Bagian II. ALIRAN INKOMPRESIBEL · Teori Potensial Untuk Aliran Inkompresibel 5.1 Pendahuluan...

191

Bagian II. ALIRAN INKOMPRESIBEL

Teori Potensial Untuk Aliran Inkompresibel 192

BAB

5 Teori Potensial Untuk Aliran

Inkompresibel

5.1 Pendahuluan Seperti telah dijelaskan sebelumnya, untuk aliran disekitar benda di mana harga

cukup tinggi, asumsi invisid dapat digunakan. Asumsi ini juga dapat digunakan untuk

kasus–kasus di mana

eR

u∇ sangat kecil sehingga ( )u∇= ττ menjadi sangat kecil

sehingga τ dapat diabaikan. Untuk kasus–kasus seperti ini maka persamaan (I.3) (lihat

sub bagian asumsi inkompresibel) menjadi lebih sederhana,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−∇=×+

∂∂ ψ

ρω

2

2uputu (MI)

Apabila aliran adalah aliran steady maka 0=∂∂t

sehingga,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−∇=× ψ

ρω

2

2upu

Sekarang kita ambil “dot product“ persamaan di atas dengan, le , unit vector di arah

kecepatan (searah dengan streamline), maka

)2

(02

ψρ

++∂∂

=up

l


atau

=++ ψρ 2

2up konstan sepanjang streamline

Catatan: Persamaan terakhir juga dapat diturunkan dari persamaan Bernoulli untuk

aliran kompresibel dengan e = konstan seperti telah dijelaskan di Bab 2.

Persamaan di atas memberikan hubungan antara p dan u. Jadi apabila solusi u telah

ditemukan, maka p dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Bernoulli. Solusi

u dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan vortisitas yang untuk kasus ini

adalah,

( )d udtω ω= ⋅∇

Apabila selain asumsi inviscid, aliran juga adiabatik maka entropy (S) tidak berubah

sepanjang pergerakan sebuah fluid elemen ( 0dSdt

= ) dan aliran menjadi aliran

isentropic (lihat sub-bagian 2.6 tentang asumsi-asumsi yang biasa digunakan).

Sehingga apabila asumsi-asumsi ini kita gunakan untuk mempelajari aliran

inkompresibel disekitar benda yang diletakkan pada aliran dengan freestram yang

seragam, harga S menjadi konstan diseluruh daerah fluida dimana asumsi-asumsi

tersebut dapat digunakan. Sebagaimana telah kita pelajari sebelumnya, ini berarti ω = 0

sehingga asumsi irotasional dapat digunakan dan aliran ini disebut aliran potensial.

5.2 Teori potensial untuk aliran inkompresibel

Seperti telah dijelaskan di bab sebelumnya, aliran disekitar benda di mana tinggi

pada umumnya adalah aliran irotasional kecuali di daerah di dekat permukaan (lapisan

batas). Oleh karena itu masalah aliran di luar lapisan batas dapat diselesaikan dengan

menggunakan teori potensial. Karena

eR

0=×∇= uω dan kita ketahui dari kalkulus

vektor bahwa 0=∇×∇ φ untuk setiap skalar φ , maka u dapat dinyatakan sebagai,


φ∇=u

dan persamaan kontinuitas menjadi,

02 =∇=⋅∇ φu

02 =∇ φ (IP.1).

Persamaan di atas adalah persamaan Laplace. Persamaan ini dapat diselesaikan apabila

kondisi batasnya diberikan. Untuk aliran inviscid, kondisi batasnya adalah,

ˆ ˆsolidu n U n⋅ = ⋅ atau ˆ ˆsolidn U nφ∇ ⋅ = ⋅

sehingga

ˆsolidUn

nφ∂= ⋅

∂ (IP.2)

Kondisi batas lainnya adalah kondisi batas di freestream (daerah yang jauh dari benda).

Kondisi batas ini menyatakan bahwa φ∇=u didaerah ini adalah kecepatan freestream

atau,

( )( )u x Uφ ∞∞→ ∞ = ∇ = (IP.2.b).

Permasalahan aliran irotasional inkompresibel menjadi permasalahan untuk

mendapatkan solusi ( )φ dari persamaan (IP.1) dengan kondisi batas (IP.2) dan (IP.2.b).

Apabila φ telah ditemukan maka u didapatkan dari definisi φ∇=u . Setelah

u didapatkan maka tekanan p dapat ditemukan.

Untuk menemukan p, kita kembali ke persaman momentum untuk aliran inkompresibel

(MI) (lihat 5.1) dengan ω = 0 dan u = φ∇ .

02

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ+++

∂∂

∇

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ++−∇=∇

∂∂

upt

upt

ρφ

ρφ

atau

)(2

2

tfupt

=Ψ+++∂∂

ρφ .


f(t) yang didapatkan dari integrasi, dapat diikutsertakan kedalam φ karena φ tidak

didefinisikan secara unik. Sehingga apabila

)(' tf+= φφ

maka

uu =∇=∇= φφ ''

Dengan demikian maka persamaan di atas menjadi

tan2

2

konsupt

=Ψ+++∂∂

ρφ

(IP.3.a)

atau kasus steady,

tan2

2

konsup=Ψ++

ρ (IP.3.b)

Persamaan (IP.3.b) dapat diturunkan dari persamaan

tan2

2

konsuh =Ψ++ .

Dengan e = konstan untuk aliran inkompresibel, didapatkan persamaan Bernoulli

(IP.3.b).

5.3 Sifat-sifat umum dari solusi persamaan Laplace

Kita telah lihat permasalahan aliran inviscid inkompresibel berubah menjadi

permasalahan matematik, yaitu mendapatkan solusi persamaan Laplace, apabila asumsi

irrotasional dapat digunakan. Dalam subbagian ini kita akan mempelajari sifat-sifat

umum dari solusi persamaan Laplace. Karena sifat-sifat ini adalah sifat-sifat matematis

dari sebuah persamaan, maka apa yang kita dapatkan dalam subbagian ini berlaku

secara umum untuk segala macam fenomena fisis yang dijelaskan oleh persamaan

Laplace, termasuk aliran potensial untuk kasus inkompressible.

Sebelum kita mulai mempelajari sifat dari solusi persamaan Laplace lebih dalam,

diperlukan beberapa definisi dan teorema berikut ini. Definisi-definisi yang diperlukan

untuk mempelajari sifat-sifat persamaan Laplace adalah:


1. Reducible circuit: adalah sebuah sirkuit yang dapat “dikontraksikan” menjadi

sebuah titik tanpa melewati daerah yang dipelajari.

2. Reconciable circuit: adalah dua buah sirkuit yang dapat “dipertemukan” dengan

cara yang kontinyu tanpa melewati daerah yang dipelajari.

3. Daerah simply connected: daerah di mana semua sirkuit adalah reducible dan

reconcilable.

4. Daerah Doubly connected: daerah di mana didalamnya terdapat satu sirkuit yang

tidak reducible.

Contoh: daerah exterior dari benda 3 dimensi, daerah ini adalah daerah simply

connected karena semua sirkuit, C1 dan C2 misalnya, adalah sirkuit yang reducible

dan reconciable.

Contoh : daerah exterior dari benda 2 dimensi.


Daerah exterior dari benda yang digambarkan di atas (a dan b) adalah daerah doubly

connected karena sirkuit C1 misalnya, adalah sirkuit yang tidak reducible. (C1 hanya

dapat dikontraksikan menjadi sebuah titik dengan cara “memotong” sayap dalam kedua

gambar di atas. Dengan kata lain, harus melewati daerah yang dipelajari (fluida).

Namun, pada kedua gambar di atas sirkuit C0 adalah reducible.

Berikut ini adalah teorema-teorema yang dibutuhkan:

Teorema Stokes:

Apabila l adalah sirkuit reducible maka,

( )∫∫∫ ⋅∇×∇==⋅∂∂

=ΓAll

dSnddll

φφφ (Teorema Stokes)

di mana l adalah batas dari permukaan A (seperti terlihat dalam sketsa dibawah).

Teorema Green:

( )2 ˆR S

dV ndSψ φ ψ φ ψ φ∇ + ∇ ⋅∇ = ∇ ⋅∫ ∫ (Teorema Green)

apabila φψ , adalah fungsi yang single valued.

Bukti untuk Teorema Green:

Kita mulai dari Teorema Gauss (*)

ˆV S

AdV A ndS∇ ⋅ = ⋅∫ ∫

sekarang kita definisikan φψ ∇≡A sehingga,

( ) 2A ψ φ ψ φ ψ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ + ∇ ⋅∇φ

sekarang kita subsitusikan kedalam teorema Gauss,

( )2 ˆV

dV ndSψ φ ψ φ ψ φ∇ + ∇ ⋅∇ = ∇ ⋅∫ ∫


Perlu diingat bahwa (*) berlaku untuk A yang kontinyu (ψ & φ∇ haruslah kontinyu).

Jadi teorema ini berlaku apabila ψ & φ adalah fungsi yang single valued.

Bentuk lain dari Teorema Green adalah sebagai berikut, definisikan

A ψ φ φ ψ≡ ∇ − ∇ 2 2A ψ φ ψ φ φ ψ φ ψ∇ ⋅ = ∇ ⋅∇ + ∇ − ∇ ⋅∇ − ∇

Apabila kita subsitusikan kedalam teorema Gauss,

( )2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ. , .ˆ ˆ

V S

dV dSn n

n nn n

φ ψψ φ φ ψ ψ φ

φ ψφ ψ

∂ ∂⎛ ⎞∇ − ∇ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝

∂ ∂∇ = ∇ =

∂ ∂

∫ ∫ ⎠ (Teorema Green Kedua)

5.3.1 Keunikan solusi persamaan Laplace dalam daerah Simply Connected

Untuk kasus ini teorema Stokes dapat digunakan sehingga,

0

ˆ 0l Α

Γ d ω n dsφ= = ⋅ =∫ ∫ .

Jadi untuk kasus ini Γ = 0 untuk setiap sirkuit. Karena Γ = 0 maka,

021 Clewat Clewat

=φ−φ=φ ∫∫ ∫B

A

B

A

ddd

sehingga,

[ ] [ ]1 2lewat Clewat C

(B) (A) (B) (A)φ φ φ φ− = − .


Oleh karenanya dapat disimpulkan bahwa ( )Bφ & ( )Aφ hanya mempunyai satu nilai

(“single valued”). Dengan kata lain hanya ada satu harga φ di setiap titik di daerah

simply connected yang merupakan daerah exterior dari benda B (daerah R).

Sekarang kita akan lihat apakah solusi dari persamaan (IP.1) dengan kondisi batas (IP.2)

(Problem ini disebut juga “Neumann exterior problem”) di daerah simply connected

adalah solusi yang unik. Misalkan ada dua φ , 1φ & 2φ , yang memenuhi persamaan

(IP.1) dan kondisi batas (IP.2) sehingga,

( )1 22 0φ φ∇ − = di R dan ( )1 2 0φ φ

n∂

− =∂ di S

di mana S adalah permukaan benda. Selain itu “turunan dari (φ1 – φ2)” di infinity adalah

nol karena ( ) ( )1 2φ x U φ x∞∇ → ∞ = = ∇ → ∞ .

Sekarang kita gunakan Teorema Green dengan ψ = φ1 – φ2 & φ = φ1 – φ2 (teorema ini

dapat digunakan karena daerah di luar benda adalah simply connected sehingga φ adalah

single valued).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2ˆ

R Σ S

dV ndS dSn

φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ∂⎡ ⎤∇ − = − ∇ − ⋅ − − −⎦⎣ ∂∫ ∫ ∫

Apabila kita ambil Σ yang berada di infinity maka ( ) 0 dS Σ

→∫ , karena

( )1 2 0n

φ φ∂− =

∂ di S sehingga,

( ) ( )1 2 1 2

20 0

R

dV φ φ φ φ⎡ ⎤∇ − = ⇒ ∇ − =⎦⎣∫


Jadi, 1 2 kφ φ= + di mana k adalah konstan atau fungsi waktu.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa solusi dari di R (daerah

exterior dari S) dengan

02 =∇ φ

ˆ wallφ n U n∇ ⋅ = ⋅ ˆ di S adalah unik sampai dengan sebuah

additive k apabila R adalah daerah simply connected.

5.3.2 Keunikan solusi persamaan Laplace dalam daerah Doubly Connected

Untuk kasus ini Teorema Stokes hanya dapat digunakan untuk daerah-daerah seperti

yang dibatasi dengan sirkuit seperti yang dibatasi oleh C0. Untuk daerah-daerah yang

dibatasi dengan sirkuit seperti C2, C1, Teorema Stokes tidak berlaku. Oleh karena itu,

walaupun kita tahu bahwa ω = 0 di daerah di luar S, kita tidak tahu apakah atau

tidak (karena Teorema Stokes tidak dapat digunakan). Sehingga dapat disimpulkan

bahwa,

02 =CΓ

“Di daerah doubly connected, Γ dari sirkuit yang tidak reducible tidak harus

sama dengan nol dan harga Γ tidak dapat ditentukan dengan menggunakan apa

yang telah kita pelajari selama ini.”

Teorema Stokes dapat digunakan di daerah σ yang dibatasi oleh sirkuit C1 & C2.

∫∫∫ =⋅=⋅−⋅σCC

dSnωlduldu 0ˆ21

sehingga . Oleh karena itu dapat disimpulkan, 21 CC ΓΓ =

“Γ di sepanjang sirkuit yang tidak reducible mempunyai harga yang sama.”


Sekarang kita akan lihat sifat dari φ di dalam daerah doubly connected.

B B B

A A A

u dl dl dlφ φ∂

⋅ = ⋅ =∂∫ ∫ ∫

Karena Teorema Stokes dapat digunakan di daerah σ12 maka,

[ ] [ ]121 2

1 2

ˆ 0lewat C lewat C

B B

A A σ

lewat C lewat C

d d ω n dS

(B) (A) (B) (A)

φ φ

φ φ φ φ

− = ⋅ =

− = −

∫ ∫ ∫

Sehingga dapat disimpulkan bahwa “sepanjang reducible circuit φ adalah single

valued”.

Hal yang berbeda terjadi untuk sirkuit yang tidak reductible seperti C1 + C3. Untuk

sirkuit-sirkuit seperti ini Teorema Stokes tidak dapat digunakan sehingga,

3 1lewat C lewat C

B B

A A

d d Γφ φ− =∫ ∫

atau

[ ] [ ]2 1lewat C lewat C

(B) (A) (B) (A) Γφ φ φ φ− − − =

Jadi dapat disimpulkan bahwa

‘’Sepanjang sirkuit yang tidak reducible, φ multivalued kecuali untuk kasus Γ = 0.’’


Daerah doubly connected dapat diubah menjadi simply connected dengan memasukkan

“barrier” (lihat gambar!).

Daerah di dalam barrier tidak diikutsertakan di dalam daerah yang dipelajari. Sekarang

kita hitung sirkulasi untuk sirkuit dalam sketsa diatas,

( ) ( )1

11 1

lim limp

p

d pp p p p

φ φ φ p⎡ ⎤Γ = = −⎣ ⎦→ →∫

Maka dapat disimpulkan bahwa

“Apabila kita melompati pembatas (barrier) maka akan ada lompatan φ sebesar Γ ”

Sekarang kita akan lihat apakah solusi dari (IP.1) dengan (IP.2) adalah unik sampai

dengan sebuah “additive” k, sebagaimana kasus di daerah simply connected. Kemudian,

seperti sebelumnya, kita anggap ada dua φ (φ1 dan φ2), yang memenuhi (IP.1) dan (IP.2)

sehingga,

( )21 2 0φ φ∇ − = di R dan ( )1 2 0

nφ φ∂

− =∂

di S

Definisikan Φ ≡ φ1 – φ2 sehingga,

2 0∇ Φ = di R (daerah doubly connected) dan 0n

∂Φ=

∂ di S

Sama seperti kasus simply connected, kita akan gunakan Teorema Green untuk melihat

apakah φ adalah unik. Namun, untuk kasus ini R adalah daerah doubly connected

sehingga φ1, φ2, dan Φ adalah multivalued. Oleh karena itu, Teorema Green tidak dapat

digunakan. Untuk itu kita perlu menambahkan “barrier” membuat domain yang baru

Rb menjadi simply connected dan Teorema Green dapat digunakan.


( )0

2

1 10

AB C CD C

dS dl dl dl dln n nσ

=

n∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂

∇Φ = Φ + Φ − − Φ∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Φ

Apabila kita ambil C yang berada di infinity maka ( ) 0C

dl →∫ dan

( )2

1 1 1AB CD b b

dS dl dl dl dln n nσ + −

∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ∇Φ = Φ − Φ ≡ Φ − Φ

∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫1n

Walaupun Φ multivalued, 1n

∂Φ∂

adalah single valued karena kecepatan di sebuah titik

haruslah single valued. Jadi,

1 1b bn n+ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂Φ ∂Φ=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dengan demikian,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 2 2

1b b b b

barrier

dS dlnσ

φ φ φ φ− + − +

⎛ ⎞∂Φ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇Φ = − − − ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂⎝ ⎠∫ ∫

Karena maka ( ) ( )lim

D AD A

φ φ⎡ ⎤− =⎣ ⎦→Γ

( ) ( )21 2

barrier

dS dlnσ

∂Φ∇Φ = Γ − Γ

∂∫ ∫

atau

( )( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 2

barrier

dS dlnσ

φ φ φ φ∂∇ − = Γ − Γ −

∂∫ ∫ .


Jadi apabila Γ1 = Γ2 maka φ2 = φ1 + k tetapi apabila Γ1 ≠ Γ2 maka φ1 ≠ φ2. Dengan kata

lain, solusi unik untuk kecepatan hanya akan didapatkan apabila kedua solusi (1 dan 2)

mempunyai sirkulasi Γ yang sama. Ini berarti untuk kasus ini selain kondisi batas,

sirkulasi Γ juga harus dispesifikasikankan. Jadi dapat disimpulkan bahwa

Solusi dari di R (daerah doubly connected) dengan 2 0φ∇ = ˆ sn U nφ∇ ⋅ = ⋅ di S

adalah unik (sampai dengan sebuah konstanta k) apabila Γ diberikan. Untuk kondisi

batas di S dan ∞ yang sama, harga Γ yang berbeda akan memberikan solusi yang

berbeda.

Jadi untuk mendapatkan solusi yang unik untuk masalah aliran potensial

(inkompresibel) di daerah doubly connected Γ harus diberikan. Spesifikasi Γ

didapatkan dari pengertian fisis dari aliran yang dipelajari. Dalam permasalahan aliran

di sekitar airfoil, Γ dispesifikasikan oleh apa yang disebut dengan “Kutta condition”.

Kondisi Kutta menyatakan bahwa: aliran di permukaan airfoil harus meninggalkan

airfoil tepat di trailing edge.

5.3.3 Sifat-sifat lain dari φ

Sifat-sifat umum dari φ akan dibahas di sini. Sifat-sifat ini berlaku baik untuk R yang

simply connected walaupun R yang doubly connected.

Sifat-sifat ini adalah:

1. φ tidak mungkin mempunyai harga maksimum atau minimum di interior dari

fluida. Harga maksimum atau minimum hanya dapat dicapai di batas-batas

fluida.

Bukti: Misalkan sebuah titik P berada di interior fluida. δV adalah sebuah

volume element kecil yang mengelilingi P dengan permukaan δS.

( )

( )2

ˆ

0S S

dS ndS Vn

Vδ δ

φ φ φ δ

φ δ

∂= ∇ ⋅ = ∇ ⋅∇

∂

= ∇ =

∫ ∫


Ini artinya di sekitar P, nφ∂

∂ tidak mungkin seluruhnya negatif atau

positif. Jadi φ tidak mungkin mempunyai harga minimum atau

maksimum di titik P

2. Turunan “spatial” dari φ memenuhi persamaan Laplace.

Bukti: Turunan “spatial” dari φ adalah φ∇

u φ= ∇ , 2 0u φ∇ ⋅ = ∇ = , 0u φ∇× = ∇×∇ =

karena ( ) 2

0

u u=

⎛ ⎞∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∇⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠u maka,

2 0u∇ = atau ( )2 0φ∇ ∇ =

atau turunan spatial φ menuruti persamaan Laplace. Oleh karenanya, maka φ∇

mempunyai sifat 3 dan 4 di bawah

3. Turunan spatial dari φ tidak bisa mencapai minimum atau maksimum di interior

dari fluida.

4. Komponen kecepatan tidak dapat mencapai minimum atau maximum di interior

fluida.

5. Besar kecepatan tidak dapat mencapai harga maksimum di interior fluida

Bukti: Kita gunakan Teorema Green dengan 1φψ =

( )22

0

ndS dVS V

φ φ φ φ φ=

⎛ ⎞∇ ⋅ = ∇ + ∇⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

( )22

0

1 ˆ 02

ndS dVs v

φ φ>

⇒ ∇ ⋅ = ∇ >∫ ∫

Karena zyx ∂

∂∂∂

∂∂ φφφ ,, mematuhi persamaan Laplace (sifat 2) maka :

21 ˆ 02

u nds∇ ⋅ >∫ di mana 22 2

2ux y zφ φ φ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Jadi di sekitar titik P, 2un∂

∂ tidak mungkin negatif sehingga u2 tidak mungkin

mencapai maksimum di dalam interior fluida.

6. Tekanan mencapai minimum di batas dari fluida


( )2

2up f t

tφρ

⎛ ⎞∂= − + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

2

22

0

0

ˆ ˆ2

2

S S S S

S

pdS p ndS ndS u ndSn t

uV dSt n

δ δ δ δ

ˆρρ φ

ρρ φ δ=

>

∂ ∂= ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ − ∇ ⋅

∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂= − ∇ −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫

0S

pdSnδ

∂⇒ <

∂∫

Jadi disekitar titik P, pn

∂∂

tidak mungkin positif sehingga p tidak mungkin

mencapai minimum di dalam interior fluida.

5.3.4 Prinsip Superposisi

Persamaan Laplace (IP.1) adalah persamaan diferensial parsial yang linier. Oleh karena

itu, Prinsip Superposisi berlaku apabila kondisi batasnya dijelaskankan oleh persamaan

yang juga linier. Prinsip ini menyatakan bahwa :

Apabila , , , ,1 2 3 nφ φ φ φ… adalah solusi dari persamaan-persamaan :

21 0φ∇ = , 2

2 0φ∇ = , 2 0nφ∇ =

dengan

11a

nφ∂

=∂

, 22a

nφ∂

=∂

, nna

nφ∂

=∂

yang linier,

maka 1 2 ... nφ φ φ φ= + + + juga memenuhi persamaan Laplace

2 0φ∇ =

dengan kondisi batas

1 2 ... na a anφ∂

= + + +∂

Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mudah dengan menggunakan kenyataan bahwa

(IP.1) dan (IP.2) adalah persamaan-persamaan yang linier.


Jadi apabila kita mengetahui beberapa solusi dari persamaan Laplace, maka solusi-

solusi dapat digabungkan untuk mendapatkan solusi yang baru. Metode untuk

mendapatkan solusi dari (IP.1) (dengan(IP.2)) dengan cara menggabungkan beberapa

solusi adalah salah satu metode yang banyak digunakan. Metode lainnya adalah dengan

menggunakan “Methods of separation of variable’’.

5.4 Permasalahan aliran potensial ditinjau dari rangka acuan yang berbeda

Dalam praktik, sering sekali kita harus menyelesaikan permasalahan aliran potensial di

sekitar benda yang bergerak dengan kecepatan U(t) relatif terhadap fluida yang diam.

Untuk kasus ini permasalahan matematis yang harus diselesaikan adalah persamaan

(IP.1), (IP.2), (IP.2.b) yang untuk kasus ini menjadi,

( )( )

2 0ˆ ˆ( ) dim ( )

( ) 0b

b bSn U t n ana S S t

u x

φφ

φ∞

∇ =

∇ ⋅ = ⋅ =

→ ∞ = ∇ =

Sementara itu tekanan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Bernoulli untuk

kasus unsteady yaitu, 2

tan2

p u konstφ

ρ∂

+ + =∂

Hubungan matematis diatas adalah hubungan yang dituliskan dengan menggunakan

rangka acuan yang diam relatif terhadap ruang (K). Dari hubungan tersebut dapat

dilihat bahwa kita harus menjelaskan permukaan benda yang bergerak tersebut (Sb)

dengan menggunakan sebuah fungsi waktu walaupun benda tersebut adalah benda rigid.


Namun, apabila kita gunakan rangka acuan yang bergerak dengan benda (K1), fungsi

yang menjelaskan permukaan benda menjadi “time independent’. Ini disebabkan

karena permukaan benda Sb tidak berubah terhadap waktu apabila kita jelaskan

permukaan tersebut dengan menggunakan K1. Jadi permasalahan akan menjadi lebih

sederhana apabila kita guanakan rangka acuan K1 yang bergerak bersama dengan benda.

Untuk melihat ini, kita transformasikan hubungan diatas yang dituliskan dengan

menggunakan dari K ke K1. Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa posisi sebuah titik P

dijelaskan oleh x1 apabila diamati dari K1 dan x apabila diamati dari K. Hubungan

antara vektor x1 dan x adalah :

( ) ( )10

,t

x x t x U dτ τ= − ∫

Dari persamaan ini maka terlihat bawa kecepatan potensial dan tekanan relatif terhadap

K1 ( ( ) (1 1, , , )x t p x tφ ) adalah,

( ) ( )( ) ( )1 1, , , ,x t x x t t xφ φ φ= = t

( ) ( )( ) ( )1 1, , ,p x t p x x t t p x t= = ,

Ini tentunya sesuai dengan prinsip bahwa harga sebuah skalar tidak tergantung dari

rangka acuan yang digunakan. Selain itu hubungan-hubungan berikut juga berlaku:

11x

∂= ∇ = ∇

∂, 2 2

1∇ = ∇ (karena ( ) ( )0

t

U d f xτ τ ≠∫ )

( )1 11

1

,x t x Ut t t x t

φ φ φ φ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + ⋅ = − ⋅∇∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3)

Jadi dengan menggunakan sistem koordinat yang bergerak bersama rangka acuan K1,

permasalahan aliran potensial disekitar benda yang bergerak dengan kecepatan U(t)

selesaikan dengan mencari solusi dari permasalahan,

( )( )

21

1

1

0ˆ ˆ( ) dim ( )

( ) 0b

b bSn U t n ana S S t

u x

φφ

φ∞

∇ =

∇ ⋅ = ⋅ ≠

→ ∞ = ∇ =

di mana sekarang ( )1,x tφ φ=


Hubungan ini menunjukkan bahwa ketergantungan φ terhadap waktu didapatkan hanya

melalui ( )U t dan apabila benda bergerak dengan kecepatan konstan maka permasalahan

ini dilihat dari K1 adalah permasalahan yang steady. Perlu ditekankan disini, bahwa Sb

dalam rangka acuan K1 bukan merupakan fungsi waktu karena Sb dijelaskan dengan

menggunakan x1 yang tidak berubah terhadap waktu apabila vektor ini berada didalam

benda. Dengan menggunakan rangka acuan K1, persamaan Bernoulli menjadi,

( ) ( )21 1 1

1, t2

p x t U konstφρ φ φ∂⎡ ⎤+ − ⋅∇ + ∇ =⎢ ⎥∂⎣ ⎦

an

Terakhir, permasalahan aliran disekitar benda yang bergerak didalam fluida yang diam

dapat pula dianggap sebagai permasalahan aliran disekitar benda yang diam. Ini dapat

dilihat dengan mendefinisikan,

1 1ˆ ( )U tφ φ∇ ≡ ∇ − .

Dengan kata lain, sekarang persoalan ini diamati oleh pengamat yang diam relatif

terhadap K1 dan 1φ∇ adalah kecepatan relatif. Dengan menggunakan definisi ini maka

hubungan persamaan Laplace dan kondisi batasnya menjadi,

( ) ( )

( ) ( )

21

1 1

1 1

ˆ 0ˆ ˆ ˆ( ) 0

ˆ ( ) ( )

bbSS

n U t

U t U t

φ

φ φ

φ φ∞∞

∇ =

∇ ⋅ = ∇ − ⋅ =

∇ = ∇ − = −

n

Ini menunjukkan bahwa permasalahan aliran benda yang bergerak dengan kecepatan U

relatif terhadap fluida yang diam ekuivalen dengan permasalah aliran disekitar benda

diam yang diletakkan didalam aliran dengan kecepatan freestream –U(t). Dengan kata

lain, permasalahan aliran potensial yang dihasilkan oleh benda yang bergerak relatif

terhadap fluida yang diam dapat diselesaikan dengan menyelesaikan permasalahan

relatif terhadap benda (mencari 1φ∇ ) kemudian menambahkan kecepatan relatif ini

dengan kecepatan benda atau,

1 1ˆ( )U tφ φ∇ = + ∇

Dalam literatur φ dikenal dengan sebutan pertubation potential atau potensial

gangguan.


Namun, dalam menggunakan ekuivalensi diatas kita perlu berhati-hati. Sebelumnya

kita perlu melihat apakah aliran ini tetap merupakan aliran potensial apabila kita amati

dari rangka acuan K1.

Secara umum, benda rigid dapat bergerak secara translasi dan rotasi ( tranU U r= + Ω× )

sehingga kecepatan disebuah titik didalam aliran dapat dinyatakan sebagai,

tran relu U r u= + Ω× +

dimana u adalah kecepatan fluida dititik tersebut relatif terhadap K dan relu kecepatan

fluida dititik tersebut dilihat oleh pengamat yang bergerak bersama K1. Untuk melihat

apakah aliran tetap merupakan aliran potensial di K1, kita hitung vortisitas di titik

tersebut.

( ) ( ) ( )3 2

tran rel rel

rel rel

u U r u r rω ω

ω ω

= ∇× = ∇× + Ω× + = Ω ∇ ⋅ − Ω⋅∇ +

= Ω − Ω + = Ω +

dimana rel reluω ≡ ∇× adalah vortisitas relatif terhadap K1. Dari hasil ini terlihat bahwa

aliran yang irotasional relatif terhadap K, belum tentu juga aliran yang irotasional

apabila dilihat dari K1. Aliran hanya akan irotasional relatif terhadap kedua rangka

acuan apabila benda tersebut tidak berputar atau 0Ω = .

5.5 Gaya-gaya yang beraksi di permukaan benda yang bergerak dalam aliran potensial tak terbatas

Misalkan B bergerak dengan kecepatan U(t) dalam fluida. Apabila S adalah permukaan

dari B maka gaya yang bekerja pada B (gaya-gaya fluida) adalah:


( ) ˆ,

S

F p x t nd= −∫ S (1)

( , )p x t dapat dituliskan dengan menggunakan potensial kecepatan φ dan hubungan

antara p dan φ didapatkan dari persamaan Bernoulli

( ) ( ) ( )2 ,2

p x t f t ptφ ρρ φ ∞

∂+ ∇ + = =

∂

Seperti telah dibahas disub-bagian sebelum ini permasalahan yang harus diselesaikan

akan menjadi lebih sederhana, secara matematis, apabila kita gunakan rangka acuan K1.

Persamaan Bernoulli yang dituliskan dengan menggunakan rangka acuan ini adalah,

( ) ( ) ( )21 1 1

1, ,2

p x t p U p x ttφρ φ φ∝

∂⎡ ⎤= − − ⋅∇ + ∇ =⎢ ⎥∂⎣ ⎦

Apabila persamaan ini kita substitusikan ke persamaan (1) maka, 2

2

ˆ ˆ2

ˆ ˆ2

S S

S S

I

qF ndS U q ndSt

qndS U q ndSt

φρ ρ

ρφ ρ

=

⎡ ⎤∂= ⋅ + − ⋅⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

⎡ ⎤∂= + − ⋅⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

di mana 1q φ≡ ∇ .

Karena ( ) ( ) ( )ˆ ˆU n q U q n U n× × = ⋅ − ⋅ ˆ q maka

( ) ( )2

ˆ ˆ ˆ2S S

II

I q n U n q dS U n q dSρ

=

⎡ ⎤= − ⋅ − × ×⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ .

Karena 1 ˆ ˆn q n U n∇ ⋅ = ⋅ = ⋅ ˆ di S(x) maka

( )2

ˆ ˆ2S

qII n q n q dS⎡ ⎤

= − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

Di daerah di antara S dan Σ (daerah R0)

0 0

2

ˆ ˆ( ) ( ) ( )2S R

q n q n q dS q q q q dV⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⋅ ⋅ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ⋅ =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ 0 .

Karena adalah permukaan dan maka, 0S Σ S


2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )2 2S

q qII n q n q dS n q n q dSΣ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Jadi, apabila kita pilih Σ di infinity, maka II = 0 karena ( )1( )u x qφ∞

→ ∞ = ∇ = = 0

apabila aliran adalah aliran tak terbatas yang tak mempunyai efek di infinity. Dengan

mensubtitusikan hasil-hasil ini ke persamaan untuk F didapatkan,

ˆ ˆ( )S S

F ndS U n q dSt

ρφ ρ∂= ⋅ − ⋅ × ×

∂ ∫ ∫ (4)

Sekarang kita akan lihat arti dari ∫ ×S

dSqn )ˆ( dan untuk itu kita akan lihat permasalahan

ini menggunakan sudut pandang alternatif yang diperkenalkan di akhir sub-bagian 5.3.5.

Seperti telah dijelaskan disub-bagian 5.3.5, permasalahan ini ekuivalen dengan

permasalahan aliran disekitar benda diam yang diletakkan didalam aliran dengan

kecepatan freestream –U(t). Apabila u adalah kecepatan absolut dari fluida dalam

sudut pandang ini, maka u U= − + q .

Karena ˆ ˆ 0S S

n U dS U n dS× ⋅ = − × ⋅ =∫ ∫ maka,

∫ ∫∫ =×=×S SS

udSedSundSqn ˆ)ˆ()ˆ(

di mana dengan e ⊥ un &ˆ . Apabila kita tuliskan dS dl= ×S , di mana S adalah span

dan adalah elemen sepanjang kontur benda maka, dl

ˆ ˆ ˆ ˆ( )S S l

n q dS e udS e udl e u dl e× = = = ⋅ = Γ∫ ∫ ∫ ∫ ˆS S S .

Dengan demikian maka suku ∫ ×S

dSqn )ˆ( menjelaskan sirkulasi Γ dari benda.

Akhirnya formula untuk gaya F dapat tuliskan seperti,

ˆ (S

F ndS U et

ρφ ρ∂= + ×

∂ ∫ Sˆ)Γ (F)

di mana S adalah span dan adalah unit vektor yang tegak lurus dengan e U dan . n


Apabila kita ingat bahwa ( , ) ( ; ( ))x t x U tφ φ= maka dUt U dtφ φ∂ ∂

= ⋅∂ ∂

. Jadi, apabila U

konstan, 0=∂∂

tφ , sehingga

ˆ 0S

ndSt

ρφ∂=

∂ ∫ (untuk U = konstan).

Dari hasil-hasil di atas, maka dapat disimpulkan bahwa ;

1) Apabila benda rigid 3-D bergerak dengan kecepatan yang konstan di dalam aliran

potensial yang tak terbatas (infinite), maka gaya fluida yang beraksi pada benda

tersebut adalah nol karena ini (3-D), 0=Γ .

2) Apabila benda rigid 2–D bergerak dengan kecepatan konstan di dalam aliran

potensial yang tak terbatas, maka pada benda tersebut tidak terdapat Drag (karena

benda adalah benda 2-D dan Γ tidak harus sama dengan nol. Namun, gaya

ˆ( U e)ρ ×Γ S adalah tegak lurus dengan U sedangkan drag sejajar dengan U ).

3) Aliran steady di sekitar benda 2-D yang mempunyai Γ menghasilkan gaya

sebesar ˆF Uρ= ×ΓS

e . Oleh karena gaya ini tegak lurus dengan U dan e , maka

gaya ini adalah lift per unit span (l) sehingga,

ˆ

l Uρ= Γ (Kutta-Joukowski Theorem)

Teorema ini sangatlah penting dalam Aerodinamika.

Kesimpulan 1) dan 2) dikenal sebagai D’Alembert’s Paradox. Sekali lagi diingatkan

bahwa hasil-hasil di atas didapatkan untuk aliran yang tak terbatas. Jadi, untuk aliran

yang terbatas (aliran di sekitar benda) dapat menghasilkan drag dan tidak terdapat

D’Alembert’s Paradox.

5.6 Solusi Elementer dari Persamaan Laplace 3D


Untuk mengenal lebih jauh solusi dari persamaan Laplace, kita akan memperhatikan

beberapa solusi yang disebut solusi elementer dari persamaan Laplace. Solusi-solusi

elementer yang akan dibaas didalam dua sub-bagian berikut ini adalah solusi-solusi

persamaan Laplace yang mempunyai singularitas di sebuah titik. Pertama-tama kita

akan bahas kasus 3-D, lalu di subbagian berikutnya kita bahas kasaus 2-D.

5.6.1 Source 3-D Source adalah sebuah singularitas yang menghasilkan aliran dengan streamline berupa

garis-garis lurus yang berasal dari sebuah titik pusat. Selain itu, kecepatan yang

dihasilkan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat (jarak dari titik pusat).

Misalkan terdapat sebuah potensial dengan bentuk,

cr

φ = −

di mana c adalah konstanta dan r adalah koordinat radial. Apabila kita gunakan

“spherical coordinate system” maka

2 ˆrcu e

r rφφ ∂

= ∇ = =∂

Dari hasil di atas maka terlihat bahwa cr

φ = − adalah potensial untuk source karena

kecepatan berbanding terbalik dengan r2 dan streamline-nya adalah garis-garis lurus

yang berasal dari titik pusat. Untuk mendapatkan harga konstanta c, kita evaluasi flux

massa ( ) yang keluar dari permukaan bola dengan radius r, yang pada titik pusatnya

terdapat sebuah source.

m

ˆS

m u ndρ= ⋅∫ S , ˆS

m M u ndSρ

≡ = ⋅∫

22 2

1 4 4S

cM c dS rr r

cπ π= = =∫

sehingga π4Mc =

Dengan demikian maka,


4M

rφ

π= − dan 2 ˆ

4 rMu e

rπ=

dimana M biasanya disebut “source strength”.

5.6.2 Doublet 3-D Solusi elementer kedua yang kita pelajari adalah “doublet”. Doublet adalah sepasang

source dan sink (sink adalah source dengan M negatif) yang diletakkan dengan jarak

sangat dekat.

Apabila terdapat sebuah source dan sink yang berjarak l antara satu sama lain maka

potensial kecepatan di titik P adalah superposisi dari keduanya,

1 14 4P

r r lM Mr l r r r l

φπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= − − = −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝

⎟⎟⎠

Namun 0

lim cosl

r r l l θ→

− − = dan 2 2

0liml

r r l r r→

− = = .

Doublet adalah kasus di atas dengan 0liml→ dan sehingga M → ∞ lM µ→ di mana µ

adalah finite. Dengan demikian maka,

2 2

cos coslim4 4lM

Mlr rµ

θ µ θφπ π→

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Potensial ini dapat dituliskan dalam bentuk lain. Misalkan adalah vektor satuan yang

menunjukkan arah dan

le

l θ adalah sudut antara dan l r (lihat sketsa). Kita definisikan

leµ µ≡ dan dengan definisi ini maka


doublet 3

1 1ˆ4 4l

re

r r l 4 rµ

φ µ µπ π π

− ⋅ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅∇ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

doublet sourceM lµφ φ∂

=∂

5.7 Solusi Elementer dari Persamaan Laplace 2D

Dalam subbagian ini, akan diberikan solusi-solusi elementer dari persamaan

untuk kasus 2-D. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, untuk aliran 2-D, persamaan

kontinuitas

02 =∇ φ

0u∇⋅ = dipenuhi juga oleh

12

uxψ∂

=∂

, 21

uxψ∂

= −∂

di mana ψ adalah streamfunction yang juga mengikuti persamaan Laplace (untuk kasus

aliran potensial). Dalam subbagian ini, akan diberikan solusi-solusi elementer untuk φ

maupun untuk ψ.

5.7.1 Source 2D

Untuk kasus dua dimensi, source flow adalah aliran yang didefinisikan oleh :

rreuu ˆ=

0 ( )r

r r

u rur

Bru B ur

0∂∇ ⋅ = ⇒ =

∂

= ⇒ =

Kecepatan ini berlaku di mana pun kecuali di titik r = 0. Di titik ini menjadi infinite.

Sekarang kita akan mencari harga untuk B. Pertama-tama kita definisikan

ru


ˆr rm u e dl u d≡ ⋅ = l∫ ∫

di mana dl adalah segmen kecil sepanjang lingkaran. m disebut juga source strength.

Dari definisinya, dapat dilihat bahwa q adalah volume fluida yang keluar dari sebuah

kurva yang menutupi source tersebut. Apabila kita substitusikan , (ru θrddl = )

Bdlr

Bm ∫ == π21

Jadi, rrr euermu ˆˆ2

==π

Untuk mendapatkan ψ dan φ , kita tuliskan sebagai berikut. ru

1ru

r rψ φθ

∂ ∂= =

∂ ∂ , 1 0u

r rθψ φ

θ∂ ∂

= − = =∂ ∂

m konstan2

ψ θπ

= + , m log konstan2

rφπ

= +

di mana 21 2r x x= + 2 dan 1 2

1

tan xx

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

5.7.2 Doublet 2D

Kita telah lihat bahwa, untuk kasus 3-D hubungan antara doublet dengan “kekuatan” µ

dan source dengan “kekuatan” M adalah

doublet sourceM lµφ φ∂

=∂

di mana l adalah vektor yang menghubungkan posisi “sink” dan “source”. Untuk kasus

doublet 2-D dengan “kekuatan” κ maka,

doublet ˆ ˆlog log2 2 2l lm r e r e

m l r rκ κφ

π π π∂ ⎛ ⎞= = ⋅∇ =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

ˆreκ⋅

sehingga,

doublet cos2 rκφ θπ

= 122

xr

κπ

=

di mana θ adalah sudut antara dan . Karena le ˆre

1ru

r rφ ψ

θ∂ ∂

= =∂ ∂

dan 1ur rθ

φ ψθ

∂ ∂= = −

∂ ∂


maka,

doublet sin2 rκψ θπ

= − 222

xr

κπ

= −

Streamline dari sebuah doublet didapatkan

dengan menyatakan ψ = konstan. Bentuk dari

streamline untuk doublet dapat dilihat dalam

sketsa di atas.

5.8 Solusi Umum Persamaan Laplace 3-D dan 2-D

Di dalam subbagian ini, kita akan memempelajari solusi umum dari persamaan Laplace

3-D. Secara umum persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut,

∇2φ = m

di mana m = 0. Apabila m ≠ 0 maka persamaan diferensial itu disebut persamaan

Poisson. Solusi umum ini didapatkan dengan menggunakan apa yang disebut dengan

“teorema Green”. Teorema ini didapatkan sebagai berikut. Kita mulai dari teorema

Gauss yaitu,

ˆ V S

A dV A n dS∇ ⋅ = ⋅∫ ∫


Apabila kita pilih A ψ φ= ∇ maka,

( ) 2A ψ φ ψ φ ψ∇⋅ = ∇⋅ ∇ = ∇ ⋅∇ + ∇ φ

∫

Sehingga,

( )2 ˆV S

dV ndSψ φ ψ φ ψ φ∇ ⋅∇ + ∇ = ∇ ⋅∫ ( L3D.1)

Apabila kita tukar variabel ψ dan φ (ψ φ) dalam (L3D.1),

( )2 ˆV S

dV ndSφ ψ φ ψ φ ψ∇ ⋅∇ + ∇ = ∇ ⋅∫ ∫ ( L3D.2)

Berikutnya kita kurangi (L3D.1) dengan ( L3D.2) didapatkan,

( ) ( )2 2 ˆ V S

dV ndSψ φ φ ψ ψ φ φ ψ∇ − ∇ = ∇ − ∇ ⋅∫ ∫ (Teorema Green)

Untuk mendapatkan solusi persamaan Poisson, kita pilih ψ = r1 dimana 1r x x= − (lihat

sketsa diatas). Dari definisi r terlihat bahwa, ∇2ψ = 0 di V kecuali di titik p di mana r =

0. Apabila kita tidak sertakan titik p, dengan membuat bola Sp dengan jari-jari R1 (lihat

sketsa dibawah sebelah kanan) maka ∇2ψ = 0 di volume yang baru ini (permukaan yang

baru adalah Σ, Sb, Sp). Dengan demikian maka teorema di atas menjadi,

21 1 ˆ V Sb Sp

dV ndSr r

φ φ φ∑+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = ∇ − ∇ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

1r

.

Apabila kita definisikan permukaan St yang merupakan gabungan permukaan Σ dan Sb

(dan permukaan lain yang merupakan batas-batas fluida) maka,

21 1 1 1 1ˆ ˆ t pV S S

dV ndS ndSr r r r r

φ φ φ φ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = ∇ − ∇ ⋅ + ∇ − ∇ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫


Sekarang kita ambil limit R1 → 0 sehingga,

1 1

1

210 0

1 1 1 1

101

1 1 1 1ˆlim lim 4

lim 4 4

pR RSp

p pR

ndS Rr r R R R R

RR

φφ φ φ

φ φ π πφ

→ →

→

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞∇ − ∇ ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎛ ⎞∂

= + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫ π⎠ (p berada di dalam V)

Perlu diingat bahwa hasil terakhir didapatkan untuk titik p yang berada didalam domain

(fluida). Apabila titik p berada di permukaan St, tentunya kita tidak bisa membuat

sebuah bola. Yang bisa kita lakukan untuk kasus dimana titik p berada di permukaan St

adalah membuat setengah bola (lihat sketsa dibawah sebelah kiri) dan untuk kasus ini,

1 1

1

210 0

1 1 1 1

101

1 1 1 1 1ˆlim lim 42

lim 2 2

pR RSp

p pR

ndS Rr r R R R R

RR

φφ φ φ

φ φ π πφ

→ →

→

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞∇ − ∇ ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎛ ⎞∂

= + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫ π⎠ (p berada di permukaan St)

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa,

1 1

21 2 3

( ) ( )

42

1 1 1 1 ˆ( ) ( , , ) ( )t

t

pV x S x

p didalam Vp dipermukaan S

x x x x dV ndSn r r r

n

φ φ φ φ φπ

⎡ ⎤= = ∇ ⋅ + ∇ − ∇ ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∫ ∫ (L3D.a)

Hasil di atas adalah solusi dari persamaan Poisson 3-D. Kita lihat bahwa apabila φ

& nnφ φ∂

= ∇ ⋅∂

diketahui di St maka φ di setiap titik dalam aliran dapat dihitung.

Untuk persamaan Laplace, ∇ sehingga, 02 =φ

SpSp

R1 R1

P P

St


1 1( ) ( )

42

1 1 1 1 1 1ˆ( ) ( )t t

t

S x S x

p didalam Vp dipermukaan S

x ndS dSn r r n n r r n

n

φφ φ φ φπ π

⎡ ⎤ ⎡ ∂ ∂= ⋅∇ − ∇ ⋅ = −⎢ ⎥ ⎢

∂ ∂⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

=

∫ ∫⎤⎥⎥⎦ (L3D.b)

Jadi untuk aliran irrotasional 3-D, solusi didapatkan dengan menggunakan (L3D.b) di

mana Sb dan Σ adalah batas-batas fluida (total kedua permukaan adalah St) dalam

permasalahan tersebut. Perlu diingat, bahwa integrasi dilakukan relatif terhadap

variabel 1x dan 1r x x= − .

Untuk kasus 2-D, solusi umum untuk persamaan Laplace didapatkan dengan memilih

ln rψ = untuk ψ di dalam teorema Green. Untuk kasus 2D, domain dari persamaan

Laplace bukanlah volume melainkan area. Dengan demikian maka kita perlu mengganti

integral volume dan area dalam kasus 3D menjadi integral area dan integral sepanjang

kurva. Sama seperti kasus 3-D, 2 0ψ∇ = di dalam domain (area) kecuali di titik P di

mana r = 0. Dengan membuat lingkaran Sp dengan jari-jari R1 maka di dalam

area yang dibatasi oleh kurva-kurva Σ, S

2 0ψ∇ =

b, Sp. Di dalam domain ini, teorema Green

menjadi,

( )2 ˆln ln lnb pS S S

r dS r r ndφ φ φΣ+ +

∇ = ∇ − ∇ ⋅∫ ∫ l

Seperti sebelumnya kita definisikan kurva St yang merupakan gabungan antara kurve Σ

dan Sb (dan kurva lain yang merupakan batas-batas fluida) sehingga,

( ) ( )2 ˆ ˆln ln ln ln lnt pS S S

r dS r r ndl r r ndφ φ φ φ φ∇ = ∇ − ∇ ⋅ + ∇ − ∇ ⋅∫ ∫ ∫ l

Apabila kita ambil limit R1→0

( )1 1

1

1 10 01 1

1 101

ˆlim ln ln lim ln ln 2

lim 2 ln 2

p

pR RS

p pR

r r ndl R RR R

R RR

φ1Rφ φ φ

φ

π

π φ π

→ →

→

⎛ ⎞∂ ∂∇ − ∇ ⋅ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫

φ= −

( p berada di dalam S)

Seperti dalam kasus 3D, apabila p terdapat di kurva St maka,


( )1 1

1

1 10 01 1

1 101

1ˆlim ln ln lim ln ln 22

lim ln

p

pR RS

p pR

r r ndl R RR R

R RR

φ1Rφ φ φ

φπ φ π

→ →

→

⎛ ⎞∂ ∂∇ − ∇ ⋅ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂= − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫ π

φ−

(p berada di permukaan St).


( ) ( )( )

2

21

1 1 ˆln ln lnt

t

pS S

p didalam Sp dikurva S

x r dS r r ndn n

n

φ φ φ φπ π

= − ∇ + ∇ − ∇ ⋅

=

∫ ∫ l

Apabila maka 2 0φ∇ =

( )

1( )

21

1 llnt

t

pS x

p didalam Sp dikurva S

rnx r dn n

n

φφ φπ

∂ ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ∂⎝

=

∫ ln ⎠ (L2D)

Sekali lagi diingatkan bahwa integrasi dilakukan terhadap variabel 1x dan 1r x x= − .

5.8.1 Solusi umum sebagai superposisi dari source dan doublet Dalam sub-bagian ini, akan diperlihatkan bahwa solusi umum dari persamaan Laplace,

baik 3D maupun 2D, adalah superposisi dari source dan doublet yang terdapat di

permukaan banda atau batas-batas fluida. Bentuk solusi umum yang akan kita dapatkan

ini adalah bentuk yang dapat digunakan untuk mendapatkan solusi secara numerik.

Solusi umum untuk persamaan Laplace, baik 3-D maupun 2D, dapat dituliskan seperti

(untuk kasus 2D integral area tentunya diubah menjadi integral sepanjang kurva),

( )1( )t

ss

S x

x dSn n

φφφ φ φ⎡ ⎤∂∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ (MP.1)

di mana φs adalah,

1 ( 3

ln ( 2 )

kasus Dn r

s r kasus Dn

π

π

φ− −

− −=

)

dan harga n tergantung dari letak titik x didalam domain atau dibatas domain (lihat

persamaan (L3D.b) dan (L2D)). Jadi harga φ di setiap titik di dalam aliran dapat


dihitung apabila kita mengetahui harga φ dan nφ∂

∂ di permukaan St. n

φ∂∂

tentunya

diketahui dari kondisi batas tetapi bagaimana dengan harga φ di St?

Untuk itu, pertama-tama kita perluas “domain perhitungan” dengan mengikutsertakan

daerah di luar aliran seperti daerah di dalam St dan kita nyatakan harga φ yang

dihasilkan oleh aliran didaerah ini dengan simbol φ .

Untuk melihat kontribusi dari “aliran imajiner” ini, di sebuah titik P di dalam aliran, kita

kembali ke teorema Green dan gunakan teorema ini di “daerah baru” (volume daerah ini

adalah Vt)

( )2 2

t tV S

dV dSn nφ ψψ φ φ ψ ψ φ

⎛ ⎞∂ ∂∇ − ∇ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫

Karena aliran di daerah baru ini adalah aliran (imajiner) potensial maka .

Selain itu, karena kita pilih titik P yang berada di luar V

2 0φ∇ =

t maka apabila 1r

ψ = kita tidak

akan menemui kesulitan dengan kasus r = 0 (r tidak akan sama dengan nol karena P di

luar Vb, lihat sketsa) sehingga di V2 0ψ∇ = b dan

0t

ss

S

dSn n

φφφ φ⎡ ⎤∂∂

= −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∫ (MP.2)

Karena maka apabila kita jumlahkan (MP.1) dan (MP.2) didapatkan ˆn = −n

( ) ( )t

ss

SA B

x dSn n nφ φ φφ φ φ φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫


Karena untuk kasus 3D, misalnya, source 4M

rφ

π−

= dan doublet1

4l rφ µ

π∂ ⎛= −⎜∂ ⎝ ⎠

⎞⎟

)

maka

jelaslah bahwa suku A pada integral di atas menjelaskan sebuah doublet dengan

kekuatan (µ φ φ= − − . Sedangkan suku B menjelaskan sebuah source dengan

kekuatan Mn nφ φ∂ ∂

= −∂ ∂

. Oleh karena itu, maka solusi umum persamaan Laplace 3-D

dapat dituliskan seperti

1( )

1 ( 3 ), 4 ( ) 2 (

ln ( 2 ), 2 ( ) 1 ( )

( )t

t

t

s sS x

kasus D n untuk x yang berada di V atau n untuk x yan )g berada di Sn r

s r kasus D n untuk x yang berada di S atau n untuk x yang berada di Sn

x M dSn

π

π

φ φ µ φ

φ− − = =

− − = =

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

=

∫(MP.3)

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa solusi umum dari persamaan Laplace

3-D adalah superposisi dari source dan doublet pada permukaan benda. Berbeda

dengan (MP. 1) dimana solusi ditentukan oleh harga potensial φ di St, dapat dilihat

bahwa dengan menggunakan persamaan (MP.3) kita mendapatkan kebebasan untuk

memilih bentuk dari potensial φ . Ini disebabkan karena baik φ maupun turunannya

diarah normal belum dispesifikasikan. Dengan kata lain, distribusi dari source dan

doublet di permukaan St bukan merupakan distribusi yang unik sehingga kita dapat

memilih suatu distribusi source dan doublet yang mempermudah perhitungan. Selain

itu (MP.3) menunjukkan bahwa solusi persamaan Laplace didapatkan apabila harga µ

dan M di permukaan diketahui. Sekarang yang menjadi pertanyaan bagaimana

mendapatkan harga µ dan M di permukaan?

Solusi umum persamaan Laplace dalam bentuk (M.P.3) memberikan kita kebebasan

untuk memilih bentuk dari potensial φ maupun turunannya diarah normal. Misalnya,

kita dapat memilih φ φ= di permukaan St sehingga harga µ di St adalah nol dan (M.P.3)

menjadi,

( )1( )

( )t

sS x

x M dSφ φ= ∫ .


Dengan pilihan ini, persamaan solusi Laplace didapatkan dengan menggunakan

distribusi source.

Apabila kita dapat memilih n nφ φ∂ ∂

=∂ ∂

di permukaan St, harga Μ di St menjadi nol dan

(M.P.3) menjadi,

1( )

( )t

sS x

x dn

φ µ φ∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ S

Dengan pilihan ini, persamaan solusi Laplace didapatkan dengan menggunakan

distribusi doublet.

Secara umum, harga µ dan M di permukaan didapatkan dengan mengevaluasi ( )xφ di

permukaan St dan biasanya ini dilakukan secara numerik dengan menggunakan metoda

yang dikenal dengan sebutan Metoda Panel. Metoda ini akan kita pelajari lebih lanjut

di BAB 7.

5.9 Solusi dengan Menggunakan Vortex

xr

x1

Dalam subbagian ini kita akan mempelajari medan kecepatan yang dihasilkan oleh

vortex. Kemudian kita akan melihat bagaimana vortex digunakan untuk mendapatkan

solusi dari persamaan Laplace 3-D.

Apabila terdapat vortisitas pada sebuah titik dalam aliran inkompresibel maka pada titik

tersebut,

u ω∇× = dan 0u∇ ⋅ =

Dari analisis vektor kita ketahui bahwa apabila


u A= ∇× (V.1)

di mana A adalah vektor potensial, maka persamaan 0u∇ ⋅ = akan terpenuhi. Apabila

(V.1) kita substitusikan ke hubungan u ω∇× = maka didapatkan,

( ) ( ) 2A A Aω = ∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∇

Berikutnya kita anggap, 0A∇ ⋅ = (nanti kita akan lihat konsekuensi dari pilihan ini)

sehingga, 2 Aω− = ∇ (V.2)

Persamaan (V.2) adalah persamaan Poisson yang mana solusinya telah kita lihat

sebelumnya (L3D. a) yang untuk kasus ini adalah (aliran tak batas),

( )1 1

2 1

( ) ( )

1 1 1 ( )4 4V x V x

xA x AdV dVr r

ωπ π

= ∇ =∫ ∫ (V.3)

Dari (V.3), kita dapat gunakan (V.1) untuk menghitung kecepatan yang disebabkan

adanya vortisitas di titik tersebut. Kecepatan itu adalah,

1

1

( )

1 (4 V x

xu A dr

) Vωπ

= ∇× = ∇× ∫ (V.4)

di mana, sekali lagi, 1r x x= − dangan x1 adalah titik yang mempunyai vortisitas

sehingga ω = ω(x1) dan x adalah titik yang harga kecepatannya kita hitung dan volume

dalam integrasi (V.4) adalah volume yang “membungkus” titik-titik yang mempunyai

vortisitas, sehingga kita melakukan integrasi pada variabel x1 dan x dianggap konstan

dalam proses integrasi tersebut. Selain itu perlu diingat bahwa x

∂∇ ≡

∂.

5.9.1 Vortex Filament: Biot-Savart Law

Sekarang kita akan gunakan (V.4) untuk menghitung

kecepatan pada sebuah titik P yang dihasilkan oleh

sebuah “vortex filament” dengan kekuatan Γ. Apabila

adalah area cross section dari “vortex filament”

dan d

ndS

l adalah panjang filamen (lihat sketsa) maka,

( )ˆdV ndS dl= ⋅


Karena ndSωΓ = ⋅ dan dl dlωω

= ,

( )ˆ dldV ndS dl dlωω ω ωω ω

= ⋅ = Γ = Γ .

Dengan demikian maka (V.4) menjadi,

34 4dl dl ru

rπ π rΓ Γ ×

= ∇× =∫ ∫ (Biot-Savart)

Γ dapat dikeluarkan dari integral karena harganya konstan sepanjang dl dan bahkan

menurut Helmholtz Vortex Theorem juga konstan sepanjang vortex filament (lihat sub-

bagian 3.2). Hukum Biot-Savart juga dijumpai pada elektromagnetik.

5.9.2 Vortex Sheet

“Vortex sheet” adalah daerah tipis/ lembaran yang

mempunyai vortisitas. Biasanya vortex sheet

dimodelkan dengan menggunakan vortex filament

yang sangat kecil yang membentuk sebuah lembaran

(lihat sketsa). Misalkan titik P berada di tengah-

tengah lembaran, maka

P PdV dSω ω= ∈

Vortex sheet didapatkan dengan mengambil lim ∈ → 0dan ωp → ∞ sehingga Ω∈ adalah

konstan atau

0lim P dS dS

ωω γ

ω γ

∈

∈→→∞

→

∈ =

di mana γ disebut “vortex sheet strength”, adalah finite.

Sekarang kita akn hubungkan harga γ dengan harga u dengan menggunakan definisi dari

. ∇×


1 2

1 20

ˆ

ˆ ˆ ˆlimS

S S

dV udV n udS

dS n udS n u dS n u dSδ

δ δ

ω

γ∈→

= ∇× = ×

= × = × + ×

∫

∫ ∫ ∫

di mana 0

ˆlim 0n udS∈→

∈

× =∫ telah digunakan. Dengan demikian maka,

( )1 2ˆdS n u u dSγ = × −

karena . 2 1ˆ ˆn n= − = −n

Hubungan di atas dapat pula dituliskan seperti,

1 2 ˆu u nγ− = × (V.5)

sehingga

( ) ( )( )

1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ 0

ˆ

u u n n n

u u t

γ

γ

− ⋅ = × ⋅ =

− ⋅ = (V.S).

Dari hasil di atas dapat disimpulkan bahwa “vortex sheet” menghasilkan kecepatan di

arah normal yang kontinyu dan terdapat diskontinuitas kecepatan di arah tangensial.

Karena sifat-sifat ini vortex sheet biasanya digunakan sebagai model untuk wake dan

airfoil dalam aerodinamika, karena keduanya menghasilkan diskontinuitas kecepatan di

arah tangensial. Karena vortex sheet merupakan superposisi dari banyak vortex

filament maka kecepatan induksi (kecepatan yang dihasilkan oleh) vortex sheet

didapatkan dengan mengintegrasikan kecepatan induksi dari vortex-vortex filament

tersebut. Kecepatan induksi dari vortex sheet didapatkan dengan mensubtitusikan

dV dSω γ= kedalam (V.4) yang hasilnya adalah,

( ) ( ) ( )1 1 1

1 1

3( ) ( ) ( )

1 1 14 4 4V x S x S x

x x ru A dV dS dS

r r

ω γ

π π π

×= ∇× = ∇× = ∇× = −∫ ∫ ∫

1x

r

γ

5.9.3 Solusi Persamaan Laplace dengan Menggunakan Vortex

Sekarang kita lihat kembali hukum Biot-Savart yang menjelaskan kecepatan yang

dihasilkan oleh sebuah “vortex filament”


1

1 1( ) ( )

1 ˆ4 4 x

l x S x

dlu ndSr rπ π

Γ Γ ⎛ ⎞= ∇× = − ∇× ∇ ×⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ,

11

x x∂

∇ ≡∂

di mana telah digunakan analog dari teorema Stokes’ untuk kuantitas skalar yang

diintegrasikan sepanjang kurva tertutup. Sekarang kita perhatikan kuantitas berikut,

( )1 1

1 1ˆ ˆx xn nr r

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇× ∇ × = ⋅∇ ∇ − ∇ ⋅ ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠1

1 ˆx nr

dimana kita telah gunakan sifat dari triple product 3 buah vector. Tetapi karena

1

1 1x r r

⎛ ⎞∇ = −∇⎜ ⎟⎝ ⎠

dan 2 1 0r

∇ = maka,

1

21 1 1ˆ ˆ 0x n nr r r

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ ⋅ ∇ = − ∇ ⋅∇ = − ∇ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

n .

Dengan demikian maka u dapat dituliskan menjadi,

( )1

1 1ˆ4 4xu n dS dS

r nπ πΓ Γ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅∇ ∇ = − ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ r

∂

4u dS

n rπ∂ Γ⎛ ⎞= −∇ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ ,

1ˆ xn

n∂

≡ ⋅∇∂

Daerah di luar vortex filament adalah daerah di mana ω = 0 sehingga u = ∇φ. Dengan

demikian maka,

vortex1

4dS

n rφ

π∂ ⎛ ⎞= Γ −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ (V.6)

Apabila hasil ini kita bandingkan dengan suku pada (L-3D.b) yang menjelaskan

distribusi doublet yaitu,

( )doublet1

4dS

n rφ φ

π∂ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫

maka jelaslah bahwa φ vortex adalah φ doublet dengan “kekuatan” Г.

Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa vortex filament dapat digunakan untuk

menggantikan doublet pada metode penyelesaian persamaan Laplace. (Inilah mengapa

kita membahas vortex filament yang tentunya ω ≠ 0 di dalam bab ini yang membahas

aliran irrotasional)


5.9.4 Konsekuensi dari 0A∇ ⋅ =

Sebelum kita akhiri subbagian ini marilah kita kembali ke bagian awal dari subbagian

ini di mana kita memilih 0A∇ ⋅ = untuk mendapatkan (V.2) yang solusinya telah

dibahas panjang lebar.

Kita akan gunakan (V.3) untuk mendapatkan syarat yang harus dipenuhi agar pilihan

kita 0A∇ ⋅ = terpenuhi. Dengan menggunakan (V.3),

1

1 104 4

ˆ1 14 4x

A dVr r

ndV dSr r

ω ωπ πω ω

dV

π π

⎛ ⎞= ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅= − ∇ ⋅ = −

∫ ∫

∫ ∫

di mana sekali lagi kita telah gunakan

1

1 1xr r

∇ = −∇ .

Dari hasil di atas maka dapat disimpulkan bahwa 0A∇ ⋅ = akan terpenuhi apabila

ˆ 0nω ⋅ = di seluruh batas-batas fluida.

5.9.5 2D vortex

Sama seperti dalam kasus 3-D, kita dapat menggunakan vortex untuk mendapatkan

solusi persamaan Laplace 2-D. Vortex yang digunakan di sini disebut “point vortex”

yang didapatkan dengan mengintegrasikan hokum Biot-Savart untuk vortex filament

yang lurus yang terbentang dari -∞ ke +∞. Tetapi untuk pembahasan di sini kita akan

gunakan cara lain, yang lebih mudah, untuk mendapatkan potensial untuk point vortex.

Streamline yang dihasilkan oleh point vortex mempunyai bentuk

seperti sketsa di atas. Dari sketsa ini kita ketahui bahwa u

haruslah seperti,

( ) ˆu u r eθ θ=


Dengan ω = 0 maka,

( )10 0du rur dr θ= ∇× = =

sehingga, kurθ =

Untuk mencari konstanta k, kita hitung Γ sepanjang salah satu garis r = konstan.

∫∫ ==⋅=Γ krdrkldu πθ 2

sehingga,

ˆ2

u er θπ

Γ=

Untuk mendapatkan ψ dan φ kita gunakan,

1 0rur r

ψ φθ

∂ ∂= = =

∂ ∂ dan 1

2u

r r rθψ φ

θ π∂ ∂ Γ

= − = =∂ ∂

Hasilnya adalah

log konstan2

= konstan2

rψπ

θφπ

Γ= − +

Γ+

Aliran Potensial Inkompresibel 2D 232

BAB

6 Aliran Potensial Inkompresibel

2D

6.1 Superposisi dari Solusi Elementer dan potensial untuk aliran seragam

Dari hasil yang telah kita dapatkan, kita ketahui bahwa solusi dari persamaan Laplace,

baik 3-D maupun 2-D, dapat dinyatakan sebagai superposisi dari source, doublet, dan

vortex. Sebelum kita gunakan kesimpulan ini untuk menyelesaikan permasalahan

praktis, kita perlu mempelajari lebih dalam sifat-sifat dari setiap solusi elementer

tersebut. Untuk menyederhanakan permasalahan, kita akan memfokuskan pada kasus 2-

D dan melihat apa yang dihasilkan oleh distribusi dari setiap solusi elementer sepanjang

sebuah axis (lihat sketsa).


6.1.1 Distribusi Source

Apabila kita letakkan beberapa source dengan kekuatan (per unit panjang diarah x1), m,

yang berbeda pada garis x1 , maka didapatkan,

( ) ( )1

2 221 2

1 ln2

m t x t x dtφπ

⎡= − +⎣∫ ⎤⎦ (i)

( ) ( )( )

11 2 2

1 1 2

12

x tu m t

xdt

x t xφ

π−∂

= =∂ − +∫ (ii)

( )( )

22 2 2

2 1 2

12

xu m tx

dtx t x

φπ

∂= =

∂ − +∫ (iii)

Apabila kita perhatikan (iii), maka jelaslah bahwa u2 = 0 pada x2 = 0 kecuali pada titik

di mana x1 = t. Dengan demikian maka harga dari integral tersebut hanya ditentukan

oleh titik tersebut. Oleh karenanya, m(t) dapat kita ganti dengan m(x1) dan dikeluarkan

dari integral. Selain itu, limit dari integrasi dapat kita ubah menjadi ±∞ karena ini tidak

akan mengubah harga dari integral. Sehingga apabila kita mendekati garis x2 = 0 (axis

x1 di mana sama-sama diletakkan), dari arah atas (+) maka,

( ) ( )( )2

1 22 1 2 20

1 2

,0 lim2x

m x xu x dtx t xπ+

+∞+

→−∞

=− +∫

Perkenalkan

1

2

x tx

ξ −= ,

2

dtdx

ξ = −

sehingga,

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

1 1 12 1 20

12

,0 lim tan2 1 2

2

x

m x m xdu x

m xu

ξ ξπ ξ π+

+∞+ −

→−∞

+

∞= =

−∞+

= ≡

∫

Dengan cara yang sama maka dapat ditunjukkan bahwa apabila kita mendekati garis x2

= 0 dari arah bawah (-) didapatkan

( ) ( )12 1 2,0

2m x

u x u− −= − ≡


Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa distribusi source menghasilkan

diskontinuitas kecepatan di arah normal sebesar,

( )2 2 1u u m x+ −− =

Sedangkan kecepatan di arah tangensial adalah kontinyu sehingga,

1 1u u+ −=

sebagaimana terlihat pada (ii).

6.1.2 Distribusi Doublet

( x1, x2)

x2

θ Source ( + )

(x1-t)

Sink ( - )

Apabila kita letakkan doublet-doublet kekuatan κ (per unit panjang diarah x1), m, yang

berbeda pada axis x1 dengan arah vektor l (vektor yang menghubungkan source dan

sink) sejajar dengan sumbu x2 maka,

2

1

xcosx t

θ =−

karena θ adalah sudut antara l dan r (vektor yang menghubungkan doublet dengan titik

(x1, x2)). Dengan demikian maka,

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

22 2

1 2

1 21 22 2

1 2

21 2

2 2 21 2

12

1

12

xt dx t x

x t xu t

x t x

x t xu t

x t x

φ κπ

κπ

κπ

= −− +

−=

⎡ ⎤− +⎣ ⎦− −

=

t

dt

dt⎡ ⎤− +⎣ ⎦

∫

∫

∫


Dari hasil ini terlihat bahwa bentuk integral dari φ serupa dengan u2 untuk source (iii).

Dengan demikian maka distribusi doublet menghasilkan diskontinuitas φ sebesar,

( )1xφ φ κ+ −− = −

Karena 11

uxφ∂

=∂

maka distribusi doublet menghasilkan diskontinuitas kecepatan

tangensial (u1).

1 11

du udx

κ+ −− = −

Sedangkan kecepatan di arah normal (u2) tidak berubah atau,

2 2u u+ −= .

6.1.3 Distribusi Vortex Apabila yang diletakkan di garis x1 adalah vortex dengan kekuatan ( )1xγ yang

merupakan sirkulasi per unit panjang (definisi ini diperkenalkan untuk memastikan agar

unit dari potensial kecepatan tetap m2/sec) maka,

( )

( )( )

( )( )

1 2

1

21 2 2

1 2

12 2 2

1 2

1 tan2

12

12

xt dx t

xu tx t x

x tu t

t

dt

dtx t x

φ γπ

γπ

γπ

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

=− +

−= −

− +

∫

∫

∫

Dari hasil ini terlihat bahwa u1 serupa dengan u2 untuk source (iii). Oleh karena itu

dapat disimpulkan bahwa distribusi vortex menghasilkan diskontinuitas kecepatan di

arah tangensial (x1) sebesar,

( )1 1u u xγ+ −− =

Sedangkan kecepatan di arah normal tidak berubah (kontinyu),

2 2u u+ −=

Catatan:

Untuk kasus 2-D seperti yang dibahas di sini, terlihat bahwa distribusi doublet dan

distribusi vortex menghasilkan aliran yang serupa. Dengan kata lain, aliran yang


dihasilkan oleh distribusi doublet dapat dimodelkan dengan menggunakan distribusi

vortex yang mempunyai kekuatan

( )11

dxdx

κγ =

Kesimpulan bahwa distribusi doublet dapat digantikan oleh distribusi vortex ini

serupa dengan apa yang kita telah lihat pada kasus 3-D.

6.1.4 Potensial untuk aliran seragam

U∞

V∞

Kasus aliran seragam adalah kasus yang paling sederhana. Untuk kasus ini komponen

kecepatan baik di x1 maupun di x2 tidak berubah terhadap posisi. Dari definisi fungsi

arus dan potensial kecepatan,

1 2

Ux xφ ψ

∞∂ ∂

= =∂ ∂

, 2 1

Vx xφ ψ

∞∂ ∂

= = −∂ ∂

Oleh karenanya, potensial kecepatandan fungsi arus adalah, 1 2

1 2

V x U xU x V x

ψφ

∞ ∞

∞ ∞

= − += +

6.2 Contoh penerapan: Kasus Aliran Disekitar Silinder 2-D

Disubbagian ini kita akan melihat contoh penerapan prinsip superposisi dari solusi-

solusi elementer 2-D. Sebagai contoh, kita akan pelajari aliran di sekitar silinder.

Contoh ini sangatlah penting karena, walaupun relatif cukup sederhana namun contoh

ini memberikan petunjuk bagaimana menyelesaikan permasalahan yang lebih rumit.


6.2.1 Superposisi dari aliran seragam + sebuah source Misalkan kita mempunyai aliran seragam diarah x1. Fungsi arus untuk kasus ini adalah,

2xUu ∞+=ψ

Kemudian kepada aliran ini kita tambahkan sebuah source yang fungsi arusnya adalah,

πθψ

2m

so =

Apabila kita gunakan koordinat sistem (r,θ) seperti

digambarkan di atas maka,

2 sinx r θ= , 1 cos x r θ=

Dalam koordinat sistem ini uψ menjadi,

θψ sinrUu ∞=

Aliran yang dihasilkan oleh superposisi dari aliran uniform dan sebuah source

mempunyai ψ ,

πθθψψψ

2sin mrUsou +=+= ∞

Streamline dari aliran ini didapatkan dengan menuliskan

konstan sin2mU r θψ θ

π∞= = +

Berikutnya kita lihat kecepatan,

rmU

rur .2

cos1π

θθψ

+=∂∂

= ∞

θψθ sin∞−=

∂∂

−= Ur

u

Titik-titik stagnasi atau titik-titik di permukaan benda di mana u = 0 untuk kasus ini

adalah titik di mana

cos 02mU

rθ

π∞ + = & 0sin =∞ θU

Apabila kita selesaikan persamaan di atas untuk r & θ maka hasilnya adalah,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∞

ππ

θ ,2

),(Umr ss

dengan rs = r stagnasi; dan θs = θ stagnasi.


Dengan demikian maka titik stagnasi berjarak ∞U

mπ2

di depan source. Apabila

koordinat titik stagnasi kita substitusikan kedalam persamaan konstanψ = maka

didapatkan,

sin konstan2 2 2

mU m mU

πψ ππ π

∞

∞

= + = =

Dengan demikian maka permukaan benda dijelaskan oleh persamaan, (streamline

dijelaskan oleh persamaan konstanψ = )

πθθ

2sin

2mrUm

+= ∞ atau ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

∞1

212 tan

22 xxmxUm

π

Apabila kita gambarkan fungsi ini maka didapatkan,

Jadi dari contoh ini dapat dilihat bahwa superposisi dari aliran seragam dengan sebuah

source merepresentasikan aliran disekitar benda tumpul yang panjangnya tak berhingga.

6.2.2 Aliran di sekitar silinder bundar

Sekarang ktia akan lihat bahwa superposisi dari aliran uniform dengan sebuah doublet

menghasilkan aliran yang merupakan representasi dari aliran potensial (incompressible)

di sekitar sebuah silinder bundar.

Fungsi arus untuk aliran yang merupakan superposisi dari aliran seragam dan sebuah

doublet adalah


doublet

2

sinsin2

sin 12

u U rr

U rU r

κ θψ ψ ψ θπ

κθπ

∞

∞∞

= + = −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Karena ∞Uπ

κ2

mempunyai unit m2 maka kita dapat definisikan

∞

≡U

Rπκ

22

sehingga

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∞ 2

2

1sinrRrU θψ .

Berikutnya, kita lihat komponen-komponen dari kecepatan (ur dan uθ).

θθψ cos11

2

2

∞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

= UrR

rur

θψθ sin1 2

2

∞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∂∂

−= UrR

ru

Untuk menentukan bentuk dari benda yang direpresentasikan oleh superposisi ini, kita

cari titik-titik stagnasi karena titik-titik ini berada di permukaan benda.

0sin10

0cos10

2

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⇒=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒=

∞

∞

θ

θ

θ UrRu

UrRur

Solusi dari kedua persamaan terakhir di atas adalah

( ) ( )0,, Rr SS =θ dan ( ) ( )πθ ,, Rr SS =

Apabila ktia substitusikan ( )SSr θ, ini ke ( )θ,r dalam persamaan untuk ψ maka untuk

kedua-duanya dan ( 0,R ) ( )π,R , 0ψ = .

Dengan demikian, maka permukaan benda dijelaskan oleh persamaan ψ = 0 atau

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∞ 2

2

1sin0rRrU θ


Persamaan ini akan selalu terpenuhi untuk setiap harga θ apabila r2 = R2 = konstan.

Dengan demikian maka benda yang aliran di sekitarnya direpresentasikan adalah sebuah

silinder bundar dengan radius

∞

==U

Rrπκ

2

Apabila kita lihat streamline-streamline lainnya maka aliran di sekitar benda ini terlihat

seperti digambarkan di bawah.

Karena aliran di sekitar silinder bundar ini

adalah aliran yang simetris, maka distribusi

tekanannya juga simetris. Dengan kata lain

silinder bundar ini tidak akan mempunyai

“lift”. Drag sudah pasti sama dengan nol

karena aliran ini adalah aliran potensial. Jadi

aliran di sekitar silinder ini tidak menghasilkan gaya apa pun.

Observasi ini tentunya dapat dibuktikan dengan mengintegrasikan distribusi tekanan di

sekitar silinder tersebut. Untuk itu pertama-tama kita cari Cp.

( )2 2 2

2 22

112

U up p uCpU UUρ

∞∞

∞ ∞∞ ∞

− ⎛ ⎞−= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

di mana telah digunakan persamaan Bernoulli,

2 21 12 2

p U p uρ ρ∞ ∞ ∞+ = + .

Di permukaan benda r = R,

0=ru dan θθ sin2 ∞−= Uu

sehingga,

θ222 sin4 ∞= Uu

Oleh karena itu, maka Cp di permukaan benda,

θ2sin41−=Cp

Apabila Cp tersebut diintegrasikan di permukaan maka akan didapatkan Cℓ = 0 dan Cd =

0.


Dari contoh ini kita dapat observasikan sesuatu yang penting yaitu,

“Distribusi dari source dan sink yang diletakkan pada garis yang sejajar dengan

freestream memrepresentasikan aliran di sekitar benda yang simetris terhadap

garis tersebut. Oleh karena aliran yang dihasilkan adalah aliran yang simetris,

maka aliran di sekitar benda ini tidak menghasilkan ‘lift’.”

6.2.3 Aliran di sekitar silinder bundar yang dengan sirkulasi Γ

Telah kita lihat di iii) bahwa aliran di sekitar silinder bundar tidak menghasilkan gaya

angkat/ lift. Sekarang kita akan lihat apabila silinder yang sama berputar (“spinning”),

apakah aliran di sekitar benda tersebut menghasilkan lift.

Yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana merepresentasikan aliran ini. Kita akan

coba merepresentasikan aliran ini dengan menambahkan sebuah vortex ke dalam aliran

di sekitar silinder bundar. Apabila kita lakukan ini maka fungsi arus untuk aliran ini

adalah

rrRruvortexdoubu log

21sin 2

2

πθψψψψ Γ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=++= ∞

Di mana vortex yang ditambahkan sedemikian rupa sehingga alirannya berputar searah

jarum jam.

Seperti sebelumnya, langkah berikutnya adalah mendapatkan ur dan uθ.

2

2

2

2

1 1 cos

1 sin2

rRu U

r r

Ru Ur rθ

ψ θθ

ψ θrπ

∞

∞

⎛ ⎞∂= = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ Γ= − = − + −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Dengan maka kita dapat temukan titik-titik stagnasi dipermukaan benda. θuur &

2

21 cosR Ur

θ∞

⎛ ⎞0− =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (cc.1)

2

21 sin2

R Ur r

θπ∞

⎛ ⎞ Γ+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠0= (cc.2)


Dari persamaan yang pertama kita dapatkan solusi r = R. Apabila solusi ini kita

substitusikan ke persamaan yang kedua maka didapatkan,

1sin4 U R

θπ

−

∞

⎛ ⎞Γ= −⎜

⎝ ⎠⎟ (cc.3)

Karena maka θ haruslah berada di kuadran ketiga dan keempat. Jadi dari hasil

ini dapat dilihat bahwa titik-titik stagnasi tergantung dari harga

0>Γ

Γ . Dengan kata lain,

aliran di sekitar benda ini hanya akan menjadi aliran yang unik apabila harga

Γ ditentukan. Ini sesuai dengan hasil yang telah kita dapatkan sebelumnya bahwa solusi

dari persamaan Laplace untuk aliran disekitar benda 2-D yang mempunyai adalah

solusi yang unik hanya untuk kasus-kasus di mana

0≠Γ

Γ dispesifikasikan.

Dari ekspresi untuk θ, dapat disimpulkan bahwa titik-titik stagnasi berada di permukaan

benda apabila 4 U Rπ ∞Γ ≤ . Apabila 4 U Rπ ∞Γ > maka sin θ>1 dan persamaan tersebut

tidak mempunyai arti.

Untuk kasus 4 U Rπ ∞Γ > , kita kembali ke persamaan (cc.1). Selain persamaan ini

terpenuhi untuk r = R, persamaan ini juga terpenuhi untuk 2πθ = atau

2πθ −= .

Apabila kita substitusikan 2πθ −= ke dalam (cc.2) maka didapatkan

22

4 4r R

U Uπ π∞ ∞

⎛ ⎞Γ Γ= ± −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Jadi untuk kasus ini terdapat 2 titik stagnasi yang salah satunya berada di dalam silinder.


Berikutnya kita lihat apakah aliran ini menghasilkan lift. Untuk itu kita perlukan

distribusi tekanan di permukaan. Seperti sebelumnya (lihat (iii)), adalah pc

2

21puc

U∞

= −

Untuk kasus ini distribusi kecepatan di permukaan adalah

0ru = dan 2 sin2

u Urθ θ

π∞Γ

= − −

2 22ru u u u 2

θ θ= + =

Dengan didapatkannya di permukaan maka Cpc d dan Cl dapat dihitung dan hasilnya

adalah,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∫ ∫

∫ ∫π

π π

π

π

π

θθθθ

θθθθ

2 0

,.

0 2

,,

)(sin)(sin21

)(cos)(cos21

dcdcC

dcdcC

uplpl

lpupd

di mana : di permukaan bawah lpc , pc

upc , : di permukaan atas pc

Apabila kita integrasikan maka akan didapatkan,

0dC = dan lCRU∞

Γ=

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa aliran ini menghasilkan lift. Dari

contoh ini kita dapat observasikan sesuatu yang penting yaitu :

“Apabila kita tambahkan distribusi vortex kepada aliran yang awalnya simetris

maka aliran yang dihasilkan menjadi tidak simetris relatif terhadap garis yang

sejajar dengan freestream dan gaya angkat/lift akan dihasilkan.”

6.3 Complex Potensial dan Conformal Mapping untuk Aliran Potensial 2-D

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa aliran potensial yang incompressible memenuhi

persamaan Laplace (1P.1) yang untuk kasus 2-D menjadi,


022

2

21

2

=∂∂

+∂∂

xxφφ

Apabila solusi dari persamaan ini telah didapatkan maka kecepatan u1 & u2 dapat

ditentukan.

11

uxφ∂

=∂

, 22

uxφ∂

=∂

Namun, telah dijelaskan pula bahwa persamaan kontinuitas untuk aliran incompressible

2-D dapat dipenuhi secara otomatis apabila kita definisikan fungsi arus (ψ) seperti,

12

uxψ∂

=∂

, 21

uxψ∂

= −∂

Dengan demikian maka fungsi φ dan ψ dihubungkan dengan persamaan,

1 2x xφ ψ∂ ∂

=∂ ∂

dan 2 1x x

φ ψ∂ ∂= −

∂ ∂ (cp.1)

Dalam “teori bilangan komplex”, (cp.1) dikenal sebagai persamaan “Cauchy-Riemann”.

Persamaan ini menjelaskan kondisi yang harus dipenuhi oleh sebuah fungsi F(z) apabila

fungsi tersebut adalah fungsi “analytic” di mana,

21

2121 ),(),()(ixxz

xxixxzF+=

+= ψφ

dari (cp.1) dapat dilihat pula bahwa ψ juga memenuhi persamaan Laplace,

022

2

21

2

=∂∂

+∂∂

xxψψ

Dengan demikian maka kita dapat gunakan hasil-hasil dari “teori bilangan kompleks”

untuk mendapatkan solusi dari aliran inkompresible potensial 2-D dan ini sangat

memudahkan secara matematis. Kelemahannya adalah metode ini “metode inverse”.

Dengan kata lain, dalam metode ini kita tentukan sebuah fungsi F(z) yang analytic

kemudian kita lihat aliran apa yang direpresentasikan oleh F(z). Namun, dengan

metode ini kita tidak perlu menyelesaikan persamaan diferensial parsial dan ini tentunya

sangat membantu.

Apabila fungsi analytic F(z) telah ditentukan, kecepatan u1 dan u2 didapatkan dengan

mengambil turunan dari F(z),


21111

iuux

ixx

FdzdFW −=

∂∂

+∂∂

=∂∂

=≡ψφ

atau karena 21 x

FixF

dzdF

∂∂

−=∂∂

= (ini hasil dari teori bilangan komplex),

21222

iuux

ix

ixFiW −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=ψφ

Apabila kita gunakan koordinat polar seperti

digambarkan di atas maka,

θθθθ

θ

θ

cossinsincos

2

1

uuuuuu

r

r

+=−=

Karena cos maka, θθθ iei −=− sinθ

θieiu −− )ruiuuW =−= (21

Sekarang kita lihat integral tertutup dari W.

( )( )

( ) (

1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 2 1

dFWdz dz u iu dx idxdzu dx u dx i u dx u dx

Wdz im

= = − +

= + + −

= Γ +

∫ ∫ ∫∫ ∫

∫)

di mana Γ adalah sirkulasi dan m adalah “source strength”. Namun, “Residue theorem”,

salah satu teorema penting dalam teori bilangan komplex menyatakan:

Apabila W adalah fungsi analytic kecuali di beberapa titik dalam domain maka,

∫ ∑Π=k

kAiWdz 2

di mana Ak adalah residue dari W (Ak bisa “real” atau “komplex”).


2 kk

im i AΓ + = Π ∑ (cp.2)

Jadi apabila F(z) telah ditentukan, Ak dapat dicari dan oleh karenanya Γ dan m dapat

ditentukan. Karena Γ telah didapatkan maka L(lift) dapat dihitung dengan

menggunakan teorema Kutta-Joukowski.


contoh-contoh untuk F(z) :

a) Uniform flow : F(z) = Uz (uniform flow di arah x1)

b) Source flow :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Π==

Π=

zm

dzdFW

zmzF

12

log2

)(

*

*

Sehingga A1 (residue dari W) adalah *2m

π. Dengan menggunakan (cp.2),

*2 *2mim i imπ

π⎛ ⎞Γ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Sehingga untuk aliran ini Г = 0 dan m = m*. Hasil ini sesuai dengan source flow.

c) Vortex flow: ( ) * log2

F z i zπ

Γ= −

* 12

dF W idz zπ

Γ ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

sehingga A1 adalah *2i

πΓ . Dari (cp.2),

2 *2iim iππ

− Γ⎛ ⎞Γ + = = Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

sehingga untuk aliran ini Γ = Γ* dan m = 0 sesuai dengan vortex flow.

Keuntungan lain dari penggunaan metode bilangan kompleks dalam menyelesaikan

permasalahan aliran potensial yang inkompresibel untuk kasus 2-D adalah dapat

digunakannya “conformal mapping”. Dengan menggunakan “mapping” ini, kita dapat

selesaikan permasalahan aliran di sekitar benda yang mempunyai geometri yang rumit

dengan menyelesaikan permasalahan aliran di sekitar benda dengan geometri yang lebih

sederhana. Dengan kata lain, kita gunakan sebuah transformasi

( )f zζ = (cp.3)

yang mentransformaskan geometri dari benda yang sesungguhnya di “z-plane” menjadi

benda dengan geometri yang lebih sederhana di “ζ-plane”. Kedua bidang ini adalah

bidang kompleks (ζ dan z adalah complex plane) di mana,

1 2z x ix= + , iζ ξ η= +


Karena φ dan ψ haruslah memenuhi Laplace Equation di z-plane maka kita harus lihat

apakah φ juga memenuhi persamaan Laplace di ζ-plane.

Pertama-tama kita transformasikan φ(z) menjadi φ(ζ).

( ) ( )( )

( ) ( ).3

1 2, ,cp

z x xφ φ φ ζ φ= = = ξ η

Kemudian kita lihat 2

21xφ∂

∂ dan

2

22xφ∂

∂. Karena φ(ξ,η) maka

1 1 1x x xφ ξ φ η φ

ξ η∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

dan 2 2 2x x x

φ ξ φ η φξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 21 1 1 1 1 1 1

2x x x x x x x2

φ ξ φ η φ ξ η φ ξ φ η φξ η ξ η ξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ η

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2

2x x x x x x x2

φ ξ φ η φ ξ η φ ξ φ η φξ η ξ η ξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ η

Karena 2 2

2 21 2

0x xφ φ∂ ∂

+ =∂ ∂

maka apabila kita tambahkan 2 persamaan terakhir hasilnya

adalah, 2 2 2 22 2

2 21 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 2

2 2 2 21 2 1 2

2

0

x x x x x x x x

x x x x

2ξ ξ φ η η φ ξ η ξ η φξ η ξ

ξ ξ φ η η φξ η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η∂ (cp.4)

“Conformal transformation” adalah tranformasi dari z ke ζ di mana ξ dan η memenuhi

persamaan Laplace atau 2 2

2 21 2

0x xξ ξ∂ ∂

+ =∂ ∂

dan 2 2

2 21 2

0x xη η∂ ∂

+ =∂ ∂

Dengan demikian maka ξ dan η harus memenuhi Cauchy-Riemann Equation (cp.1),

1 2x xξ η∂ ∂

=∂ ∂

dan 2 1x x

ξ η∂ ∂= −

∂ ∂ (cp.5)

Dengan ini maka persamaan (cp.4) menjadi,


2 2 2 22 2

2 21 2 1 2

0x x x xξ ξ φ η η φ

ξ η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

Apabila kita guakan (cp.5) maka persamaan ini menjadi, 2 2 2 2

2 21 2

0x xη η φ φ

ξ η

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

atau 2 2 2 2

2 21 2

0x xξ ξ φ φ

ξ η

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Kedua persamaan terakhir akan selalu terpenuhi apabila, 2 2

2 2 0φ φξ η

∂ ∂+ =

∂ ∂ juga

2 2

2 2 0ψ ψξ η

∂ ∂+ =

∂ ∂

(kita tinggal ganti φ dengan ψ dalam penurunan di atas)

Jadi “conformal transformation” memastikan bahwa φ dan η di z-plane dan di ζ-plane

memenuhi persamaan Laplace. Karena itu F(z) di z-plane juga berlaku di ζ-plane.

Dengan kata lain apabila solusi dari aliran di sekitar sebuah benda sederhana diketahui

di ζ-plane maka solusi untuk aliran di sekitar benda yang lebih kompleks didapatkan

dengan mensubstitusikan ζ = f(z) ke dalam kompleks potensial F(ζ).

Sekarang kita lihat hubungan antara kecepatan di z-plane dengan kecepatan di ζ-plane.

( ) ( ) ( )dF z dF dW zdz d dz

ζ ζζ

= =

atau

( ) ( )dW z Wdzζ ζ= (cp.6)

Jadi kecepatan di z-plane tidak dapat dihitung dengan mensubstitusikan ζ = f(z) saja

tetapi harus ditentukan dengan menggunakan (cp.6).

Berikutnya kita lihat hubungan antara Γ dan m di kedua plane yang berbeda tersebut.

( ) ( ) ( ) ( )z z

dF zim W z dz dz dF z dF

dzζΓ + = = = =∫ ∫ ∫ ∫


atau

z zim imζ ζΓ + = Γ + (cp.7)

dimana Γz : Γ di z-plane, mz : m di z-plane

Γζ : Γ di ζ-plane, mζ : m di ζ-plane

Jadi “conformal transformation” tidak mengubah harga Γ dan m (vortex strength dan

source strength). Dengan demikian, apabila F(ζ) diketahui maka F(z) untuk aliran di

sekitar benda yang sesuai dengan “conformal transformation” ζ = f(z) didapatkan

dengan mensubstitusikan ζ = f(z) ke dalam F(z). W(z) didapatkan dengan menggunakan

(cp.6) sedangkan Γ dan m mempunyai harga yang sama.

Dalam aerodinamika, metode ini digunakan untuk mempelajari aliran di sekitar airfoil.

Biasanya dicari ζ = f(z) yang mentransformasikan geometri airfoil di z-plane menjadi

silinder di ζ-plane. Dengan demikian maka aliran di sekitar airfoil dapat dipelajari

dengan melihat aliran di sekitar silinder yang solusinya telah kita pelajari sebelum ini.

Salah satu transformasi yang penting adalah “Joukowski Transformation”. Dengan

menggunakan transformasi ini kita bisa dapatkan solusi untuk aliran di sekitar “family of

airfoils”.

Transformasi Joukowski mempunyai bentuk, 2cz ζ

ζ= +

di mana c adalah konstan yang biasanya dianggap sebagai bilangan riil. Di Bab 6 kita

akan pelajari transformasi ini lebih dalam.

Dalam aerodinamika, sering kali kita perlu mengetahui moment yang dihasilkan oleh

aliran di sekitar sebuah benda. Moment ini dapat dihitung sebagai berikut. Gaya-gaya

yang bekerja di permukaan benda adalah tekanan dikalikan dengan area permukaan

tersebut. Dari sketsa di bawah dapat dilihat bahwa moment (dM0) yang dihasilkan oleh

aliran di permukaan ds adalah

( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 1 1 2dM pdx x pdx x p x dx x dx= + = + 2


Namun

1 2z x ix= + dan 1 2dx idx= −d z

( z adalah kompleks konjugate dari z)


( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2zd z x ix dx idx x dx x dx i x dx x dx= + − = + + −

Sehingga, 0 RedM pzd z= di mana Re adalah bagian riil dari entitas di dalam .

Dari persamaan Bernoulli, 21konstan2

p uρ= − . Karena ( )2 2 21 2u u dan

p=konstan tidak memberikan kontribusi maka

u WW= + =

2p WWρ

= − . Dengan demikian maka

0 Re2

dM WW zd zρ⎧= −⎨⎩ ⎭

⎫⎬ . Namun di permukaan benda W W= (buktikan!). Oleh

karena itu, 20 Re

2dM W zdzρ⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭ atau

20 Re

2c

M W zdzρ⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∫

Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan (lakukan ini sebagai latihan) bahwa, apabila

X1 dan X2 adalah gaya-gaya diarah x1 dan x2, hubungan di bawah ini berlaku.

21 2 Re

2 c

X X i W dzρ ⎧ ⎫⎪ ⎪− = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∫

Hubungan untuk momen dan gaya-gaya diatas dikenal dengan sebutan “Blasius

Relation”. Hubungan kedua (untuk gaya-gaya) dapat digunakan untuk mendapatkan

kembali teorema Kutta-Joukowski yang telah kita dapatkan di Bab 5.

Aerodinamika Inkompresibel 251

BAB

7 Aerodinamika inkompresibel

7.1 Kondisi Kutta untuk kasus aliran disekitar airfoil Didalam bab ini kita akan menggunakan aliran potensial untuk mempelajari aliran

disekitar airfoil dan sayap. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, solusi dari persamaan

Laplace 2-D tidaklah unik apabila sirkulasi Γ tidak diberikan. Untuk aliran disekitar

airfoil, Γ dispesifikasikan dengan menggunakan “kondisi Kutta”.

Asal mula dari kondisi ini dapat dijelaskan dengan memperhatikan kasus aliran disekitar

benda bundar dengan sirkulasi Γ . Kasus ini telah dibahas di BAB 6 dan menurut hasil

yang didapatkan, aliran potensial disekitar benda ini mempunyai solusi dimana titik-titik

stagnasi berada dilokasi yang berbeda-beda untuk harga Γ yang berbeda, walaupun

kondisi batasnya sama. Hal yang sama tentunya juga akan dialami dalam kasus aliran

di sekitar airfoil yang menghasilkan gaya angkat. Untuk kasus ini harga Γ tidak sama

dengan nol.

Γ1 Γ2

Γ3


Aliran untuk kasus ini terlihat didalam sketsa diatas, dimana telah digambarkan aliran

disekitar airfoil yang sama (kondisi batas yang sama) namun mempunyai harga Γ yang

berbeda. Sekarang yang menjadi pertanyaan adalah kasus mana yang terjadi dalam

aliran yang sesungguhnya? Hasil experimen menunjukan bahwa aliran dengan harga

sirkulasi Γ3 adalah pola aliran yang benar untuk kasus ini. Dengan kata lain pada aliran

disekitar airfoil yang menghasilkan gaya angkat, aliran akan ”lepas” dari permukaan

airfoil di trailing edge. Dengan demikian maka,

Kondisi Kutta:

”Harga Γ yang harus dispesifikasikan adalah Γ yang menghasilkan aliran yang

meninggalkan” permukaan airfoil di trailing edge”.

Kondisi Kutta dapat dinyatakan dengan menggunakan beberapa pernyataan matematis.

Berikut ini adalah pernyataan-pernyataan yang sering digunakan:

a) Untuk kasus dimana trailing edge mempunyai sudut tertentu, aliran hanya akan

meninggalkan permukaan airfoil apabila trailing edge adalah titik stagnasi

(kecepatan ditrailing edge mempunyai harga nol). Dari definisi γ terlihat bahwa

pernyataan ini secara matematis dapat dinyatakan sebagai 0triling edgeγ = .

p-

p+

Kasus c)

Kasus b)

Kasus a)

u-

u+

γtrailing edge = (u+-u-) trailing edge

u trailing edge =0


b) Untuk kasus dimana trailing edge mempunyai sudut nol (cusp trailing edge),

aliran akan meninggalkan permukaan airfoil apabila kecepatan ditrailing edge

bagian atas dan bawah mempunyai harga yang sama ( triling edge triling edgeu u+ −= ,

dimana + menjelaskan permukaan atas dan - menjelaskan permukaan bawah).

Dari definisi γ terlihat bahwa pernyataan ini secara matematis juga dinyatakan

sebagai 0triling edgeγ = .

c) Kondisi Kutta yang lebih umum didapatkan dengan mengingat bahwa aliran

akan meninggalkan airfoil di trailing edge apabila tekanan di trailing edge

bagian atas sama dengan tekanan di trailing edge bagian bawah (tidak ada beda

tekanan yang menyebabkan fluida mengalir dari atas ke bawah (atau sebaliknya)

di trailing edge). Dengan demikian maka kondisi Kutta akan selalu dipenuhi

(termasuk kondisi yang diberikan di a) dan b) ) apabila,

( ) ( )trailing edge trailing edgep p+ −=

Kondisi ini dapat digunakan untuk kasus airfoil umum, seperti kasus dimana

trailing edge tidak lancip atau airfoil bergerak.

Secara fisis, asal dari kondisi Kutta ini adalah lapisan batas. Dalam analisi aliran

potensial 2-D efek viskositas, yang selalu ada didalam lapisan batas, diabaikan.

Konsekuensinya adalah solusi aliran potensial 2-D menjadi tidak unik. Dengan

menambahkan kondisi Kutta, kita sebenarnya memasukkan efek lapisan batas kedalam

teori potensial.

Hal yang sama juga terjadi didalam kasus 3-D. Sebagaimana telah kita lihat

sebelumnya aliran potensial 3-D menghasilkan harga Γ= 0 yang berarti aliran ini tidak

akan menghasilkan gaya apapun. Apabila kita menggunakan analisa aliran potensial

disekitar sayap, tentunya kita mengharapkan sayap tersebut menghasilkan gaya angkat.

Nanti akan ditunjukkan bahwa aliran potensial disekitar sayap akan menghasilkan gaya

angkat apabila kita menambahkan sebuah permukaan diskontinuitas (yang dapat

dimodelkan dengan sebuah vortex sheet). Sama dengan kasus 2-D, dengan


menambahkan pemukaan diskontinuitas ini kita pada dasarnya memasukkan efek

viskositas (yang ada didalam lapisan batas) ke dalam teori potensial.

7.2 Teori Airfoil dengan Menggunakan “Conformal Mapping”

Di subbagian ini kita akan mempelajari aliran di sekitar airfoil dengan menggunakan

conformal mapping. Metode ini cukup popular beberapa waktu yang lalu namun saat

ini jarang lagi digunakan. Oleh karena itu, kita hanya akan mengambil salah satu

contoh “conformal mapping” untuk mendapatkan ide bagaimana metode ini digunakan.

Contoh yang akan kita pelajari adalah conformal mapping dengan menggunakan

Joukowski Transformation:

2cz ζ

ζ= + (CM.1)

di mana c adalah konstanta.

Transformasi macam ini mempunyai beberapa sifat umum

1. Apabila harga 1ζ >> maka 2

0cζ

→ dan transformasi menjadi z→ζ. Dengan

demikian maka apabila freestream yang seragam “mendekati” sebuah benda

dengan sudut serang α di z-plane maka freestream yang sama dengan α yang

sama “mendekati” transformasi dari benda tersebut di ζ-plane.

2. Apabila kita ambil turunan dari z terhadap z maka, 2

21dz cdζ ζ

= −

Jadi pada titik-titik di mana ζ = ±c, 0dzdζ

= . Titik-titik ini disebut “critical

points”. Pada titik-titik ini, transformasi (CM.1) tidak konformal. Untuk

mengatasi hal ini, biasanya kita pilih sedemikian rupa agar salah satu dari

critical point ini berada di permukaan silinder di ζ-plane sedangkan critical

point lainnya berada di dalam silinder.


3. Transformasi (CM.1) adalah double-valued. Dengan kata lain, titik-titik yang

exterior (di luar) silinder di z-plane ditransformasikan ke seluruh titik di z-plane.

Sedangkan titik-titik di dalam silinder juga ditransformasikan ke seluruh titik di

z-plane. Ini dapat dilihat sebagai berikut:

Apabila kita pilih 2

0

cr

ζ = di mana r0 adalah radius dari lingkaran, maka di z-

plane titik ini akan ditransformasikan ke titik, 2 2 2

020 0

0

c c cz rcr rr

= + = +

Namun titik yang sama di z-plane akan kita dapatkan apabila kita pilih ζ = r0.

Apabila silinder mempunyai radius c maka lingkaran 0r cζ = > berada di luar

silinder sedangkan lingkaran 2

0

cr

ζ = berada di dalam lingkaran. Maka menurut

hasil di atas, kedua lingkaran ini akan ditransformasikan ke titik-titik yang sama

di z-plane. Untuk mengatasi permasalahan double-valued ini, biasanya

diperkenalkan “branch cut” sepanjang x1-axis di z-plane antara titik z = -2c

sampai titik z = 2c. Namun masalah double-valued ini bukanlah masalah yang

cukup serius karena titik-titik di dalam silinder biasanya ditransformasikan ke

dalam benda di z-plane sehingga berada di luar medan aliran.

4. Airfoil yang dijelaskan oleh Jukowski Transformation mempunyai “cusped

trailing edge” (trailing edge yang sangat lancip sehingga sudut antara

permukaan atas dan bawah airfoil di trailing edge sama dengan nol) dan ini akan

kita buktikan nanti.

Karena transformasi Joukowski mentransformasikan bentuk-bentuk seperti airfoil di z-

plane menjadi silinder di ζ-plane, kita memerlukan fungsi F(ζ) untuk aliran di sekitar

benda bundar. Kita ketahui bahwa aliran di sekitar benda bundar (silinder) dapat

direpresentasikan dengan mensuperposisikan aliran uniform +doublet+vortex. Dari

contoh-contoh sebelumnya, F(ζ) untuk aliran uniform dan vortex adalah, (arah vortex

searah jarum jam)


( )uniformF Uζ ζ∞= , ( )vortex log2

F iζ ζπΓ

= +

Sedangkan F(ζ) untuk doublet adalah,

( ) ( )doublet doublet doublet1 1cos sin

2 2 iF i ir r θ 2e

κ κ κζ φ ψ θ θπ π πζ

= + = − = =

Dengan demikian maka F(ζ) untuk silinder dengan sirkulasi adalah,

( ) log2 2

F U i Cκζ ζ ζπζ π∞

Γ= + + +

di mana C adalah sebuah konstanta. Harga C didapatkan dengan melihat harga F di

permukaan silinder. Dengan 2R Uκ

π ∞≡ dan iR e θζ = ,

2 cos log2 2

iF UR R Cθθπ π

Γ Γ= − + +

Karena F adalah konstanta di permukaan dan kita dapat pilih harga konstanta tersebut

sama dengan nol (F = 0) dan harga C dapat ditentukan. Dengan harga C ini maka,

( )2

log2

RF U iRζζ ζ

ζ π∞

⎛ ⎞ Γ= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Perlu diingat bahwa hasil di atas didapatkan untuk silinder dengan titik pusat di (0,0)

dan freestream seragam di arah Re(ζ) atau ξ.

Untuk kasus yang lebih umum, di mana freestream membentuk sudut α dengan Re(ζ)

dan titik pusat silinder berada di ζ = µ, kita perlu mentransformasikan F(ζ)

dengan menggunakan ( ) ie αζ ζ µ −→ − (lihat sketsa).

Dengan transformasi ini maka,

( ) ( )2

log2

i ii

U RF U e e iae

α αα

ζ µζ ζ µζ µ π

− ∞∞

Γ −= − + +

−


dan

( ) ( )( ) ( )

2

21

2

iidF U R eW U e i

d

ααζ

ζζ π ζ µζ µ

− ∞∞

Γ= = − +

−−

Harga Γ di persamaan di atas ditentukan dengan menggunakan kondisi Kutta. Menurut

kondisi Kutta , harga kecepatan di trailing edge haruslah “finite” dan “kontinyu”.

Secara matematis, ini berarti

( ) ( )TETE

TE

WW z z finite

dzd ζ

ζ ζ

ζ =

== = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(TE = trailing edge)

Tetapi kita telah lihat sebelumnya (sifat umum 2) bahwa terdapat satu critical point di

permukaan benda dan kita akan lihat nanti bahwa critical point ini adalah trailing edge.


0TE

dzd ζζ =

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Oleh karena itu, maka untuk memenuhi kondisi Kutta,

( ) 0TEW ζ ζ= =

( ) ( )

2

210

2

ii

TETE

U R eU e iα

α

π ζ µζ µ− ∞

∞Γ

= − +−−

(CM)

(agar finite). Kondisi ( TEW z z= ) ( ) 0TEW ζ ζ= = memberikan kita harga Γ yang

spesifik yang ditentukan oleh posisi trailing edge. Sekarang kita telah siap untuk

mempelajari kasus-kasus berikut ini.

7.2.1 Kasus Silinder dengan ζ = R eiθ di mana R = c


Untuk kasus ini,

2 2

2 cosii

c cz ce cce

θθζ θ

ζ= + = + = (CM.2)

Jadi titik-titik (c,0) dan (c,π) di ζ-plane ditransformasikan ke titik-titik (2c,0) dan (-

2c,0). Juga titik-titik di permukaan silinder ditransformasikan ke daerah sepanjang x1

karena (CM. 2) adalah riil. Dengan demikian maka transformasi ini menjelaskan aliran

di sekitar pelat datar di z-plane. Panjang “pelat datar” ini adalah 4c atau 4R.

Sekarang misalkan di ζ-plane terdapat aliran freestream yang seragam di depan silinder

dengan sudut serang α. Titik-titik stagnasi di ζ-plane terdapat di s1 dan s2 seperti

terlihat di sketsa di atas. Oleh transformasi (CM. 2) titik-titik tersebut

ditransformasikan ke titik-titik,

2 2 coss c α= dan ( )1 2 coss c α π= + di z-plane

Titik s1 tidak bermasalah namun titik s2 di z-plane bermasalah karena tidak sesuai

dengan kenyataan fisik untuk aliran ini. Dalam aliran yang sebenarnya, titik s2 selalu

berada di titik A di z-plane. Dengan kata lain, titik A adalah titik stagnasi di z-plane dan

ini adalah Kutta Condition untuk kasus ini. Kita telah lihat bahwa kondisi Kutta

menspesifikasikan Γ sehingga aliran 2-D ini menjadi unik.

Untuk memenuhi kondisi Kutta tersebut, titik stagnasi s2 harus berada di posisi A dalam

ζ-plane, dimana θ = 0 atau ζTE = c. Tetapi dari sifat umum transformasi Joukowski

yang ke 2, titik ini adalah titik kritis dari transformasi sehingga persamaan (CM) berlaku

agar kondisi Kutta terpenuhi. Dengan mensubtitusikan ζTE = c pada persamaan (CM)

didapatkan,

0 2 s2

Uc

inαπ ∞Γ

= − atau 4 sin 4 sincU RUπ α π∞ ∞ αΓ = =

Lift dari silinder dapat dihitung dengan menggunakan teorema Kutta Joukowski, 24 sil U R U nρ π ρ α∞ ∞ ∞ ∞= Γ =

Sekarang kita lihat aliran seperti apa yang dihasilkan oleh transformasi ini di z-plane.

Kita telah lihat bahwa dengan transformasi ini, “silinder” di ζ-plane ditransformasikan


in

menjadi pelat datar di z-plane. Aliran di z-plane adalah aliran di sekitar silinder dengan

uniform freestream yang mempunyai sudut serang α. Karena sifat (1) dari Joukowski

Transformation maka aliran freestream yang sama terdapat di z-plane dengan demikian

maka kasus ini merepresentasikan kasus aliran di sekitar “pelat datar” yang mempunyai

sudut serang α. Karena harga Γ tidak berubah dalam conformal mapping maka Γ untuk

pelat datar ini sama dengan Γ untuk silinder di ζ-plane. Karena ρ∞, U∞ juga sama di

kedua plane ini maka lift yang dihasilkan oleh aliran di sekitar pelat datar juga sama

yaitu,

24 sl R Uπ ρ∞ ∞= α sehingga ( )21 chord

2

llC

Uρ∞ ∞

=

dengan chord = 4R untuk kasus ini atau,

( )2

2 2 sin4l

lCU R

π αρ∞ ∞

= =

sehingga untuk pelat datar,

2 sinlC π α=

7.2.2 Kasus Silinder dengan z = R eiθ di mana R > c

Untuk kasus ini,

2 2 2

1 2

cos sini ic c cz R e e R i RR R R

z x ix

θ θ θ θ− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +

Maka 2

1 coscx RR

θ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2

2 sincx RR

θ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠


=Karena maka, 2 2sin cos 1θ θ+

2 21 2

2 22 21x x

c cR RR R

+ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Namun ini adalah persamaan untuk elips yang mempunyai semi-axis major dengan

panjang 2cR

R⎛ ⎞

+⎜⎝ ⎠

⎟ di x2 axis. Jadi kasus ini (R > c) menjelaskan aliran di sekitar elips.

7.2.3 Airfoil yang Simetris

Sekarang kita akan lihat transformasi untuk kasus silinder dengan radius R yang

mempunyai titik pusat lingkaran di titik ζ = -M. Apabila di dalam lingkaran ini kita

gambarkan lagi sebuah lingkaran dengan radius c yang berpusat di (0,0) maka radius R

dapat dituliskan sebagai

R c M= +

Karena titik A di permukaan silinder bersinggungan dengan titik di permukaan

lingkaran dengan radius c maka di z-plane garis di sekitar A akan serupa dengan garis

yang ditransformasikan oleh lingkaran dengan radius c. Kita telah lihat bahwa

lingkaran dengan radius c ditransformasikan menjadi pelat datar. Oleh karena itu, garis

di sekitar A akan ditransformasikan seperti ujung dari pelat datar (cusp). Langkah

berikutnya adalah membuat lingkaran yang berpusat di z = (0,0) dengan radius

sedemikian sehingga lingkaran ini bersinggungan dengan titik B di permukaan silinder


L. Karena lingkaran ini mempunyai jari-jari R’ yang lebih besar dari c (R’ > c) maka

lingkaran ini akan ditransformasikan menjadi elips di z-plane. Oleh karena itu, garis di

sekitar titik B akan ditransformasikan menjadi lengkungan di ujung sebelah kiri dari

elips tersebut.

Dari observasi ini maka jelaslah bahwa lingkaran dengan radius R yang berpusat di titik

ζ= - M akan ditransformasikan menjadi sebuah bentuk yang simetris terhadap x1 dan

mempunyai ujung yang tumpul di ujung kiri dan ujung yang sangat lancip di ujung

kanan. Dengan kata lain, kasus ini merepresentasikan sebuah airfoil yang simetris.

Selain itu kita juga telah buktikan sifat umum (4) dari Joukowski transformation yaitu

airfoil yang dihasilkan mempunyai ujung yang sangat lancip (“cusp”).

7.2.4 Airfoil yang tidak simetris

Di contoh sebelum ini kita telah lihat bahwa sebuah lingkaran dengan titik pusat di ζ=-

M ditransformasikan menjadi sebuah airfolil yang simetris. Oleh karena itu sangat

masuk akal apabila kita mempunyai sebuah lingkaran dengan titik pusat di c ciζ ξ η= +

( 0ξ ≠ dan 0η ≠ ), lingkaran ini akan ditransformasikan mejandi sebuah airfoil yang

tidak simetris di z-plane. Selain itu airfoil ini akan mempunyai trailing edge yang

sangat lancip (cusp)

Lift yang dihasilkan airfoil ini apabila airfoil tersebut diletakkan dengan sudut serang α

dapat dihitung sebagai berikut. Pertama-tama untuk memenuhi “Kutta condition”, titik


stagnasi di permukaan silinder harus dipindahkan dari titik A’ ke A. Dari sketsa di atas

terlihat bahwa posisi ζTE adalah (karena TE M cζ − = ),

iTE M ceζ − Φ= + .

Dengan mensubtitusikan ζTE pada persamaan (CM) didapatkan,

4 (U R Sin )π α∞Γ = + Φ

Dari geometri dalam sketsa di atas dapat dilihat bahwa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Φ −

c

c

c ξη1tan dan ( ) 222

cccR ηξ +−=

untuk silinder yang berpusat di titik (-ξc, ηc). Dengan demikian maka,

( )24 sinl U R Uρ π ρ α∞ ∞ ∞ ∞= Γ = Φ +

( )( )

( )chordR

chordV

lclαπ

ρ

+Φ==

∞∞

sin8

21 2

(CM.3)

Persamaan (CM.3) adalah persamaan umum untuk Cl dari benda yang digenerasikan

dari Joukowski transformation (CM.1).

Contohnya : untuk pelat datar, (ξc,ηc) = (0,0) sehingga 0cossin

=ΦΦ atau Φ = 0. Selain itu

untuk pelat datar telah kita lihat bahwa chord = 4R. Dengan harga-harga

ini maka dari (CM.3),

2 sinlC π α=

dan hasil ini sama dengan hasil yang kita dapatkan beberapa saat yang lalu.

Apabila kita mempunyai sebuah airfoil dengan “cusps trailing edge”, maka kita dapat

mentransfromasikan airfoil ini menjadi sebuah silinder bundar dengan menggunakan

(CM.1). Lift atau Cl dari airfoil ini dapat dihitung dengan menggunakan (CM.3). Dari

(CM.3) terlihat bahwa untuk mendapatkan Cl kita perlukan harga R dan Φ. Karena R

dan Φ adalah fungsi dari ξc, ηc, dan c maka kita perlu menentukan posisi dari pusat

silinder di ζ-plane dan harga dari konstanta c untuk menghitung Cl. Jadi yang menjadi

pertanyaan sekarang adalah bagaimana menentukan ξc, ηc, dan c atau posisi titik pusat


dan jari-jari silinder yang merepresentasikan airfoil tersebut. Prosedur penentuan ξc, ηc,

dan c adalah sebagai berikut:

a) Apabila kita mempunyai sebuah airfoil maka kita mengetahui harga-harga z

untuk airfoil tersebut. Dari harga-harga z, kita dapat menentukan harga c

sebagai berikut.

“chord” dari airfoil tentunya kita ketahui dan harganya adalah,

A Bchord z z= +

Karena titik A berada di titik ζ = c di ζ-plane maka titik ini akan berada di tititk

z=2c di z-plane. Dengan demikian maka,

2 Bchord c z= + atau 2

Bzchordc

−=

Karena “chord” dan “zB” diketahui maka c dapat dihitung.

b) Dengan diketahuinya harga c, harga-harga z untuk airfoil dapat

ditransformasikan menjadi ζ dengan menggunakan inverse dari

transformasi (CM.1) atau ζ = f(z,c).

c) Hasil dari b) adalah sebuah silinder bundar di ζ-plane. Tentunya titik pusat dari

silinder ini (ξc,ηc) dapat ditentukan.

d) Karena (ξc,ηc) dan c diketahui maka R dan Φ dapat dihitung. Dengan demikian

maka kita telah siap untuk menggunakan (CM.3) untuk menghitung Cl airfoil

tersebut.

Perlu diketahui bahwa transformasi Joukowski bukan satu-satunya transformasi yang

digunakan untuk mempelajari airfoil. Selain transformasi ini, terdapat pula

transformasi-transfromasi lain seperti “Karman-Trefftz transformation”. Transfromasi


ini bahkan dapat digunakan untuk airfoil yang mempunyai “finite trailing edge” (trailing

edge mempunyai sudut yang finite).

7.3 Teory Airfoil Tipis (Incompressible)

Di bagian 7.2 kita telah pelajari bagaimana menghitung lift dari sebuah airfoil dengan

menggunakan metode “Conformal mapping”. Sekarang, kita akan mempelajari metode

alternatif untuk mempelajari aliran di sekitar airfoil. Walaupun metode yang akan kita

pelajari adalah metode aproximasi, namun metode ini telah terbukti cukup sukses dan

ide yang digunakan dalam metode ini telah ditingkatkan menjadi metode-metode

modern yang dipecahkan dengan menggunakan komputer.

Asumsi yang digunakan dalam metode ini adalah :

• Airfoil yang tipis

• Sudut serang “α” yang kecil

Selain itu juga asumsi lainnya seperti inviscid, adiabatic, dan uniform freestream

sehingga aliran di luar lapisan batas dapat diasumsikan sebagai aliran irrotasional dan

teori aliran potensial dapat kita gunakan.

Secara matematis permasalahan ini dapat dituliskan sebagai berikut:

Dapatkan solusi dari persamaan :

02 =∇ φ

dengan kondisi batas : ˆ( . ) 0nnφ∇ = dan ( ) Uφ ∞∇ ∞ =

Selain itu juga diperlukan “Kondisi Kutta” karena kasus ini

adalah kasus 2-D

(T.A.T.1)


Catatan: Kondisi Kutta diperlukan agar solusi yang didapatkan adalah solusi yang unik.

Perlu diingat bahwa kasus 2-D dan solusi persamaan Laplace adalah unik

apabila Г dispesifikasikan.

Karena airfoil diasumsikan sebagai airfoil yang tipis, maka kita dapar nyatakan :

u U vφ ∞∇ ≡ = + , 1

1

ˆ

xv

∂∂

=φ ,

22

ˆ

xv

∂∂

=φ

, di mana v adalah “gangguan” kecil yang disebabkan oleh adanya airfoil. Apabila kita

substitusikan u kedalam persamaan (T.A.T.1) hasilnya adalah :

0ˆ2 =∇ φ (T.A.T.2)

dengan kondisi batas ˆ ˆ ˆn U nφ ∞∇ ⋅ = − ⋅ 0)(ˆ =∞∇φ, ditambah kondisi Kutta.

Sekarang kita akan mulai dengan menuliskan kondisi batas dipermukaan airfoil.

Apabila permukaan airfoil kita nyatakan sebagai berikut,

1 2 2 1( , ) ( ) 0F x x x h x= − =

maka adalah n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∇=

∇∇

= 22

11

ˆˆ||||

1||||

ˆ xxFx

xF

FFFn .

Dengan demikian kondisi batas di permukaan airfoil,

1 21 2

ˆ ˆ ˆ0 ( cos ) ( sinF Fn U n U v U v )x x

φ α α∞ ∞ ∞∂ ∂

= ∇ ⋅ + ⋅ = + + +∂ ∂

.

Karena 1 1

F dhx dx

∂= −

∂ dan 1

2

=∂∂xF maka,

2 11

( cos ) sindhv U v Udx

α α∞ ∞= + − .

Dengan asumsi 1<<α , αα ≈sin & 1cos ≈α sehingga

2 1 1 11

( , ( )) ( ) dhv x h x U v Udx

α∞ ∞= + −

Karena airfoil diasumsikan sebagai airfoil tipis, maka kita dapat gunakan ekspansi

Taylor untuk menuliskan . 2v


...)(|)0,())(,( 1)0,(2

212112 1

+∂∂

+≈ xhxv

xvxhxv x

Selain itu, sehingga kondisi batas di permukaan airfoil menjadi, 1U v U∞ + ≈ ∞

2 11

( ,0) dhv x U Udx

α∞ ∞= −

Sekarang kita tuliskan h dengan menggunakan definisi berikut ini,

)(21),(

21

lutluc hhhhhh −≡+≡

tcu hhh += & tcl hhh −≡

Dengan definisi hc dan ht kondisi batas di permukaan airfoil menjadi

2 11 1 2

3 1

( ,0 ) c tdh dhv x U U Udx dx

α±∞ ∞= ± − ∞

di mana 0+ adalah permukaan atas dan 0- adalah permukaan bawah.

Jadi permasalahan aliran disekitar airfoil tipis dengan sudut serang “α” yang kecil

secara matematis dijelaskan oleh persamaan,

0ˆ2 =∇ φ , 12 1 1

ˆ( ,0 ) c tdh dhx U U

x dx dxφ α±

∞ ∞

⎛ ⎞∂= − ±⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

0)(ˆ

2

=∂

∞∂x

φ ,

ditambah kondisi Kutta.

(T.A.T.3)

Kita ketahui bahwa yang membedakan antara solusi dari persamaan Laplace adalah

kondisi batasnya. Kondisi batas yang terdapat dalam permasalahan ini merupakan

superposisi dari dua macam aliran, yaitu

1. 2 1 11 2

ˆ( ,0 ) ( ,0 )tdhU v x x

dx xφ ±

∞∂

± = ± =∂

Apabila kita perhatikan bentuk persamaan di atas, maka terlihat bahwa

2 1 2 2 1 2( , ) ( , )v x x v x x= − − atau ),(ˆ

),(ˆ

212

212

xxx

xxx

−∂∂

−=∂∂ φφ .

Dari hasil di atas, maka terlihat bahwa untuk kasus ini,

),(ˆ),(ˆ 2121 xxxx −= φφ


Dengan kata lain, persoalan ini adalah persoalan yang simetris terhadap sumbu

x1. Jadi kondisi batas ini menjelaskan aliran di sekitar airfoil yang simetris

dengan ketebalan tertentu. Secara intuitif kita dapat memprediksi bahwa aliran

ini tidak akan menghasilkan gaya angkat (karena kasus ini α = 0)

2. ( ) ( )2 1 11 2

ˆ,0 ,0cdhU v x

dx xφα ± ±

∞

⎛ ⎞ ∂− = =⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

x

Apabila kita perhatikan bentuk persamaan di atas maka terlihat bahwa :

( ) ( )212212 ,, xxvxxv −= atau ( )12

ˆ,0x

xφ ±∂

∂

Dari hasil di atas maka terlihat untuk kasus ini φ mempunyai bentuk :

( ) ( )1 2 2 2ˆ ˆ, ,x x xφ φ= − −x

Dengan kata lain, persoalan ini adalah persoalan aliran yang “antisimetris“

terhadap sumbu x. Jadi kondisi batas ini menjelaskan aliran-aliran seperti :

• Aliran disekitar pelat datar dengan sudut serang ( )( )2 1,0U v xα α∞− = ±

• Aliran disekitar “cambered airfoil“ dengan ketebalan = 0 dan α = 0

( )2 11

,0 cdhv x Udx∞

⎛ ⎞± =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Biasanya dalam permasalahan di sekitar airfoil, yang kita cari adalah “lift“ atau ”Cl“

yang dihasilkan airfoil tersebut. Untuk itu, kita cukup memperhatikan kondisi batas (2).

Dengan demikian maka secara matematis permasalahan ini dapat dituliskan seperti :

1 2

ˆ ˆ0

x xφ φ∂ ∂

+ =∂ ∂


2

ˆ( ) 0

xφ∂

∞ =∂

, ( )12 1

ˆ,0 cdhx U

x dφ

xα±

∞

⎛ ⎞∂= −⎜∂ ⎝ ⎠

⎟ & kondisi Kutta

(TAT 4)

Solusi (TAT 4) dapat dicari dengan menggunakan superposisi dari doublet atau vortex

2D seperti yang telah kita pelajari di BAB 5. Namun, dalam sub-bagian ini kita akan

gunakan metoda lain yaitu dengan meggunakan analisa bilangan kompleks. Sedangkan


2'

solusi yang didapatkan dari superposisi doublet atau vortex akan kita pelajari nanti di

sub-bagian Metoda Panel.

Karena persoalan ini adalah persoalan 2-D, maka kita dapat menggunakan teknik

analisa bilangan kompleks untuk menyelesaikan persamaan Laplace di atas. Salah satu

teorema penting dalam teori bilangan complex adalah “Cauchy’s integral formula“.

Teorema ini menyatakan bahwa apabila f(z1) adlah fungsi yang analitik di bidang

maka, 1 1'z x ix≡ +

11

1 ( )( )2 c

f zf z dz zπ

=−∫ z

di mana c adalah kurva tertutup yang menutupi titik 1zz = .

Sekarang kita akan aplikasikan teorema ini untuk mendapatkan solusi dari (TAT.4).

Pertama-tama kita lihat,

( ) ( )212211 ,,)( xxivxxvdzdFzW −==

di mana ψφ iF += . Karena W(z) adalah fungsi analitik maka kita dapat menggunakan

“Cauchy’s integral formula“ sehingga,

∫ ∫+++ −

=−

=c cccc

dzzz

zWi

dzzz

zWi

zW 11

11

1

1

4321

)(21)(

21)(

ππ.

di mana c adalah kurva tertutup seperti dalam sketsa di bawah.

ix2’

C3 C4

x1’ C2

R1

Airfoil berada di z = z1 dengan panjang c C1


Apabila kita pilih R1→∞ maka kontribusi dari integral c1 = 0 karena 0)( =∞∇φ

sehingga W(∞) =0. Kontribusi dari integral c2 dan c4 saling menghilangkan sehingga,

( )3

1 1 1 11 1

1 1 10 0

1 11

10

1 ( ) 1 ( ' ,0 ) ( ' ,0 )( ) ' '2 2 ' '

( ' ,0 ) ( ' ,0 )1 '2 '

c c

c

c

W z dz W x W xW z dx dxi z z i x z x z

W x W xdx

i x z

π π

π

+ −

+ −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

−=

−

∫ ∫ ∫

∫

( ) ( )1 11 1 1 1 2 1 1 1 2 1( ' ,0 ) ( ' ,0 ) ( ' ,0 ) ( ,0 ( ,0 ) ( ' ,0 )W W x W x v x iv x v x iv x+ − + + −∆ ≡ − = − − − − .

Karena maka, 2 1 2 1( ' ,0 ) ( ' ,0 )v x v x+ −=

1 1 1 21

10

1 ( ' ,0 ) ( ' ,0 ) '2 '

c v x v xW di x zπ

+ −−∆ =

−∫ x

Apabila kita definisikan

1 1 1 1 1( ' ) ( ' ,0 ) ( ' ,0 )x v x v xγ + −≡ −

maka,

1 1

1 1 20

1 ( ' ) '( )2 ' (

c

)x dxW x

i x x ixγ

π=

− +∫ (TAT.5)

Dari hasil di atas, solusi dari (TAT.4), yaitu 21)( ivvzW −= , harganya tergantung dari

harga γ . Jadi permasalahan ini belum selesai karena harga γ belum diketahui. Untuk

menghitung γ , kita ambil harga imaginer dari (TAT.5) di permukaan airfoil .

Bagian imaginer tersebut adalah :

)0( 2 ≈x

12 1 1

1 10

( ' )( ,0 ) ''

c xv x dxx xγ± = −

−∫

Karena kita ketahui dari kondisi batas maka, )0,( 12±xv

11

1 1 10

1 ( ' ) ' (2 ( ' )

ccdhx dx U )

x x dγ α

π ∞= −−∫ x

(L)

Kondisi Kutta untuk kasus ini adalah W(z) = 0 di trailing edge atau

0)( =TEγ (K)


Sekarang kita perhatikan persamaan (L) lebih mendalam apabila bentuk airfoil diketahui

maka 1dx

dhc diketahui sehingga untuk setiap kasus dengan U∞ dan α tertentu, persaman

(L) dengan kondisi kutta (K) dapat digunakan untuk menghitung γ . Dengan

diketahuinya γ maka kecepatan di setiap titik dalam aliran dapat dihitung dengan

menggunakan (TAT.5) (ingat: kecepatan ini adalah kontribusi dari bagian yang

asimetrik saja. Kecepatan yang sebenarnya didapatkan dengan menambahkan solusi

yang didapatkan dari permasalahan airfoil yang simetris dengan kondisi batas (1)).

Selain itu, bagian riil dan imaginer dari (TAT.5) adalah :

2 11 12 2

1 1 20

1 ( ' ) '2 ( ' )

c x xv dxx x x

γπ

=− +∫ & 1 1 1

2 12 21 1 2

1 ( ' ) ( ' ) '2 ( ' )

c

o

x x x xx x x

γπ

−=

− +∫v d

Namun, ini adalah distribusi kecepatan yang dihasilkan oleh “line vortex distribution“.


11

( ' )'

dxdx

γ Γ≡

Sehingga apabila γ telah didapatkan maka Γ dapat dihitung dan “lift“ dapat ditentukan

dengan menggunakan “ teorema Kutta-Joukowski “.

Berikut ini adalah langkah-langkah untuk mendapatkan solusi:

a) Gunakan transformasi (1' 1 cos2cx )θ= − sehingga

1' sin2cdx dθ θ= dan ( )1 101 cos '

2cx x= −

θ(TE) = 0, θ(LE) = π (LE: Leading Edge)

b) Subtitusikan (1) ke dalam persamaan (L). Solusi dari persamaan tersebut

adalah:

( ) 01

(1 cos )2 ssin n

nU A A nθ inγ θ θ

θ

∞

∞=

+⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

c) Subtitusikan kembali ke dalam persamaan ( L ) dan hasilnya adalah

( )011

coscn

n

dh A A ndx

α θ∞

=

= − + ∑


d) Persamaan di atas adalah “Fourrier Series” dari 1

cdhdx

. Dengan menggunakan

hasil dari “Fourrier Series” kita dapatkan

0 01

0 010

1

2 cos

c

cn

dhA ddx

dhA ndx

π

π

d

α θπ

θ θπ

= −

=

∫

∫ Sehingga apabila hc = hc(x1) diketahui An dan A0 dapat ditentukan dan γ (θ) dapat

kita hitung.

e) Hitung ( ) ( ) 11 1 00

0

' ' sin2 2

cc c Ax dx d cU A πγ γ θ θ θ π∞

⎛ ⎞Γ = = = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

l Uρ∞ ∞= Γ dan ( )0 1221

2l

lC AU c

πρ ∞

= = A+

atau

( )0 001

12 cos 1cl

dhC ddx

ππ α θ

π⎛ ⎞

= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ θ , 2ldCdα

π=

Apabila kita nyatakan ( ) ( )0 02ll L

dCCd

α α π α αα = == − = − L maka

( )0 001

1 cos 1cL

dh ddx

π

0α θ θπ= = − −∫

Sehingga dengan menggunakan teori ini kita dapat memprediksikan sudut

serang di mana lift adalah nol.

f) Sekarang kita dapat tentukan pitching moment coefficient. Dari definisinya

pitching moment di leading edge adalah,

1 1 11

' ' ''LE

ddM x dL x U d U x dxdx

ρ ρ∞ ∞ 1'Γ

= − = − Γ = −

Apabila kita integrasikan maka,

( )1 10' 'LE 1'M U x x dx

πρ γ∞= − ∫

dan

( ), 121 4 42

lLEm LE

CMC AU cS

πρ ∞

⎛ ⎞= = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

2A


Apabila kita hitung moment coefficient di posisi 1 4cx =

( ), 2, 4

14 4c m LE lm

C C C A Aπ⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

1

Karena A1 dan A2 bukan merupakan fungsi α maka dapat disimpulkan bahwa

4c adalah “Aerodynamic Center” (posisi dimana harga momen tidak

bergantung α).

g) Posisi “center of pressure” (posisi efektif di mana total lift bereaksi) dapat

ditentukan sebagai berikut. Dari definisinya,

LE cpM x L= − sehingga ,m LEcp

Cx c

C= − atau, ( )1 21

4cpl

cx A ACπ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Catatan: γ(θ) di langkah “2” memenuhi kondisi kutta (k) karena

( ) ( ) 00

"L'Hospital's Rule"

2 sin(1 cos )2 0sin cos

U ATE U Aγ γ ππ π

∞∞

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

ππ+

7.4 Teory Sayap

7.4.1 Induced Drag

Pada 7.2 dan 7.3 kita telah menggunakan teori potensial untuk mempelajari aliran di

sekitar airfoil. Sekarang kita akan melihat bagaimana teori potensial digunakan untuk

mempelajari aliran di sekitar sayap.

Aliran di sekitar sayap adalah aliran di sekitar benda 3-D. Dari pembahasan kita

sebelum ini telah kita lihat bahwa aliran irrotasional benda 3-D tidak menghasilkan Γ

(circulation) dan oleh karenanya tidak akan menghasilkan lift. Jadi jelaslah bahwa


dalam mempelajari aliran di sekitar sayap, kita tidak dapat hanya mengandalkan teori

potensial, kita harus mengamati fenomena fisik untuk aliran ini lebih dalam.

Pertama-tama kita ketahui bahwa aliran di belakang sebuah benda terdapat apa yang

disebut dengan “wake”. Untuk benda “slender” seperti sayap, daerah “wake“ ini

sangatlah tipis. Di dalam wake aliran tentunya tidak dapat diasumsikan sebagai aliran

irrotasional. Namun, di luar wake (yang sangat tipis ini) aliran dapat diasumsikan

sebagai aliran irrotasional

x3

Sekarang kita hitung di mana 3 3v dx∞

−∞∫

1ˆxu Ue v= + dan 0v = di ∞

karena wake ini sangat tipis dan kecepatan u3 di dalam wake tidak terlalu jauh dengan

hanya u3 di luar wake, maka,

333333

31

32

dxvdxvdxvx

x

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+=

Daerah di luar wake alirannya irrotasional sehingga,

33

vxφ∂

=∂

Dengan mengingat bahwa v3 = 0 di ∞ sehingga kita dapat menyatakan φ = konstan = 0

di ∞ sehingga,

U∞ Wake x1

13x

23x


( )3 3 2 1v dx φ φ∞

−∞

= −∫

Jadi dapat disimpulkan bahwa terdapat diskontinuitas dalam harga φ . Dengan kata lain

wake adalah surface of discontinuity (wake dapat dimisalkan sebagai surface of

discontinuity). Karena dalam asumsi ini, fluida di luar wake tidak dapat menembus

wake,

3 31 2x xφ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

atau 3x

φ∂∂

kontinyu.

Dengan kata lain diskontinuitas ini adalah “tangential discontinuity”. Satu lagi properti

iskontinuitas e ini adalah (lihat bab tentang shock wave), p’1 = p’2. Karena di

luar wake

dari d tip

( ) ( )221 1'0 02 2p U p p U vρ ρ+ = + + +

1'p Uvρ≈ − atau dapat pula dilihat bahwa

( ) ( )1 11 21 11 2x x

φ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v v= atau

sehingga 1x

φ⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

juga kontinyu.

adalah diskontinuitas adalah pada harga Jadi satu-satunya kemungkinan 2x

φ∂∂

. Namun,

ari apa yang telah kita pelajari sebelumnya, diskontinuitas ini akan dihasilkan oleh d

sebuah vortex sheet. Dengan kata lain wake pada belakang sayap dapat dimodelkan

sebagai “vortex sheet” yang menghasilkan diskontinuitas harga 2x

φ∂∂

(lihat gambar di


nol sehingga sayap akan menghasilkan gaya angkat.

ngan apa yang harus kita lakukan

ada kasus 2-D, yaitu menambahkan kondisi Kutta. Penambahan ini adalah

engan airfoil, sayap mempunyai dua ”wingtip”, atau ujung

bawah). Dengan menambahkan vortex sheet ini maka harga Γ tidak lagi sama dengan

Penambahan vortex sheet ini pada dasarnya serupa de

p

konsekuensi dari diabaikannya efek viskositas yang selalu ada pada aliran

sesungguhnya. Sekarang yang menjadi pertanyaan bagaimana membuat sistem vortex

sheet ini?

Selain apa yang telah dibicarakan di atas ada lagi satu hal yang penting dalam aliran di

Vortex Sheet

x1

x2

x3

sekitar sayap. Berbeda d

sayap. Di wing tip ini, aliran dari bagian bawah sayap (dengan tekanan yang tinggi)

bertemu dengan aliran atas sayap (dengan tekanan yang lebih rendah). Jadi fluida

mengalir dari bagian bawah ke bagian atas sayap. Ini mengakibatkan terjadinya

perubahan sudut serang apabila dilihat secara lokal dari setiap airfoil section.


Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa ini mengakibatkan arah lift vektor berubah dan

menghasilkan komponen yang sejajar dengan sumbu x3(lift) dan sumbu x1(drag). Drag

ini disebut juga “induced drag”. Dari geometri di atas dapat dilihat bahwa,

eff iα α α= − (W.T.I)

Untuk mempelajari induced drag lebih lanjut kita perhatikan apa yang terjadi apabila

sebuah sayap bergerak melintasi suatu daerah didalam fluida yang diam pada saat

e ini

bergerak karena adanya wak

volume berbeda dari nol. Menurut hukum kekekalan energi, penambahan

engakibatkan berkurangnya (disipasi) energi dari gerakan

Bidang A dan B adalah bidang-bidang yang berada jauh didepan dan jauh dibalakang

sayap. Selain itu posisi bidang B cukup jauh dari sayap sehingga didalam wake hanya

ada pergerakan udara yang mempunyai arah sejajar dengan bidang B (hanya ada v2 dan

sebelum dilintasi oleh sayap. Apabila kita pilih sebuah volume tertentu, maka sebelum

sayap melewati volume ini energi kinetik dari fluida didalam volume ini adalah nol.

Setelah sayap tersebut melewati daerah ini, sebagian dari fluida didalam volum

e, dan ini tentunya menyebabkan energi kinetik fluida

didalam

energi kinetik fluida ini m

sayap. ”Hilangnya” energi dari sayap inilah yang menyebabkan adanya drag. Drag ini,

yang tentunya berbeda dengan drag yang diakibatkan oleh gaya gesek (skin friction

drag), disebut induced drag.

Sekarang penjelasan diatas akan kita gunakan untuk mendapatkan formula untuk

menghitung besarnya induced drag. Untuk itu kita perhatikan situasi yang digambarkan

pada sketsa dibawah ini. Pada sketsa terlihat sebuah sayap yang bergerak menuju udara

diam.

U

C B A

X = U ∆t Wake (vortex sheet)


v C

Dari sketsa terlihat bahwa bertambahnya energi kinetik fluida didalam volume atur yang

dibatasi oleh A dan B disebabkan oleh ”masuknya” wake yang sebelumnya berada

diantara B dan C kedalam volume atur tadi. Dari penjelasan diparagraf sebelumnya

bertambahnya energi kinetik ini sama dengan kerja yang dilakukan oleh drag. Dengan

ikian maka secara matematis kita dapat nyatakan bahwa,

3 sedangkan v1 = 0). Bidang ini juga dikenal dengan sebutan Trefftz Plane. Bidang

sejajar dengan bidang B dan berjarak U ∆t dibelakang B.

dem

2 22 3

1 1( ) ( ) ( )2 2V

D U t dV U tdx dxρ φ ρ φ∆ = ∇ = ∇ ∆∫ ∫∫

atau

22 3

1 ( )2

wakeS

D dx dxρ φ= ∇∫∫

Dengan menggunakan teorema green (GT) integral diatas dapat dituliskan menjadi,

2 2

2 23 3

2 2

12

b b

b b

D dx dxx xφ φρ φ φ

+ −

+ −

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dan – adalah harga pada

bagian bawah. Sedangkan b adalah panjang dari sayap dan ujung-ujung sayap berada

pada posisi x2 = ±b/2.

Sekarang kita akan modelkan wake dengan menggunakan vortex sheet. Vortex sheet

adalah sebuah diskontinuitas tangensial (tangential discontinuity) maka dari sub bagian

ang membahas diskontinuitas dalam fluida kita ketahui bahwa

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

dimana superscript + menyatakan harga pada bagian atas wake

y3 3x x

φ φ+ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

sehingga,

∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

23

2−

1 ( )2

b

b

D dxxφρ φ φ+ −

⎡ ⎤⎛ ⎞∂⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Dari sifat-sifat sebuah v

∫

ortex sheet kita ketahui bahwa,


2

3 22

1 ( ') 1 '4 ' 'b

d z dzx dz x zφ

π−

b

⎛ ⎞∂ Γφ φ+ −Γ = − dan =⎜ ⎟∂ −

Akhirnya, dengan mensubtitusikan persamaan-persamaan terakhir kedalam hubungan

⎝ ⎠∫

untuk drag didapatkan

222

222

2

2

2 2

2

1 ( ) ( ') '2 ' '

( )

bb

bb

b

b

x d zD dx z dz

L U x dx

ρ

ρ

−−

−

z dx⎡ ⎤Γ Γ⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= Γ

∫ ∫

∫

dimana formula untuk lift didapatkan dari teorema Kutta-Joukouski.

Dalam praktek, formula untuk lift dan drag di transformasikan dengan menggunakan

transformasi,

2 (1 cos )2bx θ= − dimana 0 θ π≤ ≤

Kemudian Γ adalah fungsi yang kontinyu sehingga dapat diexpansikan dengan

menggunakan deret Fourier,

n( )1

2 sin

bU An nθ θ∞

=

Γ = ∑

Apabila deret ini kita subtitusikan ke dalam formula untuk lift dan drag maka

R

didapatkan,

1LC A Aπ= dan 2

1Di n

nC AR nAπ

∞

=

= ∑

2bAR =dimana S

dan (c = panjang chord). Koefisien-koefisien An didapatkan

denan menyelesaikan persamaan

S bc=

2 0φ∇ = berikut kondisi batasnya. Ini akan kita

Dari expresi untuk CDi terlihat jelas bahwa induced drag yang minimum akan dihasilkan

apabila semua An, kecuali A1, adalah nol. Untuk kasus m mum induced drag ini,

lakukan disub bagian setelah ini.

ini


2

2 LC1DiC ARA

ARπ

π= =

dan ini akan dihasilkan oleh distribusi Γ,

3 34 ( )LC x b xARπ

Γ = −

Distribusi ut ell l distribution karena akan dihasilkan oleh sayap yang

berbentuk seperti ellips.

Γ diseb iptica

.4.2 Penyelesaian dengan menggunakan teori potensial

ekitar

sayap diasumsikan sebagai aliran irrotational maka untuk darah di luar sayap dan wake ,

7

Sekarang kita akan lihat permasalahan ini secara matematis. Karena aliran di s

0 φ =∇2

Dengan kondisi batas:

a) di sayap, ( )3 1 21 1x x

, ,0 t c

simetris antisimetris

h hv x x U U α±∞ ∞

⎛ ⎞∂ ∂= ± + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

b) di wake, ( ) ( )3 1 2 3 1 2, ,0 , ,0v x x v x x± −=

c) di ∞, ˆ 0v φ= ∇ =

di mana kondisi batas disayap yang digunakan di sini adalah kondisi batas yang sama

dengan yang digunakan untuk airfoil tipis alpha kecil. Jadi asumsi yang telah kita

gunakan di sini sama dengan yang digunakan sebelum ini yaitu sayap tipis dengan sudut

serang kecil.

Untuk mendapatkan φ dalam kasus ini, kita dapat gunakan solusi persamaan Laplace 3-

D (L3D.b). Namu kasus ini, lebih mudah apabila kita mencari solusi untuk v1

terlebih dah bbagian “sifat-sifat dari

n dalam

φulu. Dari su ”, kita ketahui bahwa v memenuhi

persamaan Laplace ( 2 0v∇ = ) sehingga 21 0v∇ = . Oleh karena itu, solusi untuk v1 bisa

kita dapatkan juga dengan menggunakan (L3D.b) yaitu,


( )b

11 1

1 1 14

wakeS S

vv x v dSn r r nπ +

∂ ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫

Di Sb dan Swake,

3 03

1 1xn r x r

±=

∂ ∂= ±

∂ ∂

Karena, dari pemb hasan sebelumnya di awal bab ini, kita ketahui bahwa

( ) ( )1 1 2 1 1 2, ,0 , ,0v x x v x x+ −= di Swake sehingga,

a

11

wakeS

0v dSn r∂

=∂

∫

Selain itu dari kondisi irrotational menyatakan bahwa,

( )0u∇× = , 31

3 1

vvx x

∂∂=

∂ ∂

sehingga

31 1

3 1

1 1 1

b wake b wake b wakeS S S S S S

vv vdS dS dSr n r x r x+ + +

∂∂ ∂= =

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∂.

Dari pembahasan di awal b pulkan bahwa

ab ini kita telah sim 33

ˆv

xφ∂

=∂

adalah kontinyu

di Swake sehingga 3

1

vx

∂∂

juga kontinyu. Dengan demikan maka, 1

3

1 0wakeS

v dSr x

∂=

∂∫ . Oleh

karena itu,

( ) 31 1

3 1

1 1 14

bS

vv x v dSx r r xπ

⎛ ⎞∂∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫

Seperti halnya dengan kasus airfoil, kita akan menggunakan teori ini untuk menghitung

ft. Oleh karenanya, kita akan lanjutkan pembahasan di sini untuk kasus sayap dengan

kondisi batas yang antisimetris (kondisi batas simetris tidak memberikan kontribusi

menandakan posisi di permukaan sayap),

li

apapun terhadap lift). Untuk kasus antisimetris kita ketahui bahwa (subscript Sb

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 1 2 1 2

3 1 2 3 1 2

, ,0 , ,0 ,

, ,0 , ,0b b b b b b

b b b b

S S S S S S

S S S S

v x x v x x x x

v x x v x x

γ+ −− ≡+ −=


sehingga

( ) ( )3 31 2 1 2

1 1

, ,0 , ,0b b b bS S S S

v vx x x x

x x+ −

∂ ∂=

∂ ∂


( ) ( )1 2

1 2 1 21 133

1 1 1 1 ,4 4 b b b b

bS Sb b

S S S SSx x

b

x dS x x dx dxv v r x rxSγ

π π∂ ∂

= =∫∂ ∂∫∫

Seperti dalam kasus airfoil, kita perlukan harga γ untuk mendapatkan solusi, yang

dalam kasus ini adalah v1. Harga γ n oleh kondisi batas

)S± , sehingga kita perlukan persamaan untuk v3. Karena,

tentunya ditentukka

(3 1 2,Sv x x ,0b b

11

vxφ∂

=∂

dan 33

=vxφ∂

∂

aka, m

( ) ( ) ( )1x 1

1 2

2

3 1 0 2 3 0 1 2 1 223 3

1 1, , ,4 b b b b

S Sb b

x

S S S S cx x

v x v x x x dx x x dx dx dxx x r

γπ−∞ −∞

⎡ ⎤∂∂ ⎢ ⎥= = −∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫∫

i mana telah digunakan 3 3bSx x∂ ∂

= −∂ ∂

. d

Untuk 3lim 0x → , persamaan di atas menjadi (Ashley-Landahl,1965),

( ) ( )( ) ( )

( )1 2

2

1 1 2 23 1 2 1 2

2 2 2 1

1 1, ,04

b b

b b

bS S b bb b

S SS S

Sx x S S

x x x xv x x dx dx

x x x xγ

π

⎤− + −∂ ⎢ ⎥= − ⎥∂ − − ⎥⎣ ⎦∫∫

Persamaan ini dapat disederhanakan lagi seperti dibawah ini.

2⎡

1

1x

+⎢⎢

( ) ( )

( )

1 2 2 bS Sb bbSx x

b

−

( )2 Sbx=Γ

21 2

1 2202 2 2 22

2

1 22 02 22

1

1

b b

b b

bb b

b b

bb

b cS S

S SSS S

c

S Sb SS

dx dxdx dx

x xx x x x

d dx dxdxx x

γ γ

γ−

⎡ ⎤∂ ∂= ⎢ ⎥

∂ ∂− − ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

− ⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫


Jadi

( ) ( )( ) ( )

( )(( ))1 2

/ 22

3 1 22/ 2 2 2

2 2

21 2

2 1 1 2 2

1

1, , 0 [4

]

sb

sb sb

sb1 1 2sb

sb

sbsb sb sb sb

b

b

sbx x

c

d xdv x xd x x x

x x x xd x d x

hUx

π

γ

α

−

∞

− Γ=

−

− + −∂

⎛ ⎞∂= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫

x x x x x+

∂ − −∫∫ (WT.*)

di mana Hubungan terakhir adalah persamaan yang harus di selesaikan

mendapatkan

∫=Γc

sbdx

01γ

untuk γ apabila U∞ , , ( )1 2,c x xh α diberikan. Apabila γ telah diketahui

maka persoalan aliran di sekitar sayap yang menghasilkan lift terselesaikan.

7.4.3 Teori garis angkat Prandt`L (Prandt’l Lifting Line)

Persamaan (WT.*) sangatlah sulit disesuaikan secara analitis. Karena itu permasalahan

aliran disekitar sayap biasanya dimodelkan dengan sistem vortex yang meliputi vortex

yang mempresentasikan sayap dan vortex sheet yang mempresentasikan wake. Sistem

a harus mini tentuny emenuhi teorema helmholtz tentang vortex, yaitu vortex line tidak

dapat muncul & berakhir di fluida.

bawah ini.

Dalam model di bawah terlihat bahwa vortex line dimulai dan berakhir di fluida

hingga memenuhi teorema Helmholtz.

Model yang memenuhi syarat-syarat di atas dapat dilihat dalam gambar di

se


Vortex line yang berada “di dalam“ sayap sayap disebut “bound vortex” karena vortex

ini tidak bergerak bersama fluida seperti vortex line yang berada di luar sayap. Selain

model di atas terdapat pula model-model lainya seperti dalam gambar di bawah ini.

Model ini dikenal dengan sebutan”lifting surface”

Model-model di atas umumnya tidak memberikan solusi

yang analitik dan biasanya diselesaikan dengan

menggunakan komputer. Alternatif lainnya adalah

menggunakan model yang disebut “Prandtl lifting line”.

Dengan menggunakan model ini kita dapat

menyelesaikan permasalahan ini secara analitik walaupun model ini tidak seakurat

model-model sebelumnya. Dalam model ini “bound vortex lines” yang terlihat dalam

gambar (wt.1) “disatukan” di dalam satu garis yang disebut “lifting line”.

Dengan model ini kita dapat melakukan perhitungan untuk mendapatkan CL dan CDi.

Pertama-tama kita lihat bahwa “vortex sheet” ini menghasilkan downwash sebesar,

( ) ( )/ 2

23 1 2 2 3 line vortex distribution

2 2/ 2

1 1 1, ,02 2 2

sb

sb

sb

b

b

ddx

v x x dx vx xπ −

Γ⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

Dengan menggunakan model ini, kondisi batas yang sebelumnya tidak lagi berlaku

(sekarang tidak ada lagi hc karena sayap telah diganti dengan lifting line). Sekarang kita

lihat (gambar x). Dari gambar ini dapat dilihat bahwa,


1 3tani

vU

α − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Karena pada umumnya v3 << U maka,

3i

vU

α atau 2

23 2

2 22

14

sb

sb

sb

b

ib

ddx

v U dxx x

απ −

Γ

= =−∫

Dari definisi untuk Cl,

2

212

lLC

UcU cρ

Γ= =

Namun, kita dapat juga menyatakan bahwa,

dan ( )02l eff LC π α α == − ieff ααα −= (dari W.T.I)

sehingga,

30L

vUCU

π α α =⎛ ⎞Γ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Dengan mensubstitusikan v3 ke dalam persamaan di atas didapatkan,

/ 22

0 22 2/ 2

14

sb

sb

sb

b

Lb

ddx

UC dxU x x

π α απ=

−

Γ⎛⎜

⎞⎟Γ = − −⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (WT)

c, U, αL=0, dan b diketahui maka (WT) adalah persamaan differensial

(intregro-differential) untuk Γ.

Persamaan (WT) dapat pula diturunkan langsung dari persamaan (WT*), tanpa perlu

menggunakan model seperti diatas, dengan menggunakan asumsi “high-aspect ratio”

Karena α,

atau b/c >>1. Apabila asumsi ini dapat digunakan maka,


( ) ( )

( )( )( )sbsb

sbsb

xxxx

xxxx

2211

222

211

−−

−+− ≅

( )( )( ))(

sbsb

sb

xxxx

xx

2211

22

−−

−

karena xx − <<

( )2 ( )211 sb 2sb2 xx − untuk kasus b/c>>1. Dengan demikian maka suku

( ) ( )( )( )( )1 2

1 22 1 1 2 2

sb

sbsb sb sb sb

sbx x x x x x x

2 2

1 1 2 2sb sbx x x x

d x d x Iγ − + −∂≡

∂ − −

pada (WT*) menjadi,

∫∫

( )( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )1 2 2

2

2

2 2 2 21 2 2 1

2 1 1 20 2 21 1 2 2

/ 21 2

2 2/ 2 2 2

1

,

sb sb

12 2 1

1 10 01 1

2

sb sb b

sb sb sbsbsb sb sbsb sb

sb

sb sb

c

sb sb

sbsb

sb Sx x x

xc b c

b x

x x x x

sbs

b b

I dx dx dx dxx x x xx xx x x x

x xdxdx x

γ γ

γγ γ

⎡ ⎤− −∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ − ∂−− − ⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂

= ∫

x dx dxx xx x γ γ −− =

= −∂ ∂

∫∫ ∫

∫ ∫

sehingga,

=⎢ ⎥−−⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ b

( ) ( )( )/ 2

1 221 2 4 b

12 1 1 1/ 2 02 2

,1, ,0 2 sbsb

sb sbsb

b cc

sb

x xdx hdv x x dx Udx x x xx x

γα

π −⎢⎣∞

⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂− Γ⎢ ⎥= + = −⎜ ⎟− ∂− ⎥ ⎝ ⎠⎦∫ ∫ ( WT.**)

Apabila (WT*) dikalikan dengan 1

1

xc x−

lalu diintegrasikan diarah x1 maka akan

didapatkan kembali persamaan (WT) (lihat Ashley-Landahl,1965). Penurunan cara

kedua ini memperlihatkan bahwa Teori garis angkat Prandt’l layak digunakan untuk

sayap-sayap yang mempunyai Aspect Ratio yang tinggi.

Solusi dari persamaan (WT) adalah Γ yang dapat gunakan untuk menghitung gaya

angkat dan gaya hambat induksi dengan menggunakan hubungan-hubungan berikut :

2Γ/ 2 / 2 / 2

2 2/ 2 / 2 / 2

cosb b b

ib b b

L l dx ldx U dxα ρ− − −

= =∫ ∫ ∫


dan

b b b

ut

untuk menghitung gaya angkat dan gaya hambat induksi. Berikut ini adalah langkah-

langkah praktis untuk mendapatkan L & Di;

1. Solusi dari persamaan (W.T) dapat di tuliskan sebagai berikut,

n

/ 2 / 2 / 2

2 2 2/ 2 / 2 / 2

sini i i ib b b

D l dx l dx U dxα α ρ α− − −

= = Γ∫ ∫ ∫

Dengan demikian jelaslah prosudur penyelesaian permasalahan aliran disekitar sayap

yang mempunyai aspect ratio yang tinggi. Pertama-tama kita selesaikan persamaan

(WT) untuk mendapatkan distribusi Γ. Κemudian, kita gunakan distribusi terseb

( )1

2 sin

bU An nθ θ∞

=

Γ = ∑

Apabila kita subtitusikan ke dalam persamaan (W.T) maka,

( ) ( ) ( ) ( )( )

00 0 0

1 10 0

sin2 sinsinn L n

n n

nb A n nAC

θα θ θ α θ

π θ θ

∞ ∞

== =

= + +∑ ∑ (W.T.2)

Persamaan (W.T.2) adalah satu persamaan untuk N variabel yang tidak diketahui

(A1, …,AN). Namun, apabila kita pilih N titik sepanjang lifting line (1oθ , … , Noθ )

diselesaikan. Jadi

apabila kita lakukan ini maka kita akan dapatkan harga untuk A1, …,AN.

2. Hitung

maka kita akan dapatkan N persamaan yang tentunya dapat

22

1 12

22 b

−

21

b

lL bC dy A A AR

US SU Sπ π

ρ⎛ ⎞

= = Γ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Di mana SbAR

2

≡ , R1LC A Aπ=

3. Hitung ( ) ( ) ( )2

21

2

2 1

b

Di ib

C y y dy AR AUS

α π δ−

= Γ = +∫


Di mana ∑=

δ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

N

n

n

AA

n2

2

1

, 2

(1 )LDi

CCAR

δπ

= +

7.5 Metoda Panel

Didalam bab ini kita telah lihat beberapa contoh tentang bagaimana menggunakan teori

potensial untuk menyelesaikan permasalahan aliran incompressible disekitar airfoil

(kasus 2-D) dan sayap (kasus 3-D). Namun, penyelesaian secara analitis seperti yang

dipaparkan disub-bagian 7.1-7.4 hanya berlaku untuk kasus-kasus tertentu. Misalnya,

n dengan menggunakan conformal mapping hanya dapat digunakan untuk

airfoil dengan geometri tertentu yang dapat ditransformasikan menjadi silinder dengan

sebuah transformasi, seperti transformasi Joukowski. Selain itu solusi analitis juga

didapatkan untuk kasus airfoil dan sayap dimana benda-benda tersebut dianggap

ngatlah tipis (dan mempunyai Aspect Ratio yang tinggi untuk kasus sayap). Tentunya

lusi-solusi tersebut berlaku sangat terbatas, karena pada umumnya asumsi yang

digunakan untuk mendapatkan solusi-solusi tersebut hanya terpenuhi oleh airfoil atau

g sederhana. Untuk kasus-kasus yang lebih umum,

ermasalahan ini tidak dapat diselesaikan secara analitis. Kasus-kasus ini, hanya dapat

penyelesaia

sa

so

sayap dengan geometri yan

p

diselesaikan secara numerik dan salah satu metoda numerik yang populer untuk

menyelesaikan permasalahan aliran potensial incompressible adalah Metoda Panel.

Metoda ini mencari solusi dengan menggunakan solusi umum dari persamaan Laplace

dengan cara yang telah kita pelajari sebelumnya di sub-bagian 5.6.3.

Sekali lagi permasalahan matematis yang harus diselesaikan untuk aliran

incompressible potensial disekitar airfoil atau sayap yang diletakkan dibelakang aliran

seragam adalah mencari solusi dari,

2 0φ∇ = ,

dengan kondisi batas ˆ 0nφ∇ ⋅ = dan ( ) Uφ ∞∇ ∞ = , ditambah dengan kondisi Kutta

untuk kasus airfoil (2-D).


7.5.1 Dekomposisi dengan menggunakan potensial gangguan

Seperti biasa, permasalahan matematis ini diselesaikan dengan menggunakan

dekomposisi ˆφ φ φ= + di mana ∞ φ∞ adalah potensial dari aliran freestream dan φ

disturbance potential) yang juga memenuhi persamaan adalah potensial gangguan (

Laplace 2 ˆ 0φ∇ = . Kondisi batas yang harus dipenuhi φ didapatkan dari (IP.2),

ˆ ˆˆ ˆ0 u n n ˆU n

n n n nφ φ φ φ∞

∞∂ ∂ ∂ ∂

= + = ⋅ +φ= ⋅ = ∇ ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂

sehingga

ˆˆ

bS

U nnφ⎛ ⎞∂

∞= − ⋅⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟∂

ˆSelain itu, untuk aliran tak terbatas ˆlim 0r

φ→∞

∇ = (karena dari definisinya, φ φ∞= φ+ ->

φ φ∞= pada permukaan Σ). Dengan m nggunakan dekomposisi ini, permasalahan


e

matematis yang harus diselesaikan menjadi,

0ˆ2 =∇ φ ,

ˆ∞ˆ ˆn Uφ n∇ ⋅ = − ⋅ , 0)( =∞∇φ

ditambah kondisi Kutta untuk kasus airfoil (2-D).

ˆ

Apabila φ telah didapatkan maka φ dapat dihitung dengan menggunakan,

1 2

ˆ

( cos sin ), ln 2U x x misa ya untuk kasus Dφ φ φφ α α

∞

∞ ∞

= += +

perma encari

kekuatan source dan doublet di St. Namun, karena sehingga

pada permukaan Σ, kontribusi dari integral permukaan Σ adalah nol

dan St = Sb pada (MP.3). Dengan demikian maka solusi didapatkan dengan mencari M

dan µ dari persamaan MP.3 yang untuk kasus ini adalah,

Dari 5.8.1, kita ketahui bahwa solusi dari salahan ini didapatkan dengan m

0)(ˆ =∞∇φ

ˆ tan 0konsφ = =


1

b

( 3 ), 4 ( ) 2 ( )

)

ˆ( )

t

t

s sS

kasus D n untuk x yang berada di V atau n untuk x yan

ln ( 2 ), 2 ( ) 1 (

g berada di S

sS

n

x M dSn

π

φ φ µ φ

φ− − = =

− −

∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

=

∫ ( MP.3.a)

basan dalam

memilih

n rr kasus D n untuk x yang berada di S atau n untuk x yang beradadi

π

= =

Harga µ dan M didapatkan dengan mengingat bahwa kita mempunyai kebe

φ maupun nφ∂

∂. Untuk kasus ini, kita pilih 0

nφ∂

=∂

sehingga harga dari energi

kinetik fluida imaginer didalam benda adalah,

1 1 1 1ˆ 02 2 2 2

t t tV V S

KE u udV dV ndS dSφρ ρ φ φ ρ φ φ ρ φtS n

∂∂∫ ∫ ∫ ∫≡ ⋅ = ∇ ⋅∇ = ∇ ⋅ = =

dimana telah d

igunakan hubungan (L3D.1) (dengan 2 0φ∇ = dan ψ = φ ) untuk

mengubah integral volume menjadi integral area.

Hasil ini menunjukkan bahwa kecepatan aliran “imajiner” di dalam benda sama dengan

nol sehingga φ

dengan nol sehingga

adalah konstan di dalam benda. Harga dari konstanta ini dapat kita pilih

sama dan, 0φ =

ˆ ˆ ˆˆb b

b b

S S

S S

M U n dann n nφ φ φ µ φ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂≡ − = = − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Karena M diketahui, maka (MP.3.a) dapat digunakan untuk mencari harga µSb apabila

persamaan integral tersebut kita evaluasi dipermukaan benda Sb. Dengan ditemukannya

harga M dan µ di permukaan Sb maka harga φ di mana pun di dalam fluida dapat

dihitung dengan menggunakan (MP.3.a).


Dalam

Sa)

dan perm Sw) ( akan dijelaskan diparagraf selanjutnya bahwa

permukaan ini adalah barrier untuk kasus airfoil da rtex sheet untuk kasus sayap).

Selain itu integral area dS da kasus 2D tentuny enjadi integral sepanjang garis

permukaan.

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, untuk kasus 2-D (airfoil), kita per nambahkan

barrier agar harga

(MP.3.a), Sb adalah permukaan benda dan batas-batas internal lainnya. Baik

untuk kasus airfoil maupun kasus sayap, Sb terdiri dari permukaan airfoil atau sayap (

ukaan diskontinuitas (

n vo

pa a m

lu me

φ menjadi single valued. Namun, Barrier ini menghasilkan

diskontinuitas dari harga φ sebesar

φ φ+ −− = Γ

dimana superscript + dan – menunjukkan harga di permukaan atas dan bawah

diskontinuitas. Sedangkan untuk kasus 3-D (sayap) kita harus memodelkan wake

(dengan sebuah vortex sheet) karena tanpa wake maka solusi dari aliran 3-D ini tidak

akan menghasilkan lift. Vortex sheet yang ditambahkan ini adalah permukaan

diskontinuitas karena menghasilkan diskontinuitas dari harga u2 sebesar,

2 22

du udx

+ − Γ− =

S∞

S-

S+ Sa

wS S S+ −= ∪

x1

x3


a kontinuitas tangensial sehingga kecepatan diarah

normal kontinyu) sehingga kondisi batas pada permukaan Sw adalah,

Namun, baik barrier maupun vortex sheet tidak menghasilkan diskontinuitas kecepatan

di arah normal (barrier tidak menghasilkan diskontinuitas kecepatan di arah manapun

sedangkan vortex sheet dalah dis

( ) ( )

( ) ( )

ˆ ˆw w

w w

w w

S SS S

S S

atau M Mn n

p p

φ φ+ −

+ −

+ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, juga

berarti kontinuitas tekanan. Sedangkan untuk kasus sayap, kontinuitas tekanan adalah

kondisi batas yang harus dipenuhi oleh vortex sheet yang merupakan diskontinuitas

skontinuitas dalam fluida).

⎝ ⎠

=

Kondisi tentang kesamaan tekanan di permukaan atas dan bawah Sw untuk kasus airfoil

disebabkan oleh kontinuitas kecepatan di Sw yang, menurut persamaan Bernoulli

tangensial (lihat bagian di


( ) ( ) ( ) ( )w

s s s sS S S S

M dS M dS M dS M Mφ φ φ φ+ − +

+ − + −= + = −∫ ∫ ∫ ∫ 0dS =

Sehingga hanya ada satu suku yang tersisa didalam integral permukaan Sw yang

merupakan distribusi dari doublet dengan kekuatan µ. Dengan demikian maka, baik

untuk kasus 2-D maupun 3-D, persamaan (MP.3.a) dapat dituliskan menjadi,

1 ( 3 ), 4 ( ) 2 ( )

ln ( 2 ), 2 ( )

ˆa w

t

s s sS S

kasus D n untuk x yang berada di V atau n untuk x yan

1 ( )

ˆt

g berada di Sn r

s r kasus D n untuk x yang berada di Sn

M dS dSn n

π

π

φ φ µ φ µ φ

φ− − = =

− − =

∂ ∂⎛ ⎞

a

atau n untuk x yang berada di S

M φ

=

S n⎜ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂≡ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

∫ ∫

(PN)

ˆU n∞= − ⋅

Tujuan kita sekarang adalah mencari µ dengan mengevaluasi persamaan diatas

ukaan Sb dimana µ=φ. Dalam Metoda panel, pencarian harga µ dilakukan secara

numerik.

aS⎟

diperm


ang harus

diberikan agar kecepatan yang didapatkan mempunyai harga yang unik. Seperti yang

telah dijelaskan di 7.1, kondisi Kutta dapat dinyatakan secara matematis sebagai,

7.5.2 Metoda panel untuk kasus 2-D (airfoil)

Untuk kasus airfoil, Sw ditambahkan untuk memenuhi kondisi Kutta, y

0trailing edgeγ =

Namun, dari sub-bagian 6.1.3 diketahui bahwa hubungan antara kekuatan doublet dan

vortex adalah,

1

0trailing edgetrailing edgex

µγ⎛ ⎞∂

= =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

sehingga

( )wU L Strailing edge

µ µ µ µ= − = .

imaD na &U Lµ µ

trailing edge. Sekarang bagaim

adalah kekuatan doublet di bagian atas (upper) dan bawah (lower) dari

Sw? Karena harga kecepatan

w adalah unit vektor

ana harga µ di permukaan

di sepanjang S kontinyu maka dapat disimpulkan bahwa apabila s

diarah yang sejajar (paralel) dengan Sw,

( )0s s s s

φ φ φ φ+ −

+ −⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − = − = Γ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Dengan demikian maka Γ adalah konstan sepanjang Sw sehingga,

wStan ( )w wS Skons φ φ µ+ −= Γ = − = −

Dengan kata lain, untuk kasus ini kekuatan doublet di Sw adalah konstan.

Untuk mendapatkan harga µ, kita evaluasi (PN) di titik-titik di permukaan airfoil. Oleh

karena itu maka permasalahan matematis yang harus diselesaikan untuk kasus airfoil

ngan menggunakan (MP.3.a) dimana n = 1 karena potensial dievaluasi di

permukaan),

adalah (de

ˆ ˆ( ) ln ( ) ln ( ) lna w

U LS S

x r U n r dS rdSn n

µ µ µ∞= − ⋅ + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ πφ ∂ ∂⎛ ⎞−


o

yelesaikan integral diatas (mencari φ) secara

numerik. Untuk itu geometri airfoil di aproksimasikan dengan menggunakan Polygon

sebanyak N seperti terlihat digambarkan dalam sketsa dibawah ini. Titik-titik didalam

k disebut “panel”.

Selanjutnya terdapat beberapa metode untuk mendiskritisasikan persamaan integral

Sekali lagi dalam kasus airfoil dS adalah integral sepanjang garis pr fil dari permukaan-

permukaan. Sekarang kita harus men

sketsa disebut “node” sedangkan garis yang menghubungkan 2 titi

3 2

4 1

N N-1

Sw

U∞

α

x2

x1

diatas. Salah satu yang paling sederhana adalah mengasumsikan bahwa harga µ disetiap

panel adalah konstan atau

tani konsµ = untuk setiap panel i

Dengan demikian maka untuk kasus ini,

( )

( )

11 1 1

11 1 1

ˆln ( ) ln ( ) lnwakeNN N

r dS U n r dS rdSπµ µ µ µ∂ ∂⎛ ⎞− = − ⋅ + −∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

ˆln ( ) ln ( ) ln

j j nb body wake

wake

j n jbody wake body

i j j j N jj j j NS S S

NN N

j j i N j jj j N jS S S

n n

atau

r dS rdS U n r dSn n

µ πµ µ µ

∞= = = +

∞= = + =

⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞ + + − = ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

Dengan demikian maka terdapat N harga µi yang harus ditemukan untuk me

perm lahan aliran disekitar airfoil tersebut. Persam ral diatas adalah

pernyataan kondisi batas yang harus dipenuhi disetiap titik di permukaan benda. Untuk

tiap titik dipermukaan benda harga r berbeda-beda. Dengan menuliskan persamaan

definisikan,

ody

nyelesaikan

asa aan integ

se

integral diatas dititik tengah setiap panel, didapatkan N persamaan untuk N harga µi

yang harus ditemukan. Ke N persamaan ini dapat dituliskan dengan menggunakan

notasi matriks apabila kita


( )

1

1

1,0,

ln ( )πδ δ µ+ − ln

ˆ( ) ln

nwake

jbody

ij ij j ij jN j ij jS

N

i ij jj S

i jij i j

A r dS r dSn

B U n r dS

δ

∞=

=≠

∂ ∂⎛ ⎞≡ +⎜ ⎟ ∂

≡ ⋅

=

∫ ∫

∑ ∫

dimana rij adalah jarak antara titik tengah panel “i” dengan panel-panel lainnya.

Dengan diperkenalkannya definisi-definisi tersebut, persamaan integral dapat dituliskan

bagai,

jbodyS n∂⎝ ⎠

se

[ ] A Bµ =

dimana matriks A dan vektor B mempunyai harga yang dapat dihitung dari geometri

panel, sudut serang, dan besar kecepatan U∞. Untuk menghitung matriks A diperlukan

bentuk dari Swake. Namun, karena untuk kasus airfoil Swake adalah barrier, suatu

permukaan imaginer yang ditambahkan agar harga potensial kecepatan menjadi unik,

maka kita dapat menganggap Swake adalah garis lurus yang menghubungkan permukaan

airfoil dan S . Dengan demikian matri∞ ks A dapat dihitung dan kita dapat menggunakan

metode aljabar linier (seperti metoda Gauss-Seidell) untuk mendapatkan harga dari

vektor µ.

7.5.3 Metoda panel untuk kasus 3-D (Sayap)

enambahkan Swake. Namun, berbeda dengan kasus airfoil, dimana

Swake hanya menghasilkan diskontinuitas potensial kecepatan, untuk kasus sayap

permukaan ini juga menghasilkan diskontinuitas kecepatan diarah panjang sayap

merupakan model dari wake, yang terbentuk di trailing edge sayap. Ini berarti

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa dalam kasus sayap yang menghasilkan gaya

angkat, kita perlu m

(spanwise). Jadi untuk kasus sayap Swake adalah benar-benar permukaan dari wake

yang dimodelkan sebagai sebuah vortex sheet. Dengan demikian, sebelum kita

menyelesaikan permasalahan ini seara numerik kita perlu menspesifikasikan “kekuatan”

dan “bentuk” dari vortex sheet tersebut.

a) Kekuatan Vortex sheet

Seperti telah kita lihat sebelumnya, Swake adalah sebuah vortex sheet, yang


b-bagian 7.1, kita ketahui bahwa ini adalah pernyataan kondisi Kutta. Oleh

karena itu, maka cara yang paling sederhana untuk menspesifikasikan kekuatan

vortex sheet adalah dengan memberikan “kondisi Kutta” pada trailing edge dari

aliran harus lepas dari permukaan sayap ditrailing edge Namun, dari pembahasan

di su

sayap tersebut sehingga,

( ) 2 2( ) ( )trailing edge U Lwakex xµ µ µ µ= = −

Namun, berbeda dengan kasus airfoil, kekuatan doublet di wake ini adalah fungsi

dari x2.

b) Bentuk Vortex sheet

Untuk kasus ini bentuk dari Swake (vortex sheet) sangat penting karena permukaan

ini merepresentasikan wake, sesuatu yang memang ada dalam aliran yang

sesungguhnya. Dari kondisi batas diketahui bahwa harga tekanan di permukaan

vortex sheet adalah kontinyu, sehingga permukaan ini tidak dapat menghasilkan

ma Kutta-Joukowski ini berarti, gaya angkat. Dari teore

ˆ0 ( )F F u e uρ ρ γ+ −= − = ×Γ ×S =

dimana F+ dan F- adalah gaya di permukaan atas dan bawah Swake dan γ adalah

kekuatan dari vortex sheet. Dari pembahasan di akhir BAB 5, kita ketahui bahwa

distribusi vortex ekuivalen dengan distribusi doublet dengan kekuatan,

µΓ −= sehingga γ µ= −∇

Oleh karena itu maka,

0 u uγ µ= × = − ×∇ .

Hubungan diatas menunjukkan bahwa axis dari vortex sheet tersebut harus sejajar

dengan arah vektor kecepatan. Syarat ini agak sulit untuk diterapkan karena u

baru dapat hitung apabila γ sudah ditentukan. Dalam praktik, biasanya vortex

sheet dianggap “meninggalkan” trailing edge dengan sudut 2

trailing edgeδ. Bentuk

dari vortex sheet ini diketahui sangat mempengaruhi akurasi dari hasil

perhitungan.

an dispesifikasikannya kekuatan dan bentuk dari vorteDeng x sheet, kita dapat mulai

mendiskritisasi persamaan integral dengan menggunakan panel-panel seperti


sebel

panel

dima

umnya. Dengan menganggap bahwa kekuatan doublet adalah konstan pada setiap

, seperti dalam kasus airfoil maka didapatkan (dengan menggunakan (MP.3.a)

na n = 2 karena potensial dievaluasi di permukaan),

1jbody

j S n= ∂⎝ 1 1

1 1 12 ( )

1 1 1

wake

j nbody wake

wake

NN N

i j j j j jj j NS S

NN N

dS dS dSr r n r

atau

πµ µ µ∞= = +

∂ ∂⎛ ⎞ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1 1

ˆ2 ( )j n jbody wake body

j j i j j jj j N jS S S

dS dS U n dSn r n r r

µ πµ µ ∞= = + =

+ + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂

ˆU n⎛ ⋅ +

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

dima

menuliskan persamaan integral diatas dititik tengah setiap panel, didapatkan N

persa ti telah

sebel

⎝ ⎠∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

na sekarang dSj adalah permukaan panel j. Seperti kasus airfoil, dengan

maan untuk N harga µi yang harus ditemukan. Seper dijelaskan

umnya kekuatan doublet di wake didapatkan dari“kondisi Kutta” untuk kasus ini,

( ) 2 21( ) ( )trailing edge U Lj Nx xµ µ µ µ

≥ += = −

sehingga harga µwake adalah fungsi dari x2 dan tidak berubah diarah x1 (searah dengan

Ke N persamaan ini juga dapat dituliskan dalam bentuk matriks sehingga persamaan

yang harus diselesaikan adalah,

panjang wake). Dengan kata lain, harga µwake dari panel-panel di vortex sheet yang

berurutan diarah x1 adalah konstan. Harga konstanta in adalah sama dengan selisih

harga µ di atas dan bawah dari kedua panel ditrailing edge yang sejajar (diarah x1)

dengan panel-panel di vortex sheet tersebut.

[ ] 3dA Bµ =

dimana B adalah vektor yang serupa dengan B untuk airfoil (namun, kali ini integrasi dS

adalah integrasi area dan , tentunya, ln r diganti dengan 1/r) dan A3d matriks yang

sejenis dengan matriks A untuk kasus airfoil. Jadi sekali lagi, persamaan matriks diatas

dapat digunakan untuk mendapatkan harga kekuatan doublet disetiap panel.

Topik Lain Dalam Aliran Inkompresibel 297

8 Topik Lain Dalam Aliran

BAB

inkompresibel

8.1 Konveksi Termal

Fluida dapat berada dalam keadaan setimbang (equilibrium) secara mekanik atau diam

walaupun temperatur dari bagian-bagian fluida tersebut tidak homogen, apabila kondisi

ini tidak terpenuhi, keadaan equilibrium tersebut menjadi tidak stabil dan terjadilah

gerakan dalam fluida. Gerakan yang “mencampur-adukkan“ bagian-bagian fluida yang

mempunyai perbedaan temperatur tersebut terus berlangsung hingga perbedaan

temperatut tersebut hilang. Gerakan ini disebut gerakan convection atau konveksi.

8.1.1 Kondisi untuk equilibrium yang stabil

Sebelum kita pelajari gerakan konveksi, kita lihat dulu kondisi yang harus dipenuhi agar

terjadi kesetimbangan mekanik di dalam fluida yang mempunyai temperatur yang tidak

homogen. Untuk itu, kita perhatikan sebuah fluida element di ketinggian x3 yang

mempunyai massa jenis ρ ( p,s ) di mana p dan s adalah tekanan dan entropi di

ketinggian tersebut. Kemudian kita pindahkan fluid element ini ke atas ketinggian x3+ξ

di mana ξ adalah sangat kecil. Untuk kondisi equilibrium yang stabil harus ada


kecenderungan untuk mengembalikan fluid element ini ke posisinya semula. Ap

perpindahan tersebut adalah isentropik, maka ρ (p’,s) di mana p’ adalah

ketinggian yang baru. Kondisi yang harus terpenuhi untuk kesetimba

adalah:

abila proses

tekanan di

ngan yang stabil

( ) ( )', ', ' 0p s p sρ ρ− >

atau fliud element yang dipindahkan tersebut lebih berat dari fluid element-flui

lainnya yang berada d

kembali ke tempat sem

arena ξ sangat kecil maka s′ dapat dituliskan dengan menggunakan expansi taylor,

d element

i x3+ξ sehingga ada kecenderungan dari fluid element ini untuk

ula.

K

3

' dss sdx

ξ= + dan ( ) ( )3

', ' ' , s dsp s p ρ

ps dxρ ρ ξ∂⎛ ⎞= +

⎝ ⎠

hingga kondisi untuk equilibrium yang stabil adalah

⎜ ⎟∂

se

3

0ps d⎜ ⎟∂⎝ ⎠

dsx

ρ ξ∂⎛ ⎞− > atau 3

0p

dss dxρ∂⎛ ⎞ <⎜ ⎟∂⎝ ⎠

.

Namun dari termodinamik,

p p p

Ts T sρ ρ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dan p

p

sC TT

∂⎛ ⎞≡ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

sehingga

3

0pp

T dsC T dx

ρ∂⎛ ⎞ <⎜ ⎟∂⎝ ⎠ atau

3

0p

dsT dxρ∂⎛ ⎞ <⎜ ⎟∂⎝ ⎠

arena T > 0 dan Cp > 0. Kebanyakan material mempunyai hubungan ρ dan T seperti k

1~ρ sehingga 0ρ∂⎛ ⎞ <⎜ ⎟ . Dengan demikian makaT p∂⎝ ⎠

kondisi kesetimbangan yang T

stabil menjadi 3

0dsdx

> atau entropi bertambah bersama ketinggian.

Sekarang kita ingin lihat hubungan antara temperature T dan x3 untuk itu kita tuliskan

3

dsdx

sebagai,


3 3 3 3 3

p

p T T

Cds s dT s dp dT s dpdx T dx p dx T dx p dx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dengan hubungan ini maka kodisi equilibrium yang stabil menjadi,

3 3p T

dT T s dpdx C p dx

⎛ ⎞∂> − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Namun, persaman x3-momentum untuk fluida yang diam adalah, 3

0 dp gdx

ρ= − − dan

dari termodinamik (hubungan Maxwell),

1

pT

p

s vT Tρ

ρ⎛ ⎞

⎛ ⎞⎛ ⎞∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎟

⎠

∂⎝ ⎠ di mana

ρ1

≡v

⎜⎝

coefficient of thermal expansion” (β), dimana Selain itu kita perkenalkan “

1 1

P P Pv

v vT T

β ρρ T

ρ≡ = = −

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

engan demikian maka kondisi untuk equilibrium yang stabildari fluida dengan

ogen adalah,

D

temperature yang tidak hom

3

dT g Tdx Cp

β⎛ ⎞−> ⎜ ⎟

⎝ ⎠

8.1.2 Konveksi bebas (free conve )

ction

Apabila kondisi 3

dT di atas tidak terpenuhi maka fluida akan mulai bergerak dan

. Untuk mendapatkan persamaan yang menjelaskan

perubahan ρ yang disebabkan oleh perubahan p dapat diabaikan. N

dx

gerakan ini disebut free convection

gerakan fluida ini, kita misalkan tekanan (p) hanya berubah sedikit sehingga sehingga

amun perubahan ρ

ang disebabkan variasi T tidak dapat diabaikan karena inilah yang menyebabkan

Sekarang kita menyatakan T, ρ, p sebagai berikut:

y

konveksi.


0 'T T T= + , 0 'p p p= + , 0 'ρ ρ ρ= +

Di mana subscript “0” menyatakan harga equilibrium dan “ ′ “ adalah perubahan yang

T′ << T0, ρ′ << ρ0, p′ << p0

Tekanan p0 memenuhi persamaan momentum,

disebabkan oleh konveksi. Selain itu T′, ρ′, p′ memenuhi kondisi.

0 0 3p geρ∇ = − atau 0 0 3 konstanp gxρ= − + (TC. 1)

dimana ρ′ adalah perubahan ρ yang disebabkan oleh T′ sehingga,

0

0p

T TTρρ ρ β∂⎛ ⎞′ ′= = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

′ (TC.2).

Karena perubahan ρ yang disebabkan oleh perubahan p dapat diabaikan kita dapat

ikian maka

persamaaan momentum adalah

gunakan persamaan-persamaan, untuk aliran inkompresible. Dengan dem

21u u u p G vt ρ

∂+ ⋅∇ = − ∇ + +

∂u∇

di mana 3ˆG ge= − . Kemudian substitusikan p dan ρ,

( )( )

( )( )

( )0 0 0 0 0 02

0 0 0

' ' '' '

p p p p pp 'ρ ρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ

∇ + − ∇ + ∇ − ∇∇= × ≈

+ −

di mana perkalian antar “ ′ “ telah diabaikan alam suku terakhir. Dengan (TC.1) dan

(TC.2) hubungan terakhir menjadi,

0

1 'p G p G Tβρ ρ

∇ ′≅ + ∇ + .

makDengan demikian a persamaan momentum untuk kasus ini,

2

0

'1du p G T v udt

βρ

′= − ∇ + + ∇ , 3ˆG ge= −

Untuk persamaan energi kita gunakan persamaan (i) di mana untuk kasus ini 0Tp

ρ⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂⎝ ⎠

dan Q = 0.

( )2PC k T

dtρ τdT u= ∇ + ⋅∇ ⋅


Untuk kasus free convection yang dibahas di sini, dapat ditunjukan bahwa ( ) uτ ⋅∇ ⋅

jauh lebih kecil dibanding suku-suku lainnya. Karena T0 adalah konstan maka

persamaan energi menjadi,

2T ′d Tdt

χ ′= ∇ di mana p

kC

χρ

≡ .

Persamaan energi ini dibutuhkan karena adanya T′ dalam persama

Karena kasus ini dapat dianggap sebagai kasus aliran inkompresible maka persamaan

ontinuitasnya adalah,

an momentum untuk

kasus ini.

k

0u∇ ⋅ = .

Dengan demikian maka sistem persamaan yang harus diselesaikan dalam persoalan

konveksi bebas adalah:

0u∇ ⋅ =

2

0z

1 ˆ'du p T ge v uβ ′= − ∇ − + ∇ dt ρ

2dT Tdt

χ′

′= ∇ , p

kC

χρ

≡

(TC)

Contoh-contoh aliran konveksi bebas terdapat dalam kehidupan sehari-hari. Misalkan

asap rokok yang selalu bergerak ke atas. Demikian juga asap di sekitar permukaan

cangkir teh yang juga bergerak ke atas.

Gelombang Permukaan (surface waves)

pir selalu

terdapat gelombang-gelombang di permukaan. Gelombang2 ini disebabkan oleh gaya

bang-gelombang seperti inilah yang akan kita bahas di bab ini.

8.2

Apabila kita lihat permukaan air, seperti permukaan danau atau kolam, ham

gravitasi dan gelom


ngga dalam analisis di bawah ini kita akan

abaikan suku

8.2.1 Gelombang di Fluida yang Dalam

Apabila kita perhatikan gelombang-gelombang permukaan, maka dapat kita lihat bahwa

biasanya kecepatan fluida sangat kecil. Sehi

u u⋅∇ dalam persamaan m . Syarat yang harus dipenuhi untuk

i

periode dari osilasi). Sedangkan karakteristik jarak adalah

omentum

penggunaan asumsi ini adalah sebagai berikut. Karakteristik waktu dalam kasus in

adalah T ( λ . Apabila A

dalah amplitudo dari gelombang, maka kecepatan karakteristik adalah AT . Dalam a

asumsi ini kita anggap u∂⋅∇ <<u u

t∂ sehingga

2TT ⎠⎝λ

21 AA<<⎟

⎞⎜⎛ atau λ<<A

Dengan kata lain asumsi di atas dapat digunakan dalam kasus di mana amplitudo dari

gelombang jauh lebih kecil dibandingkan panjang gelombangnya. Dengan asumsi ini,

maka persamaan momentum menjadi

put ρ

⎛ ⎞∂= −∇⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

di mana telah kita tuliskan persamaan unt presible, asumsi-

sumsi yang tentunya dapat digunakan di sini. Sekarang kita ambil dari

uk aliran inviscid inkom

( )∇×a

persamaan di atas.

0ut t

ω∂ ∂∇× = =

∂ ∂ sehingga konstanω =

Namun, “time average” dari kecepatan untuk sesuatu yg berosilasi adalah nol. Dengan

emikian maka: d

0uω = ∇× =

Sehingga aliran dapat dianggap sebagai aliran potensial.

Kita ketahui bahwa persamaan-persamaan untuk aliran potensial (incompressible)

adalah: 2

3

0

konstan2

p gxt

φφ φ φρ

∇ =∂ ∇ ⋅∇

+ + + =∂

(GW.1)


Karena φ∇=u sangat kecil maka,

3 konstan 0p gxtφρ ρ ∂

+ + = =∂

(persamaan Bernoulli)

= x3

Apabila kita evaluasi persamaan Bernoulli di permukaan fluida, maka

3x =

0op gt η

φρ η ρ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (GW.2)

Permukaan fluida dapat direpresentasikan dengan menggunakan persamaan

( )3 1 2, ,x x x tη= atau 3 0x η− = . Sekarang kita lihat gerakan permukaan dengan

mengambil turunan waktu,

( )3 0d xdt

η− = atau ( ) ( )3 3 0x u xt

η η∂− + ⋅∇ − =

∂.

Karena x3 adalah koordinat yang bukan fungsi t, x1, x2, maka,

1 2

0u v wt x xη η η∂ ∂ ∂

− − − + =∂

atau 1 2

w u vt x x 3xη η η φ∂ ∂ ∂ ∂

= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Karena u, 1x

η∂∂

, 2x

η∂∂

, dan v sangat kecil, m aan di atas menjadi aka persam

33 x

x tη

φ η⎛ ⎞

=

∂ ∂≈⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(GW3)

Apabila kita ambil turunan parsial t dari (GW.2) maka,

( )3 3

21η φ φ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂2

.3 3GWx xt g t xη η= =

= − = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sangat kecil, maka sehingga 33

lim0

0x

xη = =

→Karena η

3

2

23 0

1 0x

x g tφ φ

=

⎛ ⎞∂ ∂+ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(GW4)


amaan ikan untuk kasus ini adalah (GW.1) dengan kondisi

batas (GW.4).

Untuk kasus fluida yang sangat dalam, ada satu lagi kondisi batas yang harus dipenuhi

yaitu,

Jadi pers yang harus diselesa

( )3 0.xφ → −∞ →

Karena kasus ini adalah kasus gelombang, maka φ haruslah berbentuk :

( ) ( )3 1cosf x kx tφ ω= −

agam di arah x2. Apabila kita Untuk gelombang yang merambat di arah x1 dan ser

substitusikan ke dalam persamaan (GW.1) hasilnya 2

22

3

0k fx

f∂− =

∂

maan in3 3kx

dan solusi persa i adalah: 3kx kxf Ae= Be Ae−+ = karena ( )3 0xφ → −∞ =

( )31coskxJadi solusi untuk kasus ini adalah Ae kx tφ ω− .

Sekarang kita masukkan solusi ini ke dalam (GW.4) kita dapatkan

=

kg±=ω (GW)

“di ersi a dapat hitung

kecepatan dari rambatan gelombang ini (group velocity, C

Ini adalah sp on relation” untuk gelombang ini. Dengan (GW), kit

g)

kg

kCg

21

±=∂∂

≡ω

Jadi gelombang merambat lebih cepat di daerah di mana kπλ 2

= tinggi.

ang Dan

Sekarang kita akan pelajari rambatan gelombang di permukaan yang dangkal. Dalam

pembahasan di sini diasumsikan bahwa ketinggian pe

8.2.2 Gelombang di Fluida y gkal

rmukaan adalah fungsi dari x1


z = x3x = x1

Untuk mendapatkan persamaan kontinuitas untuk kasus ini, kita perhatikan sketsa di

kanan atas. Mass flux yang keluar masuk volume atur adalah:

1. sisi kiri; Ketinggian adalah ( )η+h sehingga massa flux adalah ( )ηρ +hu

2. sisi kanan; Untuk sisi ini kita dapat gunakan expansi Taylor sehingga mass flux-

nya adalah ( ) ( )( ) 1u h u h xρ η ρ η∂+ + + ∆

1x∂

3. sisi atas; Untuk sisi ini kecepatan permukaan yang juga kecepatan fluida di

1xtηρ ∂

∆∂

permukaan adalah t∂

∂η sehingga, mass fluxnya adalah

aka Karena aliran adalah aliran inkompresible, m

0mass flux masuk mass flux keluar− =∑ ∑


( ) ( ) ( ))( 1 1 0x x1x t

u h u h u h ηρ η ρ η ρ η ρ∂ ∂∆ + ∆ = + − + + +

Karena u dan η sangat kecil, maka uη ≈ 0. Dengan demikian persamaan kontinuitas

menjadi (ρ dan h adalah konstan),

∂ ∂

1

0h ut xη∂ ∂

+ =∂ ∂

(GW.5)

Sekarang kita lihat persamaan x1 dan x3 momentum. Karena dalam kasus ini u dianggap

x1 dan x3 momentum menjadi,

memenuhi kriteria u >> v dan u >> w maka persamaan

1t xρ1u p∂ ∂

= −∂ ∂

dan 3

gxρ

1 p∂= −

∂


Dalam persamaan di atas 1

uux

∂∂

juga diabaikan seperti biasa. Persamaan x3-momentum

dapat diintegrasikan sehingga,

( )0 3p p g xρ η= + −

Di mana p0 adalah p di permukaan. Apabila kita substitusikan hasil ini ke dalam

persamaan x1-momentum maka karena ( )1,x tη η=

1

u gt x

η∂ ∂= −

∂ ∂ (GW.6)

Sekarang kita gabungkan (GW ∂.5) dan (GW.6) dengan mengambil t∂

(GW.5) dan 1x

∂∂

(GW.6) hasilnya adalah, 2 2

221

0ght xη η∂ ∂

− =∂ ∂

ersamaan di atas adalah persamaan gelombang. Seperti persamaan acoustic, P gh

adalah kecepatan dari hambatan gelombang tersebut (koefisien di depan 2

21x

∂∂

adalah

adrat). Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa

dalam fluida yang dangkal gelombang merambat dengan kecepatan,

kecepatan gelombang ku

gC gh C= =

Karena Cg adalah konstan maka tidak ada dispersi/ penyebaran gelombang dalam kasus

ini.

Bagian II. ALIRAN INKOMPRESIBEL · Teori Potensial Untuk Aliran Inkompresibel 5.1 Pendahuluan...

Documents

Transcript of Bagian II. ALIRAN INKOMPRESIBEL · Teori Potensial Untuk Aliran Inkompresibel 5.1 Pendahuluan...