Pencerminan geser fix

14
RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN BAB XII PENCERMINAN GESER (REFLEXI GESER) disusun guna melengkapi tugas mata kuliah GeometriTransformasi Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd Oleh Niamatus Saadah 1201125122 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 2015

Transcript of Pencerminan geser fix

RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB XII

PENCERMINAN GESER (REFLEXI

GESER)

disusun guna melengkapi tugas mata kuliah GeometriTransformasi

Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd

Oleh

Niamatus Saadah 1201125122

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

2015

PENCERMINAN GESER (REFLEXI GESER)

12.1 Ketentuan dan beberapa siifat reflexi geser

Telah diketahui hingga sekarang fakta-fakta berikut:

1. Hasilkali (produk) dua translasi adalah sebuah translasi.

2. Hasilkali dua reflexi pada dua garis adalah sebuah rotasi atau sebuah

translasi.

3. Hasilklali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi.

Teorema 12.1

Hasilkali sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudutnya

sama dengan sudut rotasi yang diketahui.

Bukti:

Diketahui: rotasi 𝑅𝐴,πœ‘ dan translasi 𝐺𝐡𝐢

ruas garis 𝐡𝐢̅̅ Μ…Μ…

Adb : kasus 1 : 𝐺𝐡𝐢 𝑅𝐴,πœ‘ = 𝑅𝐸,πœ‘

kasus 2 : 𝑅𝐴,πœ‘ 𝐺𝐡𝐢 = 𝑅𝐸,πœ‘

Bukti:

Kasus 1

Membuat ruas garis 𝐡𝐢̅̅ Μ…Μ…

Membuat dua garis sejajar s dan t yang berpotongan tegak lurus dengan 𝐡𝐢̅̅ Μ…Μ…

Tarik garis 𝑃𝑄̅̅ Μ…Μ… yang sejajar 𝐡𝐢̅̅ Μ…Μ… memotong garis s di P dan memotong garis t di

Q, sedemikian hingga 𝑃𝑄̅̅ Μ…Μ… = 1

2 𝐡𝐢̅̅ Μ…Μ…

Menarik garis r memotong garis s dititik A dan besarnya sudut r ke s adalah

1

2 Ο†

Perpanjang garis r sehingga memotong garis t dititik E

Jelas diperoleh sudut dari r ke t adalah 1

2 Ο†

t

Q

A

E

P

B C

r s

Menurut teorema 10.3 𝐺𝐡𝐢 = 𝑀𝑑𝑀𝑠 dan menurut teorema 11.2 𝑅𝐴,πœ‘ = π‘€π‘ π‘€π‘Ÿ

Sehinga diperoleh: 𝐺𝐡𝐢 𝑅𝐴,πœ‘ = π‘€π‘‘π‘€π‘ π‘€π‘ π‘€π‘Ÿ

= 𝑀𝑑 . I . π‘€π‘Ÿ

= π‘€π‘‘π‘€π‘Ÿ

= 𝑅𝐸,πœ‘ …..(1)

Kasus 2

Membuat ruas garis 𝐡𝐢̅̅ Μ…Μ…

Membuat dua garis sejajar t dan s yang berpotongan tegak lurus dengan 𝐡𝐢̅̅ Μ…Μ…

Tarik garis 𝑃𝑄̅̅ Μ…Μ… yang sejajar 𝐡𝐢̅̅ Μ…Μ… memotong garis t di P dan memotong garis s di

Q, sedemikian hingga 𝑃𝑄̅̅ Μ…Μ… = 1

2 𝐡𝐢̅̅ Μ…Μ…

Menarik garis r memotong garis t dititik E dan besarnya sudut t ke r adalah 1

2 Ο†

Perpanjang garis r sehingga memotong garis s dititik A

Jelas diperoleh sudut dari s ke r adalah 1

2 Ο†

1

2πœ‘

1

2πœ‘

Menurut teorema 10.3 𝐺𝐡𝐢 = 𝑀𝑠𝑀𝑑 dan menurut teorema 11.2 𝑅𝐴,πœ‘ = π‘€π‘Ÿπ‘€π‘ 

Sehinga diperoleh: 𝑅𝐴,πœ‘ 𝐺𝐡𝐢 = π‘€π‘Ÿπ‘€π‘ π‘€π‘ π‘€π‘‘

= π‘€π‘Ÿ . I . 𝑀𝑑

= π‘€π‘Ÿπ‘€π‘‘

= 𝑅𝐸,πœ‘ ….(2)

Jadi, terbukti bahwa 𝐺𝐡𝐢 𝑅𝐴,πœ‘ = 𝑅𝐴,πœ‘ 𝐺𝐡𝐢 = 𝑅𝐸,πœ‘

Akibat : himpunan translasi dan rotasi membentuk grup dengan operasi hasilkali

Andaikan diketahui rotasi 𝑅𝐴,πœ‘ dan reflexi 𝑀𝑠. Apabila A ∈ s maka 𝑅𝐴,πœ‘ = 𝑀𝑑𝑀𝑠,

t adalah sebuah garis melalui A sehingga sudut dari s ke t adalah 1

2πœ‘

1. Apabila A ∈ s, adb 𝑹𝑨,𝝋 = 𝑴𝒕𝑴𝒔

Dipunyai s sebuah garis

A ∈ s

1

2πœ‘

t

A S

x

s A

t

r

Q

s

A

B

t

C

P

1

2πœ‘

1

2πœ‘

E

Tarik garis t melalui A sehingga sudut antara s ke t adalah 1

2 Ο†

Jadi, 𝑅𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 = (𝑀𝑑𝑀𝑠) 𝑀𝑠

= 𝑀𝑑 (𝑀𝑠𝑀𝑠)

= 𝑀𝑑 . I

= 𝑀𝑑

2. Andaikan A βˆ‰ s

Bukti:

Dipunyai s sebuah garis

A βˆ‰ s

Tarik garis t tegak lurus s melalui A

Tarik garis r melalui A sehingga sudut antara r ke t adalah 1

2 Ο†, maka

𝑅𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 = (π‘€π‘Ÿπ‘€π‘‘) 𝑀𝑠

= π‘€π‘Ÿ (𝑀𝑑𝑀𝑠)

= π‘€π‘Ÿ 𝑆𝐡 (Teorema 7.1) .......................1)

Dengan {B} = t ∩ s

Andaikan v sebuah garis melalui B dan tegak lurus r

Andaikan w sebuah garis melalui B yang sejajar r

Maka 𝑆𝐡 = 𝑀𝑀𝑀𝑣 (Teorema 7.1), sehingga

w

B S

x

t

v

r

c

A

s

t

v w

r

1

2πœ‘

B

A

C

𝑅𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 = π‘€π‘Ÿ 𝑆𝐡 .......................1)

= π‘€π‘Ÿ (𝑀𝑀𝑀𝑣)

= (π‘€π‘Ÿπ‘€π‘€) 𝑀𝑣

Karena w sejajar r maka π‘€π‘Ÿπ‘€π‘€ merupakan sebuah translasi (Menurut

teorema 10.1), sehingga diperoleh:

𝑅𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 = 𝐺𝐡𝐢 𝑀𝑣

Dengan {C} = v ∩ r

Jadi, transformasi tersebut adalah hasilkali sebuah reflexi pada v dan sebuah

translasi sejajar v.

Hasilkali demikian dinamakan reflexi geser

Definisi:

Sebuah transformasi R dinamakan reflexi geser apabila ada garis g dan sebuah

ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅ Μ…Μ… yang sejajar g sehingga R = 𝐺𝐴𝐡 𝑀𝑔.

Garis g ini dinamakan sumbu reflexi geser

Oleh karena setiap translasi dapat diuraikan menjadi hasilkali dua reflexi garis,

maka suatu reflexi geser dapat ditulis sebagai hasilkali tiga reflexi garis.

Di atas telah diperlihatkan bahwa 𝑅𝐴,πœ‘ 𝑀𝑠 adalah suatu reflexi geser; dengan cara

yang serupa dapat dibuktikan bahwa 𝑀𝑠 𝑅𝐴,πœ‘ adalah suatu reflexi geser.

Jadi diperoleh teorema berikut:

Teorema 12.2

Setiap hasil kali sebuah reflexi pada sebuah garis dengan sebuah rotasi

mengelilingi suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tersebut adalah suatu

reflexi geser.

Bukti :

Diketahui reflexi 𝑀𝑠 dan rotasi 𝑅𝐴,πœ‘ andaikan t sebarang garis melalui s dan r

garis melalui A sehingga besarnya sudut adalah 1

2Ο†

Maka 𝑅𝐴,πœ‘ = π‘€π‘ π‘€π‘Ÿ

Sehingga 𝑀𝑠 𝑅𝐴,πœ‘ = π‘€π‘ π‘€π‘‘π‘€π‘Ÿ

Akibat 1:

Apabila ada ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅ Μ…Μ… tidak tegak lurus pada garis s, maka hasil kali

suatu geseran GAB dengan reflexi 𝑀𝑠 adalah sebuah reflexi geser.

Bukti :

Tentukan titik C sedemikian sehingga 𝐴𝐢̅̅ Μ…Μ… tegak lurus s dan 𝐢𝐡̅̅ Μ…Μ… sejajar s

Maka 𝐴𝐡̅̅ Μ…Μ… = 𝐴𝐢̅̅ Μ…Μ… + 𝐢𝐡̅̅ Μ…Μ…

𝐺𝐴𝐡 𝑀𝑠 = 𝐺𝐢𝐡.𝐺𝐴𝐢𝑀𝑠 (Teorema 10.7)

= 𝐺𝐢𝐡 (π‘€π‘Ÿπ‘€π‘ ) 𝑀𝑠dengan r // s, dan jarak r,s) = 1

2 AC(teorema 10.3)

= 𝐺𝐢𝐡 π‘€π‘Ÿ (𝑀𝑠𝑀𝑠)

= 𝐺𝐢𝐡 π‘€π‘Ÿ I

= 𝐺𝐢𝐡 π‘€π‘Ÿ

= R ( suatu pencerminan geser kerena r // CB)

Akibat 2:

Apabila ada garis r, s dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada

pasangan yang sejajar, maka setiap hasilkali reflexi-reflexi π‘€π‘Ÿ, 𝑀𝑠 dan 𝑀𝑑 adalah

suatu reflexi geser.

Bukti:

Dipunyai garis r, s, dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada pasangan

yang //

Misalakan perpotongan garis t dan s adalah A, perpotongan garis r dan s adalah B,

dan perpotongan garis t dan r adalah C

A

C B

r

s

Reflexikan A terhadap garis r, s, dan t yaitu MrMtMs dan diperoleh A’

Reflexikan C terhadap garis r, s, dan t yaitu MsMtMr dan diperoleh C’

Hubungkan AA’ dan CC’

Bagi garis AA’ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya M

Bagi garis CC’ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya N

Hubungkan titik tengah garis M dan N sehingga diperoleh sumbu reflexi geser U

Reflexikan A terhadap U sehingga diperoleh A”

Reflexikan C terhadap U sehingga diperoleh C”

Hubungkan AA” dan CC” dan diperoleh panjang AA” = CC”

Jadi, hasilkali reflexi-reflexi π‘€π‘Ÿ, 𝑀𝑠 dan 𝑀𝑑 adalah suatu reflexi geser.

r

s

t

A

C

B

N

C’

U

A’

C

M

A”

C”

Po

Q

P’

B A

P”

Tugas

1. Diketahui titik –titik A, B, P, Q setiap tiga titik tidak ada yang kolinear.

apabila s = 𝐴𝐡 ⃑ , lukislah

a. P’ = GAB Ms (P)

b. P”= Ms GAB(P)

c. R sehingga GAB Ms (R) = Q

Penyelesaian:

1. (a) P’ = GABMS(P)

●

Po = MS(P)

P1 = Mt (Po) = MtMs(P)

P’ = Mr (P1) = MrMtMs (P) = GABMS(P)

(b) P” = MSGAB(P)

●

r t

P1 P’

P0

A

B

s

P

P

Po

rr

t

s

Q

r t R

r

Ao

Ao

Po = Mt (P)

P’ = Mr (Po) = MrMt(P)

P” = Ms(P’) = Ms MrMt(P) = MSGAB(P)

(c) R sehingga GABMS(R) = Q

MrMtMs (R) =Q

R = MsMtMr (Q)

●

●

●

●

Qo = Mr (Q) Q’ = Mt (Qo) =Mt Mr (Q) R = Ms(Q’) = Ms Mt Mr (Q)

2. Diketahui tiga garis r, s, t tidak melalui satu titik dan tidak ada pasangan yang

sejajar jika r ∩ s= { C}, r ∩ t ={A}, s ∩ t ={B} lukiskan:

a. A’= Mt Ms Mr (A)

b. Sumbu reflexi geser R = Mt Ms Mr

Penyelesaian:

(a) A’ = MtMsMr(A)

A

Qo

Q Q’

P

B

R

s

A

Ao

s

t

r

C

B

s

t

A

B

C

r

Ao

A’

C’

B”

Bo

B’

R

(b) Sumbu refleksi geser R = MtMsMr

3. Diketahui Ξ”ABC β‰… Ξ”XYZ, lukislah sumbu s dan ruas garis berarah 𝐴𝐡̅̅ Μ…Μ…

sehingga reflexi geser GAB Ms memetakan Ξ”ABC pada Ξ”XYZ.

Penyelesaian:

Diketahui :

ABC XYZ

Ruas garis berarah BA

Ditanya : Lukis sumbu S sehingga R = GAB MS Memetakan ABC pada

XYZ!

s

t

C

A’

B

A’

r

C’

Ao

A

B’

B’’

R

B0

Jawab :

Ket : AB = Β½ MN 2 MN

R = GAB MS

= Mq Mp Ms

4. Diketahui garis s, titik A dan Ξ”DEF. Garis s tidak memotong Ξ”DEF dan A ada

di dalam Ξ”DEF.

a. Lukislah Ξ”D’E’F’ = Ms SA(Ξ”DEF)

b. Apabila Ms SA suatu reflexi geser lukislah sumbu reflexi geser tersebut

Penyelesaian:

Diketahui : - garis S

- titik A

- ADEF

Ditanya :

a. Lukis D' E' F' = MS SA ( DEF)

b. Apabila MS SA suatu refleksi geser lukislah sumbu refleksi geser tersebut.

C

A B

X Y

Z C'

M N

p q

S A

B

X

C

Y

Z

s

N

q p

M

C’

E

' D

'

F

'

D E

F

Do

Eo

Fo

.

S

t

F

E D

Do

Fo

Eo

t

s

F’

E’ D’

5. Diketahui garis s dan titik A tidak pada garis s. lukislah sumbu reflexi geser

Ms RA,90β—¦

Penyelesaian:

Diket : garis S dan titik A tidak pada garis S

Ditanya : lukislah sumbu refleksi geser Ms RA,go0

Jawab:

6. Jika A = (0,0), B= (2,1), dan C=(2,5), titik- titik yang diketahui

a. Tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,90β—¦ GBC

b. Jika P= (x,y) tentukan P’= RA,90β—¦ GBC

Penyelesaian:

Diket : A=(0,0), B= (2,1), C =(2,5) titik ang diketahui

Ditanya : a. tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,go ,Gbc

b. jika P= (x,y) tentukan p’= RA,go GBC (P)

Jawab:

RA,go GBC = Mk Mg Ml

= Mk . I. Ml

= Mk . Ml

0

AD

t

L A0

K

t

Ao

O

AD

s

L

●

●

● ●

●

B’

C’

Co

C

Bo

5

k

2

-1

-5

7. Buktikan teorema berikut:

1) Apabila R suatu reflexi geser, maka R2 suatu translasi

2) Apabila R suatu reflexi geser, maka R tidak memiliki titik- titik invariant

(titik tetap)

Bukti:

1) Dipunyai sebuah reflexi Mg dan sebuah translasi GAB

Maka R = GAB Mg

Sehingga R2 = R R

= GAB Mg GAB Mg

= GAB Mg Mg GAB

= GAB I GAB

= GAB GAB

= GCD

8. Jika t sumbu x sebuah sistem koordinat orthogonal, A= (2,30) , B= (1,6) titik

yang diketahui. Tentukan peta- peta titik tersebut oleh suatu reflexi geser Mt

GAB. Tentukan pula persamaan sumbu reflexi geser tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui : t sumbu X sistem koordinat orthogonal

A(2,3) dan B(1,6)

Ditanya : tentukan peta titik A dan B oleh reflexi geser Mt.GAB

Tentukan persamaan reflekksi geser tersebut

Jawab:

1. Lukis titik A(2,3) dan B(1,6)

2. Misal garis g melalui C dan tegak lurus 𝐴𝐡 ⃐ , garis h melalui D dan sejajar

garis g sehingga AB = 2CD

GAB = MhMg

3. Lukis A’ = MhMg (A) dan B’ = MhMg (B)

4. Reflexikan A’ dan B’ terhadap garis t sehingga diperoleh A” dan B”