, lalu hadapkan model ke

kanan (dilihat dari posisi siswa). Kemudian gerakkan/langkahkan model

ke kanan sebanyak 6 langkah. Setelah itu, balikkan arah model (hadapkan

ke kiri) kemudian gerakkan/langkahkan model maju sebanyak 4 langkah.

Siswa diminta untuk memperhatikan posisi terakhir model berada, yaitu di

titik 2. Jadi, 6 + (-4) = 2.

b. Penjumlahan dengan Menggunakan Garis Bilangan

Kita dapat memikirkan penjumlahan bilangan bulat sebagai suatu

gerakan atau perpindahan sepanjang suatu garis bilangan. Suatu bilangan

bulat positif menggambarkan gerakan ke arah kanan, sedangkan bilangan

bulat negatif menggambarkan gerakan ke arah kiri. Titik permulaan selalu

dimulai dari titik yang mewakili bilangan 0.

Contoh:

Hitunglah jumlah dari 6 + (-2) dengan menggunakan garis bilangan !

Penyelesaian:

6 + (-2) berarti suatu gerakan yang di mulai dari 0, bergerak 6 satuan ke

kanan dan dilanjutkan dengan bergerak 2 satuan lagi ke kiri. Gerakan ini

berakhir di titik yang mewakili bilangan 4. Gerakan tersebut apabila dibuat

diagramnya sebagai berikut.

Jadi, 6 + (-2) = 4.

Agar siswa lebih tertarik, garis bilangan dapat diilustrasikan dengan

menggunakan wayang, mobil, binatang dan lain-lain sebagai berikut.

Gambar ini merupakan suatu bentuk alat peraga yang dapat digunakan

mengilustrasikan suatu garis bilangan secara kongkrit. Dalam hal ini posisi

wayang dimulai dari titik nol. Untuk menggunakan alat peraga ini

disepakati beberapa aturan yaitu:

Untuk menunjukkan bilangan positif berarti wayang

menghadap ke kanan

Untuk menunjukkan bilangan negatif berarti wayang

menghadap ke kiri

Untuk penjumlahan berarti melangkah maju

Contoh 1 :

Tentukan hasil dari 4 + 3 !

Penyelesaian:

Langkah-langkah dalam menggunakan alat peraga tersebut adalah

sebagai berikut:

i. Letakkan posisi wayang pada titik nol. Seperti berikut,

ii. Bilangan pertama pada soal adalah 4, maka wayang menghadap

ke kanan dan melangkah ke kanan sebanyak 4 langkah

iii. Langkah berikutnya adalah tambah 3, jadi wayang tetap

menghadap ke kanan dan maju ke kanan sebanyak 3 langkah,

maju 4

satuan

Kedudukan terakhir model adalah 7. Jadi, 4 + 3 = 7

Contoh 2 :

Menentukan hasil dari (-2) + 5 !

Penyelesaian:

i. Letakkan posisi wayang pada titik nol sebagai berikut,

ii. Bilangan pertama pada soal adalah (-2), maka wayang

menghadap ke kiri dan melangkah ke kiri sebanyak 2 langkah,

iii. Langkah berikutnya adalah tambah 5, maka wayang menghadap

ke kanan dan maju ke kanan sebanyak 5 langkah,

maju 3 satuan

maju 2

satuan

Posisi terakhir adalah 3. Jadi, (-2) + 5 = 3.

Contoh 3:

Menentukan hasil dari 4 + (-5) !

Penyelesaian:

i. Letakkan posisi wayang pada titik nol seperti berikut,

ii. Bilangan pertama pada soal adalah 4, maka wayang menghadap

ke kanan dan melangkah maju sebanyak 4 langkah,

iii. Langkah selanjutnya adalah tambah (-5), maka wayang

menghadap ke kiri dan melangkah maju sebanyak 5 langkah,

maju 5

satuan

maju 4

satuan

Posisi terakhir adalah (-1). Jadi, 4 + (-5) = (-1).

Contoh 4:

Menentukan hasil dari (-2) + (-4) !

Penyelesaian:

i. Letakkan posisi wayang pada titik nol seperti berikut,

ii. Bilangan pertama pada soal adalah (-2), maka wayang

menghadap ke kiri dan melangkah sebanyak 2 langkah,

iii. Langkah selanjutnya adalah tambah (-4), maka wayang

menghadap tetap ke kiri dan melangkah sebanyak 4 langkah ke

kiri,

maju 5

satuan

maju 2

satuan

Posisi terakhir adalah (-6). Jadi, (-2) + (-4) = (-6).

Pembelajaran Pengurangan pada Bilangan Bulat

Prinsip pengurangan adalah proses pengambilan sejumlah objek

dari objek yang ada. Sifat yang berlaku pada pengurangan bilangan bulat

hanyalah sifat ketertutupan yang artinya setiap diambil dua bilangan bulat

sebarang pasti ditemukan bilangan bulat lainnya yang merupakan hasil

pengurangan kedua bilangan bulat tersebut. Selain sifat ketertutupan ini

tidak ada sifat yang berlaku.

Seperti pada penjumlahan, untuk mengajarkan operasi

pengurangan pada bilangan bulat juga dapat menggunakan pendekatan

garis bilangan. Dalam hal ini, digunakan alat peraga wayang bilangan.

Untuk mengajarkan operasi pengurangan dengan menggunakan alat peraga

wayang bilangan diperlukan kesepakatan beberapa aturan berikut:

1. Wayang selalu dimulai di titik nol dan menghadap ke kanan atau positif

2. Bilangan positif berarti wayang menghadap ke kanan atau positif dan

bilangan negatif berarti wayang menghadap ke kiri atau negatif

3. Tanda kurang berarti wayang melangkah mundur

maju 4

satuan

Untuk dapat memahaminya, perhatikan contoh-contoh berikut.

a. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat

Positif

Contoh 1. Tentukan hasil dari 5 3

Langkah-langkahnya:

i. Tempatkan posisi wayang pada titik nol

ii. Bilangan pertama pada soal adalah 5, maka wayang tetap menghadap

ke kanan dan melangkah ke kanan sejauh 5 langkah

iii. Langkah selanjutnya adalah dikurangi 3, maka wayang tetap

menghadap ke kanan dan melangkah mundur sejauh 3 langkah

iv. Kedudukan akhir wayang adalah 2. Jadi 5 - 3 = 2.

b. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat

Positif

Contoh 2. Tentukan hasil dari -7 3

i. Tempatkan posisi wayang pada titik nol.

ii. Karena bilangan pertama -7, maka wayang menghadap ke kiri dan

melangkah ke kiri sejauh 7 langkah

iii. Langkah selanjutnya dikurangi 3, berarti wayang menghadap ke kanan

dan melangkah mundur sejauh 3 langkah

iv. Posisi akhir adalah - 10. Jadi -7 3 = -10

c. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat

Negatif

Contoh 3. Tentukan hasil dari 5 (-3)

i. Tempatkan wayang pada posisi nol

ii. Bilangan pertama adalah 5, maka wayang tetap mengahdap ke kanan

dan melangkah ke kanan sejauh 5 langkah

iii. Langkah selanjutnya adalah dikurangi (-3), maka wayang menghadap

ke kiri (arah negatif) kemudian melangkah mundur 3 langkah

iv. Posisi terakhir model adalah 7. Jadi 4 (-3) = 7.

d. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat

Negatif

Contoh 4. Tentukan hasil dari (- 7) (-3)

i. Tempatkan wayang pada posisi nol

ii. Bilangan pertama adalah (-7), maka wayang menghadap ke kiri dan

melangkah ke kiri sejauh 7 langkah

iii. Langkah selanjutnya adalah dikurangi (-3), maka wayang tetap

menghadap ke kiri (arah negatif) kemudian melangkah mundur 3

langkah

iv. Posisi terakhir model adalah -4. Jadi .

Pembelajaran Perkalian pada Bilangan Bulat

Sebagai suatu operasi, perkalian berhubungan dengan penjumlahan berulang.

Oleh karena itu, operasi perkalian dapat dikaitkan dengan proses penggabungan

beberapa himpunan objek yang masing-masing memiliki banyak anggota yang

sama. Untuk lebih jelasnya dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Dari gambar di atas, nampak bahwa penggabungan 3 himpunan yang masing-

masing banyak anggotanya sama yaitu 2 menghasilkan suatu himpunan yang

banyak anggotanya 6. Dari sini dapat dituliskan suatu bentuk perkalian yaitu

. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa .

Dari kondisi tersebut didapatlah suatu definisi konsep perkalian :

Dalam perkalian, bilangan yang terletak di depan disebut pengali sedangkan

bilangan yang terletak di belakang disebut bilangan yang dikalikan. Adapun

beberapa sifat yang ada pada operasi perkalian adalah sebagai berikut:

1. Sifat pertukaran, yang berarti bahwa pertukaran tempat dari pengali dan yang

dikalikan tidak berpengaruh terhadap hasil akhir, yaitu

2. Sifat pengelompokan, yang berarti bahwa jika dalam kalimat perkalian ada

tiga atau lebih, maka untuk menentukan hasil kalinya perlu dilakukan

Misalkan a dan b adalah suatu bilangan cacah, dan a 0

maka

a b = b + b + ... + b

Sebanyak a

pengelompokan dua-dua, karena perkalian termasuk pada operasi biner

yaitu operasi yang hanya didefiisikan untuk dua bilangan saja, yaitu

3. Sifat adanya unsur satuan, artinya ada bilangan 1 yang berlaku bahwa

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, dalam hal ini berlaku bahwa

5. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, dalam hal ini berlaku bahwa

Untuk membelajarkan konsep perkalian, guru dapat mengajak siswa untuk

menterjemahkan kalimat seharihari dalam bentuk perkalian.

Contoh:

Nana membeli 2 kantong tomat. Dimana setiap kantong Nana berisi 5 buah tomat.

Jika Nana membeli 2 kantong tomat, berapakah jumlah buah tomat yang ibu

dapatkan?

Jawab:

1 kantong tomat mendapat 5 buah tomat. Dapat diilustrasikan sebagai berikut.

1 kantong tomat =

Jika 2 kantong tomat maka:

Jika Nana membeli 2 kantong tomat berarti Nana mendapatkan tomat sebanyak

.

Dapat ditulis

5 + 5

Cara mengajarkan operasi perkalian bilangan bulat.

Pada makalah ini, akan dibahas cara mengajarkan perkalian bilangan bulat

dengan menggunakan alat peraga wayang bilangan. Adapun aturan penggunaan

alat peraga wayang bilangan dalam perkalian adalah sebagai berikut.

1. Posisi awal wayang selalu pada posisi 0.

2. Tanda pada pengali menentukan kemana wayang harus menghadap. Jika tanda

pada pengali positif maka wayang mengadap ke bilangan postif. Sedangkan

jika tanda pada pengali negatif maka wayang menghadap ke bilangan negatif.

3. Tanda bilangan yang dikalikan menunjukkan arah gerakan wayang, apabila

tandanya positif maka wayang bergerak maju sedangkan jika tandanya negatif

maka wayang bergerak mundur.

4. Bilangan pengali mewakili berapa kali wayang melompat sedangkan bilangan

yang dikalikan mewakili berapa satuan wayang bergerak dalam satu lompatan.

5. Hasil dari operasi perkalian adalah posisi akhir wayang berdiri.

Dalam mengajarkan perkalian dengan menggunakan wayang bilangan, akan

dibagi menjadi empat yaitu perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat

positif, perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, perkalian

bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, serta perkalian bilangan bulat

negatif dan bilangan bulat negatif.

a. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif

Langkah-langkah pembelajaran operasi perkalian bilangan bulat positif dengan

bilangan bulat positif dengan menggunakan alat peraga wayang bilangan dapat

diilustrasikan pada contoh berikut.

Contoh:

Langkah mengerjakan:

i. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari faktor

pengali. Karena faktor pengali bertanda positif maka wayang menghadap ke

bilangan positif.

ii. Perhatikan tanda pada bilangan yang dikalikan.

Karena bilangan yang dikalikan bertanda positif maka wayang meloncat maju

sebanyak faktor pengali yaitu 2 kali dan sebesar bilangan yang dikali yaitu 3

satuan dalam sekali lompatan.

iii. Perhatikan kedudukan akhir wayang yang menunjukkan hasil perkalian.

Karena kedudukan akhir wayang berada pada angka 6 maka hasil perkalian

adalah 6

Jadi

Dari hal di atas , maka dapat disimpulkan bahwa perkalian bilangan bulat positif

dengan bilangan bulat positif akan menghasilkan bilangan positif.

b. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif

Langkah-langkah pembelajaran operasi perkalian bilangan bulat positif dengan

bilangan bulat negatif dengan menggunakan alat peraga wayang bilangan dapat

diilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh:

Langkah mengerjakan:

i. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari faktor

pengali.

Karena faktor pengali bertanda positif maka wayang menghadap ke bilangan

positif.

ii. Perhatikan tanda pada bilangan yang dikalikan.

Karena bilangan yang dikalikan bertanda negatif maka wayang meloncat

mundur sebanyak faktor pengali yaitu 3 kali dan sebesar bilangan yang

dikalikan yaitu 2 satuan dalam sekali lompatan.

iii. Perhatikan kedudukan akhir wayang yang menunjukkan hasil perkalian.

Karena kedudukan akhir wayang berada pada angka 6 maka hasil perkalian

adalah 6

Jadi hasil dari 3 ( 2) = 6

Dari hal di atas, dapat disimpulkan bahwa perkalian bilangan bulat positif

dengan bilangan bulat negatif hasilnya adalah negatif.

c. Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif

Langkah-langkah pembelajaran operasi perkalian bilangan bulat negatif dengan

bilangan bulat positif dengan menggunakan alat peraga wayang bilangan dapat

diilustrasikan pada contoh berikut.

Contoh:

Langkah mengerjakan:

i. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari faktor

pengali.

Karena faktor pengali bertanda negatif maka wayang menghadap ke bilangan

negatif.

Perhatikan tanda pada bilangan yang dikalikan.

ii. Karena bilangan yang dikalikan bertanda positif maka wayang meloncat

maju sebanyak faktor pengali yaitu 2 kali dan sebesar bilangan yang dikalikan

yaitu 4 satuan dalam sekali lompatan.

iii. Perhatikan kedudukan akhir wayang yang menunjukkan hasil perkalian.

Karena kedudukan akhir wayang berada pada angka 4 maka hasil perkalian

adalah ( 8)

Jadi,

Dari hal di atas dapat disimpulkan perkalian bilangan bulat negatif dengan

bilangan bulat positif hasilnya adalah bilangan negatif.

d. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif

Langkah-langkah pembelajaran operasi perkalian bilangan bulat negatif dengan

bilangan bulat negatif dengan menggunakan alat peraga wayang bilangan dapat

diilustrasikan pada contoh berikut.

Contoh:

Langkah mengerjakan:

i. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari faktor

pengali.

Karena faktor pengali bertanda negatif maka wayang menghadap ke bilangan

negatif.

ii. Perhatikan tanda pada bilangan yang dikalikan.

Karena bilangan yang dikalikan bertanda negatif maka wayang meloncat

mundur sebanyak faktor pengali yaitu 2 kali dan sebesar bilangan yang

dikalikan yaitu 4.

iii. Perhatikan kedudukan akhir wayang yang menunjukkan hasil perkalian.

Karena kedudukan akhir wayang berada pada angka 6 maka hasil perkalian

adalah 8

Jadi, (2) ( 4) = 8

Dari hal di atas maka dapat disimpulkan bahwa perkalian bilangan

bulat negatif dan bilangan bulat negatif hasilnya adalah bilangan positif.

Pembelajaran Pembagian pada Bilangan Bulat

Adapun definisi dari konsep pembagian adalah :

Misalkan a dan b adalah sembarang bilangan cacah dengan maka

jika dan hanya jika . Dalam hal ini disebut bilangan

yang dibagi, disebut pembagi, dan c disebut hasil bagi.

Sebagai contoh misalnya suatu bilangan 10 jika dikurangi dengan 2 secara

berulang maka diperoleh kenyataan bahwa bilangan 10 itu akan habis jika

dikurangi dua-dua sebanyak 5 kali. Sehingga diperoleh kesimpulan bahwa

10 : 2 = 5.

Untuk membelajarkan konsep pembagian, guru dapat mengajak siswa

untuk menterjemahkan kalimat seharihari dalam bentuk pembagian. Adapun

contohnya adalah sebagai berikut. Misalkan saja, Ayah memiliki 10 kelereng

yang akan dibagikan sama banyak kepada kedua anaknya. Berapa kelereng

yang diterima masing-masing anak?

Misalkan kelereng merupakan bilangan positif maka disediakan 10 buah

kelereng, kemudian langkah yang dapat dilakukan adalah mengambil

sepuluh kelereng, dan meminta siswa untuk membilangnya. Kemudian dari

10 kelereng itu diambil 2 (dua) kelereng dan dimasukkan ke dalam wadah,

dan diulangi terus sampai kesepuluh kelereng tersebut habis. Jika hal ini telah

selesai, maka hitunglah jumlah ruangan dari wadah yang terisi 5 (lima)

kelereng tersebut, yaitu sebanyak 2 (dua) ruangan. Sehingga siswa dijelaskan

bahwa jumlah ruangan yang terisi kelereng tersebut adalah jawaban dari soal

pembagian 10 : 2 yang sama dengan 5.

Ilustrasi gambar :

5 5

Dari pengelompokkan tersebut, terlihat ada 2 kelompok telur dan

masing-masing kelompok berisi 5 buah telur. Cara pengelompokkan seperti

itu sebenarnya sama halnya dengan memperlihatkan bentuk pembagian.

Sifat Operasi Pembagian Bilangan Bulat

I. Sifat Operasi Pembagian Bilangan Bulat

a. Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat komutatif

Untuk sembarang bilangan bulat dimana dengan

maka:

Contoh:

b. Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat asosiatif

Untuk sembarang bilangan bulat dengan maka:

Contoh:

c. Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup, karena

pembagian dua bilangan bulat tidak selalu menghasilkan bilangan

bulat.

Terdapat sehingga dengan himpunan

bilangan bulat.

10

Contoh: dan bilangan bulat.

Sedangkan bilangan bulat

d. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0, hasilnya adalah tidak

terdefinisi

Jika a adalah bilangan bulat, maka:

Contoh:

1. 5 : 0 = tidak terdefinisi ( ~)

2. 0 : 2 = 0

Cara Mengajarkan Operasi Pembagian Bilangan Bulat dengan

Menggunakan Wayang Bilangan

Dalam mengajarkan pembagian dapat digunakan alat peraga wayang

bilangan. Adapun aturan penggunaan alat peraga wayang bilangan adalah

sebagai berikut.

o Tanda pada bilangan yang dibagi menentukan kemana wayang harus

menghadap. Jika tanda bilangan yang dibagi adalah postif maka wayang

bilangan menghadap ke bilangan positif. Sedangkan jika tanda bilangan

yang dibagi adalah negatif maka wayang bilangan menghadap ke bilangan

negatif.

o Tanda pada pembagi menentukan arah kepala wayang. Apabila tanda pada

pembagi adalah pisitif maka arah kepala wayang tidak berubah. Tetapi,

jika tandanya negatif maka kepala wayang berbalik arah dari arah yang

semula.

o Wayang bergerak maju sejumlah bilangan yang dibagi.

o Bilangan pembagi mewakili berapa satuan wayang bergerak dalam satu

lompatan.

o Hasil dari operasi pembagian adalah banyaknya lompatan wayang menuju

0 dan tandanya sesuai dengan arah kepala wayang yang terakhir.

a. Pembagian Bilangan Bulat Positif

Langkah-langkah pembelajaran operasi pembagian bilangan bulat positif

dengan bilangan bulat positif dengan menggunakan alat peraga wayang bilangan

dapat diilustrasikan pada contoh berikut.

Contoh:

Langkah mengerjakan:

1. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari bilangan yang

dibagi. Karena tanda bilangan yang dibagi adalah positif maka wayang

menghadap ke bilangan positif. Selanjutnya wayang melangkah maju

sebanyak bilangan yang dibagi yaitu sebanyak 8 satuan.

2. Perhatikan tanda pada pembagi.

Karena tanda pembagi adalah positif (yaitu 4) maka wayang tetap menghadap

ke bilangan positif. Selanjutnya, wayang loncat sebesar pembaginya yaitu 4

satuan sampai menuju 0.

maju 8

satuan

Loncatan

1

Loncatan

2

3. Hitunglah banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai menuju 0

dan perhatikan arah kepala wayang yang terakhir.

Karena banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai menuju 0

adalah sebanyak 2 kali kepala wayang mengarah ke bilangan positif maka

hasil dari

Jadi,

Dari hal di atas, maka dapat disimpulkan bahwa pembagian dua bilangan

bulat yang tandanya sama akan menghasilkan bilangan positif.

b. Pembagian Bilangan Bulat Negatif

Langkah-langkah operasi pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan

bulat negatif dengan menggunakan wayang bilangan dapat diilustrasikan pada

contoh berikut.

Contoh:

Langkah Mengerjakan:

1. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari bilangan yang

dibagi. Karena tanda bilangan yang dibagi adalah adalah negatif maka

wayang menghadap ke bilangan negatif. Selanjutnya wayang melangkah

maju sebanyak bilangan yang dibagi yaitu sebanyak 10 satuan.

maju 10 satuan

2. Perhatikan tanda pada pembagi.

Karena tanda pembagi adalah negatif (yaitu 2) maka wayang berbalik arah

menghadap bilangan positif. Selanjutnya, wayang loncat sebesar pembaginya

yaitu 2 satuan sampai menuju 0.

3. Hitunglah banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai menuju 0

dan perhatikan arah kepala wayang yang terakhir.

Karena banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai menuju 0

adalah sebanyak 2 kali kepala wayang mengarah ke bilangan negatif maka

hasil dari

.

Dari hal di atas, maka dapat disimpulkan bahwa pembagian bilangan bulat

yang tandanya sama hasilnya adalah bilangan positif.

c. Pembagian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Negatif

Langkah-langkah pembelajaran operasi pembagian bilangan bulat positif

dengan bilangan bulat negatif dengan menggunakan alat peraga wayang bilangan

diuraikan secara jelas pada contoh berikut ini.

Contoh:

Langkah mengerjakan:

1. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari bilangan yang

dibagi. Karena tanda bilangan yang dibagi adalah positif maka wayang

maju 10 satuan

menghadap ke bilangan positif. Selanjutnya wayang melangkah maju

sebanyak bilangan yang dibagi yaitu sebanyak 9 satuan.

2. Perhatikan tanda pada pembagi.

Karena tanda pembagi adalah negatif (yaitu 3) maka wayang berbalik arah

menghadap bilangan negatif. Selanjutnya, wayang loncat sebesar pembaginya

yaitu 3 satuan sampai menuju 0.

3. Hitunglah banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai menuju 0

dan perhatikan arah kepala wayang yang terakhir.

Karena banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai menuju 0

adalah sebanyak 3 kali kepala wayang mengarah ke bilangan negatif maka

hasil dari

Jadi,

Dari hal di atas, maka dapat disimpulkan bahwa Pembagian dua bilangan

bulat berbeda tanda hasilnya adalah bilangan negatif.

maju 9 satuan

maju 9 satuan

d. Pembagian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Positif

Langkah-langkah pembelajaran operasi pembagian bilangan bulat

negative dengan bilangan bulat negatif dengan menggunakan alat peraga

wayang bilangan dapat dijelaskan oleh contoh di bawah ini.

Contoh :

Langkah mengerjakan:

1. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari bilangan

yang dibagi. Karena tanda bilangan yang dibagi adalah adalah negatif

maka wayang menghadap ke bilangan negatif. Selanjutnya wayang

melangkah maju sebanyak bilangan yang dibagi yaitu sebanyak 4 satuan.

2. Perhatikan tanda pada pembagi.

Karena tanda pembagi adalah positif (yaitu 2) maka wayang tetap ke

menghadap bilangan negatif. Selanjutnya, wayang loncat sebesar pembaginya

yaitu 2 satuan sampai menuju 0.

maju 4 satuan

maju 4 satuan

3. Hitunglah banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai menuju 0

dan perhatikan arah kepala wayang yang terakhir.

Karena banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai menuju 0

adalah sebanyak 2 kali kepala wayang mengarah ke bilangan negatif maka

hasil dari

Jadi,

Dari hal di atas, maka dapat disimpulkan bahwa Pembagian dua bilangan

bulat berbeda tanda hasilnya adalah bilangan negatif.

BAB III

PENUTUP

3.1. Simpulan

1. Konsep bilangan cacah

Terdapat dua konsep dasar bilangan bulat yaitu konsep tanda

bilangan dan kuantitas atau harga mutlak. Ada dua macam Tanda

bilangan yaitu tanda positif yang diberi + dan tanda negatif yang diberi

simbol -. Dengan adanya bilangan bulat negatif akhirnya diperoleh

suatu sistem bilangan yang terdiri atas bilangan cacah dan bilangan bulat

negatif. Pada garis bilangan diperoleh bahwa makin ke kanan nilainya

semakin besar. Sebaliknya, makin ke kiri nilainya semakin kecil.

Bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat diatur

berpasangan. Tiap anggota dari pasangan bilangan tersebut disebut lawan

atau invers dari anggota yang lain pada pasangan bilangan tersebut,

secara umum dapat simpulkan jika terdapat bilangan bulat

Lawan (invers jumlah) dari adalah

Lawan (invers jumlah) dari adalah

2. Operasi hitung pada bilangan bulat dan cara mengajarkannya.

Operasi bilangan bulat terdiri dari penjumlahan, pengurangan,

perkalian dan pembagian. Untuk hasil dari operasi tergantung pada nilai

bilangan bulat yang dioperasikan. Cara untuk mengajarkan operasi

bilangan bulat dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan,

wayang bilangan.

3.2. Saran

Diharapkan para guru memberikan pembelajaran operasi bilangan

yang berorientasi pada pembelajaran bermakna dan menggunakan teknik

dan media pembelajaran yang lebih beragam.