BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
Transcript of BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
1
MAKALAH
PENCERMINAN (REFLEKSI)
Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen Pengampu : Ishaq Nuriadin M.Pd
Disusun oleh :
Niamatus Saadah 1201125122
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA
2015
2
PENCERMINAN
Definisi:
Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang
didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:
(i) Jika P s maka Ms (P) = P.
Gambar 1
(ii) Jika P s maka Ms (P) = Pβ sehingga garis s adalah sumbu 'PP .
Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. Garis s
disebut sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin.
Gambar 2
Untuk menyelidiki sifat-sifat pencerminan, akan diselidiki apakah pencerminan
itu suatu transformasi.
Penyelidikan:
Bukti:
(1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh bidang V.
(2) Akan dibuktikan Ms surjektif.
Ambil sebarang .' VX
Kasus 1: Andaikan .' sX
Maka 'XX sebab ')( XXXM s
Kasus 2: Andaikan .' sX
s
P = Ms(P)
s
P
Pβ
3
Dari sifat geometri ada VX sehingga s menjadi sumbu ruas 'XX . Ini
berarti bahwa Ms(X) = Xβ. Artinya setiap Xβ memiliki prapeta.
Jadi Ms surjektif.
(3) Akan dibuktikan Ms injektif.
Andaikan BA .
Kasus 1: sA dan π΅ π π .
Maka π΄β² = ππ (π΄) = π΄ dan π΅β² = ππ (π΅) = π΅.
Jadi Aβ² β π΅β².
Kasus 2: sA dan π΅ β π .
Maka π΄β² = ππ (π΄) = π΄ dan π΅β² = ππ (π΅) dengan π΅β² β π .
Jadi π΄β² β π΅β².
Kasus 3: π΄ β π , π΅ β π .
Andaikan ππ (π΄) = ππ (π΅) atau π΄β² = π΅β².
Jadi π΄β²π΄Μ Μ Μ Μ Μ β₯ π dan π΅β²π΅Μ Μ Μ Μ Μ β₯ π . Ini berarti dari satu titik Aβ ada dua garis
berlainan yang tegak lurus pada s. Ini tidak mungkin.
Jadi pengandaian bahwa jika π΄ β π΅ maka ππ (π΄) = ππ (π΅) adalah tidak
benar sehingga pengandaian itu salah.
Jadi jika π΄ β π΅ maka ππ (π΄) β ππ (π΅).
Jadi ππ (π΄) injektif.
Berdasarkan (1), (2), dan (3), disimpulkan bahwa Ms adalah suatu transformasi.
Dari penyelidikan di atas diperoleh teorema:
Teorema 1
Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.
Pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya, jika A dan B dua titik maka
apabila π΄β² = π(π΄) dan π΅β² = π(π΅), π΄π΅ = π΄β²π΅β². Jadi jarak setiap dua titik sama
dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang
dimiliki oleh M itu membuat M disebut transformasi yang isometrik atau M
adalah suatu isometri. Atau bisa dituliskan dengan:
4
Definisi:
Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q
berlaku PβQβ = PQ dengan Pβ = T(P) dan Qβ = T(Q).
Gambar 3
Teorema:
Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
Jadi jika Aβ = Ms(A), Bβ = Ms(B) maka AB = AβBβ.
Bukti:
Ambil Sebarang A, B, Aβ, Bβ V dengan Ms(A) = Aβ dan Ms(B) = Bβ.
Akan ditunjukkan AβBβ = AB.
Kasus I
Jika A, B s maka Ms(A) = Aβ = A dan Ms(B) = Bβ = B.
Jadi AB = AβBβ.
Kasus II
Jika A S, B s, maka Ms(A) = Aβ = A dan Ms(B) = Bβ.
Akan ditunjukkan AB = AβBβ.
Perhatikan CABABC '& .
AC = AC (berimpit).
πβ π΄πΆπ΅ = πβ π΄πΆπ΅β² (karena siku-siku).
BC = BβC (karena S sumbu simetri).
Jadi CABABC ' .
Diperoleh AB = AβBβ.
s
A = Aβ
Bβ B C
s
P
Pβ
Q
Qβ
5
C
Aβ
s
A
Bβ B
D
Kasus III
Jika A, B β S dan Ms(A) = Aβ, Ms(B) = Bβ.
Akan ditunjukkan AB = AβBβ
(i) Perhatikan Ξπ΄πΆπ· πππ Ξπ΄β²πΆπ·.
DC = DC (berimpit)
πβ ADC = πβ π΄β²π·πΆ (900)
AD = AβD (karena s sumbu simetri)
Jadi Ξπ΄πΆπ· β Ξπ΄β²πΆπ· (π π π π ).
Diperoleh AC = AβC dan πβ π΄πΆπ· = πβ π΄β²πΆπ·.
(ii) Perhatikan Ξπ΄π΅πΆ πππ Ξπ΄β²π΅β²πΆ.
AC = AβC (pembuktian (i))
πβ π΄πΆπ΅ = 900 β πβ π΄πΆπ· = 900 β πβ π΄πΆβ²π· = πβ π΄β²πΆπ·.
BC = Bβ²C(karena s sumbu simetri).
jadi Ξπ΄π΅πΆ β Ξπ΄β²π΅β²πΆ (π π π π ).
Diperoleh AB = AβBβ.
Jadi AB = AβBβ.
Berdasarkan Kasus I, II, III, disimpulkan bahwa jika Aβ = Ms(A), Bβ = Ms(B)
maka AB = AβBβ.
Jadi setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
6
SOAL LATIHAN
1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan
pula Mg(B).
β β
A B
Mg(A) = B dan Mg(B) = A
2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1).
Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!
Diket : A (1,3), B (-2,-1)
Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B.
Jawab :
Persamaan garis AB
0534
4493
)1(4)3(3
12
1
31
3
12
1
12
1
yx
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Gradien π1 =4
3.
Gradien yang tegak lurus AB, π2 = β3
4
Titik tengah AB = )1,2
1(
2
)2,1(
2
)1,2()3,1(
Persamaan garis yang melalui )1,2
1( dengan π = β
3
4 adalah
y β y1 = m (x β x1)
X
Y
A(1,3)
B(-2,1)
X
Y
A(1,3)
B(-2,1)
7
y β 1 = - 4
3(x +
2
1)
y = - 4
3x -
8
3 + 1
y = - 4
3x +
8
5
8y + 6x β 5 = 0
6x + 8y β 5 = 0
Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y β 5 = 0
3. Diketahui: g = -3x, yx
Ditanya:
a. Aβ=Mg(A), bila A(2,1).
b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .
c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.
B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,1) =
2
1,
2
2
2,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )2,2(2,6 '' AA yx
1,8, '' AA yx
Jadi Aβ = (-8,1)
b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah
y=7.
D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,7) =
2
7,
2
1
2,
2
'' CCCCCC yxyyxx
Jelas )7,1(14,6 CC yx
X
Y
A(2,1)
(-1,7) g x=-3
8
7,5, CC yx
Jadi C = (-5,7)
c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (-3, yp) =
2,
2
'' pppp yyxx
pppp
ppppp
yxyx
yyxxy
,6,
),(2,6
'
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = Pβ = (-6 β x,y).
4. Diketahui g = 2y, yx
Ditanya:
a. Jika A = 2,3 , tentukan Aβ = Mg(A).
b. Jika Dβ = (2,-4), tentukan prapeta Dβ oleh Mg.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.
Jelas (3,2) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (3,2) =
2
2,
2
3
2,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )2,3(4,6 '' AA yx
βΊ (π₯π΄β² , π¦π΄β²) = (6 β 3,4 β β2)
βΊ (π₯π΄β² , π¦π΄β²) = (3,4 β β2)
24,3, '' AA yx
Jadi Aβ = (3, 24 )
b. Persamaan garis yang melalui Dβ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.
Jelas C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,
9
Maka (2,2) =
2
)4(,
2
2
2,
2
'' DDDDDD yxyyxx
Jelas )4,2(4,4 DD yx
βΊ (π₯π· , π¦π·) = 4 β 2,4 + 4
βΊ (π₯π· , π¦π·) = 2,8
Jadi Prapeta D oleh Mg adalah (2,8).
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, 2) =
2,
2
'' pppp yyxx
pppp
ppppp
pppp
p
yxyx
yyxxx
yyxxx
4,,
,4,2
)2
,2
(2,
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = Pβ = (x, 4 - y).
5. Diketahui h = xy, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan Aβ = Mh(A).
b. Jika Dβ = (2,-4), tentukan prapeta dari Bβ oleh Mh.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)
Jawab:
a. Gradien garis y = x adalah m = 1, dan gradien garis yang tegak lurus
dengan garis h adalah m1 = -1.
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus h adalah
)( 111 xxmyy
1
32
)2(13
xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = x dan y = -x β 1 yaitu dengan cara y = x,
disubtitusikan ke persamaan π¦ = βπ₯ β 1. Diperoleh :
10
π₯ = βπ₯ β 1
βΊ 2π₯ = β1
βΊ π₯ = β1
2
substitusikan x = -2
1 ke persamaan y = x
diperoleh y = -2
1.
Jadi titik tengah 'AA (-2
1,-
2
1).
Jelas (-2
1,-
2
1) titik tengah 'AA , maka
2
3,
2
2
2,
22
1,
2
1 ''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )3,2(1,1 '' AA yx
2,3, '' AA yx
Jadi Aβ = (-3,2)
b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1, gradien garis yang tegak lurus adalah
m= -1
Maka persamaan garis yang melalui Bβ(-3,5) dan tegak lurus g dengan
m = -1 adalah
)( 11 xxmyy
2
53
)3(15
xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara y = x
disubtitusikan ke persamaan y, diperoleh
π₯ = βπ₯ + 2
βΊ 2π₯ = 2
βΊ π₯ = 1
substitusikan x = 1 ke persamaan y = x
diperoleh y = 1.
11
Jadi titik tengah 'BB (1,1).
Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka
2
5,
2
)3(
2,
21,1 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas )5,3(2,2 BB yx
3,5, '' AA yx
Jadi Aβ = (5,-3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy
)(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) =
2,
2
'' pppp yyxx
QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = Pβ = (x β 2xQ, y β 2yQ).
6. Diketahui k = 0yx, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan Aβ = Mk(A).
b. Jika Bβ = (-3,5), tentukan prapeta dari Bβ oleh Mk.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis k xyyx 0
Jelas mk= -1, sehingga gradien garis yang tegak lurus garis k adalah m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m =
1 adalah
)( 11 xxmyy
12
5
32
)2(13
xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = -x dan y = x - 5 dengan cara mensubtitusikan
π¦ = βπ₯ ke persamaan π¦ = π₯ β 5, diperoleh :
-x = x β 5
βΊ 2π₯ = 5
βΊ π₯ =5
2
substitusikan x = 2
5 ke persamaan y = -x
diperoleh y = -2
5.
Jadi titik potongnya (2
5, -
2
5)
Karena (2
5, -
2
5) titik tengah 'AA , maka
2
3,
2
2
2,
22
5,
2
5 '''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )3,2(5,5 '' AA yx
2,3, '' AA yx
Jadi Aβ = (3,-2)
b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1, gradien garis yang tegak lurus garis
tersebut adalah m = 1.
Maka persamaan garis yang melalui Bβ(-3,5) dan tegak lurus g dengan m =
1 adalah
8
53
)3(15
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = -x dan y = x +8 dengan cara mensubtitusikan
π¦ = βπ₯ ke persamaan π¦ = π₯ + 8, diperoleh.
13
βπ₯ = π₯ + 8
βΊ 2π₯ = β8
βΊ π₯ = β4
substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x
diperoleh y = 4.
Jadi titik potongnya (-4,4).
Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka
2
5,
2
)3(
2,
24,4 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas )5,3(8,8 BB yx
3,5, '' AA yx
Jadi Aβ = (-5, 3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1
adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy
)(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) =
2,
2
'' pppp yyxx
QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = Pβ = (x β 2xQ, y β 2yQ).
7. Diketahui g = 1y x, yx
Ditanya:
a. Mg(0)
b. Mg(A) dengan A(1,2).
c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.
14
Jawab:
a. Dipunyai g = 1y x, yx , dari x + y = 1 y = 1 β x.
Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g
adalah m = 1
Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m
= 1 adalah
xy
xy
xxmyy
)0(10
)( 11
Jadi β = {(π₯, π¦)|π¦ = π₯}
Titik potong antara g dan h dapat dicari dengan mensubtitusikan π¦ = π₯ ke
dalam persamaan π¦ = 1 β π₯ sehingga diperoleh
1 β π₯ = π₯
βΊ 2π₯ = 1
βΊ π₯ =1
2
substitusikan x = 2
1 ke persamaan y = x
diperoleh y = 2
1.
Jadi titik potongnya (2
1,
2
1)
Karena (2
1,
2
1) titik tengah 'OO , maka
2
0,
2
0
2,
22
1,
2
1 '0'0'00'00 yxyyxx
Jelas ),(1,1 '0'0 yx
1,1, '0'0 yx
Jadi Mg(O) = (1,1)
b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m
= 1 adalah
15
1
12
)1(12
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Jadi β = {(π₯, π¦)|π¦ = π₯ + 1}
Mencari perpotongan g dengan h dapat dicari dengan mensubtitusikan π¦ =
1 β π₯ ke dalam persamaan π¦ = π₯ + 1, diperoleh
1 β π₯ = π₯ + 1
βΊ 2π₯ = 0
βΊ π₯ = 0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 1.
Jadi titik potongnya (0,1).
Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka
2
2,
2
1
2,
21,0 '''' BBoooo yxyyxx
Jelas )2,1(2.0 '' oo yx
0,1, ' oo yx
Jadi Aβ = (-1,0)
c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g = 1y x, yx
Karena Mg(P) = P, maka P )1,( xxP
Diperoleh x + y = 1 01)1(1 xxxyx
Dan y = 0 + 1 = 1
Jadi Mg(P) = (0,1).
16
8. Diketahui g = 013y-x, yx , dan A (2,k).
Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A
Jawab : Dipunyai x β 3y +1 = 0,
Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.
Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.
Untuk x = 2 maka x β 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1
Jadi nilai k = 1.
9. Diketahui k = 013-ax, yyx , B = (3,-1)
Tentukan a apabila Mk(B) = B!
Karena Mk(B) = B, maka
B = (3,-1) terletak pada garis k.
Diperoleh a.3 β 3(-1) + 1 = 0
3a +3 +1 = 0
3a = - 4
a = - 3
4
Jadi nilai a = - 3
4.
10. T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x-5, y+3) untuk
semua titik P(x,y) V. Selidikal apakah T suatu transformasi. Apakah sifat
tersebut dapat diperluas secara umum?
Selesaian:
Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)
P = (x, y) V
Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?
Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.
Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2 V maka P1βP2β = P1P2
Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
17
T(P1) = P1β = (x1-5, y1+3)
T(P2) = P2β = (x2-5, y2+3)
2
12
2
1221P yyxxP
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)3355''P
)3()3()5()5(''P
''''''P
yyxxP
yyxxP
yyxxP
yyxxP
Diperoleh P1βP2β = P1P2.
karena P1βP2β = P1P2, maka T suatu isometri.
Apa syarat tersebut dapat diperluas?
Jawab:
Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1β = (x1 + k, y1 +l)
T(P2) = P2β = (x2 + k, y2 + l)
2
12
2
1221P yyxxP
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)''P
)()()()(''P
''''''P
yyxxP
lylykxkxP
lylykxkxP
yyxxP
Diperoleh P1βP2β = P1P2.
Karena P1βP2β = P1P2, maka T suatu isometri.
Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum.
11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai
T(P)=(2x, y-1), Selidiki apakah T suatu isometri?
Selesaian:
Ambil sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)
18
Jelas 22
pqpq yyxxPQ
Menurut definisi 1,2)( pp yxPT dan 1,2)( qq yxQT
Jelas
224 pqpq yyxx
Diperoleh )()( QTPT β PQ
Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak
Jadi T bukan isometri.
12. Diketahui garis g dan titik A, Aβ, B, dan C seperti terlihat pada gambar di
bawah ini.
a. Dengan hanya menggunakan sebuah penggaris, tentukan Bβ=Mg(B) dan
Cβ=Mg(C)β
b. Buktikan bahwa lukisan yang Anda lakukan benar.
Selesaian:
a. Gambar
22)1()1(22)()( pqpq yyxxQTPT
B
A
Aβ
C
g
B
A
Aβ
C
g
Bβ
Cβ
19
b. Bukti:
Pada lukisan di atas jelas terlihat garis g merupakan garis sumbu dari
πΆπΆβ²Μ Μ Μ Μ Μ , π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ , dan π΅π΅β²Μ Μ Μ Μ Μ . Sehingga Bβ = Mg(B), Aβ = Mg(A), Cβ = Mg(C).
Jadi, lukisan di atas benar.
13. Ada sebuah garis g = {(x,y) | y = x}. Andaikan T sebuah transformasi yang
didefinisikan untuk semua P(x,y) pada bidang V sebagai berikut: T(P) = Pβ
= (y,x). Buktikan bahwa T sebuah refleksi garis pada g dengan
membuktikan:
a. T(P) = P apabila P(x,y) β g.
b. Apabila P(x,y) β g maka g adalah sumbu ruas garis PPβ²Μ Μ Μ Μ .
Selesaian :
a. Dipunyai P(x,y) β g
Maka T(P) = Pβ = (y,x).
Karena (x,y) β g dan g = {(x,y) | y = x}, maka y = x dan x = y sehingga
T(P) = Pβ = (y,x) = (x,y).
Karena T(P) = P untuk P β g maka T merupakan refleksi garis pada g.
b. Dipunyai P(x,y) β g
(i) Akan dibuktikan PPβ²Μ Μ Μ Μ β₯ g.
Jelas mg = 1.
Karena P(x,y) β g maka T(P) = Pβ = (y,x).
mππβ²Μ Μ Μ Μ Μ = π¦2βπ¦1
π₯2βπ₯1=
π₯βπ¦
π¦βπ₯=
π₯βπ¦
β(π₯βπ¦)= β1
Diperoleh mg = 1 = β1
β1= β
1
πππβ²Μ Μ Μ Μ Μ Μ .
Jadi g β₯ ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ .
(ii) Akan dibuktikan PO = PβO, jika O adalah titik persekutuan antara
ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ dan g.
Misalkan Q titik tengah ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ .
π = (π₯1 + π₯2
2,π¦1 + π¦2
2)
= (π₯ + π¦
2,π¦ + π₯
2)
g
P(x,y)
Pβ(y,x)
O
20
Jelas π₯+π¦
2=
π¦+π₯
2.
Maka π₯π = π¦π, sehingga π β g.
Jadi Q = O.
Karena Q titik tengah ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ dan Q = O, maka PO = PβO.
Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa g merupakan sumbu ruas
garis ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ .
14. Jika h sebuah garis yang melewati titik asal dengan koefisien arah -1,
tentukan:
a. A jika Mh(A) = (-2,3)
b. Mh(P) untuk P=(x,y)
Selesaian:
c. h melewati (0,0) dengan m = -1.
Persamaan garis h :
y-y1 = m(x-x1)
y β 0 = -1(x β 0)
y = -x
x + y = 0.
Jelas π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ β₯ β melalui (-2,3) dengan gradien m = 1
Persamaan garis π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ :
y-y1 = m(x-x1)
y β 3 = 1(x + 2)
y β 3 = x + 2
y = x + 5.
Perpotongan garis h dan π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ
h : y = -x; π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ : y = x + 5
diperoleh y = y
-x = x + 5
2x = -5
x = β5
2.
21
y = -x = - (β5
2) =
5
2.
Diperoleh titik tengah π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ = (xp,yp) = (β5
2,
5
2).
Jelas (xp,yp) = (π₯+π₯β²
2,
π¦+π¦β²
2)
(β5
2,
5
2) = (
π₯β2
2,
π¦+3
2)
Diperoleh x β 2 = -5 x = -3, dan y + 3 = 5 y = 2.
Jadi A = (-3,2).
b.
garis PPβ β₯ h berarti m = 1 dan
melalui (a,b).
Persamaan garis PPβ: y β y1 = m(x β x1)
y β b = 1(x β a)
y = x β a + b.
Perpotongan garis h dan PPβ
y = y -x = x βa + b 2x = a β b x = πβπ
2
y = -x = βπβπ
2.
Titik tengah PPβ = (πβπ
2, β
πβπ
2)
Jelas (πβπ
2, β
πβπ
2) = (
π₯+π₯β²
2,
π¦+π¦β²
2)
(πβπ
2, β
πβπ
2) = (
π+π₯β²
2,
π+π¦β²
2)
Diperoleh xβ = -b dan yβ = -a.
Jadi untuk P=(a,b) = (x,y) diperoleh Pβ=(-b,-a)=(-y,-x).
P (a,b)
a
b
h
22
15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap
titik P pada bidang V sebagai berikut:
Jika Pg maka T(P) = P
Jika P g maka T(P) = Pβ sehingga Pβ adalah titik tengah ruas garis
orthogonal dari P ke g.
a. Apakah T suatu transformasi?
b. Apakah T suatu isometri?
c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga AβBβ = AB dengan Aβ = T(A),
Bβ= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan Bβ?:
Jawab:
a. Ditunjukkan T suatu transformasi
i. Ditunjukkan T surjektif
Ambil sebarang titik PβV
Jika Pβ g jelas PVg T(P)=Pβ
Jika Pβ β π, maka βπ₯ β π sehingga π jadi sumbu ruas ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ
Ini berarti Ms(P)=Pβ
Jadi PβV memiliki prapeta
Jadi T surjektif
ii. Ditunjukkan T injektif
Ambil sebarang titik P,QV dengan Pβ Q
π β π {π β π, π β π βΉ π(π) = πβ², π(π) = πβ² β π βΉ π(π) β π(π)
π β π, π β π βΉ π(π) = πβ² β π, π(π) = π βΉ π(π) β π(π)
Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan
ruas garis orthogonal Q ke g.
Ditunjukkan P β Q=> T(P)β T(Q)
Andaikan T(P)=T(Q)
Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P
ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan
Q ke g
Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.
23
Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis
orthogonal Q ke g.
Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu
titik .
Jadi P = Q
Kontradiksi dengan Pβ Q
Haruslah Pβ Q => T(P) β T(Q)
Jadi T injektif
Dapat disimpulkan T suatu transformasi
b. Ditunjukkan T suatu isometri
Pilih Pg dan Q g
Jelas T(P)=P dan T(Q)=Qββ P
Jelas T(Q)=Qβ dengan Qβ adalah titik tengah
ruas garis orthogonal dari Q ke Qβ
Jelas PQβ PβQβ=PQβ
Jadi T bukan Isometri
c. T isometri jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
Jadi AB = AβBβ jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
16. Andaikan h = 3xy , yx , Apabila A = (4,3)
Ditanya: tentukan koordinat β koordinat Aβ =Mh(A).
Selesaian:
Jelas gradient dari garis π¦ = 3π₯ adalah π = 3. Gradient garis yang tegak
lurus garis tersebut adalah π = β1
3
Persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A(4,3) dengan m = β1
3
adalah
P
24
π¦ β π¦1 = π(π₯ β π₯1)
βΊ π¦ β 3 = β1
3(π₯ β 4)
βΊ π¦ β 3 = β1
3π₯ +
4
3
βΊ π¦ = β1
3π₯ +
13
3
Perpotongan garis h dan π¦ = β1
3π₯ +
13
3 dapat dicari dengan mensubtitusikan
π¦ = 3π₯ ke dalam persamaan π¦ = β1
3π₯ +
13
3, diperoleh
3π₯ = β1
3π₯ +
13
3
βΊ10
3π₯ =
13
3
βΊ π₯ =1,3
3
βΊ π¦ = 3π₯
= 1,3
Diperoleh titik terjadi π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ = (1,3
3; 1,3)
Jelas (1,3
3; 1,3) = (
π₯π΄+π₯π΄β²
2,
π¦π΄+π¦π΄β²
2)
βΊ (1,3
3; 1,3) = (
4 + π₯π΄β²
2,3 + π¦π΄β²
2)
βΊ (2,6
3; 2,6) = (4 + π₯π΄β² , 3 + π¦π΄β²)
βΊ (π₯π΄β² , π¦π΄β²) = (2,6
3β
12
3; 2,6 β 3)
βΊ (β9,4
3; β0,4)
Jdi koordinat π΄β² = (β9,4
3; β0,4).
17. Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C=(-4,1), dan D=(-2,k). Apabila T
suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k.
Penyelesaian:
Karena Isometri, maka |π΄π΅| = |πΆπ·|
25
β(π₯π΄ β π₯π΅)2 + (π¦π΄ β π¦π΅)2 = β(π₯π β π₯π·)2 + (π¦πΆ β π¦π·)2
β(1 β 4)2 + (β1 β 0)2 = β(β4 + 2)2 + (1 β π)2
β(β3)2 + (β1)2 = β(β2)2 + (1 β π)2
9+1 = 4+ (1-k)2
(1-k)2 = 10 β 4
(1-k)2 = 6
1-k = β6
k = 1 + β6.
19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y.
Ada g = 1yx, yx .
a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . .
b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B
c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)!
Jawab:
a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1, gradien yang tegak lurus
garis tersebut adalah m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m =
1 adalah
1
21
)1(12
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan x + y = 1 dan y = x + 1 dengan mensubstitusikan
persamaan π¦ = π₯ + 1 ke persamaan π₯ + π¦ = 1, diperoleh
π₯ + π₯ + 1 = 1
βΊ 2π₯ = 0
βΊ π₯ = 0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1
diperoleh y = 1.
Jadi titik tengah 'AA (0,1).
26
Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka
2
2,
2
1
2,
21,0 ''' AAAAAA yxyyxx
)2,1(2,0 '' AA yx
0,1, '' AA yx
Jadi Aβ = (-1,0)
b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1
Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan
m=1 adalah
6
42
)2(14
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi.
π¦ = π¦
βΊ 1 β π₯ = π₯ + 6
βΊ 2π₯ = 1 β 5
βΊ π₯ = β2
substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 3.
Jadi titik tengah BC (-2,3).
Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka
2
4,
2
2
2,
23,2 CCCBCB yxyyxx
)4,2(6,4 CC yx
2,2, CC yx
Jadi Aβ = (-2,2)
27
c. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah
21
21 )(
PPxy
PxmPy
Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (Q1,Q2) =
2,
2
'22'11 PPPP
2211'2'1
'22'1121
2,2,
),(2,2
QPQPPP
PPPPQQ
Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = Pβ = 2211 2,2 QPQP .