Bahan Kulian Kalkulus i

download Bahan Kulian Kalkulus i

of 32

  • date post

    10-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    403
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Bahan Kulian Kalkulus i

BAB IFUNGSI1.1. PendahuluanFungsi : aturan yang menghubungkan tiap objek x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal dengan sebuah nilai tunggal y dari himpunan kedua.Daerah asal dan daerah nilai dapat berupa himpunan angka, huruf atau selainnya.Contoh:Daerah asal : himpunan mahasiswa dalam kelas.Daerah nilai : {A,B,C,D,E}Aturan yang menghubungkan 2 himpunan tersebut : prosedur dosen memberikan nilai.Dalam notasi matematika fungsi dinyatakan dengan : y = f(x), f(x) dibaca f dari x atau f pada x. Dimana x : variabel bebas dan y : variabel terikat.Contoh:G(x) = x2 2 (grafik parabola)F(x)= x3 2xZ(x,y) = 2 24 9 3631y x (grafik paraboloid hiperbol)Pengelompokan Fungsi :1. Fungsi aljabar : Fungsi linier, kuadrat, polynomial, pecah.a. Fungsi linier : y=ax+bContoh :y = 5x + 2 ; y = 13 4xb. Fungsi kuadrat : y=ax2+bx+cContoh :y = 2x2 3x +5c. Fungsi Polinomial : y=axn+bxn-1+cxn-2Contoh :y = x5 3x4 + 4x3+7d. Fungsi Pecah Contoh : 5 222+ +x xxy;5 222+ +x xxy2. Fungsi Transendena. Fungsi Trigonometri dan inversb. Fungsi Logaritma dan Eksponensial

Halaman 1 c. Fungsi Hiperbolik dan invers1.2. Fungsi TrigonometriDefinisi fungsi trigonometri dapat diperoleh dari hubingan sudut dan sisi-sisi dari segitiga siku-siku.AB =b = sisi datar; AC = c = sisi miringBC = a =sisi tegak ;x0, y0=sudut kemiringan Definisi fungsi trigonometri :1. Sin x0 = a/c 7. Tan x0 =Sin x0 / Cos x0

2. Cos x0= b/c 8. Cot x0 = Cos x0 / Sin x0 = 1/ Tan x03. Tan x0 = a/b9.Sec x0 = 1 / Cos x0

4. Cot x0 = b/a 10. CoSec x0 = 1 / Sin x0

5. Sec x0 = c/b6. CoSec x0 = c/a Contoh Identitas Fungsi Trigonometri :1. Sin2x + Cos2x = 12. 1 + Tan2x = Sec2x3. 1 + Cot x0 = CoSec x4. Sin(x+y) = SinxCosy + CosxSiny5. Cos(x+y) = CosxCosy - SinxSiny

Halaman 2 A BCx0y0cba6. Sin(x-y) = SinxCosy - CosxSiny7. Cos(x-y)= CosxCosy + SinxSiny8. Tan(x+y) = y xy xtan tan 1tan tan+9. Cot(x+y) = Coty CotxCoty Cotx++ + 110. Sin 2x = 2 SinxCosx1.3. Fungsi Invers TrigonometriFungsi invers adalah fungsi yang memadukan y dalam daerah nilai R dengan x dalam daerah asal. Dinyatakan dalam notasi matematika : jika y = f(x), invers/balikannya adalah : f-1(y) = x.Contoh : y = f(x) = 2x, rumus fungsi inversnya : x = f-1(y) = 1/2yTidak semua fungsi mempunyai invers, syarat agar suatu fungsi mempunyai invers :1. Fungsi tsb merupakan fungsi satu-satu, jika x1 x2 maka f(x1) f(x2).2. Fungsi tsb monoton murni pada daerah asalnya Untuk mendapatkan invers, daerah asal fungsi trigonometri dibatasi, sedangkan untuk daerah nilai dibatasi seluas mungkin.Contoh :1. x = sin-1y y = sin x ;-2 x22. x = cos-1y y = cos x ;0 x3. x = tan-1y y = tan x ;-2 x2Soal 1 : Tentukan hasil dari:1. sin-1(

,_

222. cos-1(

,_

233. cos(cos-1 0,6))4. sin-1 (sin 23)1.4. Fungsi Logaritma dan EksponensialBentuk dasar fungsi logaritma dan Eksponensial :

Halaman 3 1. Fungsi logaritma : y = ln xdimana x > 02. Fungsi eksponensial : y = ex dimana e = 2,7183,...(bilangan eksponensial)Sifat-sifat dasar fungsi logaritma :1. y = ln a + ln by = ln ab2. y = ln a - ln b y = ln ba3. y = ln ab

y = b ln a4. y = ln e y = 15. y = ln 1 y = 0Berdasarkan penjabaran sifat-sifat dasar tsb, dapat dibuat suatu idenititas sbb :1. z = xy ln z = ln (xy) = ln x + ln y2. z = x + y ln z = ln (x + y)3. z = x - y ln z = ln (x y)4. z = xy ln z = ln xy = y ln x5. z = ln (x + y) ez = x + y6. z = x/y ln z = ln (x/y) = lnx- ln ySoal :Gunakan pendekatan-pendekatan ln 2 = 0,693 dan ln 3 = 1,099 dan sifat-sifat fungsi logaritma untuk menghitunh nilai-nilai :a. ln 6 b. ln 81 c. ln (1/36)d. ln (3/2) e. ln 2d. ln 481.5. Fungsi Hiperbolik dan InversKesamaan fungsi hiperbolik dan trigonometri :1. Kesamaan identitas : cosh2x sinh2x = 12. Fungsi trigonometri ada hubungannya dengan lingkaran satuan, sedangkan fungsi hiperbolik dengan hiperbola.

Halaman 4 Gambar : Grafik Fungsi y = e-x dan y = exHubungan fungsi hiperbolik dan eksponensial adalah sbb :1. y = sinh x = ( ex - e-x ) / 22. y = cosh x = ( ex + e-x ) / 23. y = tanh x= sinh x / cosh x = ( ex - e-x )/ ( ex + e-x )4. y = coth x= cosh x / sinh x = ( ex + e-x )/ ( ex - e-x )5. y = sech x = 1 / cosh x = 2 / ( ex + e-x )6. y = cosech x = 1/sinh x = 2 / ( ex - e-x )7. sinh (-x) = -sinh x8. cosh (-x) = cosh xContoh Identitas Fungsi Hiperbolik :1. cosh2x sinh2x = 12.Sinh(x+y)=SinyhxCoshy + CoshxSinhy

Halaman 5 1x0yy = e-x x = ex3.Cosh(x+y)= CoshxCoshy + SinhxSinhy4.Sinh(x-y)= SinhxCosy CoshxSinhy5.Cos(x-y) = CoshxCoshy SinhxSinhy6.Tanh(x+y) = y xy xtanh tanh 1tanh tanh++7.Coth(x+y) = Cothy CothxCothy Cothx++ + 1Berdasarkan sifat-sifat dasar fungsi invers dapat dijabarkan sbb :1. Jika y = sinh-1xmaka x = sinh y = 1/csch yAtau csch y = 1/x maka y = csch-1(1/x)Sehingga didapatkan hubungan : sinh-1x = csch-1(1/x)2. Dengan cara yang sama akan dipoeroleh juga hubungan :Cosh-1x = sech-1(1/x) Coth-1x = tanh-1(1/x)3. y = sinh-1xmaka x = sinh y = (ey-e-y)/2 atau e2y-2xey-1=0, dengan persamaan ABC akan didapatkan bahwa :ey = x t12+ xmaka y = ln (x t12+ x )Karena sifat fungsi logaritma nilai y harus +, maka harga y yang memenuhi syarat :y = ln (x +12+ x ) dimana -