PENGGUNAAN MODEL MATEMATIK DAN APLIKASI IDEA UTAMA MATEMATIK

BERKAITAN KALKULAS DALAM BIDANG AGRIKULTUR

Kalkulus merupakan pencapaian yang paling besar dalam bidang Matematik sejak kurun

ke-17 lagi. Isaac Newton dan Gottfrien Wilhelm Liebniz telah mencipta Kalkulus secara

berasingan dan memberi sumbangan terbesar dalam bidang ini. Terdapat dua cabang utama

dalam kalkulus iaitu pembezaan dan pengamiran yang saling berhubung melalui teorem asas

kalkulus. Berdasarkan Teorem Asas Kalkulus Newton, kalkulus pembezaan dan pengamiran

merupakan operasi songsang iaitu jika sesuatu fungsi dikamirkan kemudian dibezakan atau

sebaliknya maka kita akan mendapat fungsi yang asal.

Sewaktu awal penciptaan Kalkulus, ramai manusia yang sering bertanya bilakah

Kalkulus akan digunakan dalam kehidupan seharian mereka?. Namun, pada ketika ini kita

boleh lihat bahawa Kalkulus mempunyai aplikasi yang sangat luas dalam bidang perubatan,

pertanian, teknologi dan ekonomi serta dapat menyelesaikan masalah-masalah yang tidak

dapat diselesaikan dengan algebra asas. Pelbagai kajian dan penemuan baru dapat dicipta

apabila ilmu sains digabungkan dengan ilmu kalkulus sekaligus memantapkan dan

mengukuhkan lagi penemuan tersebut. Contohnya, kalkulus pembezaan digunakan dalam

kajian mengenai pertumbuhan terhad populasi. Lebih khusus lagi, untuk melihat bahawa kita

boleh membangunkan model grafik daripada andaian tentang kadar perubahan. Pertumbuhan

natural dalam populasi biologikal bermula dengan andaian kadar pertumbuhan adalah

berkadaran terus dengan populasi dan tiada sekatan ke atas pertumbuhan. Anggapan ini

membawa kepada formula model yang eksponen.

Melalui penulisan ini, kita akan lihat dan terokai apakah aplikasi dan kepentingan

Kalkulus dalam kehidupan seharian manusia khususnya dalam bidang agrikultur. Agrikultur

atau disebut juga sebagai pertanian merupakan salah satu cabang ilmu biologi. Penggunaan

matematik dalam pertanian sering memerlukan fungsi matematik untuk menerangkan dan

meramalkan fenomena yang sentiasa berubah di bawah kadar yang berbeza, dan ini

memerlukan penggunaan kalkulus. Memandangkan fenomena yang berlaku dalam pertanian

sentiasa berubah-ubah di bawah kadar yang berbeza, maka model dynamic of change

(perubahan dinamik) telah diaplikasikan bagi mengukur kadar pertumbuhan tanaman. Kajian

pertumbuhan tanaman mungkin bermula dari zaman purba. Pada zaman pertengahan,

Leonardo da Vinci memerhatikan jangka masa pertumbuhan bermusim dan beberapa ciri-ciri

1

bentuk tumbuhan. Berikut merupakan peta minda yang menunjukkan model kadar perubahan

diaplikasikan dalam bidang agrikultur :

Berdasarkan kepada peta biuh di atas, kita akan lihat dengan terperinci bagaimanakah

model kadar perubahan dapat digunakan dalam bidang agrikultur khususnya bagi mengukur

kadar pertumbuhan tanaman dan kadar perubahan berat tumbuhan. Bagi mengukur kadar

pertumbuhan tanaman, andaikan bahawa pertumbuhan tanaman semakin meningkat. Merujuk

kepada jadual 1, kadar pertumbuhan tanaman adalah malar pada 10g hari−1 dari hari ke-10

2

hingga hari ke-20. Ini bermaksud bahawa tanaman tersebut akan bertambah beratnya

sebanyak 10g setiap hari. Oleh itu, selepas 10 hari tanaman tersebut akan bertambah berat

sebanyak 100g (10g hari−1 X 10 hari). Hal ini mewujudkan hubungan antara kumulatif

perubahan berat (∆W ¿ dengan kadar pertumbuhan (w r ¿ :∆W=w r

dimana ∆ t adalah selang masa. Berikut merupakan Jadual 1

Jadual 1. Graf Kadar Pertumbuhan dan Berat Tanaman bagi hari ke-10 hingga ke-20

Berdasarkan jadual di atas, kita boleh membina sebuah graf (Rajah 1) kadar

pertumbuhan (malar) terhadap masa dan kita akan dapat satu garis mendatar pada 10g hari−1.

Rujuk Rajah 1 pada helaian seterusnya.

3

Hari Kadar Pertumbuhan (g

hari-1)

Berat Tanaman (g)

10 10 300

11 10 310

12 10 320

13 10 330

14 10 340

15 10 350

16 10 360

17 10 370

18 10 380

19 10 390

20 10 400

0

5

10

15

20

10 12 14 16 18 20t , hari

Luas = 10 x 10 = 100

w r Kadar pertumbuhan (g

0

100

200

300

400

500

10 12 14 16 18 20t , hari

W , Berat Tanaman (g)

Rajah 1 . Graf Kadar Pertumbuhan dan Berat Tanaman terhadap Masa

Luas kawasan di bawah garis merupakan perubahan berat terkumpul (kumulatif). Hal ini

bermaksud perubahan berat kumulatif adalah perubahan berat darab dengan selang masa.

Luas kawasan di bawah garis berbentuk segi empat tepat dengan tinggi 10g hari−1 dan lebar

(20-10) hari (selang masa). Kesimpulannya, luas kawasan di bawah garis adalah :

Oleh itu, perubahan berat kumulatif adalah 100g bermula dari hari ke-10 hingga hari ke-20

sama dengan pengiraan pada Jadual 1. Daripada graf B, kita dapat lihat bahawa berat

tanaman dengan masa perlu bertambah secara linear kerana kadar pertumbuhan tanaman

adalah malar. Kita akan mendapati bahawa kadar perubahan berat atau pertumbuhan adalah

10g hari−1 daripada kecerunan pada garis lurus ini. Bagi mecari kecerunan itu, kita perlu

menggunakan formula berikut :

m=y2− y1

x2−x1

dimana (x1 , x2) dan (y1 , y2 ¿ adalah dua pasang titik pada garis lurus. Menggunakan Jadual 1,

ambil dua pasang titik sebagai (15,350) dan (20,400) untuk mencari kecerunan pada garis

tersebut.

4

Luas = 10g hari−1× (20−10hari )=100 g

(a) (b)

m= 400−350g20−15hari

=505

=10 ghari−1

Kesimpulannya, kadar perubahan berat yang segera adalah kecerunan garis bagi graf

berat tanaman terhadap masa. Hal ini bermaksud, kecerunan garis atau lengkung dapat

memberikan kadar perubahan dengan segera manakala luas bawah lengkungan kadar

perubahan pula dapat memberikan perubahan secara kumulatif.

Seterusnya adalah perbincangan mengenai variable rate of change atau kadar

perubahan bukan berterusan. Pengaplikasian kalkulus akan menjadi lebih penting jika kadar

perubahan bukan berterusan. Andaikan mengguna tanaman yang sama tetapi ia berkembang

bukan pada kadar berubah-ubah. Kita dapat lihat bahawa berat tanaman adalah berkaitan

dengan masa melalui fungsi kuadratik berikut :

Di mana f (t) adalah berat tanaman (g) pada masa t (hari).

Sebagai contoh :

Pada hari 10:

Pada hari 11:

…

Pada hari 20:

Hasil pengiraan ini direkod di dalam Jadual 2 pada helaian berikutnya :

5

Hari Berat tanaman (g)

10 300

11 322

12 346

13 372

14 400

15 430

16 462

17 496

18 532

19 570

20 610

Jadual 2. Ukuran Berat Tanaman dari Hari ke-10 hingga ke-20.

Berdasarkan jadual di atas, kita dapat membina sebuah graf bagi berat tanaman terhadap masa seperti graf di bawah :

Rajah 2. Graf Berat Tanaman terhadap Hari.

6

0

150

300

450

600

750

10 12 14 16 18 20t , day

W , plant weight (g)W, Berat Tanaman (g)

t, hari

Berdasarkan graf di atas, kita dapat lihat berat tanaman meningkat seiring masa dengan

cara non- linear. Hal ini menunjukkan bahawa kadar pertumbuhan tanaman adalah berubah-

ubah dan ia adalah kontra dengan pengiraan sebelum ini. Perkara ini terjadi kerana lengkung

pada graf di atas adalah non-linear. Mencari kecerunan lengkung pada titik (a, b), sama maksud

dengan mencari kecerunan garis tangen di (a, b). Namun, bagaimana cara untuk mencari

kecerunan garis tangen?

Idea asas untuk penentuan kecerunan garis tangen pada sesuatu titik adalah

menganggarkan garis tangen dengan teliti pada garis-garis secant . Satu garis secant di P ialah

garis lurus melalui P dan titik Q berdekatan lengkung ini (Rajah 3). Katakan bahawa titik P ialah

(x, f (x )) , dan titik Q adalah h unit mendatar dari kedudukan P supaya titik Q terletak di ( x + h, f

(x + h )) . Oleh yang demikian, kecerunan bagi garis secant melalui titik P dan Q ialah

Rajah 3. Garis tangen kepada lengkung pada titik P dianggarkan hampir dengan garis

secant melalui titik P dan Q.

Untuk membolehkan kecerunan garis secant menghampiri kecerunan garis tangen , kita

perlu pindahkan titik Q hampir dengan titik P, dengan itu h menjadi semakin kecil (tetapi h tidak

7

Kecerunan garis secant

pernah sifar) . Dalam erti kata lain, dengan mengambil h sangat kecil , kecerunan garis secant

boleh diambil sebagai kecerunan garis tangen. Secara matematik , kita menulis ini sebagai

Di mana h→0 bermaksud h menghampiri 0 namun tidak pernah mencapai sifar dan f '(a)

adalah fungsi terbitan f(x) pada x=a. Dalam erti kata lain, f '(a) adalah kecerunan garis tangen

pada x=a. Fungsi derivative kadangkala ditulis sebagai dy/dx, df(x) atau D(x). Jika kita ingin

mengetahui kadar pertumbuhan tanaman pada hari ke-15, kita perlu mencari kecerunan garis

tangen pada t=15. Kita perlu membezakan fungsi berat tanaman seperti berikut: f (t) = t2 + t +

190 pada t = 15

Di mana kita lihat sebagai h→0 , f ' (15) menghampiri 31. Kesimpulannya, kita boleh mengambil

31g hari−1 sebagai kadar pertumbuhan tanaman pada hari ke-15. Jika kita ingin mengetahui

kadar pertumbuhan tanaman bagi hari ke-20 pula, gunakan pengiraan yang sama. Contoh :

Berdasarkan pengiraan di atas, kita tahu bahawa kadar pertumbuhan tanaman pada hari ke-20

adalah 41 ghari−1. Kesimpulannya, kadar pertumbuhan tanaman pada bila-bila masa t adalah :

8

Oleh itu, terbitan bagi fungsi kadar berat tanaman ; f (t) = t2 + t + 190 akan memberikan

fungsi kadar pertumbuhan sebagai f ' (t )=2 t+1. Jadual 3 di bawah menunjukkan ukuran harian

bagi berat tanaman serta kadar pertumbuhan harian dikira ( 2t + 1 ) dari hari ke-10 hingga hari

ke- 20 .

Hari Kadar Pertumbuhan (g hari-1)

Berat Tanaman (g)

10 21 300

11 23 322

12 25 346

13 27 372

14 29 400

15 31 430

16 33 462

17 35 496

18 37 532

19 39 570

20 41 610

Jadual 3. Ukuran Berat Tanaman dan Kadar Pertumbuhan

Berdasarkan jadual di atas, kita dapat lihat bahawa kadar pertumbuhan meningkat

secara linear seiring masa, di mana garis ini digambarkan dengan fungsi 2t+1. Luas bagi

kawasan bawah lengkung dari hari ke-10 hingga hari ke-20 adalah gabungan luas segi tiga

(kawasan A) dan luas segi empat tepat (kawasan B) seperti dalam Rajah 4 di bawah :

9

0

10

20

30

40

50

10 12 14 16 18 20t , day

Area A

Area B

w r = 2t + 1

w r , growth rate (g day-1)

Rajah 4. Graf Kadar pertumbuhan berubah-ubah terhadap masa.

Bagi mencari luas kawasan bawah lengkung seperti pada Rajah 4, kita perlu gunakan

formula seperti berikut :

Hal ini menunjukkan bahawa ukuran berat tanaman bertambah sebanyak 310 g dari hari ke-10

hingga hari ke-20.

Mencari luas kawasan bawah lengkung adalah sama dengan melakukan pengkamiran

dan pengkamiran pula merupakan songsangan bagi pembezaan. Apabila kita mengambil

kecerunan bagi fungsi f, kita mentafsirkannya sebagai kadar perubahan. Namun, jika kita ingin

menentukan perubahan kumulatif iaitu, berapa banyak perubahan telah berlaku, kita perlu

mengambil anti - terbitan daripada kadar perubahan fungsi f’ ; iaitu, kita mengamirkan kadar

fungsi f '. secara ringkasnya, dengan mengamirkan fungsi yang menerangkan kadar perubahan

lengkung, ia memberikan kita perubahan kumulatif ;

10

Kadar pertumbuhan (g hari−1¿

t, hari

A

B

Luas = Luas Segi tiga (A) + Luas Segi empat tepat (B)

[Perubahankumulatif dari (a ,b ) ]=∫a

b

[kadar perubahansegera padau ]du¿∫a

b

f ' (u )du

Penulisan sebelum ini menunjukkan bahawa kadar perubahan segera adalah tetap pada 10 g

hari−1. Maka, apabila dikamirkan ;

∫10

20

10dt=[10t ]1020=420−110=310 g

Ini memberikan kita perubahan kumulatif berubah pada 310g dalam 10 hari yang sama seperti

dalam Jadual 3.

Hasil daripada penulisan ini, jelaslah bahawa kalkulus telah diaplikasikan dalam bidang

agrikultur atau pertanian bagi mengukur kadar pertumbuhan tanaman mengikut masa.

Walaupun pasti ramai yang tidak menjangkakan bahawa kalkulus dapat diaplikasikan dalam

bidang agrikultur ini, namun penulisan ini telah membuktikan kedua-dua cabang utama kalkulus

iaitu pembezaan dan pengamiran sangat penting bagi petani atau pengkaji mengukur kadar

pertumbuhan tanaman dari segi berat tanaman (g). Model dan idea utama berkaitan kalkulus

sungguh berguna di dalam bidang agrikultur kerana ia memudahkan para petani atau peladang

melihat tahap tumbesaran dan perkembangan tanaman mereka dengan lebih terperinci.

Pengaplikasian pengiraan akan memberikan maklumat mengenai tahap pertumbuhan tanaman

dengan lebih tepat (contohnya; melalui graf) berbanding dengan membuat pemantauan secara

mata kasar. Walaupun kalkulus merupakan salah satu cabang matematik yang kompleks,

namun ia berjaya memberikan kesan yang baik dalam kehidupan manusia tanpa mengira apa

jua bidang yang.

SENARAI RUJUKAN

11

Bessonov, N. & Volpret, V. (n.d). Mathematics and Mathematical Modelling : Dynamical Models

of Plant Growth. Lyon : Claude Bernard University Lyon.

Boyer, C. B. (2012). The History of Calculus and Its Conceptual Development. New York :Courier Corporation.

Fernande, O. E. (2014). Everyday Calculus : Discovering the Hidden Math All Around Us. NewJersey : Princeton University Press.

Hunt, R. (2003). Basic Growth Analysis : Plant Growth Analysis for Beginners. London :Academic Division of Unwin Hyman Ltd.

Paine, C. E. T., Marthews, T. R., Vogt, D. R., Purves, D., Rees, M., Hector, A., & Turnbull, L. A.(2012). How to Fit Non-Linear Plant Growth Models and Calculate Growth Rates : anUpdate for Ecologists. Methods in Ecology and Evolution, 3(2), 245-256. doi :10.1111/j.2041-210X.2011.00155.x

12