ANALISA VEKTOR

1. Defenisi Vektor

Besaran vector adalah besaran yang mempunyai besar dan arah dalam ruang.

Besar didefinisikan sebagai harga mutlak yang selalu berharga positif. Contoh : gaya,

kecepatan, percepatan, kuat medan, momentum, dan sebagainya.

2. Notasi Vektor

2.1. Notasi Geometris

a. Penamaan sebuah vector:

dalam cetakan : dengan huruf tebal: a, B, d.

dalam tulisan tangan : dengan tanda atau di atas huruf : a, B, d.

b. Penggambaran vector :

Vector digambar dengan anak panah :

B a d

Panjang anak panah menyatakan besar vector dan arah anak panah menyatakan

arah vector

2.2 Notasi Analitis

Notasi analitis digunakan untuk menganalisa vector tanpa menggunakan

gambar. Sebuah vector a dapat dinyatakan dalam komponen-komponen sebagai

berikut:

z y

k

ay I j y a

xax x

1

ay : besar komponen vektor a dalam arah sumbu y

ax : besar komponen vektor a dalam arah sumbu x

Dalam koordinat kartesian :

vektor arah /vektor satuan : adalah vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai

dengan yang didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian : i, j, k. yang

masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan

sumbu z.

Sehingga vektor a dapat ditulis :

a = ax i + ay j

dan besar vektor a adalah :

a = ax 2 + ay

2

3. Aljabar Vektor

3.1 Operasi Penjumlahan

AB

A + B = ?

Tanda + dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan.

Jadi A + B mempunyai arti vektor A dilanjutkan oleh vektor B.

B A

A+B

Dalam operasi penjumlahan berlaku :

a. Hukum komutatif

A + B = B + A

b. Hukum Asosiatif

(A + B) + C = A + (B + C)

2

Operasi pengurangan dapat dijabarkan dari opersai penjumlahan dengan

menyatakan negatif dari suatu vektor.

B - A = B + (-A)Contoh penjumlahan vector:

A = 3ax + 5az

B = 4ay – 2az

Ditanya : A + B = ….?

Jawab : A + B = 3ax + 4ay + (5-2)az

= 3ax + 4ay + 3az

3.2 Operasi Perkalian

Sebuah vector apabila dikalikan dengan besaran skalar, maka vector tersebut

akan berubah besarnya. Arahnya tergantung dari skalar tersebut, jika skalarnya positif,

maka arahnya tetap dan akan berbalik arah jika skalarnya negative. Perkalian vector

dengan scalar mengikuti hukum asosiatif dan distributive dari aljabar, yaitu :

(p+c)(A+B)=p(A+B)+c(A+B)=pA+pB+cA+cB

4. Koordinat Cartesian

Koordinat Cartesian adalah sumbu koordinat yangs saling tegak lurus yang

dinamakan dengan X, Y, dan Z.

z

y

x

Menggambar titik pada koordinat Cartesian

Z

P(x,y,z)

Y

3

X

Titik P(x,y,z) pada cordinat Cartesian

5. Komponen Vektor

Vector r diberikan oleh 3 vektor, yaitu :

1. komponen x

2. komponen y

3. kompinen z

6. Vektor Satuan

Defenisi

Vector satuan adalah vector yang besarnya satu satuan dan arah vector tersebut

adalah adalah sejajar dengan arah sumbu koordinat pada arah bertambahnya harga

koordinat

SymbolVector satuan dilambangkan dengan a dan arahnya dilambangkan dengan subskrib

yang bersangkutan, yaitu : ax, ay, dan az masing-masing merupakan vector satuan dalam

system koordinat kartesian

z

{az

ay y

x ax

Vector satuan dalam koordinat cartesian

7. Penulisan Vektor

Sebuah vector r yang dibentuk oleh titik p(x,y,z) yang arahnya keluar dari titik asal,

maka vector tersebut dapat dituliskan :

rp= x ax + y ay + z az

z

p(x,y,z)

y

4

rp= x ax + y ay + z az

Q (x2,y2,z2)

x

Penulisan vector dilengkapi dengan vector satuan

8. Menggambar Vektor

Tentukan titik-titik yang akan digambarkan vector.

Tarik garis dari titik-titik tersebut sesuai dengan arah yang diinginkan.

Misalkan titik tersebut adalah :

P (x1,y1,z1) dan

Q(x2,y2,z2)

Tentukan vector yang arahnya dari P ke Q.

RPQ dapat ditulis :

RPQ = (x2-x1)ax + (y2-y1)ay + (z2-z1)az

Z

RPQ

P(x1,y1,z1) Y

X

9. Magnitude Vektor

Magnitude vector adalah besar atau panjang sebuah vector yang disimbolkan

dengan | G |. Misalkan vektor berikut ;

G = Gx ax + Gy ay + Gz az

Maka besarnya adalah :

|G|=

Contoh:a. Dik: A = 3ax + 4ay + 5az

Dit : | A| = …?

Jawab:

| A | =

5

b. Dik : B = -3ax - 4ay - 5az

Dit : | B | = …?

Jawab :

|B|=

c. Dik : C = 3ay – 4az

Dit : | C | = …?

Jawab:

| C | =

10. Nilai Vektor Satuan

Misal vector berikut :

G = Gx ax + Gy ay + Gz az

\Maka vector satuannya dalam arah G adalah

aG =

11. Perkalian Titik

Perkalian titik dua vektor A dan B didefinisikan sebagai perkalian besar A dan

besar B, dikalikan dengan kosinus sudut antara kedua vector tersebut.

A

B

A•B = | A | | B | cos AB

A• B = B • A

Misalkan :

Dua vector yang komponennya diketahui, misalnya:

A = Axax + Ayay + Azaz dan

B = Bxax + Byay + Bzaz

Maka :

AB = AxBx + AyBy + AzBz

6

Karena : ax.ay = 0 juga berlaku untuk vector satuan yang lain yang berbeda jenis.

ax.ax = 1 juga berlaku untuk vector satuan yang lain yang sama jenis.

Contoh perkalian titik:

a. Misalkan A = 3ax + 4ay

B = 5ay + 2az

Hitunglah : A B = …?

Jawab : A B = (3) (0) + (5) (0) + (4) (2)

= 0 + 0 + 8

= 8

b. misalkan : A = 3ax + 4ay

B = 3ax – 5az

Hitunglah : A B = …?

Jawab : A B = 3.3 + 4.0 + (-5).0

= 9 + 0 + 0

= 9

c. Diketahui : A dibentuk dari titik A ke titik B

B dibentuk dari titik C ke titik D

Jika : titik A ( 2,0,0) C (4,0,0)

B ( 0,3,0) D (0,0,5)

Hitunglah : A B = …? Dan gambarkan vector tersebut.

Jawab :

A = (0-2)ax + (3-0)ay + (0-0)az = -2ax + 3ay +0az

B = (0-4)ax + (0-0)ay + (5-0)az = -4ax + 0ay + 5az

A B = (-2 . -4) + (3 . 0 ) + (0 . 5) = 8

z

D(0,0,5)

B B(0,3,0)

A (2,0,0) y

C(4,0,0) A

x

7

12. Perkalian Silang

Besar A X B sama dengan besar A dikalikan dengan besar B dan kemudian

dikalikan dengan sinus sudut terkecil antara A dan B. Perkalian silang A X B

menghasilkan sebuah vector.

A X B = aN [ A ] [ B ] sin AB

A

B B X A = - (AXB)

A X B Perkalian silang vector A dan B

Misalkan :Dua vector yang komponennya diketahui, misalnya :A = Axax + Ayay + Azaz dan

B = Bxax + Byay + Bzaz

Maka :A X B = ( Ax ax + Ay ay + Az az ) X (B = Bxax + Byay + Bzaz )

= [(AxBx) (ax X ax) + (Ax`By) (ax X ay) + (AxBz) (ax X az)] +

[(AxBx) (ay X ax) + (AyBy) (ay X ay) + (AyBz) (ay X az)] +

[(AzBx) (az X ax) + (AzBy) (az X ay) + (AzBz) (az X az)

= (AyBz – AzBy) ax - (AxBz – AzBx) ay - (AxBy – AyBx) az

Contoh vector perkalian silang:a. Dik : A = 2ax + 5az

B = 3ay + 4az

Dit : Hitunglah A x B = …?

Jawab : A x B = ( 0 . 4 – 5 . 3 )ax + ( 5 . 0 – 2 . 4 )ay + ( 2. 3 – 0 . 0)az

= -15ax – 8ay + 6az

8

HUKUM COULOMB

Coulomb menyatakan bahwa gaya antara dua benda yang sangat kecil dalam

vakum atau ruang hampa yang terpisah pada jarak yang besar dibandingkan dengan

ukurannya, berbanding lurus dengan muatan masing-masing benda tersebut dan

berbanding terbalik dengan jarak kuadrat, atau

dengan Q1 dan Q2 merupakan besaran muatan yang negatif atau positif. R menyatakan

jarak yang memisahkan, dan k tetapan pembanding. Jika kita pakai Sistem Satuan

Internasional, Q diukur dalam coulomb (C), R dalam meter, gaya dalam Newton ( N),

maka tetapan pembanding k ditulis sebagai

factor 4 dalam penyebut hokum coulomb, tetapi tidak akan muncul dalam persamaan

lain yang lebih bermanfaat (termasuk persamaan Maxwell) yang akan kita dapatkan

dalam hukum Coumlomb. Tetapan baru 0 disebut permitivitas ruang hampa dan

besarnya dinyatakan dalam farad per meter ( F / m ), ialah

0

contoh : hitung F, bila

Q1= 4C Q2=10C

5 cm

Jawab:

DAFTAR PUSTAKA

9

+-

Hayt, William H. Engineering Electromagnetics, fifth Edition. McGraw-Hill, 1989.

Catatan harian mata kuliah Medan Elektromagnet.

Lembar presentasi Analisa Vektor oleh T.Hasanuddin, M.eng.

10