PENGENALANMatematik mempunyai banyak peranannya dalam kehidupan seharian. Tanpa disedari, matematik telah banyak membantu manusia memudahkan urusan-urusan seharian. Malah, matematik hampir diaplikasikan oleh setiap insan dalam pelbagai aspek kehidupannya seperti binaan yang melibatkan geometri; urusan jual beli yang melibatkan wang; serta masa dan waktu. Menginjak ke satu tahap yang lebih tinggi, permodelan matematik mula diaplikasikan ke dalam bidang yang lebih kompleks seperti bidang biologi, teknologi moden dan ekologi. Hal ini jelas menunjukkan matematik bukan sahaja dipelajari dan diamalkan oleh ahli matematik sebaliknya mula diterima dan diaplikasikan dalam semua bidang. Epidemiologi merupakan salah satu cabang dalam bidang biologi yang melibatkan penggunaan pemodelan matematik. Melalui konsep matematik, nombor pembiakan asas oleh Ronald Ross memberi gambaran bahawa malaria boleh dikawal jika populasi nyamuk dihapuskan (Heesterbeek, 2002). Selain itu, konsep yang sama telah digunakan dalam membasmi cacar dan mengawal pelbagai penyakit bawaan virus melalui kempen vaksinasi (Anderson dan Mei, 1991). Sehingga kini, model matematik kekal sebagai satu alat penting dalam kehidupan. SEJARAH DAN LATAR BELAKANG DEMAM CAMPAKMenurut Chan Kwai Cheng (2012), Demam campak (Rubeola) adalah jangkitan akut pada kanak-kanak disebabkan oleh virus measles. Pesakit demam campak biasanya mengalami gejala jangkitan respiratori dan disertai ruam pada kulit.Penyakit ini sangat mudah menular kepada orang lain melalui udara dengan titisan cecair daripada mulut dan hidung semasa bercakap, batuk atau bersin. Walau bagaimanapun kebanyakan kanak-kanak di Malaysia telah kebal pada penyakit ini sejak adanya program campak kebangsaan. Namun begitu tetapi, kebelakangan ini terdapat pertambahan dalam kes-kes campak di bandar utama dengan kemasukan orang asing. Oleh itu, jika seorang kanak-kanak tidak lagi mendapat vaksin dan terdedah kepada individu yang menghidap penyakit ini, maka kemungkinan besar kanak-kanak ini akan dijangkiti virus ini. Dalam era vaksin pra, campak adalah sangat endemik dalam kalangan penduduk Malaysiaterutamanya di kalangan kanak-kanak. Program vaksinasi campak telah dimasukkan sebagai sebahagian daripada Program Imunisasi diperluas pada tahun 1982 dan satu dos vaksin campak diberikan kepada kanak-kanak pada usia sembilan bulan. Sejak pengenalan vaksin campak di Malaysia, kejadian campak berjaya dikurangkan dengan peningkatan liputan vaksinasi campak.Menurut Kementerian Kesihatan Malaysia (2006). kadar insiden campak kes yang dilaporkan pada tahun 1982 adalah 65,62 per 100,000 penduduk. Pada 1989 hingga 1998, kadar insiden campak di Malaysia adalah antara 1,51-5,87 bagi setiap 100,000 penduduk.Walau bagaimanapun, kes-kes campak meningkat secara drastik pada tahun 1999 dan 2000 dengan kadar insiden 11.48 (2,608 kes) dan 26,59 (6187 kes) bagi setiap 100,000 penduduk, masing-masing walaupun liputan imunisasi campak pentadbiran adalah 86.6% (1999) dan 88% (2000). Sepanjang tempoh dua tahun, peningkatan kes campak berlaku di semua negeri dan wabak bertaburan di seluruh negara di kedua-dua kawasan bandar dan luar bandar. Wabak campak pada tahun 1999 dan 2000 menunjukkan bahawa wabak itu adalah disebabkan oleh kegagalan vaksin primer serta kegagalan untuk vaksin yang disebabkan pengumpulan individu terdedah. Malah Opalyn Mok (2012) turut menyatakan terdapat wabak campak sehingga tahun ini disebabkan oleh keengganan individu untuk menerima imunisasi campak.Simpton-simpton demam campak dapat dikesan dalam tempoh antara 10 hingga 12 hari selepas dijangkiti penyakit. Pesakit akan mula menunjukkkan tanda dan gejala demam campak seperti: Demam tinggi. Batuk, selsema dan sakit tekak. Mata berair dan sensitif kepada cahaya. Sakit otot.Dua atau tiga hari kemudian timbul ruam-ruam, bermula dibahagian muka dan kepala kemudian merebak ke bahagian badan, tangan dan kaki. Ruam akan kekal selama 4 hingga 7 hari. Semasa ruam timbul, suhu badan biasanya sangat tinggi. Demam campak boleh menjangkiti orang lain dalam masa seminggu sebelum timbul ruam sehingga 4 hari selepasnya.Namun begitu, bukan semua demam yang disertai ruam merupakan demam campak. Demam campak sering dikelirukan dengan penyakit Rosela Infantum yang disebabkan oleh virus lain tetapi mempunyai ciri-ciri yang sama dengan demam campak melainkan selepas 2 hingga 3 hari ruam timbul, demam biasanya akan kebah. Satu lagi penyakit yang menyerupai campak adalahrubeola. Kebanyakan kanak-kanak yang menghidapi demam campak akan sembuh dengan sempurna. Walau bagaimanapun kadang-kala boleh terjadi komplikasi yang serius terutama golongan yang menghidapi kekurangan zat makanan dan mempunyai imun sistem kekebalan yang rendah. Antara lain komplikasi yang sering terjadi adalah: Jangkitan pada telinga. Jangkitan paru-paru (Pneumonia ). Jangkitan pada otak (encephalitis). Cirit-birit.Kes yang serius boleh berakhir dengan kematian. Bagi wanita hamil pula, boleh menyebabkan keguguran atau kelahiranpramatang. Tiada rawatan yang spesifik tetapi hal-hal berikut dapat mengurangkan gejala: Panadol untuk mengurangkan demam. Hindari cahaya terang kerana ia menyakitkan mata. Berehat dan minum air yang cukup.Menurut Mustafa Ali Mohd (1987), Panadol merupakan nama pasaran yang paling popular bagi Paracetamol. Paracetamol digunakan untuk menghilangkan sakit dan menurunkan suhu badan. Ubat-ubat lain seperti Dumin dan Dusil juga mengandungi Paracetamol. Ruam tidak perlu dirawat kerana ia akan hilang sendiri. Pesakit dinasihatkan untuk tinggal di rumah supaya tidak menjangkiti orang lain sehingga 4 hari selepas ruam timbul. Demam campak boleh dicegah melalui pemberian suntikan immunisasi MMR (Measles, Mumps and Rubella) pada usia 12 bulan dan kemudian ketika berumur 7 tahun.Menurut Raihanah Abdullah (2005), ibu bapa bertanggungjawab untuk memastikan anak mereka mendapat imunisasi. MMR adalah vaksin yang selamat. Malah, menurut Muzakarah Jawatankuasa Majlis Fatwa Kebangsaan Bagi Hal Ehwal Islam Malaysia Kali ke-24 (1989) melalui Muhamad Rafiqi Hehsan (2015), imunisasi atau vaksin itu harus. Jika anak anda terdedah kepada individu dijangkiti campak dan belum lagi menerima imunisasi, bawa anak anda segera untuk berjumpa doktor. Pemberian vaksin dalam jangka masa tertentu boleh mengelakkan anak anda daripada dijangkiti virus ini.

PERMODELAN MATEMATIK DALAM DEMAM CAMPAK

Latar Belakang Permodelan Matematik Penyakit BerjangkitPemodelan penyakit berjangkit adalah alat yang telah digunakan untuk mengkaji mekanisme penyakit berjangkit, untuk meramalkan arah masa depan wabak dan menilai strategi untuk mengawal wabak (Daley & Gani, 2005).Saintis pertama yang cuba untuk mengukur sebab-sebab kematian adalah John Graunt. Seterusnya, akaun terawal pemodelan matematik penyebaran penyakit telah dijalankan pada tahun 1766 oleh Daniel Bernoulli. Pengiraan daripada model ini menunjukkan bahawa inokulasi universal terhadap cacar akan meningkatkan jangka hayat daripada 26 tahun 7 bulan hingga 29 tahun 9 bulan (Bernoulli & Blower, 2004).Menurut British International School (2014), penggunaan matematik untuk model penyebaran penyakit adalah satu bahagian yang amat penting dalam persediaan untuk potensi wabak baru. Malah, langkah ini adalah bagi menyediakan maklumat kepada pekerja kesihatan mengenai tahap vaksinasi yang diperlukan untuk melindungi penduduk. Langkah ini juga dapat membantu mengawal tindakan balas pertama apabila penyakit baru yang berpotensi muncul dalam skala yang besar. Antaranya selsema burung, SARS dan Ebola.Model asas yang digunakan adalah berdasarkan kepada model SIR. Penggunaan model SIR memerlukan maklumat-maklumat seperti bilangan penduduk yang mudah terdedah kepada jangkitan, bilangan penduduk yang berjangkit, dan bilangan yang pulih. Model SIR ini digambarkan seperti rajah berikut :

Rajah 1 Model SIRSeterusnya, penggunaan parameter yang turut penting dalam permodelan matematik penyakit berjangkit ialah R0. R0 ditakrifkan sebagai bilangan orang yang berjangkit akan berpotensi besar memindahkan jangkitan kepada penduduk lain. Beberapa nilai R0 untuk penyakit yang berbeza yang ditunjukkan seperti jadual di bawah. Jadual 1Nilai R0 bagi Penyakit PenyakitR0

AIDS2 hingga 5

Smallpox (Cacar Air)3 hingga 5

Measles (Demam Campak)16 hingga 18

Malaria100

Berdasarkan jadual tersebut, nilai R0 bagi AIDS adalah paling sedikit menunjukkan kadar keberjangkitannya adalah kurang berbanding yang lain. Semakin tinggi nilai R0, semakin tinggi kadar penyakit untuk berjangkit. Maka, jelaslah bahawa jangkitan virus melalui udara seperti campak adalah sangat berjangkit. Malah, hal ini turut menunjukkan bahawa malaria adalah sangat sukar untuk dibasmi kerana orang yang dijangkiti diumpakan seperti bank simpanan virus bagi nyamuk.Oleh itu, satu bit mudah matematik telah dicipta bagi meramalkan perkadaran penduduk yang perlu mendapatkan suntikan untuk mencegah penyebaran virus. Formula yang digunakan adalah seperti berikut:VT = 1 - VT adalah perkadaran penduduk yang memerlukan suntikan vaksin. Dalam sesuatu kes seperti virus HIV (dengan nilai R0 antara 2 dan 5), anda hanya perlu vaksin maksimum 80% daripada jumlah penduduk. Campak bagaimanapun memerlukan sekitar 95% vaksinasi. Kaedah untuk melindungi penduduk dipanggil imuniti kawanan. Imuniti kawanan ditunjukkan secara lebih jelas melalui rajah di bawah:

Rajah 2 Penyebaran Penyakit BerjangkitBerdasarkan rajah tersebut, senario pertama menunjukkan terdapat penduduk yang menerima dan menyebabkan hampir semua penduduk merima jangkitan. Namun, dalam senario ketiga, bilangan penduduk yang menerima imunisasi adalah mencukupi untuk bertindak sebagai penampan terhadap penyebaran jangkitan kepada penduduk yang tidak menerima imunisasi.

dS / dt mewakili kadar perubahan dari orang-orang yang terdedah kepada penyakit yang berkaitan dengan masa. di / dt mewakili kadar perubahan mereka yang dijangkiti terhadap masa. Manakala, dR / dt pula mewakili kadar perubahan dari orang-orang yang telah pulih terhadap masa.Sebagai contoh, jika di / dt adalah tinggi maka jumlah orang yang dijangkiti semakin meningkat dengan pesat. Apabila di / dt adalah sifar maka tidak ada perubahan dalam bilangan orang yang berjangkit. Apabila di / dt adalah negatif maka bilangan orang dijangkiti semakin berkurangan.Pemalar dan dipilih bergantung kepada jenis penyakit yang dimodelkan. mewakili kadar hubungan - iaitu bagaimana seseorang mungkin akan mendapat penyakit ini apabila bersentuhan dengan seseorang yang sakit. ialah kadar pemulihan yang cepat bagaimana orang telah dipulihkan dan menjadi imun.

Latar Belakang Model SIRPada tahun 1927, WO Kermack dan AG McKendrick mencipta satu model di mana mereka dianggap penduduk tetap dengan hanya tiga petak: mudah, S (t); dijangkiti, I (t); dan dikeluarkan, R (t). Petak yang digunakan untuk model ini terdiri daripada tiga kelas iaitu :

Rajah 3 Kelas-kelas Model SIRS (t) digunakan untuk mewakili bilangan individu belum dijangkiti penyakit itu pada masa t, atau mereka yang terdedah kepada penyakit ini.I (t) menandakan bilangan individu yang telah dijangkiti penyakit ini dan mampu menyebarkan penyakit itu kepada mereka dalam kategori yang terdedah.R (t) adalah tempat yang digunakan untuk individu-individu yang telah dijangkiti dan kemudian dikeluarkan daripada penyakit ini, sama ada disebabkan oleh imunisasi atau disebabkan kematian. Mereka dalam kategori ini tidak dapat dijangkiti lagi atau untuk menyebarkan jangkitan kepada orang lain.Aliran model ini boleh dipertimbangkan seperti berikut:

Menggunakan penduduk tetap, N = S (t) + I (t) + R (t), Kermack dan McKendrick memperoleh persamaan berikut:

Beberapa andaian telah dibuat dalam pembentukan persamaan ini: Pertama, seorang individu dalam populasi perlu dipertimbangkan sebagai mempunyai kebarangkalian yang sama kerana setiap individu lain mendapat penyakit itu dengan kadar , yang dianggap kenalan atau jangkitan kadar daripada penyakit ini. Oleh itu, individu yang dijangkiti mempunyai hubungan kontak dan mampu untuk menghantar penyakit ini dengan atau N lain per unit masa dan sebahagian kecil daripada kenalan oleh dijangkiti dengan mudah adalah S / N. Jumlah jangkitan baru dalam unit masa per berjangkit maka N (S / N), memberikan kadar jangkitan baru (atau mereka meninggalkan kategori terdedah) sebagai \ N (S / N) I = SI ( Brauer & Castillo-Chavez, 2001). Bagi persamaan kedua dan ketiga, pertimbangkan penduduk meninggalkan kelas terdedah sebagai sama dengan bilangan memasuki kelas yang dijangkiti. Walau bagaimanapun, bilangan yang sama dengan pecahan ( mewakili kadar pemulihan / kematian yang sama, atau 1/ iaitu purata tempoh berjangkit) daripada bilangan penduduk berjangkit meninggalkan kelas ini per unit masa diperlukan untuk memasuki kelas yang dikeluarkan. Proses yang berlaku pada masa yang sama dirujuk sebagai Hukum Tindakan Mass, idea yang diterima secara meluas bahawa kadar hubungan di antara dua kumpulan penduduk adalah berkadar dengan saiz setiap kumpulan berkenaan (Daley & Gani, 2005). Akhirnya, ia diandaikan bahawa kadar jangkitan dan pemulihan adalah lebih cepat daripada skala masa kelahiran dan kematian dan oleh itu, faktor-faktor ini diabaikan dalam model ini.

Model SIR Dalam Demam CampakModel asas epidemiologi wabak campak diasaskan pada pembahagian penduduk tuan rumah ke dalam kelas. Peruntukan individu untuk kelas adalah tidak statik iaitu tuan rumah boleh bergerak dari satu kelas yang lain. Hal ini dinamakan sebagai peralihan. Contoh peralihan adalah jangkitan, yang bergerak dari kelas terdedah kepada kelas yang dijangkiti. Manakala, pemulihan pula bergerak pelbagai dari kelas yang dijangkiti kepada kelas pemulihan semula.

Jadual 2Jenis Peralihan Kelas

Andaikan bahawa kadar peralihan iaitu kebarangkalian daripada pelbagai bergerak dari satu kelas ke satu per unit masa bergantung hanya pada keadaan semasa sistem dan tidak berkaitan sistem sejarah. Keadaan sistem adalah ditentukan oleh bilangan penduduk dalam kelas yang berlainan. Anggapan ini adalah kurang lebih longgar. Anggapan ini memerlukan kita untuk memilih kelas dalam apa-apa cara yang terdapat semua maklumat yang diperlukan untuk meramalkan perubahan pada titik semasa dalam tempoh masa. Oleh itu, permodelan dimulakan dengan melihat kepada kelas asal, kelas dijangkiti, dan kelas pemulihan. Kelas asal ataupun penduduk terdedah tidak pernah terkena virus ini dan belum diberi vaksin. Bilangan penduduk terdedah dilabelkan S. Apabila jangkitan penduduk terdedah memasuki kelas yang dijangkiti, bilangan individu yang dijangkiti dilabelkan sebagai I. Penduduk yang memperoleh imuniti kepada campak, sama ada melalui pendedahan kepada virus atau vaksin, bergerak ke kelas pemulihan semula. Bilangan penduduk yang dipulihkan dilabel oleh R. Model jenis ini dipanggil model SIR.Panjang purata tempoh yang berjangkit untuk campak adalah kira-kira seminggu. Tempoh ini adalah sangat pendek jika dibandingkan dengan jangka hayat purata umat manusia. Oleh itu, kita menganggap bahawa jumlah penduduk tuan rumah adalah malar pada skala masa wabak campak. Saiz penduduk tuan rumah adalah N = S + I + R. Penduduk mudah dijangkiti virus apabila bersentuhan dengan individu yang dijangkiti. Daya jangkitan (kebarangkalian bahawa individu memperoleh jangkitan per unit masa) dinyatakan sebagai I / N, di mana adalah parameter penghantaran. Daya jangkitan adalah berkadaran dengan sebahagian kecil daripada orang yang dijangkiti, I / N, kerana jumlah potensi kenalan berjangkit cenderung untuk menjadi bebas daripada saiz penduduk. Kadar di mana bilangan individu yang dijangkiti adalah IS / N. Seorang penduduk yang dijangkiti mempunyai kebarangkalian pulih daripada jangkitan per unit masa. Kadar di mana bilangan individu yang dijangkiti berkurangan melalui pemulihan itu adalah I. Selain itu, kelahiran, kematian, dan vaksinasi perlu diambil kira. Semua individu mempunyai kebarangkalian kematian per unit masa. Sekiranya kita ingin mengekalkan saiz penduduk yang berterusan, kita perlu menggantikan bilangan individu mati oleh individu yang mudah yang baru lahir. Akhir sekali, model vaksinasi sebagai kebarangkalian tetap per unit masa, , seorang penduduk dipindahkan ke kelas pemulihan semula. Peralihan kelas ini dapat dilihat dengan jelas seperti Jadual. Dengan mengambil kira kadar kelahiran dan kematian adalah sama, model SIR dalam Demam Campak boleh ditafsirkan seperti berikut:

Dalam kes campak juga, kita boleh menggunakan persamaan yang telah dibincangkan sebelum ini bagi mendapatkan penyelesaian yang lebih mudah. Andaikan kita mempunyai jangkitan purata kira-kira seminggu, (7 = 1 / dan sebagainya = 1/7). Jika kita kemudian mengambil R0 = 15 maka:R0 = / 15 = / 0.14 = 2.14Oleh itu, persamaan untuk kadar perubahan menjadi:

dS / dt = -2.14 I Sdi / dt = 2.14 I S - 0.14 IdR / dt = 0.14 I

Malangnya persamaan ini adalah sangat sukar untuk diselesaikan. Oleh itu, penggunaan program komputer diperlukan untuk menstruktur persamaan-persamaan berikut. Kita perlu memberikan nilai permulaan bagi S, I dan R - bilangan orang terdedah, berjangkit, pulih (imun) daripada demam campak. Katakan kita mempunyai jumlah penduduk seramai 11 orang - 10 orang yang mudah terdedah, 1 yang dijangkiti dan 0 yang kebal. Ini memberikan hasil yang berikut:

Graf menunjukkan bahawa jangkitan merebak sangat cepat. Pada hari kedua, 8 orang telah dijangkiti. Menjelang hari ke-10 kebanyakan orang telah imun tetapi penyakit ini masih berada dalam kalangan penduduk, dan pada hari ke-30, keseluruhan penduduk adalah imun dan jangkitan telah tiada.

Seterusnya, graf menunjukkan kadar penyebaran campak. Kita telah mampu melihat kadar penyebaran campak berlaku dengan sangat cepat dengan mengandaikan jumlah penduduk sebanyak 1000 orang dan seorang individu yang dijangkiti. Namun, dalam masa 5 hari lebih 75% daripada penduduk dijangkiti.

Graf menunjukkan kuasa imuniti kawanan. Kali ini terdapat 100 orang terdedah kepada jangkitan. Namun, 900 orang pulih, dan terdapat lagi satu orang berjangkit. Kali ini jangkitan tidak merebak dalam masyarakat sebaliknya mereka yang sudah imun bertindak sebagai penampan terhadap jangkitan.

KESIMPULANAlhamdulillah, akhirnya tugasan bagi MTE3143 Aplikasi Matematik telah berjaya disiapkan. Pelbagai ilmu serta pengetahuan baru telah saya perolehi. Antaranya ialah melalui pemahaman tentang penyakit itu sendiri. Sebelum ini, saya sering keliru serta menganggap demam campak dan cacar air adalah satu penyakit bawaan virus yang sama. Namun, dengan berbekalkan pencarian ilmu dan beberapa sumber, ternyata kedua-duanya adalah berbeza. Walaupun simpton-simptonnya hampir sama, namun terdapat perbezaan melalui kesan ruam yang dapat dilihat pada kulit. Seterusnya, saya dapat memahami kepentingan aplikasi model matematik dalam bidang ini. Penggunaan model matematik dalam bidang biologi ternyata telah banyak membantu ahli kesihatan dalam menyelesaikan masala-masalah berkaitan penyakit terutamanya penyakit berjangkit. Menggunakan model SIR misalnya, penyebaran penyakit tanpa vaksin dan dengan vaksin dapat dibezakan dengan lebih jelas. Lantas, mewujudkan kesedaran kepada masyarakat untuk melihat vaksin sebagai perkara penting dan tidak boleh diabaikan. Malah, penggunaan model matematik juga mampu membantu memudahkan tugas banyak pihak dalam merancang program imunisasi dalam sesuatu populasi. Berpandukan kadar penyebaran yang diperolehi daripada model SIR, tindakan selanjutnya dapat dirancang dengan baik oleh pihak berkaitan dalam membantu menyekat penyebaran penyakit daripada terus menular. Kesimpulannya, model matematik telah memainkan peranannya dengan baik dalam bidang-bidang tertentu. Malah, model matemati diaplikasikan secara meluas hampir dalam setiap bidang. Maka, kita sebagai generasi kini hendaklah memperkayakan ilmu bagi membolehkan kita melihat pengaplikasian matematik ini sebagai sesuatu yang indah dan bermanfaat. 13