Makalah INDUKSI MATEMATIK

download Makalah INDUKSI MATEMATIK

If you can't read please download the document

  • date post

    15-Apr-2017
  • Category

    Education

  • view

    6.993
  • download

    217

Embed Size (px)

Transcript of Makalah INDUKSI MATEMATIK

D I

S

U

S

U

N

OLEH:

KELOMPOK IERMANSYAH(8146182009)

RIDHA HUTAMI(8146182035)

TRI ASTARI(8146182041)

KELAS : DIKDAS KONSENTRASI MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN

2015KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kepada hadirat Allah SWT yang telah memberikan kita rahmat kesehatan dan kesempatan, sehingga bisa menyusun atau menyelesaikan penyusunan makalah Teori Bilangan ini yang berjudul INDUKSI MATEMATIK.

Shalawat dan rangkaian salam kehadirat nabi Muhammad SAW yang kita dari alam kegelapan menuju terang benderang.

Pembuatan makalah ini bertujuan sebagai tugas kelompok Teori Bilangan dan sebagai bahan perkuliahan.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Sahat Saragih, M. Pd yang telah membimbing penulis dan pihak-pihak yang telah membantu dalam pembuatan makalah ini.

Makalah ini penulis yakini jauh dari kesempurnaan dan masih banyak kekurangannya seperti pepatah yang mengatakan tak ada gading yang tak retak, baik isi maupun penyusunnya. Atas semua itu dengan rendah hati penulis harapkan kritik dan saran yang membangun guna menyempurnakan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat.

Medan, Agustus 2015

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

DAFTAR ISIii

BAB I PENDAHULUAN 1

A. Latar belakang 1

B. Identifikasi Masalah 2

C. Pembatasan Masalah 2

D. Rumusan Masalah 3

E. Tujuan Pembahasan 3

F. Manfaat Pembahasan 4

BAB II PEMBAHASAN 5

A. Sejarah Induksi Matematik 5

B. Pengertian Induksi Matematik 6

C. Tahapan Induksi Matematik 6

D. Prinsip Induksi Matematik 8

E. Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematik 12

F. Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi .. 17BAB III PENUTUP23

A. Kesimpulam23

B. Saran 23

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Banyak orang yang masih menganggap bahwa matematika itu kurang menyenangkan dan susah untuk di pelajari, namun jika kita berusaha dan memikirkan bahwa matematika itu menyenangkan, pasti kita bisa mempelajari matematika itu. Bukankah di dunia ini atau persisnya di dalam kehidupan kita ini semuanya menggunakan matematika?Untuk menumbuhkan rasa menyenangkan ketika kita belajar matematika, yaitu gunakan imajinasimu bahwa matematika itu menyenangkan, berikan rasa percaya diri di dalam kepalamu bahwa matematika itu gampang, dan kalau perlu ketika kita mengerjakan soal matematika kita harus berimajinasi seperti pemandu sorak yang tidak sabar menunggu hasil pertandingan yang berakhir dengan kemenangan.

Didalam matematika terdapat sebuah metode pembuktian yang disebut induksi matematik yang jika dipelajari terlihat sulit namun akan semakin menarik. Induksi matematika sendiri merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.Bukan hanya itu induksi matematika pun mempunyai prinsip tersendiri untuk memecahkan suatu permasalahan dan menyelesaikannya yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, 4, yang dapat dituliskan sebagai berikut: N = .

Induksi matematik adalah suatu teknik pembuktian penting dan dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan benar. Dalam bagian ini kita akan menggambarkan bagaimana induksi matematik dapat digunakan dan mengapa induksi matematik merupakan suatu teknik pembuktian valid. Dengan mencatat bahwa induksi matematik hanya dapat digunakan untuk membuktikan hasil yang diperoleh. Ini bukan merupakan alat untuk menemukan formula atau teorema. Selanjutnya, tentang induksi matematik akan dibahas lebih dalam pada makalah ini.

B. Identifikasi Masalah

Dari latar belakang di atas penulis melakukan pengidentifikasian masalah sebagai berikut:

1. Banyak orang yang masih menganggap bahwa matematika itu kurang menyenangkan dan susah untuk di pelajari.2. Didalam matematika terdapat sebuah metode pembuktian yang disebut induksi matematik yang jika dipelajari terlihat sulit namun akan semakin menarik.3. Induksi matematik bukan merupakan alat untuk menemukan formula atau teorema.C. Pembatasan Masalah

Untuk mempermudah arah pembahasan masalah ini penulis membuat batasan masalah sebagai berikut:

1. Sejarah dari Induksi Matematik.

2. Pengertian dari Induksi Matematik.

3. Tahapan Induksi Matematik.

4. Prinsip Induksi Matematik.

5. Contoh soal penggunaan Induksi Matematik.

6. Konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi (sigma).D. Rumusan Masalah

Dari latar belakang dan identifikasi masalah yang ada maka rumusan masalah yang digunakan adalah:

1. Bagaimana sejarah adanya Induksi Matematik?

2. Apa yang dimaksud dengan Induksi Matematik?3. Bagaimana tahapan Induksi Matematik?4. Bagaimana prinsip Induksi Matematik?5. Bagaimana contoh soal penggunaan Induksi Matematik?

6. Bagaimana konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi (sigma)?

E. Tujuan Pembahasan

Tujuan dari makalah ini, antara lain:

1. Mengetahui sejarah dari Induksi Matematik.

2. Memahami konsep Induksi Matematik.

3. Mengetahui tahapan Induksi Matematik.

4. Mengetahui prinsip Induksi Matematik.

5. Mengetahui contoh soal penggunaan Induksi Matematik.

6. Mengetahui konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi (sigma).F. Manfaat Pembahasan

Penulis berharap makalah ini memiliki manfaat bagi kita semua. Dimana dengan adanya makalah ini dapat membantu semua kalangan baik itu mahasiswa, pelajar dan masyarakat umum dalam mendalami Induksi Matematik dengan sejarah, konsep, prinsip, dan hubungan prinsip. Selain itu dapat menambah wawasan mengenai contoh soal penggunaanya.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Sejarah Induksi Matematik

Sebuah bukti implisit dengan induksi matematika untuk urutan aritmatika diperkenalkan dalam al-Fakhri yang ditulis oleh al-Karaji sekitar 1000 Masehi, yang menggunakannya untuk membuktikan teorema binomial dan sifat segitiga Pascal. Selain al-Fakhri terdapat juga ilmuwan Yunani kuno yang membuktikan induksi matematika untuk menyatakan bahwa sifat bilangan prima yang tidak terbatas. Tidak satupun ahli matematika kuno yang dapat membuktikan induksi matematika secara eksplisit.

Barulah pada tahun 1665 ilmuwan Prancis yang bernama Blaise Pascal dapat membuktikannya secara eksplisit. Bukti induksi secara eksplisit dia tuliskan dalam bukunya yang berjudul arithmtique segitiga du Trait. Pada akhir abad ke-19 ilmu induksi matematika diperbarui kembali oleh dua orang matematikawan yang bernama Richard Dedekind dan Guiseppe Peano. Dedekind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikan interpretasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano.

Gambar 3. Richard Dedekind dan Guiseppe Peano

B. Pengertian Induksi Matematik

Induksi matematika merupakan salah satu metode/cara pembuktian yang absah dalam matematik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah. Seringkali kita hanya menerima saja pernyataan atau argumen matematika, tanpa mengetahui kebenaran pernyataan tersebut. Oleh karena itu kita membutuhkan suatu metode untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika yang disebut induksi matematika.

Meskipun namanya induksi matematik, namun metode ini merupakan penalaran deduktif. Induksi matematik merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaranya kumpulan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli. Melalui induksi matematik ini kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Induksi matematik yang sesungguhnya merupakan salah satu aksioma yang dipenuhi oleh sistem bilangan asli. Bentuk umum induksi matematik sebagai berikut: Misalkan N adalah himpunan semua bilangan asli. Dapat dituliskan sebagai berikut: N = .C. Tahapan Induksi Matematika

Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari tiga langkah, yaitu:

a. Langkah BasisMenunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1

b. Langkah InduksiMenunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k + 1

c. KesimpulanDefinisi :

Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang bisa benar atau salah. Misalkan,

1. P(1), benar

2. Jika untuk n = k yaitu P(k) benar, maka untuk n = k + 1 harus kita buktikan P(k+1) benar

Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n

Contoh Soal

Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2\

Penyelesaian:(i) Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2p (1) (2n 1) = n2(2.1 1) = 121 = 1(benar)

Jadi, p (1) benar.

(ii) Langkah induksi: mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu:

n = k

1 + 3 + 5 + + (2k 1) = k2Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1

n = k +11 + 3