2. Transformasi Refleksi dan Dilatasi
Transcript of 2. Transformasi Refleksi dan Dilatasi
1. Pencerminan (Refleksi)
Pencerminan menggunakan sifat pemantulan pada cermin datar yaitu
(1) Jarak bayangan ke cermin sama dengan jarak benda ke cermin (2) Bayangan dan benda sama tinggi (3) Bayangan tegak
a. Pencerminan Terhadap Garis 𝑥 = 𝑎
Jarak dari titik 𝑃 𝑥,𝑦 ke garis 𝑥 = 𝑎 sebagai cermin adalah 𝑑 = 𝑥 − 𝑎 Sesuai sifat cermin jarak bayangan ke cermin sama dengan jarak benda ke cermin serta bayangan dan benda sama tinggi sehingga Absis Ordinat
𝑃′𝑃 = 2𝑑𝑥 − 𝑥′ = 2 𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑥′ = 2𝑥 − 2𝑎𝑥 − 2𝑥 + 2𝑎 = 𝑥′−𝑥 + 2𝑎 = 𝑥′
𝑦 = 𝑦′
Pencerminan (refleksi) adalah transformasi yang memindahkan setiap titik terhadap sebuah garis yang bertindak sebagai sumbu cermin
Hasil transformasi pencerminan pada garis 𝑥 = 𝑎 secara aljabar matriks dapat ditulis 𝑥′𝑦′ = −𝑥 + 2𝑎
𝑦𝑥′𝑦′ =
−𝑥𝑦 + 2𝑎
0𝑥′𝑦′ = −1𝑥 + 0𝑦
0𝑥 + 1𝑦 + 2𝑎0
𝑥′𝑦′ = −1 0
0 1𝑥𝑦 + 2𝑎
0
Karena sumbu Y sama dengan garis 𝑥 = 0 maka 𝑥′𝑦′ = −1 0
0 1𝑥𝑦 + 2𝑎
0𝑥′𝑦′ = −1 0
0 1𝑥𝑦 + 2 0
0𝑥′𝑦′ = −1 0
0 1𝑥𝑦 + 0
0𝑥′𝑦′ = −1 0
0 1𝑥𝑦
Hasil pencerminan titik 𝑥,𝑦 terhadap garis 𝑥 = 𝑎 adalah
𝑥′𝑦′ = −1 0
0 1𝑥𝑦 + 2𝑎
0
Hasil pencerminan titik 𝑥,𝑦 terhadap sumbu Y adalah
𝑥′𝑦′ = −1 0
0 1𝑥𝑦
b. Pencerminan Terhadap Garis 𝑦 = 𝑎
Jarak dari titik 𝑃 𝑥,𝑦 ke garis 𝑦 = 𝑎 sebagai cermin adalah 𝑑 = 𝑦 − 𝑎 Sesuai sifat cermin jarak bayangan ke cermin sama dengan jarak benda ke cermin serta bayangan dan benda sama tinggi sehingga Ordinat Absis 𝑃′𝑃 = 2𝑑𝑦 − 𝑦′ = 2 𝑦 − 𝑎𝑦 − 𝑦′ = 2𝑦 − 2𝑎𝑦 − 2𝑦 + 2𝑎 = 𝑦′−𝑦 + 2𝑎 = 𝑦′
𝑥 = 𝑥′
Hasil transformasi pencerminan pada garis 𝑦 = 𝑎 secara aljabar matriks dapat ditulis 𝑥′𝑦′ =
𝑥−𝑦 + 2𝑎
𝑥′𝑦′ =
𝑥−𝑦 + 0
2𝑎𝑥′𝑦′ = 1𝑥 + 0𝑦
0𝑥 − 1𝑦 + 02𝑎
𝑥′𝑦′ = 1 0
0 −1𝑥𝑦 + 0
2𝑎
Hasil pencerminan titik 𝑥,𝑦 terhadap garis 𝑦 = 𝑎 adalah
𝑥′𝑦′ = 1 0
0 −1𝑥𝑦 + 0
2𝑎
Karena sumbu X sama dengan garis 𝑦 = 0 maka 𝑥′𝑦′ = 1 0
0 −1𝑥𝑦 + 0
2𝑎𝑥′𝑦′ = 1 0
0 −1𝑥𝑦 + 0
2 0𝑥′𝑦′ = 1 0
0 −1𝑥𝑦 + 0
0𝑥′𝑦′ = 1 0
0 −1𝑥𝑦
Hasil pencerminan titik 𝑥,𝑦 terhadap sumbu X adalah
𝑥′𝑦′ = 1 0
0 −1𝑥𝑦
c. Pencerminan Terhadap Garis 𝑦 = 𝑥
Perhatikan titik 𝑄 𝑥!,𝑦 terletak pada garis 𝑦 = 𝑥 maka 𝑦 = 𝑥! = 𝑅𝑄 = 𝑆𝑄 𝑅𝑃 = 𝑅𝑄 + 𝑄𝑃𝑥 = 𝑦 + 𝑄𝑃𝑥 − 𝑦 = 𝑄𝑃
Lihat ∆𝑃𝑄𝑃′ adalah segitiga siku siku sama kaki maka 𝑄𝑃 = 𝑄𝑃! = 𝑥 − 𝑦 Lihat garis 𝑆𝑃′ 𝑆𝑃′ = 𝑆𝑄 + 𝑄𝑃′𝑦′ = 𝑦 + 𝑥 − 𝑦𝑦′ = 𝑦 + 𝑥 − 𝑦𝑦′ = 𝑥
Secara aljabar matriks dapat ditulis 𝑥′𝑦′ = 𝑦
𝑥𝑥′𝑦′ = 0𝑥 + 1𝑦
1𝑥 + 0𝑦𝑥′𝑦′ = 0 1
1 0𝑥𝑦
Hasil transformasi pencerminan titik 𝑥,𝑦 terhadap garis 𝑦 = 𝑥 adalah
𝑥′𝑦′ = 0 1
1 0𝑥𝑦
d. Pencerminan Terhadap Garis 𝑦 = −𝑥
Perhatikan titik 𝑄 𝑥!,𝑦 terletak di garis 𝑦 = −𝑥 maka 𝑦 = −𝑥! = 𝑅𝑄 = 𝑆𝑄 𝑅𝑃 = 𝑅𝑄 + 𝑄𝑃−𝑥 = −𝑥′+ 𝑄𝑃−𝑥 + 𝑥′ = 𝑄𝑃
Lihat ∆𝑃𝑄𝑃′ adalah segitiga siku siku sama kaki maka 𝑄𝑃 = 𝑄𝑃! = −𝑥 + 𝑥′ Lihat garis 𝑆𝑃′ 𝑆𝑃′ = 𝑆𝑄 + 𝑄𝑃′𝑦′ = 𝑦 + −𝑥 + 𝑥′𝑦′ = −𝑥′+ −𝑥 + 𝑥′𝑦′ = −𝑥! − 𝑥 + 𝑥′𝑦′ = −𝑥
Secara aljabar matriks dapat ditulis −𝑥′𝑦′ = 𝑦
−𝑥𝑥′𝑦′ = −𝑦
−𝑥𝑥′𝑦′ = 0𝑥 − 1𝑦
−1𝑥 + 0𝑦𝑥′𝑦′ = 0 −1
−1 0𝑥𝑦
Hasil transformasi pencerminan titik 𝑥,𝑦 terhadap garis 𝑦 = −𝑥 adalah
𝑥′𝑦′ = 0 −1
−1 0𝑥𝑦
e. Pencerminan terhadap titik 𝑂 0,0
Pernecerminan terhadap titik 𝑂 0,0 sama dengan perputaran terhadap titik 𝑂 0,0 dengan sudut putar 𝛼 = 180! maka 𝑥′𝑦′ = cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼𝑥𝑦
𝑥′𝑦′ = cos 180! − sin 180!
sin 180! cos 180!𝑥𝑦
𝑥′𝑦′ = −1 0
0 −1𝑥𝑦
Hasil transformasi pencerminan titik 𝑥,𝑦 terhadap titik 𝑂 0,0 adalah
𝑥′𝑦′ = −1 0
0 −1𝑥𝑦
2. Perkalian (Dilatasi)
Perkalian (dilatasi) ditentukan oleh
(1) Pusat perkalian (dilatasi) (2) Faktor perkalian atau skala
Absis Ordinat 𝑥! − 𝑎 = 𝑘 𝑥 − 𝑎 𝑦! − 𝑏 = 𝑘 𝑦 − 𝑏 Secara aljabar matriks dapat ditulis 𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = 𝑘 𝑥 − 𝑎
𝑘 𝑦 − 𝑏𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = 𝑘 𝑥 − 𝑎 + 0 𝑦 − 𝑏
0 𝑥 − 𝑎 + 𝑘 𝑦 − 𝑏𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = 𝑘 0
0 𝑘𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏
Perkalian (dilatasi) adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun geometri tanpa mengubah bentuknya
Hasil transformasi perkalian titik 𝑥,𝑦 terhadap pusat 𝑃 𝑎, 𝑏 dan faktor 𝑘 adalah
𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = 𝑘 0
0 𝑘𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏