BAB I

PENDAHULUAN

Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari Zaman Babilonia, Yunani, para

ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-

18 sampai dua dekade pertama abad ke-19. Geometri transformasi merupakan suatu bab yang

membahas mengenai perpindahan suatu titik pada bidang dimensi dua atau datar.

Transformasi meliputi refleksi, rotasi. dilatasi, translasi. Pada makalah ini dikhususkan

membahas mengenai refleksi (pencerminan). Dimana refleksi adalah pencerminan, yaitu

proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin /

sumbu simetri).

1

BAB II

ISI

2.1. Definisi Pencerminan (Refleksi)

Definisi: Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi

yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut :

i. jika , maka

ii. jika , maka sehingga garis adalah sumbu .

Pencerminan pada garis selanjutnya dilambangkan sebagai . Garis

dinamakan sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin (Rawuh.

1992: 34).

2.2. Teorema

2.2.1. Teorema 1: Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.

2.2.2. Teorema 2: Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.

2.3. Pembuktian Teorema

2.3.1. Pembuktian teorema 1

Ms: V → V (Ms suatu fungsi dari V ke V (bidang Euclid))2

Berdasarkan definisi diatas, jelas bahwa domain dari Ms adalah V.

Daerah hasil dari Ms juga pada V, sebab apabila kita mengambil

atau Untuk Ms(x) = . Untuk , Ms(x) = y, dimana s

sumbu dari , artinya , sehingga , artinya adalah bidang V juga.

Jadi Ms suatu fungsi dari V ke V.

I. Akan dibuktikan Ms surjektif.

Ambil sebarang X ' V, X '= Ms(X ) .

Menurut definisi

jika X , maka

jika X s maka Ms(X ) = X' = X

Sehingga, X ' V, X '= X = Ms(X ), X s dengan s sumbu XX’

Jadi Ms surjektif.

II. Akan dibuktikan Ms injektif.

Kasus 1

Misalkan A1 A2

Untuk A1 s maka Ms(A1 ) = A1 '= A1 .

A2 s maka Ms(A2 ) = A2 '= A2

Jadi, A1 A2

Kasus 2

Ambil A1 s, A2 s, maka

i. Ms(A1 ) = A1 '= A1

ii. Ms(A2 ) = A2 ', yakni s sumbu dari

3

Karena A1 s, A2 s, maka A1 A2

Kasus 3

Untuk A1 s, A2 s, A1 A2 A1' A2'

Andaikan Ms(A1) = Ms(A2) , maka dipenuhi :

A1 A1’ adalah suatu garis dengan sumbu s, artinya A1 A1’ s

A2 A2’ adalah suatu garis dengan sumbu s, artinya A2 A2’ s .

Andaikan A1 A2, maka menurut teorema tidak ada 2 buah garis yang

tegak lurus terhadap garis sumbu s yang melalui titik yang sama.

Artinya jika Ms(A1) = Ms(A2), maka haruslah A1 A2. Padahal diketahui

A1 A2.

Jadi haruslah , A1 A2 Ms(A1) Ms(A2)

Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setiap refleksi pada garis

adalah suatu transformasi (Hamzah. 2011).

2.3.2. Pembuktian teorema 2

Ambil sembarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’.

Akan ditunjukkan A’B’ = AB.

Kasus I

Jika A, B s maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B.

Jadi AB = A’B’ Ms(A) = A, Ms(B) = B.

Kasus II

Jika A s, B s dan Ms(A) = A’ = A dan Ms (B) = B’

4

Akan ditunjukkan AB = A’B’

Perhatikan ABC & AB'C

AC = AC (berimpit)

m( ABC) = m( ACB') (karena siku-siku)

BC = B’C (karena s sumbu simetri)

Menurut teorema karena ABC & AB'C mempunyai sifat sisi sudut sisi (S Sd

S) yang sama, maka ABC AB'C

Jadi AB = A’B’.

Kasus III

Jika A, B S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’.

5

B’C

B

Akan ditunjukkan AB = A’B’

Perhatikan BDC & B'DC .

DC = DC (berimpit)

m( DCB) = m( DCB') (karena siku-siku)

BC = B’C (karena s sumbu simetri)

Menurut teorema karena BDC & BD'C mempunyai sifat sisi sudut sisi

(S Sd S) yang sama, maka BDC B' DC.

Jadi BD = B’D dan m( BDC) = m( B'DC).

Karena m( BDC) = m( B'DC) dan m( DCB) = m( DCB') = 90 ,

maka

..................(1)

Perhatikan BAD & B' AD

AD = A’D (berimpit)

6

D

...........(1)

DB = DB’ (diketahui)

Menurut teorema karena BAD & B' AD mempunyai sifat sisi sudut sisi (S

Sd S) yang sama maka

BAD B' AD

Jadi AB = A’B’ (Hamzah. 2011).

7

2.4. Latihan Soal

8

9

10

11

12

13

14

BAB III

KESIMPULAN

1. Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang

didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:

jika P s maka Ms (P) = P

jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP' . Pencerminan M pada

garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu

pencerminan / singkat cermin.

2. Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku

P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).

15