PENCERMINAN GESER (REFLEXI GESER)

12.1 Ketentuan dan beberapa siifat reflexi geser

Telah diketahui hingga sekarangfakta-fakta berikut:

1. Hasilkali (produk) dua translasi adalah sebuah translasi.

2. Hasilkali dua reflexi pada dua garis adalah sebuah rotasi atau sebuah

translasi.

3. Hasilklali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi.

Teorema 12.1

Hasilkali sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudutnya

sama dengan sudut rotasi yang diketahui.

Bukti:

Diketahui: rotasi RA ,φ dan translasi GBC

ruas garis BC

Adb : kasus 1 : GBC RA ,φ = RE, φ

kasus 2 : RA ,φ GBC = RE, φ

Bukti:

Kasus 1

Membuat ruas garis BC

Membuat dua garis sejajar s dan t yang berpotongan tegak lurus dengan BC

Tarik garis PQ yang sejajar BC memotong garis s di P dan memotong garis t di

Q, sehingga PQ = 12

BC

Menarik garis r memotong garis s dititik A sehingga besarnya sudut r ke s

adalah 12

φ

Perpanjang garis r sehingga memotong garis t dititik E

Jelas diperoleh sudut dari r ke t adalah 12

φ

t

Q

A

E

P

B C

r s

Menurut teorema 10.3 GBC = M t M s dan menurut teorema 11.2 RA ,φ = M s M r

Sehinga diperoleh: GBC RA ,φ = M t M s M s M r

= M t . I . M r

= M t M r

= RE, φ

Kasus 2

Membuat ruas garis BC

Membuat dua garis sejajar t dan s yang berpotongan tegak lurus dengan BC

Tarik garis PQyang sejajar BCmemotong garis s di P dan memotong garis t di

Q, sehingga PQ = 12

BC

Menarik garis r memotong garis t dititik E sehingga besarnya sudut t ke r

adalah 12

φ

Perpanjang garis r sehingga memotong garis s dititik A

12

φ

12

φ

Jelas diperoleh sudut dari s ke r adalah 12

φ

Menurut teorema 10.3 GBC = M s M t dan menurut teorema 11.2 RA ,φ = M r M s

Sehinga diperoleh: RA ,φ GBC= M r M s M s M t

= M r . I . M t

= M r M t

= RE, φ

Jadi, terbukti bahwa GBC RA ,φ = RA ,φ GBC = RE, φ

Akibat : himpunan translasi dan rotasi membentuk grup dengan operasi hasilkali

Bukti:

Misal dipunyai rotasi RA ,φ dan reflexi M s

1) Apabila A ∈ S, adb RA ,φ = M t M s

Dipunyai s sebuah garis

r

Q

s

A

B

t

C

P

12

φ

12

φ

E

Tarik garis t melalui A sehingga sudut aantara s ke t adalah 12

φ

Jadi, RA ,φ M s = (M t M s) M s

= M t (M s M s)

= M t . I

= M t

2) Andaikan A s∉

Bukti:

Misal dipunyai s sebuah garis

A s∉

Tarik garis t tegak lurus s melalui A

Tarik garis r melalui A sehingga sudut antara r ke t adalah 12

φ, maka

RA ,φ M s = (M r M t) M s

= M r (M t M s)

= M r SB (Teorema 7.1) .......................1)

Dengan {B} = t ∩s

s

12

φ

A

t

s

t

vw

r

12

φ

B

A

C

Andaikan v sebuah garis melalui B dan tegak lurus r

Andaikan w sebuah garis melalui B yang sejajar r

Maka SB = M w M v (Teorema 7.1), sehingga

RA ,φ M s= M r SB .......................1)

= M r (M w M v)

= (M ¿¿ r M w)¿ M v

Karena w sejajar r maka M r M w merupakan sebuah translasi (Menurut

teorema 10.1), sehingga diperoleh:

RA ,φ M s = GBC M v

Dengan {C} = v ∩ r

Jadi, transformasi tersebut adalah hasilkali sebuah reflexi pada v dan sebuah

translasi sejajar v.

Hasilkali demikian dinamakan reflexi geser

Definisi:

Sebuah transformasi R dinamakan reflexi geser apabila ada garis g dan sebuah

ruas garis berarah AB yang sejajar g sehingga R = GAB M g.

Garis g ini dinamakan sumbu reflexi geser

Oleh karena setiap translasi dapat diuraikan menjadi hasilkali dua reflexi garis,

maka suatu reflexi geser dapat ditulis sebagai hasilkali tiga reflexi garis.

Di atas telah diperlihatkan bahwa RA ,φ M s adalah suatu reflexi geser; dengan cara

yang serupa dapat dibuktikan bahwa M s RA, φ adalah suatu reflexi geser.

Jadi diperoleh teorema berikut:

Teorema 12.2

Setiap hasil sebuah reflexi pada sebuah garis dengan sebuah rotasi mengelilingi

suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tersebut adalah suatu reflexi geser.

Bukti :

Diketahui reflexi M s dan rotasi RA ,φ andaikan t sebarang garis melalui s dan r

garis melalui A sehingga besarnya sudut adalah 12

φ

Maka RA ,φ = M s M r

Sehingga M s RA, φ= M s M t M r

Akibat 1:

Apabila ada ruas garis berarah AB tidak tegak lurus pada garis s, maka hasil kali

suatu geseran GAB dengan reflexi M s adalah sebuah reflexi geser.

Bukti :

Tentukan titik C sedemikian sehingga AC tegak lurus s dan CB sejajar s

Maka AB = AC + CB

GAB M s= GCB.GAC M s (Teorema 10.7)

= GCB (M r M s) M sdengan r // s, dan jarak r,s) = 12

AC(teorema 10.3)

= GCB M r (M s M s)

= GCB M r I

= GCB M r

= R ( suatu pencerminan geser kerena r // CB)

Akibat 2:

Apabila ada garis r, s dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada

pasangan yang sejajar, maka setiap hasilkali reflexi-reflexi M r, M s dan M t adalah

suatu reflexi geser.

Bukti:

A

C Br

s

Dipunyai garis r, s, dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada pasangan

yang //

Misalakan perpotongan garis t dan s adalah A, perpotongan garis r dan s adalah B,

dan perpotongan garis t dan r adalah C

Reflexikan A terhadap garis r, s, dan t yaitu MrMtMs dan diperoleh A’

Reflexikan C terhadap garis r, s, dan t yaitu MsMtMr dan diperoleh C’

Hubungkan AA’ dan CC’

Bagi garis AA’ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya M

Bagi garis CC’ menjadi dua bagian yang sama panjang dan titik tengahnya N

Hubungkan titik tengah garis M dan N sehingga diperoleh sumbu reflexi geser U

Reflexikan A terhadap U sehingga diperoleh A”

Reflexikan C terhadap U sehingga diperoleh C”

Hubungkan AA” dan CC” dan diperoleh panjang AA” = CC”

Jadi, hasilkali reflexi-reflexi M r, M s dan M t adalah suatu reflexi geser.

C”

A”

M

C

A’

U

C’

N

B

C

A

t

s

r

rt

P”

Tugas

1. Diketahui titik –titik A, B, P, Q setiap tiga titik tidak ada yang kolinear. apabila s = AB , lukislaha. P’ = GAB Ms (P)b. P”= Ms GAB(P)c. R sehingga GAB Ms (R) = QPenyelesaian:1. (a) P’ = GABMS(P)

●

Po = MS(P)P1 = Mt (Po) = MtMs(P)P’ = Mr (P1) = MrMtMs (P) = GABMS(P)

(b) P” = MSGAB(P)

rt

P1P’

P0

AB

s

P

s

Q

rt

Q

PoP’

B

A

●

Po = Mt (P)P’ = Mr (Po) = MrMt(P)P” = Ms(P’) = Ms MrMt(P) = MSGAB(P)

(c) R sehingga GABMS(R) = QMrMtMs (R) =Q

R = MsMtMr (Q)

● ●

●●

Qo = Mr (Q)Q’ = Mt (Qo) =Mt Mr (Q)R = Ms(Q’) = Ms Mt Mr (Q)

2. Diketahui tiga garis r, s, t tidak melalui satu titik dan tidak ada pasangan yang sejajar jika r ∩ s= { C}, r ∩ t ={B}, lukiskan:a. A’= Mt Ms Mr (A)b. Sumbu reflexi geser R = Mt Ms MrPenyelesaian:(a) A’ = MtMsMr(A)

P

A

Qo

QQ’

P

B

R

s

Ao

r

A

(b) Sumbu refleksi geser R = MtMsMr

3. Diketahui ΔABC = ΔXYZ, lukislah sumbu s dan ruas garis berarah AB sehingga reflexi geser GAB Ms memetakan ΔABC pada ΔXYZ.Penyelesaian:Diketahui : ABC XYZ

s

t

C

A’

B

A’

A

s

t

C

B

r

C’

Ao

A

Bo

B’

R

B”

Ruas garis berarah A B

Ditanya : Lukis sumbu S sehingga R = GAB MS Memetakan ABC pada XYZ!

Jawab :

Ket : AB = ½ MN 2 MNR = GAB MS

= Mp Mq Ms

4. Diketahui garis s, titik A dan ΔDEF. Garis s tidak memotong ΔDEF dan A ada di dalam ΔDEF.a. Lukislah ΔD’E’F’ = Ms SA(ΔDEF)b. Apabila Ms SA suatu reflexi geser lukislah sumbu reflexi geser tersebutPenyelesaian:Diketahui : - garis S

- titik A

- ADEF

Ditanya :a. Lukis D' E' F' = MS SA ( DEF)

b. Apabila MS SA suatu refleksi geser lukislah sumbu refleksi geser tersebut.

AB

X

C

Y

Z

s

N

qp

M

C’

FDoEo

5. Diketahui garis s dan titik A tidak pada garis s. lukislah sumbu reflexi geser Ms RA,90◦ Penyelesaian:Diket : garis S dan titik A tidak pada garis S

Ditanya : lukislah sumbu refleksi geser Ms RA,go0

Jawab:

6. Jika A = (0,0), B= (2,1), dan C=(2,5), titik- titik yang diketahui a. Tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,90◦ GBC b. Jika P= (x,y) tentukan P’= RA,90◦ GBC

Penyelesaian:Diket : A=(0,0), B= (2,1), C =(2,5) titik ang diketahui

Ditanya : a. tentukanlah koordinat pusat rotasi dari transformasi RA,go ,Gbc

b. jika P= (x,y) tentukan p’= RA,go GBC (P)

Jawab: RA,go GBC = Mk Mg Ml

= Mk . I. Ml = Mk . Ml

ED

Fo

t

s

F’

E’ D’

A0

L

t

AD

0

K

t

Ao

O

AD

s

L

●

C’

k

7. Buktikan teorema berikut:1) Apabila R suatu reflexi geser, maka R2 suatu translasi2) Apabila R suatu reflexi geser, maka R tidak memiliki titik- titik invarianBukti:1) Dipunyai sebuah reflexi Mg dan sebuah translasi GAB

Maka R = GAB Mg

Sehingga R2 = R R = GAB Mg GAB Mg

= GAB Mg Mg GAB

= GAB I GAB

= GAB GAB

= GCD

8. Jika t sumbu x sebuah sistem koordinat orthogonal, A= (2,30) , B= (1,6) titik yang diketahui. Tentukan peta- peta titik tersebut oleh suatu reflexi geser Mt GAB. Tentukan pula persamaan sumbu reflexi geser tersebut.Penyelesaian:Diketahui : t sumbu X sistem koordinat orthogonal

A(2,3) dan B(1,6)Ditanya : tentukan peta titik A dan B oleh reflexi geser MtGAB

Tentukan persamaan reflekksi geser tersebutJawab:1. Lukis titik A(2,3) dan B(1,6)2. Misal garis g melalui C dan tegak lurus AB, garis h melalui D dan sejajar

garis g sehingga AB = 2CDGAB = MhMg

3. Lukis A’ = MhMg (A) dan B’ = MhMg (B)4. Reflexikan A’ dan B’ terhadap garis t sehingga diperoleh A” dan B”

●

● ●

●

B’

Co

C

Bo

5

2-1

-5