Pers

Analisis Vektor

Beberapa Terapan Perkalian Vektor di Fisika

Usaha : Gaya kali Pergeseran

Jika sebuah benda dikenai gaya (F) mengakibatkan benda mengalami pergeseran posisi (r), maka usaha (W) yang dilakukan dapat dinyatakan sebagai

(2.3)

dengan ( adalah sudut antara vektor gaya dengan vektor pergeseran.

Gambar 2.1

Gambar 2.2

Rumus di atas berlaku untuk gaya F konstan seperti pada gambar 2.1. Untuk gaya yang tidak konstan seperti pada gambar 2.2, maka secara umum berlaku

(2.4)

Torque atau Momen terhadap suatu titik

Dari Fisika dasar telah diketahui bahwa besarnya momen sama dengan gaya dikalikan lengan. Untuk arah gaya dan lengan yang sembarang (gambar 2.3), secara umum dapat dituliskan

(2.5)

Gambar 2.3

Kecepatan sudut

Pada gerak melingkar (gambar 2.4), kecepatan translasi sama dengan kecepatan sudut dikalikan jejari dengan arah tegak lurus bidang lingkaran. Secara umum dapat dituliskan

(2.6)

Gambar 2.4

Momen terhadap garis

Jika momen terhadap suatu titik merupakan besaran vektor, maka momen terhadap garis merupakan besaran skalar yang didefinisikan sebagai komponen seluruh momen searah dengan garis bersangkutan.

(2.7)

dengan n adalah vektor satuan searah garis.

Contoh 1 : Jika bekerja pada titik (1,1,1), carilah momen gaya F terhadap garis

Jawab :

Dicari momen terhadap suatu titik pada garis L, misalnya (3,0,2) sehingga jarak antara titik tangkap gaya dengan titik tersebut adalah r = (-2,1,-1). Momen terhadap titik tersebut

dan momen terhadap garis L adalah

Tugas

1. Gaya F = 2 i 3 j + k bekerja pada titik (1,5,2), Carilah momen gaya terhadap

a). titik asal

b). sumbu y

c). garis x/2 = y/1 = z/(-2)

2. Sebuah gaya dengan komponen (1,2,3) bekerja pada titik (3,2,1). Carilah momen terhadap titik asal dan ketiga sumbu koordinatnya.

3. Sebuah daun pintu dirancang bebas bergerak searah sumbu x dan sumbu y dengan engsel terpasang pada sumbu z. Jika pegangan pintu berada pada (1,0,1) dan anda mendorong pintu dengan gaya (5,2,1), carilah momen gaya terhadap sebuah engsel yang terpasang pada (0,0,1). Tentukan pula momen gaya dorong pintu terhadap sumbu pintu.

Diferensial Vektor

Jika A = i Ax +j Ay + k Az, dimana Ax, Ay dan Az merupakan fungsi dari t, maka turunan vektor A terhadap t dapat didefinisikan sebagai

(3.1)

Untuk perkalian vektor baik untuk hasil kali vektor dengan suatu konstanta, hasil kali skalar dan vektor antara dua vektor, rumusan diferensial vektor mengikuti persamaan berikut

(3.2)

Contoh : Gerak partikel melingkar dengan laju tetap dapat dituliskan

(3.3)

Kita diferensialkan kedua persamaan tersebut menggunakan persamaan (3.2)

(3.4)

Jika r . v = 0 didiferensialkan diperoleh

(3.5)

Persamaan pertama pada (3.4) mengatakan bahwa r dan v saling tegak lurus, dan persamaan kedua nya mengatakan bahwa a tegak lurus v. Dengan demikian antara r dan a saling parallel atau anti parallel, sehingga

(3.6)

Tampak bahwa cos (< 0 sehingga ( = 1800, dengan persamaan (3.6) diperoleh

(3.7)Pada koordinat polar, vektor satuannya terdiri vektor satuan searah r yaitu er dan vektor satuan searah ( yaitu e(. Hubungan vektor satuan ini dengan vektor satuan pada koordinat Kartesius diberikan oleh

...(3.8)

...(3.9)

Turunan vektor satuan tersebut tehadap t adalah

...(3.10)

Contoh : Diberikandi mana Ar dan A( adalah fungsi dari t, carilah dA/dt

Jawab :

Tugas

1. Misalkan vektor posisi (dengan ekornya ada di titik asal) dari partikel yang bergerak adalah , di mana t menyatakan waktu.

a). Tunjukkan bahwa partikel bergerak melalui titik (4,-4,8), dan kapan ?

b). Tentukan vektor kecepatan dan laju partikel pada saat partikel melalui titik (4,-4,8)

c). Tentukan persamaan garis tangensial terhadap kurva gerak partikel dan bidang tegak lurus kurva pada titik (4,-4,8)

2. Posisi partikel pada saat t diberikan oleh persamaan . Tunjukkan bahwa laju dan besarnya percepatan tetap. Gambarkan gerak partikel tersebut.

3. Gaya yang bekerja pada partikel bermuatan yang bergerak di dalam medan magnetik B adalah di mana q adalah muatan listrik partikel dan v adalah kecepatannya. Misalkan partikel bergerak pada bidang (x,y) dengan B seragam berarah sumbu z. Dengan berdasarkan Hukum II Newton , tunjukkan bahwa gaya dan kecepatan saling tegak lurus dan keduanya memiliki besar yang tetap.

4. Di dalam koordinat polar, vektor posisi partikel adalah .Carilah kecepatan dan percepatannya

Medan, Turunan Arah dan Gradien

Jika ((x,y,z) adalah suatu potensial, maka gradien dari ( dapat dituliskan sebagai

(5.1)

Dengan demikian laju perubahan ( pada arah vektor u atau yang sering disebut sebagai turunan arah dapat ditentukan berdasarkan

(5.2)

atau

(5.3)

Dalam koordinat polar, gradien suatu potensial dapat diungkapkan sebagai

(5.4)

Tugas

1. Carilah gradien dari pada (1,2,-1)

2. Bermula dari titik (1,1), dalam arah mana fungsi berkurang paling maksimum

3. Carilah laju perubahan pada (1,1,2) dalam arah vektor 2 i j + 2 k.

4. Carilah turunan pada (1,0,(/3) searah dengan vektor i + 2 j.

5. Diberikan

a). Carilah gradiennya pada (1,1,1)

b). Carilah turunan nya pada (1,1,1) dalam arah i 2j + k.

c). Tentukan persamaan garis tegak lurus permukaan pada (1,1,1).

Beberapa Pernyataan menggunakan (Kita sebut ( sebagai operator vektor yaitu

(6.1)

yang belum memiliki makna fisis sebelum operator tersebut dioperasikan terhadap suatu fungsi baik skalar maupun vektor.

Jika operator tersebut dioperasikan terhadap suatu fungsi V(x,y,z) melalui perkalian skalar, maka hasilnya disebut divergensi dari V yang sering dituliskan sebagai

(6.2)

Jika operator tersebut dioperasikan terhadap V melalui perkalian vektor, hasilnya disebut rotasi dari V atau curl V yang dituliskan sebagai

(6.3)

Pernyataan lain yang tak kalah pentingnya adalah apa yang disebut sebagai Laplacian dari fungsi skalar (yang dituliskan sebagai

(6.4)

Dan berikut ini beberapa persamaan penting yang melibatkan operasi (

(6.5)

...(6.6)

Latihan soal

Carilah divergensi dan curl dari vektor berikut

1.

2.

3.

4.

Carilah Laplacian dari medan skalar di bawah ini

5.

6.

7.

8.

Integral garis

Integral garis dapat dipahami dari contoh mengenai usaha yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan suatu benda dari A ke B (gambar 8.1) yaitu

...(8.1)

Integral demikian ini disebut integral garis yang berarti integral sepanjang kurva atau garis.

Marilah kita tinjau gaya yaitu dan , kemudian kita hitung usaha yang dilakukan kedua gaya tersebut dari (0,0) ke (2,1) sepanjang lintasan 1,2 dan 3 seperti tampak pada gambar (8.2) lintasan I berupa garis lurus , lintasan II berupa garis patah dari (0,0) ke (0,1) kemudian ke (2,1) sedang lintasan III adalah garis lengkung dengan persamaan .

Gambar 8.2

Usaha oleh F1 adalah

Lintasan I,

Lintasan II, dari (0,0) ke (0,1),

dari (0,1) ke (2,1)

Sehingga

Lintasan III,

Tampak bahwa usaha yang dilakukan F1 bergantung pada lintasan. Marilah kita hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F2.

Lintasan I ,

Lintasan II , dari (0,0) ke (0,1), x = 0 dan dx = 0

, dari (0,1) ke (2,1), y = 1 dan dy = 0

Lintasan III,

Tampak bahwa usaha yang dilakukan F2 tidak bergantung pada lintasan, tetapi bergantung pada posisi awal dan posisi akhir dari benda.

Gaya/medan konservatif

Gaya F melakukan usaha yang tidak bergantung pada lintasan, gaya demikian disebut gaya konservatif. Sedang gaya F1 melakukan usaha yang bergantung pada lintasan, gaya demikian disebut gaya non- konservatif. Untuk mengetahui apakah suatu gaya itu konservatif atau tidak, dapat dilakukan dengan menghitung , yaitu untuk gaya konservatif dan untuk gaya non-konservatif. Untuk contoh kita terdahulu

Jadi jelas bahwa gaya konservatif memiliki sifat artinya gaya yang irotasional yaitu gaya yang lurus ,tidak melengkung dan tidak keriting (curly). Ini adalah asal usul istilah curl untuk operator (X. Contoh gaya konservatif adalah gaya gravitasi, elektrostatik dan lain-lain, sementara contoh gaya non-konservatif adalah gaya gesek, gaya magnetik dll yang memiliki sifat .

Dari uraian diatas , nampak ada hubungan antara sifat dengan integral garis yang hasilnya tidak tergantung pada lintasan. Marilah kita gali lebih dalam lagi hubungan ini.

Untuk sembarang fungsi potensial skalar W, maka dapat ditunjukkan bahwa

...(8.3)

sehingga

...(8.4)

Dengan demikian untuk gaya konservatif selalu ada fungsi potensial skalar yang memenuhi persamaan

...(8.5)

dan

sesuai teorema differensial parsial sehingga

Tafsiran Fisis Teorema Divergensi

Teorema Divergensi memiliki manfaat ganda dimana ruas kiri lebih di-maksudkan sebagai cara menghitung Divergensi dan ruas kanan membe-rikan makna fisis Divergensi dari suatu vektor.

Tinjau sebuah sistem fluida yang mengalir di dalam tabung seperti tampak pada gambar 10.1

Gambar 10.1

Misalkan dimana ( adalah kerapatan fluida (massa jenis) dan adalah kecepatan aliran fluida, maka jumlah fluida yang mengalir melewati tabung dalam waktu t menembus luas penampang A` yang tegak lurus arah aliran adalah

...(10.2).

Jumlah fluida yang dalam waktu t menembus luas penampang A yang normalnya membentuk sudut ( terhadap arah aliran adalah

...(10.3).

Dengan demikian jika fluida mengalir dengan arah yang membuat sudut ( dengan luas penampang yang ditembusnya, maka jumlah fluida yang menembus tiap satuan luas tiap satuan waktu adalah

Inilah makna dari Divergensi yang dapat dipahami dari ruas kanan. Teorema Divergensi sebagai fluks. Lalu bagaimana dengan ruas kiri?

Ruas kiri dari Teorema Divergensi lebih dimaksudkan untuk menghitung fluks.

Contoh:

Misalkan .

Tentukan untuk seluruh permukaan silinder pada gambar 10.5

Kita hitung secara langsung

pada permukaan atas silinder sehingga sehingga

pada permukaan bawah silinder dan sehingga

pada permukaan selubung silinder sehingga

Dengan demikian yaitu tiga kali volume silinder.

Marilah kita hitung dengan Teorema Divergensi bahwa

sehingga yaitu tiga kali volume silinder .

Jelas bahwa perhitungan dengan ruas kiri Teorema Divergensi jauh lebih mudah dan ringkas.

F

dr

(

F

r

F

r

(

r sin (

v

(

r

(

F

L

r

O

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Gambar 8.1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE

_1091420074.unknown

_1091422242.unknown

_1091422909.unknown

_1091423497.unknown

_1091423731.unknown

_1350275628.unknown

_1352091694.unknown

_1352525026.unknown

_1395546698.unknown

_1352525573.unknown

_1352092470.unknown

_1350709914.unknown

_1091423756.unknown

_1091423791.unknown

_1091423800.unknown

_1091423776.unknown

_1091423743.unknown

_1091423673.unknown

_1091423703.unknown

_1091423722.unknown

_1091423695.unknown

_1091423653.unknown

_1091423665.unknown

_1091423639.unknown

_1091423376.unknown

_1091423469.unknown

_1091423484.unknown

_1091423435.unknown

_1091423322.unknown

_1091423365.unknown

_1091423015.unknown

_1091422510.unknown

_1091422766.unknown

_1091422840.unknown

_1091422890.unknown

_1091422823.unknown

_1091422737.unknown

_1091422751.unknown

_1091422717.unknown

_1091422288.unknown

_1091422301.unknown

_1091422435.unknown

_1091422392.unknown

_1091422411.unknown

_1091422362.unknown

_1091422294.unknown

_1091422264.unknown

_1091422284.unknown

_1091422259.unknown

_1091421419.unknown

_1091422119.unknown

_1091422150.unknown

_1091422174.unknown

_1091422187.unknown

_1091422157.unknown

_1091422134.unknown

_1091422140.unknown

_1091422126.unknown

_1091422094.unknown

_1091422105.unknown

_1091422112.unknown

_1091422098.unknown

_1091421647.unknown

_1091421911.unknown

_1091421426.unknown

_1091420637.unknown

_1091420714.unknown

_1091421407.unknown

_1091421411.unknown

_1091420715.unknown

_1091420712.unknown

_1091420713.unknown

_1091420711.unknown

_1091420710.unknown

_1091420479.unknown

_1091420562.unknown

_1091420625.unknown

_1091420557.unknown

_1091420114.unknown

_1091420296.unknown

_1091420081.unknown

_1091419199.unknown

_1091419808.unknown

_1091419991.unknown

_1091420057.unknown

_1091420066.unknown

_1091420052.unknown

_1091419980.unknown

_1091419983.unknown

_1091419918.unknown

_1091419358.unknown

_1091419717.unknown

_1091419758.unknown

_1091419666.unknown

_1091419299.unknown

_1091419303.unknown

_1091419273.unknown

_1091412267.unknown

_1091412482.unknown

_1091419163.unknown

_1091419192.unknown

_1091412597.unknown

_1091412360.unknown

_1091412364.unknown

_1091412270.unknown

_1078772517.unknown

_1091411408.unknown

_1091412109.unknown

_1091412113.unknown

_1091411977.unknown

_1091409800.unknown

_1091410427.unknown

_1091409557.unknown

_1078685738.unknown

_1078687706.unknown

_1078772393.unknown

_1078772423.unknown

_1078772457.unknown

_1078772489.unknown

_1078772436.unknown

_1078772411.unknown

_1078687718.unknown

_1078687679.unknown

_1078687693.unknown

_1078685772.unknown

_1078685790.unknown

_1078685756.unknown

_1078683532.unknown

_1078684301.unknown

_1078685721.unknown

_1078683565.unknown

_1078683301.unknown

_1078683426.unknown

_1078683286.unknown