PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL JENIS

MATHIEU-HILL DENGAN MASALAH NILAI BATAS

I. LATAR BELAKANG

Matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan yang konsep

dasarnya digunakan untuk pengembangan ilmu-ilmu yang lain. Matematika

senantiasa dikaji dan dikembangkan agar dapat dimanfaatkan di dalam aspek

penerapannya. Masalah-masalah dalam dunia nyata dapat lebih mudah dimengerti

dengan menggunakan pendekatan matematik. Pada umumnya untuk menentukan

solusi dari masalah-masalah tersebut diperlukan suatu pemodelan matematika. Salah

satu kajian matematika yang konsep-konsepnya banyak digunakan dalam bidang lain

adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan persamaan yang

memuat satu (atau beberapa) turunan fungsi yang tak diketahui.Suatu persamaan

diferensial yang memiliki satu variabel bebas disebut persamaan diferensial biasa,

sedangkan persamaan diferensial yang memiliki lebih dari satu variabel bebas

disebut persamaan diferensial parsial (Rengreng, 1990).

Persamaan Diferensial merupakan salah satu ilmu matematika yang banyak

digunakan untuk menjelaskan berbagai masalah fisis. Dalam berbagai masalah fisik

dan geometri yang melibatkan dua fungsi atau lebih peubah bebas sangat berkaitan

dengan persamaan diferensial. Untuk masalah fisik yang paling sederhana dapat

dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa, sedangkan masalah fisik yang lain

seperti mekanika fluida, mekanika padat, teori elekromagnetik, teori potensial, difusi

dan sebagainya merupakan masalah-masalah fisik yang harus dimodelkan dengan

persamaan diferensial parsial.

Masalah-masalah fisis tersebut dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan

diferensial. Salah satu analisis fisis tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk

persamaan diferensial, yaitu ∂2 y∂ t2 + F(t)y = 0 dengan F(t) suatu fungsi periodik

bernilai tunggal dengan periode pokok T yang dapat disajikan dengan deret fourier,

jika F(t) suatu fungsi periodic maka persamaan tersebut dikenal sebagai persamaan

diferensial Hill.(Pipes,1991)

Persamaan diferensial Hill yang terikat oleh syarat-syarat awal apabila

penyelesaiannya tidak harus periodik dapat menggunakan metode matriks, , maka

yang menjadi permasalahan adalah bagaimana menentukan solusi atau penyelesaian

Persamaan Diferensial Hill ∂2 y∂ t2 + F(t)y = 0 yang terikat oleh syarat-syarat batas

yang ditentukan apabila penyelesaianya harus periodik, selain itu dengan

menggunakan matriks apakah dapat diperoleh solusi persamaan diferensial Mathieu-

Hill yang terikat syarat-syarat batas yang membangun system persamaan diferensial

secara bersamaan.

Salah satu dari permasalahan di atas, membuat penulis tertarik untuk meneliti

bagaimana menentukan bentuk solusi dari Persamaan Diferensial Mathieu-Hill

dengan syarat batasnya, sehingga penelitian ini diberi judul “Penyelesaian

Persamaan Diferensial Mathieu-Hill dengan Masalah Nilai Batas”.

II. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang diatas muncul permasalahan, yaitu bagaimana

mendapatkan solusi persamaan diferensial Mathieu-Hill dengan masalah nilai batas.

III. TUJUAN PENELITIAN

Tujuan peneliti ini adalah mendapatkan solusi persamaan diferensial

persamaan diferensial Mathieu-Hill dengan masalah nilai batas.

IV. MANFAAT PENELITIAN

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah :

1. Bagi Penulis, menambah pengetahuan dan wawasan tentang

penggunaan/penerapan Persamaan Diferensial Jenis Mathieu-Hill.

2. Bagi Pembaca, diharapkan dapat menambah khasanah pengembangan dan

membantu untuk memudahkan dalam mencari bentuk solusi pada Persamaan

Diferensial.

V. BATASAN MASALAH

Dalam penelitian ini, masalah yang dibahas terbatas pada menentukan

penyelesaian persamaan diferensial jenis Mathieu-Hill dengan masalah nilai batas.

VI. TINJAUAN PUSTAKA

6.1 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial diperoleh berdasarkan pemodelan matematika dari

permasalahan yang ada di dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh penerapan

matematika pada ilmu fisika, persamaan diferensial dari hukum Newton II yang

timbul karena gejala alam, bahwa massa kali percepatan dari suatu benda sama

dengan gaya luar yang bekerja pada benda itu. Misalkan benda bermassa m bergerak

sepanjang sumbu y pada sistem koordinat kartesius maka hukum Newton II dapat

dituliskan sebagai m∂2 y∂t 2 =F, dengan F melambangkan gaya luar yang bekerja pada

benda itu. Persamaan m∂2 y∂t 2 =F merupakan persamaan diferensial karena

memuat turunan dari fungsi yang tidak diketahui y(t) dengan y sebagai variabel

terikat yang tergantung pada variabel bebas t. Jadi persamaan diferensial adalah

persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu atau lebih variabel terikat yang

tergantung pada satu atau lebih variabel bebas. Suatu persamaan diferensial yang

memuat turunan biasa dari satu atau lebih varibel terikat yang tergantung pada

varabel bebas tunggal disebut persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan

diferensial yang memuat turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat yang

tergantung pada variabel bebas yang tidak tunggal disebut persamaan diferensial

parsial

6.2 Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan-turunan

dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang dinamakan dan yang akan ditentukan

persamaan tersebut (Hutahean, 1993).

Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang

melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sembarang y terhadap peubah x;

persamaan ini dapat pula melibatkan y itu sendiri, fungsi x yang diberikan dan

konstanta.

Contoh :

1. y '=cos x

2. y ' '+4 y=0

Persamaan diferensial dibagi menjadi dua bagian, yaitu persamaan diferensial

linier orde satu dan persamaan diferensila liner orde dua

6.2.1 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Persamaan diferensial linier orde satu memiliki variabel tak bebas y dan

variabel bebas x. Bentuk umum persamaan diferensial linier orde satu adalah

dydx

+P ( x ) y=Q ( x )(6.2.1)

Persamaan (2.1.2) memiliki faktor integrasi e∫P ( x ) dx, dengan mengalikan setiap ruas

dengan faktor integrasi, diperoleh

y e∫P ( x )dx=∫Q ( x ) e∫ P ( x ) dx

dx+C (6.2 .2 )

sehingga diperoleh solusi persamaan (2.1.2) yaitu :

y=e−∫P ( x )dx [∫Q ( x ) e∫ P ( x ) dx dx+C ](6.2 .3)

(Ross, 1984)

6.2.2 Persamaan Diferensial Linier Orde Dua

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde dua adalah

d2 ydx2 +P (x ) dy

dx+Q ( x ) y=R ( x )(6.2.4 )

Jika koefisien-koefisien P ( x ) dan Q ( x ) adalah konstan, maka solusi persamaan (2.1.5)

dapat diperoleh dengan melihat akar-akar karakteristik dari persamaan

karakteristiknya yang memiliki 3 (tiga) kemungkinan nilai m1 dan m2, yaitu:

(1) Kasus m1≠ m2 (real dan berbeda)

Solusi umum persamaan (2.1.5) adalah :

y=A1em1 x+ A2 em2 x , dengan A1 dan A2konstan(6.2.5)

(2) Kasus m1=m2 (real dan kembar)

Solusi umum dari persamaan (2.1.5) adalah :

y=( A1+ A2 x)emx , dengan A1 dan A2 konstan(6.2 .6)

(3) Kasus m1=a+ ib , m2=a−ib (kompleks sekawan)

Solusi umum dari persamaan (2.1.5) adalah :

y=eax [ A1sin bx+ A2cosbx ]❑ , dengan A1 dan A2 konstan(6.2.7)

(Ross, 1984).

6.3 Persamaan Diferensial Parsial

6.3.1 Definisi Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau

lebih turunan parsial suatu fungsi (yang tidak diketahui) dengan dua atau lebih

peubah bebas.

Orde persamaan diferensial parsial adalah pangkat tertinggi dari turunan

yang termuat dalam persamaan diferensial parsial, dan derajat persamaan diferensial

parsial adalah pangkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang termuat dalam

persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial parsial linier adalah suatu bentuk persamaan

diferensial parsial yang berderajat satu dalam peubah tak bebasnya dan turunan

parsialnya (Hutahean, 1993).

6.3.1.1 Persamaan Diferensial Parsial Linier Orde Satu

Suatu persamaan diferensial parsial disebut linier orde satu jika turunan

tertingginya adalah tingkat satu dengan derajat satu. Secara umum persamaan

diferensial parsial linier orde satu yang memiliki variabel tak bebas z=f (x , y ) dan

variabel bebas x dan y berbentuk :

P ( x , y ) ∂ z∂ x

+Q ( x , y ) ∂ z∂ y

=R (x , y )(6.3 .1.1)

6.3.1.2 Persamaan Diferensial Parsial Linier Orde Dua

Bentuk umum persamaan diferensial parsial linier orde dua dengan dua peubah

bebas adalah

A∂2 u∂ x2 +B

∂2u∂ x∂ y

+C∂2u∂ y2 +D

∂u∂ x

+E∂ u∂ y

+Fu=G(6.3 .1.2)

dengan A , B ,C , D , E ,F dan G adalah fungsi dari x dan y. Jika G ( x , y )=0 untuk

semua ( x , y ), maka persamaan (2.2.2) menjadi

A∂2 u∂ x2 +B

∂2u∂ x∂ y

+C∂2u∂ y2 +D

∂u∂ x

+E∂ u∂ y

+Fu=0(6.3 .1 .3)

Jika persamaan G=0 untuk semua ( x , y ), persamaan (6.3.1.3) disebut persamaan

diferensial parsial homogen, sedangkan jika G ≠ 0 disebut persamaan diferensial

parsial tak homogen (Ross, 1984).

6.3 Persamaan Diferensial Hill

Analisis matematis berbagai macam masalah fisis menghasilkan suatu perumusan

menyangkut persamaan diferensial yang dapat disederhanakan ke dalam bentuk

∂2 y∂ t2 + F(t)y = 0 ( 6.3.1 )

dengan F(t) suatu fungsi periodik bernilai tunggal dengan periode pokok T yang

dapat disajikan dengan deret Fourier umum yang berbentuk

F ( t )=A0+∑1

y

An coswt+∑1

y

Bnsin n wt ( 6.3.2 )

dengan w=2 πT

Jika ekspansi deret Fourier untuk F(t) berubah menjadi bentuk sederhana

F (t )=A0+ A1cos wt ( 6.3.3 )

maka persamaan (6.3.1) dikenal sebagai persamaan diferensial Mathieu. Jika fungsi

F(t) suatu fungsi periodik dengan bentuk umum (6.3.2), persamaan (6.3.1) dikenal

sebagai persamaan diferensial Hill.

Pada dasarnya bentuk umum dari persamaan diferensial Hill adalah sebagai

berikut.

∂2 y∂ t2 + F ( t ) y=0 ( 6.3.4 )

Dengan F (t )=F (t +T ) ,∀ t

( Grimshaw , 1990)

Berikut diberikan beberapa contoh dari persamaan Hill :

1. Penerapan persamaan Hill dalam sistem fisika, misalkan pendulum sederhana

yang

bergerak sepanjang garis vertikal dengan periode T dan q sebagai sudut antara garis

vertikal dengan gerakan pendulum, seperti pada Gb 1

Gb 1. Pendulum Sederhana

Dari Gb. 1. persamaan gerak pendulum kearah garis vertikal, ketika |θ|≤ 1 ,dapat

ditulis dalam suatu persamaan dengan bentuk

θ11+ (w2+δ11) θ=0 ( 6.3.5 )

dengan w2=g

l , l adalah panjang bandul , gadalah gaya percepatan gravitasi , dan

δ (t) adalah merupakan persamaan titik puncak dari pendulum yang digerakkan

menuju garis vertical ( Grimshaw , 1990).

2. Persamaan Hill-Meissner

Persamaan Hill (6.3.1) dalam keadaan khusus dengan F(t) berbentuk riak persegi

panjang pada Gb. 2. digunakan oleh Meissner dalam analisisnya tentang getaran

batang penggerak lokomotif.

Gb.2. Fungsi F(t) yang berbentuk riak persegi panjang

Dimisalkan T adalah periode pokok riak persegi panjang, dan h adalah tinggi riak,

sehingga persamaan Hill (6.3.1 ) berubah menjadi

∂2 y∂ t2 + hy=0 , 0 ≤ t ≤ T ( 6.3.6)

(Pipes , 1991)

6.4 Syarat Batas

Syarat batas adalah syarat-syarat tertentu atau kondisi-kondisi tertentu yang

terlibat dalam persamaan diferensial untuk membantu mencari solusi persamaan

diferensila tersebut. Ada tiga kemungkinan , yaitu interval terbatas , interval setengah

terbatas, dan interval tak terbatas

1. Interval terbatas , besar interval I adalah 0<x<L , sehingga mempunyai dua

syarat batas x=0dan x=L

2. Interval setengah terbatas , besar interval I adalah −∞<x<∞ , sehingga tidak

punya syarat batas

3. Interval tak terbatas, besar interval I adalah 0<x<∞ , biasa ditulis x>0,

syarat batasnya hanya pada x=0

Bentuk persamaan syarat batas diberikan dengan

αu+β∂ u∂ n

= f (x), ( 6.4.1)

Dimana ∝ , β adalah konstan , dan ∂ u∂ n

didefenisikan sebagai

gradu .n=[ ∂u∂ x1

,… ,∂u∂ xn ]n . Terdapat tiga jenis syarat batas, yaitu :

a. Persamaan αu+β∂ u∂ n

= f (x), disebut dengan kondisi Dirichlet jika ∝≠ 0 dan

β=0.

b. Persamaan αu+β∂ u∂ n

= f (x), disebut dengan kondisi Neumann jika ∝=0 dan

β ≠ 0.

c. Persamaan αu+β∂ u∂ n

= f (x), disebut dengan kondisi campuran jika ∝≠ 0 dan

β ≠ 0.

( Pinsky , 1998)

6.5 Aljabar Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun menurut baris dan

kolom, sehingga berbentuk persegi panjang. Bilangan-bilangan yang terdapat dalam

susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Anton, 1987).

Sebuah matriks (a ij ) i= 1,2,…,m dan j= 1,2,…,n dengan banyaknya baris = m

serta banyaknya kolom = n dinotasikan sebagai

A=[ a11 a12 ...❑a1 n

…❑ …❑ …❑ …❑

am1 am2 …❑ amn] ( 6.5.1 )

dapat pula ditulis sebagai matriks Am× nn dimana mxn disebut ukuran (ordo) dari

matriks A. Apabila matriks tersebut mempunyai baris = kolom = n yang berukuran n

(berordo n) maka matriks tersebut dikatakan matriks persegi atau matriks kuadrat.

Misalkan A sebuah matriks mxn dan B sebuah matris n×p (banyak kolom A sama

dengan banyak baris B) maka hasil kali AB adalah matriks m×p yang didefinisikan

sebagai berikut.

AB (i , k )=∑1

n

A (i , j ) B ( j , k ) ( 6.5.2 )

dengan i= 1,2,3,…,m dan k= 1,2,3,…,p. Entri-entri dalam AB ditentukan dengan cara

menjumlahkan hasil kali entri-entri yang bersesuaian dari baris i dalam A dengan

kolom j dalam B. Jika banyak kolom di A tidak sama dengan banyak baris di B maka

hasil kali AB tidak dapat didefinisikan.

Suatu determinan ordo n adalah skalar yang dihubungkan dengan matriks

persegi ⌊aij ⌋(n×n) dinotasikan sebagai

det A=[ a11 a12 ...❑a1 n

…❑ …❑ …❑…❑

an 1 an 2 …❑ann] ( 6.5.3 )

Juga dapat ditulis dalam bentuk

|A|=[ a11 a12 ...❑a1n

…❑ …❑ …❑…❑

am1 am2 …❑amn] ( 6.5.4 )

Invers suatu matriks A = ⌊aij ⌋ yang berordo nxn dinyatakan oleh A−1yang

merupakan matriks berordo nxn sehingga A . A−1=A−1 A=I .Invers suatu matriks

dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.

A−1= 1det (A )

Adj ( A) ( 6.5.5 )

Transpos dari matriks A yang berordo mxn adalah suatu matriks yang berordo

n×m dengan kolomnya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris

kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga yang merupakan baris ketiga dari

A, dan seterusnya sesuai dengan ordo dari matriks A. Transpos matriks A dinyatakan

denganAt .Contoh :

A=[ a11 a12 a13

a21a22a23

a31a32a33

a41a42a43] , At=[a11 a21a31 a41

a12 a22a32a42

a13 a23a33a43]

Defenisi 6.5.1 ( Anton , 1987)

Sebuah vektor W dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor v1 , v2 , v3 , …vn jika

vektor W dapat dinyatakan dalam bentuk

W =K1 v1+ K2 v2+K 3 v3+…K n vn

untuk suatu scalar K1 , K 2, K 3 , … Kn

Defenisi 6.5.2 ( Anton,1987)

Jika ¿ {u1 , u2 ,u3 ,…un }≠ 0 , mka persamaan vektor

K1 u1+ K2u2+K3 u3+… Kn un = 0

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

K1=K2=K3=Kn=0

Jika persamaan K1 u1+ K2u2+K3 u3+… Kn un = 0 hanya mempunyai pemecahan

trivial yaitu K1=K2=K3=Kn=0 , maka V dikatakan himpunan bebas linier. Jika

persamaan K1 u1+ K2u2+K3 u3+… Kn un = 0 , mempunyai pemecahan non trivial

mala V dikatakan himpunan bergantung linier.

VII. METODE PENELITIAN

7.1 Buku / Materi Penelitian

Buku atau materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah buku-buku dan

jurnal-jurnal yang berkaitan dengan persamaan diferensial, persamaan diferensial

jenis Mathieu-Hill dan tentang masalah nilai batas.

7.2 Cara Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan cara mengumpulkan referensi pendukung

yang berkaitan dengan persamaan diferensial, persamaan diferensial jenis Mathieu-

Hill dan tentang masalah nilai batas. Referensi tersebut dipelajari, dibahas dan

dijabarkan sehingga diperoleh penyelesaian persamaan deferensial jenis Mathieu-Hill

dengan masalah nilai batas.

7.3 Prosedur Penelitian

Adapun prosedur-prosedur yang digunakan dalam penelitian kali ini adalah

sebagai berikut :

1. Mempelajari tentang Persamaan Diferensial.

2. Mempelajari tentang Persamaan Diferensial jenis Mathieu-Hill.

3. Mempelajari tentang Masalah Nilai Batas.

4. Mempelajari tentang Aljabar Matriks.

5. Memecahkan masalah melalui pengkajian secara teoritis yang selanjutnya disusun

secara rinci dalam bentuk pembahasan.

VII. JADWAL PENELITIAN

KegiatanBulan ke

1 2 3 4 5 6

Persiapan X

Pelaksanaan X X

Penelitian X X

Penyusunan skripsi X X X

XI. DAFTAR PUSTAKA

Grimshaw, R. 1990. Nonlinear Ordinary Differential Equations.Blackwell Scientific Publications. London.

Hutahean, E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Erlangga. Jakarta.

Pipes, Louis A. 1991. Matematika Terapan: untuk Para Insinyur dan Fisikawan. Gajah Mada University Press.Yogyakarta.

Renreng, Abdullah. 1990. Asas-asas Metode Matematika dalam Fisika. Angkasa Bandung. Bandung.

Ross, Shepley L. 1984. Diferensial Equation. John Wiley & Sons, Inc. Canada.

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL JENIS

MATHIEU-HILL DENGAN MASALAH NILAI BATAS

Usulan Penelitian

Untuk memenuhi persyaratanDalam menyelesaikan program sarjana strata-1 Matematika

Oleh

Ratna SariNIM J1A106046

PROGRAM STUDI MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURATBANJARBARU

2010