BAB 4

LIMIT DAN KEKONTINUAN

Everything should made as simple as possible, but no simpler.

Albert EINSTEIN

Menurut Bartle dan Sherbet (1994), “Analisis matematika” secara umum dipa-hami sebagai tubuhnya matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit.Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan dan kekonvergenanbarisan bilangan real. Sebagaimana diketahui bahwa barisan merupakan ben-tuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real dengan domain bilangan asli. Padabab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk fungsi bernilai real se-cara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep limit makakedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini.

4.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu

Biasanya, notasilimx→c

f(x) = L

dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut

1. Jika x mendekati c maka f(x) mendekati L, semakin dekat x kepada c

semakin dekat pula f(x) kepada L.

2. Nilai-nilai f(x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c.

163

164 BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN

Pada pernyataan pertama, dekatnya f(x) terhadap L disebabkan oleh dekat-nya x kepada c. Pada pernyataan ini, jika ada dua bilangan x1 dan x2 dimana x1 lebih dekat dengan c daripada x2 maka f(x1) lebih dekat dengan L

daripada f(x2). Konsekuensinya, jika x = c maka f(x) = L. Pernyataan inibanyak diambil sebagai pengertian limit khususnya bagi mereka yang belumbelajar analisis. Padahal pengertian limit secara formal tidak demikian.

Sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk definisi limit. Pada perny-ataan ini ada dua kriteria untuk ukuran dekat. Kriteria dekatnya f(x) ter-hadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c. Kemudian, setiap x yangdekat dengan c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f(x) dekat dengan L.

Sebelum masuk ke definisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertiantitik limit (cluster point) suatu himpunan. Pengertian titik limit sudah diba-has pada bab sebelumnya. Namun untuk menyegarkan ingatan atau barangkalibab pengantar topologi tidak sempat dipelajari maka ada baiknya konsep inidiberikan terlebih dahulu sebelum masuk pengertian limit fungsi.

Definisi 4.1. [Titik Limit] Misalkan A ⊂ R. Sebuah titik c ∈ R dikatakantitik limit A jika setiap persekitaran Vδ(c) := (c − δ, c + δ) memuat palingsedikit satu anggota A selain c, atau

(c− δ, c+ δ) ∩A \ {c} ̸= ∅, ∀δ > 0. (4.1.1)

Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya, suatuanggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A.

Sebelum diberikan contoh, diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisandi dalam A yang konvergen ke titik limit A. Teorema ini dapat dijadikan se-bagai kriteria titik limit.

Teorema 4.1. Sebuah bilangan real c ∈ A adalah titik limit A bila hanyabila terdapat barisan (an) dalam A dengan an ̸= c untuk setiap n ∈ N danlim(an) = c.

Bukti. (→)Misalkan c titik limit. Untuk setiap n ∈ N, bangun persekitarandengan radius δ := 1

n , yaitu V 1n(c) = (c − 1

n , c +1n). Berdasarkan definisi c

titik limit, selalu ada an ∈ A∩V 1n

dengan an ̸= c (lihat 4.1.1). Karena berlaku|an−c| < 1

n maka disimpulkan lim(an) = c. (←)Sebaliknya, diketahui terdapat

4.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DAN FUNGSI KONTINU 165

barisan (an) dalam A, an ̸= c dan lim(an) = c, dibuktikan c seperti ini adalahtitik limit A. Karena diketahui lim(an) = c maka berdasarkan definisi limitbarisan, untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli K sehingga |an − c| < δ

untuk setiap n ≥ K. Ini berarti, khususnya aK ∈ A, aK ̸= c dan aK ∈ Vδ

yaitu A ∩ Vδ \ {c} ̸= ∅. Terbukti c titik limit A.

Contoh 4.1. Diberikan himpunan A yang didefinisikan sebagai

A = {−1} ∪ {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} ∪ {2}.

Tentukan himpunan semua titik limit A.

Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap x ∈ [0, 1] dan setiap δ > 0 makaberlaku (x− δ, x+ δ)∩A\ {x} ̸= ∅. Jadi setiap x ∈ [0, 1] merupakan titik imitA. Diperhatikan x = −1 ∈ A. Kita dapat memilih δ1 > 0 (misalnya δ1 = 1

2)sehingga (−1− δ1,−1 + δ1) ∩A = {−1}. Akibatnya, (−1− δ1,−1 + δ1) ∩A \{−1} = ∅. Disimpulkan x = −1 bukan titik limit A. Argumen yang samaditerapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit A adalah [0, 1].

Gambar 4.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan

Diperhatikan pada contoh ini, 1 /∈ A tetapi 1 titik limit A. Sebaliknya 2 ∈ A

tetapi 2 bukan titik limit A. Bilangan di dalam interval [0, 1) kesemuanyaanggota A dan sekaligus titik limit A.

Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit:

1. Himpunan A yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titiklimit. Kita dapat mengambil δ > 0 lebih kecil dari jarak antara ketigabilangan yang berdekatan. Untuk menunjukkan c ∈ A bukan titik limit,misalkan ketiga bilangan yang berdekatan tersebut adalah x1, c dan x2

dengan x1 < c < x2. Ambil δ := 12 min{|x1 − c|, |c − x2|}. Maka pasti

berlaku (c− δ, c+ δ) ∩ A \ {c} = ∅.

166 BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN

2. Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit.

3. Himpunan bilangan rasional Q mempunyai titik limit semua bilanganreal. Hal ini dikarenakan adanya sifat kepadatan bilangan rasional didalam R.

4. Himpunan A ={

1n : n ∈ N

}hanya mempunyai titik limit 0. Dalam

kasus ini tidak satupun anggota A menjadi titik limitnya.

Selanjutnya definisi limit fungsi diberikan sebagai berikut.

Definisi 4.2. [Limit Fungsi] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c titik limitA. Bilangan L dikatakan limit fungsi f di c, ditulis

L = limx→c

f(x) (4.1.2)

adalah setiap diberikan ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku

0 < |x− c| < δ → |f(x)− L| < ε. (4.1.3)

Pada definisi ini, nilai δ biasanya bergantung pada nilai ε yang diberikan se-hingga kadang-kadang ditulis sebagai δ = δ(ε) untuk menunjukkan ketergan-tungan δ pada ε yang diberikan. Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakanjuga konvergen ke L di c. Secara praktis, dapat dikatakan “f(x) mendekatiL” bilamana “x mendekati c”. Ukuran dekat f(x) terhadap L diberikan olehε, dan kedekatan x dengan c diukur oleh δ. Pada ekspresi (4.1.4) kita da-pat membuat f(x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekatdengan c.

Ilustrasi definisi limit fungsi diberikan pada Gambar 4.2. Pernyataan 0 <

|x− c| < δ pada (4.1.4) menunjukkan bahwa untuk berlakunya |f(x)−L| < ε

tidak memperhitungkan x yang sama dengan c. Diperhatikan pada gambartersebut x = c dibolongi. Artinya pada definisi limit, nilai f(c) tidak perlu ada.Ingat, titik limit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karenaitulah, ilustrasi grafik definisi limit menggunakan dot “◦” di titik x = c.

Contoh 4.2. Prosedur menghitung limit berikut sering dilakukan pada pela-jaran kalkulus atau sewaktu di SMA dulu.

limx→2

x2 − 4

x− 2= lim

x→2

(x− 2)(x+ 2)

(x− 2)= lim

x→2(x+ 2) = 2 + 2 = 4.

4.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DAN FUNGSI KONTINU 167

c c+�c+ �

V (c)�

L

�L-

�L+

V (L)�

diberikan

terdapat

|f(x) -L|< �

Gambar 4.2: Ilustrasi definisi limit fungsi

Ada 2 hal kritis yang jarang dipedulikan oleh mahasiswa, yaitu

☛ Pada langkah kedua terjadi proses “pencoretan” atau kanselasi pemba-gian dua bilangan yang sama yaitu (x − 2). Padahal secara teoritispencoretan ini tidak berlaku untuk bilangan bernilai nol. Dalam kasuslimit, hal ini tidak masalah karena notasi x → 2 dipahami atau dibacax mendekati 2 tidaklah berarti x = 2. Hal ini ditegaskan pada definisiyang menyatakan 0 < |x− 2| < δ.

☛ Di sini f(x) = x2−4x−2 . Faktanya f(2) tidak ada karena terjadinya pem-

bagian dengan nol. Tetapi limit f(x) untuk x → 2 ada, yaitu 4. Jadiwalaupun nilai fungsi di titik tersebut tidak ada, namun nilai limitnyadapat saja ada. Antara nilai fungsi dan nilai limit tidak mempunyaihubungan implikasi. Dalam kasus keduanya ada dan nilainya sama makafungsi tersebut bersifat kontinu.

Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di x = c, seperti diungkap-kan berikut ini.

Definisi 4.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A .Fungsi f dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan ε > 0 terdapatδ > 0 sehingga berlaku

|x− c| < δ → |f(x)− f(c)| < ε. (4.1.4)

168 BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN

c c+�c+ �

V (c)�

f(c)

�f(c) -

�f(c)+

V (f(c))�

diberikan

terdapat

|f(x) -f(c)|< �

Gambar 4.3: Ilustrasi fungsi f kontinu di c

Kontinu pada himpunan A berarti kontinu di setiap c ∈ A.

Berdasarkan definisi ini, syarat perlu agar fungsi f kontinu di c adalah f(c)

harus ada atau terdefinisi. Syarat ini tidak berlaku pada kasus limit, yakninilai limit fungsi di c dapat saja ada walaupun nilai f(c) tidak ada. Ilustrasifungsi kontinu di c diberikan pada Gambar 4.3. Perhatikan pada gambar inix = c tidak dibolongi alias masuk dalam interval domain syarat.

Dalam kasus c ∈ A dan c titik limit A maka kedua pengertian limit dankekontinuan sangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 4.2. Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A. Bila c titik limit Amaka kedua pernyataan berikut ekuivalen.

1. f kontinu di c

2. limx→c f(x) = f(c)

Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut

E1 := {x ∈ A : 0 < |x− c| < δ}, E2 := {x ∈ A : |x− c| < δ}.

Jadi E2 ⊂ E1. (→) Diketahui f kontinu di c berarti x ∈ E2 → |f(x)−f(c)| < ε.Misalkan x ∈ E1 maka x ∈ E2 atau x = c. Bila x ∈ E2 maka (4.1.3) berlakudengan L = f(c). Untuk kemungkinan x = c berlaku |f(x)− f(c)| = |f(c)−

4.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DAN FUNGSI KONTINU 169

f(c)| = 0 < ε sehingga (4.1.3) juga dipenuhi. Terbukti limx→c f(x) = f(c).(←) Sebaliknya, diketahui limx→c f(x) = f(c) yaitu x ∈ E1 → |f(x)− f(c)| <ε. Karena E2 ⊂ E1 maka berlaku x ∈ E2 → |f(x)− f(c)| < ε, yaitu f kontinudi c.

Berpijak dari teorema ini kita dapatkan syarat cukup dan perlu sebuah fungsikontinu di x = c ada tiga syarat, yaitu

☛ f(c) ada

☛ limx→c f(x) ada

☛ nilai keduanya harus sama.

Contoh 4.3. Misalkan f fungsi konstan pada R, katakan f(x) = b untuk setiapx ∈ R. Buktikan untuk sebarang c ∈ R, berlaku limx→c b = b. Kemudiansimpulkan bahwa f kontinu di c.

Bukti. Diberikan ε > 0 sebarang, ambil δ := 1 maka diperoleh

0 < |x− c| < δ → |f(x)− L| = |b− b| = 0 < ε.

Jadi terbukti limx→c f(x) = f(c). Karena c ∈ R merupakan titik limit makadengan teorema 4.2 disimpulkan f kontinu di c.

Pengambilan δ pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapa punboleh. Pembuktian ini menggunakan pola p → q di mana q sudah dipastikanbenar maka pernyataan p→ q disimpulkan benar.

Contoh 4.4. Buktikan untuk sebarang c ∈ R, limx→c αx = c. Kemudiansimpulkan bahwa f(x) := αx kontinu di c.

Bukti. Untuk setiap ε > 0 yang diberikan, ambil δ := εα . Diperoleh

0 < |x− c| < δ → |f(x)− L| = |αx− αc| = α|x− c| < αδ = ε.

Karena itu terbukti limx→c x = c. Karena berlaku limx→c f(x) = f(c) dan c

titik limit maka disimpulkan f kontinu di c.

Contoh 4.5. Misalkan f(x) = x2, x ∈ R. Buktikan f kontinu pada R.

170 BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN

Bukti. Misalkan c ∈ R sebarang. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut

|f(x)− f(c)| = |x2 − c2| = |x+ c||x− c|.

Karena sudah ada suku |x− c| maka kita perlu melakukan estimasi pada suku|x+ c|. Untuk itu diasumsikan dulu |x− c| < 1, maka berlaku

||x|− |c|| ≤ |x− c| < 1→ −1 < |x|− |c| ≤ 1︸ ︷︷ ︸→ |x| ≤ |c|+ 1.

Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada |x+ c|, yaitu

|x+ c| ≤ |x|+ |c| ≤ 2|c|+ 1.

Secara keseluruhan diperoleh estimasi

|f(x)− f(c)| = |x+ c||x− c| < (2|c|+ 1) |x− c|. (∗)

Agar kuantitas terakhir ini kurang dari ϵ maka haruslah

|x− c| < ε

2|c|+ 1. (∗∗)

Agar kedua |x− c| < 1 dan |x− c| < ε2|c|+1 dipenuhi maka diambil

δ = δ(ϵ) := min

{1,

ε

2|c|+ 1

}.

Jadi jika 0 < |x − c| < δ maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan|f(x)− f(c)| < ε. Jadi, limx→c f(x) = f(c), dan terbukti f kontinu di c.

Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik c dikarenakan ia tidakterdefinisi di c, yaitu f(c) tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di c ada makafungsi tersebut masih dapat diperluas menjadi fungsi kontinu. Diperluas disini berarti domainnya diperluas.

Contoh 4.6. Diberikan fungsi f(x) = x2−1x−1 , x ̸= 0 tidak kontinu di 1 karena

f(1) tidak ada atau tidak didefinisikan. Namun, berlaku

limx→1

f(x) = limx→1

x2 − 1

x− 1= lim

x→1(x+ 1) = 2.

4.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DAN FUNGSI KONTINU 171

Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada R sebagai berikut

f̃(x) =

⎧⎨

⎩

x2−1x−1 untuk x ̸= 0

2 untuk x = 0.

f̃ dibaca “f tilde” merupakan perluasan kontinu fungsi f .