Buku Integrasi Vektor Kerja 5 - annymath · PDF fileIntegrasi Vektor Program Studi Pendidikan...

Buku

Kerja 5 Integrasi Vektor

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny

99

INTEGRASI VEKTOR

Sebelum masuk ke integral garis, Anda pelajari dulu mengenai integral biasa

dari vektor.

Integral Biasa

Pada buku kerja 3, kita telah mengetahui

hubungan antara perpindahan, kecepatan, dan

percepatan. Kecepatan merupakan turunan

dari perpindahan sebagai fungsi waktu.

Percepatan merupakan turunan kecepatan

sebagai fungsi waktu.

Bagaimana jika kita ingin mencari kecepatan

dan perpindahan dengan diketahui

percepatannya? Percepatan adalah turunan dari kecepatan, berarti

kecepatan adalah anti turunan dari percepatan. Sedangkan, kecepatan adalah

turunan dari perpindahan, berarti perpindahan adalah anti turunan dari

kecepatan. Oleh karena itu, untuk mencari kecepatan berarti kita harus

mengintegralkan percepatan dan untuk mencari perpindahan berarti kita

harus mengintegralkan kecepatan.

Perhatikan definisi integral biasa dari fungsi vektor, sebagai berikut.

Definisi Integral Biasa

Misalkan , dimana sebuah vektor yang

bergantung pada variabel atau parameter t dan kontinu

dalam suatu selang yang ditentukan. Maka, integral tak tentu dari

didefinisikan sebagai berikut.

Materi pokok pertemuan ke 11: 1. Integral Biasa 2. Integral Garis

URAIAN MATERI

Buku




100

Jika terdapat sebuah vektor , sehingga

maka :

dimana adalah vektor konstanta.

Sedangkan integral tentu dengan batas antara dan t , dapat ditulis

Jadi, misalkan fungsi percepatan diberikan oleh

, yang bergantung pada parameter t (waktu). Maka, kecepatan

adalah integral dari percepatan diberikan oleh.

Setelah Anda mempelajari integral biasa dari fungsi vektor, selanjutnya Anda

pelajari integral garis dari fungsi vektor.

Integral Garis

Dalam buku kerja 2 telah dijelaskan

bahwa usaha merupakan hasil dari

perkalian titik antara gaya yang

dilakukan dengan perpindahan yang

terjadi.

Rumusnya adalah

Selanjutnya, coba perhatikan gambar berikut.

A

B

objek

Buku




101

Apa yang bisa Anda kemukakan dari gambar tersebut? Ada objek yang

bergerak dari titik A ke titik B namun objek tersebut bergerak tidak lurus.

Jadi, jika gaya yang diberikan berubah besar dan arahnya, dan objek bergerak

tidak lurus, maka usaha yang dilakukan adalah

Jika perubahannya kontinu, maka perumusan di atas berubah menjadi

integral

untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan C. Usaha yang

dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor .

Untuk lebih jelasnya, berikut definisi integral garis.

Definisi Integral Garis

Integral garis dari suatu fungsi vektor sepanjang kurva C yang

terdefinisi pada , didefinisikan sebagai berikut.

Selanjutnya, perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di samping tampak bahwa

objek bergerak sepanjang lintasan C

yang tidak lurus yang berawal dari titik

A dan berakhir pada titik B, dimana

A=B. Jadi, objek tersebut bergerak

sepanjang lintasan tertutup.

Jadi, usaha yang diperoleh pada lintasan tertutup di atas adalah

A

B

Objek

Buku




102

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini!

Contoh 1

Jika , carilah (a) dan (b)

Penyelesaian

(a)

(b)

di mana c adalah vektor konstan

Contoh 2

Jika dan , hitunglah

Penyelesaian

CONTOH SOAL

Buku




103

Contoh 3

Jika , hitunglah

dari (0, 0, 0) sampai (1, 1, 1) sepanjang lintasan berikut.

(a)

(b) Garis lurus dari (0, 0, 0)sampai(0, 0, 1), kemudian sampai (0, 1, 1)

dan setelah itu sampai (1, 1, 1)

(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 1) dan (1, 1, 1)

Penyelesaian

(a) Jika , titik (0, 0, 0)dan (1, 1, 1) masing-masing

dengan t = 0 dan t = 1 yang diperoleh dengan menggunakan persamaan

parameter. Maka

Metode lain

Sepanjang C, dan

. Maka

Buku




104

(b) Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) sampai (0, 0, 1),

sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang

bagian lintasan ini adalah

Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 1) sampai (0, 1, 1),






Jadi

(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) dalam bentuk

persamaan parameter adalah Maka

Contoh 4 Carilah usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam

medan gaya yang diberikan oleh sepanjang kurva

dari t =0 hingga t =2

Penyelesaian

Buku




105

Jadi, usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam

medan gaya adalah 100/3.

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!

Latihan 1

Hitunglah

Penyelesaian

Latihan 2 Percepatan a dari sebuah partikel pada sebarang t diberikan oleh

. Jika kecepatan v dan perpindahan r adalah

nol pada saat t = 0, carilah v dan r pada sebarang saat.

Penyelesaian

Perhatikan

, , maka:

(*)

Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan

substitusi ke persamaan (*), sehingga diperoleh

LATIHAN TERBIMBING

Buku




106

Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan

(**)

substitusi ke persamaan (**), sehingga diperoleh

Latihan 3

Jika . Hitunglah

sepanjang

lintasan-lintasan C berikut:

(a) dari t = 0 hingga t = 1

(b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan

kemudian ke (2, 1, 1)

(c) garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1)

Penyelesaian

(a) Jika , dari t = 0 dan t = 1. Maka

(b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan

kemudian ke (2, 1, 1).

Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1),

sedangkan z berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian

lintasan ini adalah

Buku




107







Jadi

(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1) dalam bentuk

persamaan parameter adalah Maka

Latihan 4

Jika , hitunglah

mengelilingi segitiga C

pada gambar berikut

Penyelesaian

Sepanjang garis lurus dari (0, 0) ke (2, 0), sedangkan

berubah dari 0 sampai 2. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

(2,1)

)

(2,0) O

Buku




108

Sepanjang garis lurus dari (2, 0) ke (2, 1), sedangkan

berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

Sepanjang garis lurus dari (2, 1) ke (0, 0), dalam bentuk persamaan

parameter adalah Maka

Jadi,

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!

Latihan 1 Misalkan , , dan .

Hitunglah

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




109

Latihan 2

Hitunglah

. Jika dan

Penyelesaian

Buku




110

Latihan 3 Percepatan a dari sebuah benda pada sebarang titik saat t diberikan oleh a =

- g j, di mana g sebuah konstanta. Pada saat t = 0 kecepatan diberikan oleh

dan perpindahan = 0. Carilah v dan r pada

sebarang saat t > 0. Ini menggambarkan gerak sebuah peluru yang

ditembakkan dari sebuah meriam yang membuat sudut terhadap sumbu

positif dengan kecepatan awal yang besarnya .

Penyelesaian

Latihan 4 Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dalam

medan gaya sepanjang

(a) garis lurus dari (0, 0, 0) ke (2, 1, 3)

(b) kurva ruang dari t = 0 ke t = 1

(c) Kurva yang didefinisikan oleh dari

Penyelesaian

Buku




111

Latihan 5

Hitunglah

di mana dan C adalah kurva

tertutup dalam bidang , dari

Penyelesaian

Buku




112

Latihan 6

Hitunglah

mengelilingi kurva tertutup C dari gambar di bawah

jika

Penyelesaian

y

x 0

(1,1)

Y=x2

Y2=x

Buku




113

Latihan 7 Jika . Hitunglah sirkulasi A mengelilingi sebuah

lingkaran C dengan pusat di titik asal dan jari-jari 2, jika C dilintasi dalam

arah positif.

Penyelesaian

Buku




114

Latihan 8 Diketahui

(a) Buktikan bahwa F adalah medan vektor konservatif

(b) Carilah potensial skalar untuk F

Penyelesaian

Buku




115

Kunci Jawaban Latihan 1 : 12

Latihan 2 : 10

Latihan 3 :

Latihan 4 : (a) 16, (b) 14,2 (c) 16

Latihan 5 : , jika C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah jarum

jam)

Latihan 6 : 2/3

Latihan 7 : 8

Latihan 8 :

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan

dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Buku




116

Integral Permukaan

Pernahkah Anda terpikir dari manakah kita mendapat air bersih? Ya, kita

mendapat air tersebut dari PDAM. Bagaimana PDAM menyalurkan air

tersebut? Agar air dapat sampai ke tempat

kita, air disalurkan melalui pipa. Air yang

mengalir melalui pipa tersebut memiliki

kecepatan. Kita dapat mengetahui berapa

volume air yang mengalir melewati pipa

tersebut dengan menggunakan rumus

integral permukaan. Semakin besar

kecepatan yang dimiliki air tersebut, maka

semakin besar pula volume air yang mengalir tersebut.

Jadi, misalkan = kecepatan pada setiap titik dari fluida yang bergerak,

dimana air adalah salah satu jenis fluida

Volume dari fluida yang melewati dalam detik

= volume yang terkandung dalam silinder dengan luas alas dan tinggi

atau panjang

Maka volume per detik dari fluida yang melewati

Volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S

adalah integral permukaan S dari vektor

Berikut definisi integral permukaan

Definisi Integral Permukaan

Misalkan S suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan adalah vektor

normal satuan positif, maka fluks (massa yang mengalir per satuan waktu)

dari melalui permukaan S adalah

Materi pokok pertemuan ke I1: 3. Integral permukaan

URAIAN MATERI

Buku




117

yang disebut integral permukaan.

Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan

memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung

integral lipat 2 dari proyeksinya.

Misalkan permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral

permukaan diberikan oleh

Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral permukaannya adalah

Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan diberikan oleh:


Contoh 1

Hitunglah

dimana , S adalah bagian dari

bidang yang terletak pada oktan pertama dan n adalah

normal satuan pada S.

Penyelesaian

Suatu normal untuk S adalah , sehingga

CONTOH SOAL

Buku




118

maka

Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang . Sehingga integral

permukaan yang diinginkan adalah

Buku




119

Contoh 2

Hitunglah

melalui permukaan S dari kubus satuan yang dibatasi

oleh bidang-bidang

Penyelesaian

Bidang DEFG : . Maka

Bidang ABCO : . Maka

Bidang ABGF : . Maka

B C

A 0

E D

F G

Buku




120

Bidang OGDC : . Maka

Bidang BCDE : . Maka

Bidang AFGO : . Maka

= 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3


LATIHAN TERBIMBING

Buku




121

Latihan 1

Hitung

jika dan S adalah permukaan bidang

dalam oktan pertama yang dipotong oleh bidang

Penyelesaian

Suatu normal untuk S adalah , sehingga

maka

Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang . Sehingga integral


Buku




122

Latihan 2

Hitung

jika dan S adalah permukaan

bidang dalam oktan pertama

Penyelesaian

Suatu normal untuk S adalah ,

sehingga

maka

Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang Sehingga integral


Buku




123


Latihan 1

Hitunglah

dimana , S adalah bagian dari

bidang yang terletak pada oktan pertama dan n normal

satuan pada S.

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




124

Latihan 2 Jika dan S adalah permukaan silinder parabolik

dalam oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang y=4 dan z=6,

hitunglah

Penyelesaian

Buku




125

Latihan 3

Hitunglah

melalui seluruh permukaan S dari daerah yang

dibatasi oleh silinder ,

Penyelesaian

Buku




126

Latihan 4

Hitunglah integral

jika dan S

adalah permukaan yang dibatasi oleh

Penyelesaian

Latihan 5

Hitunglah

jika , , dan S

adalah permukaan 2x+y+2z=6 yang dibatasi oleh x=0, x=1, y=0, dan y=2,

maka

Penyelesaian

Buku




127

Buku




128

Kunci Jawaban Latihan 1 : 27/4

Latihan 2 : 132

Latihan 3 :

Latihan 4 :

Latihan 5 :



Buku




129

Integral volume

Pernahkah terpikir berapa banyak air yang

dapat ditampung oleh sebuah bak mandi?

Anda dapat mencarinya dengan menggunakan

integral volume.

Berikut definisi integral volume

Integral Volume

Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume V,

maka

dinyatakan sebagai limit dari jumlah. Berikut penjelasannya:

Bagi ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume

seperti diperlihatkan pada gambar berikut.

Materi pokok pertemuan ke I3: 4. Integral Volume

URAIAN MATERI

Buku




130

Misalkan sebuah titik dalam

kubus ini. Definisikan

Pandang jumlah

yang diambil untuk semua kubus yang

mungkin dalam ruang yang ditinjau.

Limit dari jumlah ini, bila

sehingga kuantitas-kuantitas terbesar akan mendekati nol, dan jika limit

ini ada, dinyatakan oleh

adalah integral volume.

Agar lebih paham, pelajari contoh-contoh berikut!


Contoh 1

Misalkan . Hitunglah

dimana adalah ruang

yang dibatasi oleh permukaan-permukaan .

Penyelesaian

CONTOH SOAL

Buku




131

Integral untuk komponen i

Integral untuk komponen j

Integral untuk komponen k

Buku




132

Maka,

Contoh 2

Hitung

di mana ,V adalah ruang tertutup

yang dibatasi oleh , .

Penyelesaian

Buku




133

Jadi,


Latihan 1

Hitung

di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh

dengan

Penyelesaian

LATIHAN TERBIMBING

1

1 0

1

Buku




134

Latihan 2

Hitung

, di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh

silinder dan bidang-bidang

Penyelesaian

Buku




135

Latihan 3

Jika , hitunglah

di mana V adalah

ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang

Penyelesaian

Buku




136


Latihan 1 Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan ,

yang terletak dikuadran pertama jika diketahui

.

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




137

Latihan 2 Hitung integral lipat tiga di mana yang dibatasi oleh bidang

Penyelesaian

Buku




138

Latihan 3

Jika , hitunglah

di mana V

adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang

Penyelesaian

Buku




139

Latihan 4 Tentukanlah volume dan pusat daerah R yang dibatasi oleh silinder

parabolik dan bidang-bidang .

Penyelesaian

Buku




140

Buku




141

Kunci Jawaban

Latihan 1 :

Latihan 2 : 11/3

Latihan 3 :

Latihan 4 : 3/2



Buku Integrasi Vektor Kerja 5 - annymath · PDF fileIntegrasi Vektor Program Studi Pendidikan...

Documents

Transcript of Buku Integrasi Vektor Kerja 5 - annymath · PDF fileIntegrasi Vektor Program Studi Pendidikan...