Pencerminan geser fix
Transcript of Pencerminan geser fix
RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB XII
PENCERMINAN GESER (REFLEXI
GESER)
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah GeometriTransformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015
PENCERMINAN GESER (REFLEXI GESER)
12.1 Ketentuan dan beberapa siifat reflexi geser
Telah diketahui hingga sekarang fakta-fakta berikut:
1. Hasilkali (produk) dua translasi adalah sebuah translasi.
2. Hasilkali dua reflexi pada dua garis adalah sebuah rotasi atau sebuah
translasi.
3. Hasilklali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi.
Teorema 12.1
Hasilkali sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudutnya
sama dengan sudut rotasi yang diketahui.
Bukti:
Diketahui: rotasi π π΄,π dan translasi πΊπ΅πΆ
ruas garis π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Adb : kasus 1 : πΊπ΅πΆ π π΄,π = π πΈ,π
kasus 2 : π π΄,π πΊπ΅πΆ = π πΈ,π
Bukti:
Kasus 1
Membuat ruas garis π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Membuat dua garis sejajar s dan t yang berpotongan tegak lurus dengan π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Tarik garis ππΜ Μ Μ Μ yang sejajar π΅πΆΜ Μ Μ Μ memotong garis s di P dan memotong garis t di
Q, sedemikian hingga ππΜ Μ Μ Μ = 1
2 π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Menarik garis r memotong garis s dititik A dan besarnya sudut r ke s adalah
1
2 Ο
Perpanjang garis r sehingga memotong garis t dititik E
Jelas diperoleh sudut dari r ke t adalah 1
2 Ο
t
Q
A
E
P
B C
r s
Menurut teorema 10.3 πΊπ΅πΆ = ππ‘ππ dan menurut teorema 11.2 π π΄,π = ππ ππ
Sehinga diperoleh: πΊπ΅πΆ π π΄,π = ππ‘ππ ππ ππ
= ππ‘ . I . ππ
= ππ‘ππ
= π πΈ,π β¦..(1)
Kasus 2
Membuat ruas garis π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Membuat dua garis sejajar t dan s yang berpotongan tegak lurus dengan π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Tarik garis ππΜ Μ Μ Μ yang sejajar π΅πΆΜ Μ Μ Μ memotong garis t di P dan memotong garis s di
Q, sedemikian hingga ππΜ Μ Μ Μ = 1
2 π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Menarik garis r memotong garis t dititik E dan besarnya sudut t ke r adalah 1
2 Ο
Perpanjang garis r sehingga memotong garis s dititik A
Jelas diperoleh sudut dari s ke r adalah 1
2 Ο
1
2π
1
2π
Menurut teorema 10.3 πΊπ΅πΆ = ππ ππ‘ dan menurut teorema 11.2 π π΄,π = ππππ
Sehinga diperoleh: π π΄,π πΊπ΅πΆ = ππππ ππ ππ‘
= ππ . I . ππ‘
= ππππ‘
= π πΈ,π β¦.(2)
Jadi, terbukti bahwa πΊπ΅πΆ π π΄,π = π π΄,π πΊπ΅πΆ = π πΈ,π
Akibat : himpunan translasi dan rotasi membentuk grup dengan operasi hasilkali
Andaikan diketahui rotasi π π΄,π dan reflexi ππ . Apabila A β s maka π π΄,π = ππ‘ππ ,
t adalah sebuah garis melalui A sehingga sudut dari s ke t adalah 1
2π
1. Apabila A β s, adb πΉπ¨,π = π΄ππ΄π
Dipunyai s sebuah garis
A β s
1
2π
t
A S
x
s A
t
r
Q
s
A
B
t
C
P
1
2π
1
2π
E
Tarik garis t melalui A sehingga sudut antara s ke t adalah 1
2 Ο
Jadi, π π΄,π ππ = (ππ‘ππ ) ππ
= ππ‘ (ππ ππ )
= ππ‘ . I
= ππ‘
2. Andaikan A β s
Bukti:
Dipunyai s sebuah garis
A β s
Tarik garis t tegak lurus s melalui A
Tarik garis r melalui A sehingga sudut antara r ke t adalah 1
2 Ο, maka
π π΄,π ππ = (ππππ‘) ππ
= ππ (ππ‘ππ )
= ππ ππ΅ (Teorema 7.1) .......................1)
Dengan {B} = t β© s
Andaikan v sebuah garis melalui B dan tegak lurus r
Andaikan w sebuah garis melalui B yang sejajar r
Maka ππ΅ = ππ€ππ£ (Teorema 7.1), sehingga
w
B S
x
t
v
r
c
A
s
t
v w
r
1
2π
B
A
C
π π΄,π ππ = ππ ππ΅ .......................1)
= ππ (ππ€ππ£)
= (ππππ€) ππ£
Karena w sejajar r maka ππππ€ merupakan sebuah translasi (Menurut
teorema 10.1), sehingga diperoleh:
π π΄,π ππ = πΊπ΅πΆ ππ£
Dengan {C} = v β© r
Jadi, transformasi tersebut adalah hasilkali sebuah reflexi pada v dan sebuah
translasi sejajar v.
Hasilkali demikian dinamakan reflexi geser
Definisi:
Sebuah transformasi R dinamakan reflexi geser apabila ada garis g dan sebuah
ruas garis berarah π΄π΅Μ Μ Μ Μ yang sejajar g sehingga R = πΊπ΄π΅ ππ.
Garis g ini dinamakan sumbu reflexi geser
Oleh karena setiap translasi dapat diuraikan menjadi hasilkali dua reflexi garis,
maka suatu reflexi geser dapat ditulis sebagai hasilkali tiga reflexi garis.
Di atas telah diperlihatkan bahwa π π΄,π ππ adalah suatu reflexi geser; dengan cara
yang serupa dapat dibuktikan bahwa ππ π π΄,π adalah suatu reflexi geser.
Jadi diperoleh teorema berikut:
Teorema 12.2
Setiap hasil kali sebuah reflexi pada sebuah garis dengan sebuah rotasi
mengelilingi suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tersebut adalah suatu
reflexi geser.
Bukti :
Diketahui reflexi ππ dan rotasi π π΄,π andaikan t sebarang garis melalui s dan r
garis melalui A sehingga besarnya sudut adalah 1
2Ο
Maka π π΄,π = ππ ππ
Sehingga ππ π π΄,π = ππ ππ‘ππ
Akibat 1:
Apabila ada ruas garis berarah π΄π΅Μ Μ Μ Μ tidak tegak lurus pada garis s, maka hasil kali
suatu geseran GAB dengan reflexi ππ adalah sebuah reflexi geser.
Bukti :
Tentukan titik C sedemikian sehingga π΄πΆΜ Μ Μ Μ tegak lurus s dan πΆπ΅Μ Μ Μ Μ sejajar s
Maka π΄π΅Μ Μ Μ Μ = π΄πΆΜ Μ Μ Μ + πΆπ΅Μ Μ Μ Μ
πΊπ΄π΅ ππ = πΊπΆπ΅.πΊπ΄πΆππ (Teorema 10.7)
= πΊπΆπ΅ (ππππ ) ππ dengan r // s, dan jarak r,s) = 1
2 AC(teorema 10.3)
= πΊπΆπ΅ ππ (ππ ππ )
= πΊπΆπ΅ ππ I
= πΊπΆπ΅ ππ
= R ( suatu pencerminan geser kerena r // CB)
Akibat 2:
Apabila ada garis r, s dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada
pasangan yang sejajar, maka setiap hasilkali reflexi-reflexi ππ, ππ dan ππ‘ adalah
suatu reflexi geser.
Bukti:
Dipunyai garis r, s, dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada pasangan
yang //
Misalakan perpotongan garis t dan s adalah A, perpotongan garis r dan s adalah B,
dan perpotongan garis t dan r adalah C
A
C B
r
s
Reflexikan A terhadap garis r, s, dan t yaitu MrMtMs dan diperoleh Aβ
Reflexikan C terhadap garis r, s, dan t yaitu MsMtMr dan diperoleh Cβ
Hubungkan AAβ dan CCβ
Bagi garis AAβ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya M
Bagi garis CCβ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya N
Hubungkan titik tengah garis M dan N sehingga diperoleh sumbu reflexi geser U
Reflexikan A terhadap U sehingga diperoleh Aβ
Reflexikan C terhadap U sehingga diperoleh Cβ
Hubungkan AAβ dan CCβ dan diperoleh panjang AAβ = CCβ
Jadi, hasilkali reflexi-reflexi ππ, ππ dan ππ‘ adalah suatu reflexi geser.
r
s
t
A
C
B
N
Cβ
U
Aβ
C
M
Aβ
Cβ
Po
Q
Pβ
B A
Pβ
Tugas
1. Diketahui titik βtitik A, B, P, Q setiap tiga titik tidak ada yang kolinear.
apabila s = π΄π΅ β‘ , lukislah
a. Pβ = GAB Ms (P)
b. Pβ= Ms GAB(P)
c. R sehingga GAB Ms (R) = Q
Penyelesaian:
1. (a) Pβ = GABMS(P)
β
Po = MS(P)
P1 = Mt (Po) = MtMs(P)
Pβ = Mr (P1) = MrMtMs (P) = GABMS(P)
(b) Pβ = MSGAB(P)
β
r t
P1 Pβ
P0
A
B
s
P
P
Po
rr
t
s
Q
r t R
r
Ao
Ao
Po = Mt (P)
Pβ = Mr (Po) = MrMt(P)
Pβ = Ms(Pβ) = Ms MrMt(P) = MSGAB(P)
(c) R sehingga GABMS(R) = Q
MrMtMs (R) =Q
R = MsMtMr (Q)
β
β
β
β
Qo = Mr (Q) Qβ = Mt (Qo) =Mt Mr (Q) R = Ms(Qβ) = Ms Mt Mr (Q)
2. Diketahui tiga garis r, s, t tidak melalui satu titik dan tidak ada pasangan yang
sejajar jika r β© s= { C}, r β© t ={A}, s β© t ={B} lukiskan:
a. Aβ= Mt Ms Mr (A)
b. Sumbu reflexi geser R = Mt Ms Mr
Penyelesaian:
(a) Aβ = MtMsMr(A)
A
Qo
Q Qβ
P
B
R
s
A
Ao
s
t
r
C
B
s
t
A
B
C
r
Ao
Aβ
Cβ
Bβ
Bo
Bβ
R
(b) Sumbu refleksi geser R = MtMsMr
3. Diketahui ΞABC β ΞXYZ, lukislah sumbu s dan ruas garis berarah π΄π΅Μ Μ Μ Μ
sehingga reflexi geser GAB Ms memetakan ΞABC pada ΞXYZ.
Penyelesaian:
Diketahui :
ABC XYZ
Ruas garis berarah BA
Ditanya : Lukis sumbu S sehingga R = GAB MS Memetakan ABC pada
XYZ!
s
t
C
Aβ
B
Aβ
r
Cβ
Ao
A
Bβ
Bββ
R
B0
Jawab :
Ket : AB = Β½ MN 2 MN
R = GAB MS
= Mq Mp Ms
4. Diketahui garis s, titik A dan ΞDEF. Garis s tidak memotong ΞDEF dan A ada
di dalam ΞDEF.
a. Lukislah ΞDβEβFβ = Ms SA(ΞDEF)
b. Apabila Ms SA suatu reflexi geser lukislah sumbu reflexi geser tersebut
Penyelesaian:
Diketahui : - garis S
- titik A
- ADEF
Ditanya :
a. Lukis D' E' F' = MS SA ( DEF)
b. Apabila MS SA suatu refleksi geser lukislah sumbu refleksi geser tersebut.
C
A B
X Y
Z C'
M N
p q
S A
B
X
C
Y
Z
s
N
q p
M
Cβ
E
' D
'
F
'
D E
F
Do
Eo
Fo
.
S
t
F
E D
Do
Fo
Eo
t
s
Fβ
Eβ Dβ
5. Diketahui garis s dan titik A tidak pada garis s. lukislah sumbu reflexi geser
Ms RA,90β¦
Penyelesaian:
Diket : garis S dan titik A tidak pada garis S
Ditanya : lukislah sumbu refleksi geser Ms RA,go0
Jawab:
6. Jika A = (0,0), B= (2,1), dan C=(2,5), titik- titik yang diketahui
a. Tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,90β¦ GBC
b. Jika P= (x,y) tentukan Pβ= RA,90β¦ GBC
Penyelesaian:
Diket : A=(0,0), B= (2,1), C =(2,5) titik ang diketahui
Ditanya : a. tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,go ,Gbc
b. jika P= (x,y) tentukan pβ= RA,go GBC (P)
Jawab:
RA,go GBC = Mk Mg Ml
= Mk . I. Ml
= Mk . Ml
0
AD
t
L A0
K
t
Ao
O
AD
s
L
β
β
β β
β
Bβ
Cβ
Co
C
Bo
5
k
2
-1
-5
7. Buktikan teorema berikut:
1) Apabila R suatu reflexi geser, maka R2 suatu translasi
2) Apabila R suatu reflexi geser, maka R tidak memiliki titik- titik invariant
(titik tetap)
Bukti:
1) Dipunyai sebuah reflexi Mg dan sebuah translasi GAB
Maka R = GAB Mg
Sehingga R2 = R R
= GAB Mg GAB Mg
= GAB Mg Mg GAB
= GAB I GAB
= GAB GAB
= GCD
8. Jika t sumbu x sebuah sistem koordinat orthogonal, A= (2,30) , B= (1,6) titik
yang diketahui. Tentukan peta- peta titik tersebut oleh suatu reflexi geser Mt
GAB. Tentukan pula persamaan sumbu reflexi geser tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui : t sumbu X sistem koordinat orthogonal
A(2,3) dan B(1,6)
Ditanya : tentukan peta titik A dan B oleh reflexi geser Mt.GAB
Tentukan persamaan reflekksi geser tersebut
Jawab:
1. Lukis titik A(2,3) dan B(1,6)
2. Misal garis g melalui C dan tegak lurus π΄π΅ β , garis h melalui D dan sejajar
garis g sehingga AB = 2CD
GAB = MhMg
3. Lukis Aβ = MhMg (A) dan Bβ = MhMg (B)
4. Reflexikan Aβ dan Bβ terhadap garis t sehingga diperoleh Aβ dan Bβ