PPT INDUKSI MATEMATIK

download PPT INDUKSI MATEMATIK

of 16

  • date post

    15-Jan-2017
  • Category

    Education

  • view

    1.485
  • download

    63

Embed Size (px)

Transcript of PPT INDUKSI MATEMATIK

PowerPoint Presentation

INDUKSI MATEMATIK

EXIT

KELOMPOK IERMANSYAHRIDHA HUTAMITRI ASTARI

OLEH :TEORIBILNAGAN

BAB I PENDAHULUANA. LATAR BELAKANGB. IDENTIFIKASI MASALAHC. PEMBATASAN MASALAHD. RUMUSAN MASALAHE. TUJUAN MASALAHF. MANFAAT MASALAH

BAB II PEMBAHASANINDUKSI MATEMATIK

SEJARAHNYA:Sebuah bukti implisit dengan induksi matematika untuk urutan aritmatika diperkenalkan dalam al-Fakhri yang ditulis oleh al-Karaji sekitar 1000 Masehi. Selain al-Fakhri terdapat juga ilmuwan Yunani kuno yang membuktikan induksi matematika untuk menyatakan bahwa sifat bilangan prima yang tidak terbatas.

PENGERTIAN:Induksi matematika merupakan salah satu metode/cara pembuktian yang absah dalam matematik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah. Barulah pada tahun 1665 ilmuwan Prancis yang bernama Blaise Pascal dapat membuktikannya secara eksplisit. Bukti induksi secara eksplisit dia tuliskan dalam bukunya yang berjudul arithmtique segitiga du Trait. Pada akhir abad ke-19 ilmu induksi matematika diperbarui kembali oleh dua orang matematikawan yang bernama Richard Dedekind dan Guiseppe Peano.

Tahapan Pembuktian dengan cara ini terdiri dari tiga langkah, yaitu:1. Langkah BasisMenunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 12. Langkah InduksiMenunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k + 1 3. Kesimpulan

Definisi :Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang bisa benar atau salah. Misalkan,P(1), benarJika untuk n = k yaitu P(k) benar, maka untuk n = k + 1 harus kita buktikan P(k+1) benarSehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n

INDUKSI MATEMATIK

1. Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2p (1)(2n 1) = n2(2.1 1) = 12 1=1(benar)Jadi, p (1) benar.

2. Langkah induksi: mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu:n = k 1 + 3 + 5 + + (2k 1) = k2Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 n = k +1 1 + 3 + 5 + + (2k 1) + (2n-1) = n2 1 + 3 + 5 + + (2k 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + + (2k 1) + (2k + 2-1) = (k + 1)2 k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 (k + 1)2 = (k + 1)2 (Terbukti)Jadi, p (k+1) benar.

3. Kesimpulan: Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2

Contoh SoalGunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2

PRINSIP INDUKSI MATEMATIK

1. Prinsip Induksi SederhanaMisal p(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n bilangan bulat positif. Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar utnuk semua bilangan bulat positif. Langkah induksi:1. Basis: tunjukan p (1) benar.2. Induksi: Misal p (n) benar untuk semua bilangan positif n 1.3. Kesimpulan: Buktikan bahwa p (n+1) benar. 2. Prinsip Induksi yang Dirapatkan (Generalized)Prinsip induksi sederhana digunakan untuk membuktikkan pernyataan p (n) dimana n dimulai dari 1. Prinsip induksi yang dirapatkan digunakan untuk membuktikkan pernyataan p (n) dimana n tidak harus dimulai dari 1, tetapi berlaku untuk untuk semua bilangan bulat positif (non negatif).Misal p (n) adalah pernyataan. Kita akan buktikan p (n) benar untuk semua bilangan bulat n n0. Langkah induksi:1. Basis : p (n0) benar.2. Induksi : Andaikan p(n) benar untuk n n0.3. Kesimpulan : Buktikan bahwa p(n+1) benar.

3. Prinsip Induksi KuatMisal p(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Kita akan buktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilanagn n . Langkah induksi:1. Basis : p(n0) benar.2. Induksi : Andaikan untuk semua bilanagn bulat n , p(n0), p(n0+1), p(n) benar.3. Kesimpulan : Buktikan bahwa p(n+1) benar.

6

Contoh Soal1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + + n = , untuk setiap bilangan asli n.Penyelesaian:Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 2 + 3 + + n = p = 1

1 =

1 =

1 = 1 (benar) Jadi, p (1) benar.

2. Langkah Induksi: Diasumsikan bahwa p (k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:

7

3. Kesimpulan: Jadi, 1 + 2 + 3 + + k + (k + 1)= (k+2), berarti p (k+1) benar. Sehingga p (n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu:

Contoh Soal:2. Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat non negatif.

Penyelesaian:1. Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah Untuk p (0)

1 = 2 11 = 1 (benar) Jadi, p (0) benar.

2. Langkah Induksi: andaikan n = 0, adalah benar.

Akan dibuktikan untuk p (n+1):

3. Kesimpulan: , untuk semua bilangan bulat positif.

3. Contoh Soal:Tunjukkan bahwa bilangan bulat positif adalah bilangan prima jika dan hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.1. Langkah Basis: Misalnya, untuk n = 2 (dapat dinyatakan sebagai perkalian satu bilangan prima) benar.

2. Langkah Induksi: Misalkan 2, 3. 4. ..n dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.Buktikan bahwa (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.Jika (n+1) adalah bilangan prima, maka (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu bilangan prima yaitu (n+1) = 1.(n+1)Jika (n+1) bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan positif a sedemikian sehingga 2 < a < (n+1) yang membagi habis (n+1). Dengan kata lain:

(n+1) = ab (Terbukti)

3. Kesimpulan: Karena 2 < a , b < n maka a dan b dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima jadi, ab juga dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima, sehingga (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.

Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi (Sigma) Jumlahan untuk bilangan-bilangan yang teratur dapat ditulis lebih singkat dengan menggunakan notasi (sigma). Berikut ini konsep, prinsip, dan contoh-contoh penggunaan notasi -notasi .

1.

2.

, dengan c = konstanta

4.

5.

Keterangan: dengan n = suku ke-.

Contoh Soal:

1.

2.

3

4

5 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n.

v

Penyelesaian:1. Langkah Basis: Misalkan p (n) menyatakan

2. Langkah Induksi: Diasumsikan p (t) benar untuk suatu bilangan asli t, yaitu:

Tunjukkan bahwa p (t+1) benar, yaitu:

13

3. Kesimpulan: Jadi p (t+1) benar sehingga p (n) benar untuk setiap bilangan.

3

BAB III PENUTUPA. KESIMPULANB. SARAN

/;,,,,, lj

TERIMA KASIH

HOMETEORIBILNAGAN