Analisa Vektor

Notasi Vektor Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen

vektor satuan sebagai

A = Axax + Ayay + Azaz

Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor Adidefinisikan sebagai

|A| =A=

Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh

222 AzAyAx

'|| AA

AAaA

Vektor dapat dijumlahkan dan juga dikurangkan

Aljabar Vektor

A ± B = (Axax + Ayay + Azaz) ± (Bxax + Byay + Bzaz)

= (Ax±Bx)ax + (Ay ± By)ay + (Az ± Bz)az

Sifat-sifat asosiatif, distributif, dan komutatif berlakudalam aljabar vektor

C = A+B=B+A

× A + (B + C) = (A + B) + C× k(A + B) = kA + kB, (kl + k2)A = kIA + k2A× A+B = B+A

A+(B+C) = (A+B)+C

Komutatif

Assosiatif

Komutatif & AssosiatifContoh : C= A+B=B+AKomunikatif

Contoh : D = A+(B+C) = (A+B)+CAssosiatif

B

Hasil perkalian vektor dengan skalar adalah vektor Besar perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan a (skalar)

dari nilai vektor asli Arah vektor yang dihasilkan adalah sama dengan arah vektor asal

bila a > 0, dan berlawanan dengan arah vektor asal bila Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum distributif , yaitu

a (A +B ) = aA + aB

Perkalian Vektor dengan Skalar

Contoh :

B = aAa<0,B berlawanan A

B = aAa > 0,B searah A

A • B = AB cos (dibaca sebagai "A titik B")

Hasil perkalian titik atau dot product adalah besaran skalar

Perkalian titik adalah komutatif

Perkalian titik adalah distributif

Perkalian titik memenuhi perkalian skalar

A.(B+C) = A.B + A.C

cos. BABA

Perkalian Titik (Dot) Dua Vektor

A.B = B.A

A • kB = k(A •B)

cosBAC

A • B = AxBx + AyBy + AzBz

di mana adalah sudut antara A dan B yang lebih kecil.Dalam bentuk komponen, perkalian titik adalah sama dengan

Contoh :

Hasil perkalian silang atau cross product adalah besaran vektor yang arah nya tegak lurus kedua vektor asal dengan aturan tangan kanan.

Perkalian silang tidak memenuhi hukum komutatif

Perkalian silang adalah distributif

sinBAAXBC

sinBAAXBC

= sudut antara A dan B yang lebih kecil. an = Vektor satuan adalah normal terhadap bidang datar A dan B Hasil perkalian silang memenuhi aturan tangan kanan / putaran

skrup

Perkalian Silang Dua Buah Vektor

AX(B+C) = AXB + AXC

AXB = -BXA

Contoh :

Perluasan perkalian silang dalam bentuk komponen-komponenvektor akan menghasilkan,

A x B = (Axax + Ayay + Azaz) x (Bxax + Byay + Bzaz)= (AYBZ – AzBz)ax + (AzBx - AxBz)ay + (AxBy – AyBx)az

Jika A = 2ax + 4ay – 3aZ dan B = ax – ay, carilah A • B dan A x B !

Penyelesaian!

2)0)(3()1)(4()1)(2( BA

azayaxazayax

BA 633011342

Contoh :

Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)!Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya?

Penyelesaian :Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6.Selanjutnya.

C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az

Magnituda C adalah

Vektor satuannya adalah 2

122

122

12 )()()(|| zzyyxxCC

212

212

212

121212

)()()(

)()()(

zzyyxx

azzayyaxxCCa zyx

C

Soal-soal dan PenyelesaiannyaSoal 1

Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinyapada vektor B = 5ax – ay + 2az!

Penyelesaian :A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar,proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh denganmenyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua sertamengambil perkalian titiknya.

Proyeksi A pada B = || BBA

aA B

A

BaB

Proyeksi A pada B

Jadi pada (2,2,1)Proyeksi A pada B =

301

)2()1()5(

)2)(0()1)(4()5)(1(|| 222

BBAaA B

Soal 2

Soal 3

Soal 3