1

6. INTEGRAL

2

6. 1 Integral Tak TentuF(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila

Contoh

dan adalah anti turunan dari

karena F’(x) = f(x).

Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannyaberupa suatu bilangan konstan.

Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu.

Notasi :

IxxfxF )()('

3

3

1)( xxF

2)( xxf

CxxF 3

3

1)(

f x dx F x C( ) ( )

3

6.2 Sifat-sifat integral tak tentu

A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan

Cr

xdxx

rr

1.1

1

Cxdxx cossin.2

, r -1

Cxdxx sincos.3

Cxdxx tansec.4 2

Cxdxx cotcsc.5 2

4

B. Sifat Kelinieran

C. Integral dengan substitusiMisal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f,maka

Contoh : Hitung

Misal

a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((

dxxgdu )('

dxxx 2103 )1(

13 xu 23xdx

du 23x

dudx

dxxx 2103 )1( duux

duxu 10

2210

3

1

3

Cu 11

11

1

3

1Cx 113 )1(

33

1

5

duudxx sin2

112sin

CxCu 12cos2

1cos

2

1

sin 2 1x dx

6

Soal Latihan

A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila

5103)( 2 xxxf

)632()( 572 xxxxf

f xx x

( ) 1 63 7

1.

2.

3.

7

x x dx2 34 2

x x x dx2 23 2 2 3

3 3 72x x dx

5 1 5 3 22 3x x x dx 3

2 52

y

ydy

cos sin4 2 2 2x x dx

B. Selesaikan integral tak tentu berikut

4.

5.

6.

7.

8.

9.

8

6.3 Notasi Sigma ( )Notasi sigma ( jumlah ) :

Sifat dan rumus sigma

dan...211

n

n

ii aaaa

k k k k nkn sukui

n

...

1

n

i

n

i

n

iiiii blaklbak

1 1 1

.1

n

i

nni

1 2

)1(.2

n

i

nnni

1

2

6

)12)(1(.3

n

i

nni

1

23

2

)1(.4

Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan denganinduksi matematika

9

6.4 Integral TentuIntegral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yangmenggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi padaselang tutup [ a,b ].

bxxxa n ...10

a b

Langkah :

1. Partisi selang [a,b] menjadi n selangdengan titik pembagian

},...,,,{ 210 nxbxxxaP disebut partisi dari [a,b].

2. Definisikan panjang partisi P, sebagai

11

|,||||| kkkk

nkxxxxMaksP

],[ 1 kkk xxc 3. Pilih k = 1, 2, ..., n

1x 1kx kx

kx

kc

10

a b2x 1kx kx

kx

kc

4. Bentuk jumlah Riemann

n

kkk xcf

1

)(

0|||| P

n

P kkk xcf

10||||

)(lim

Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann

n

k kxkcfn

b

a

n

k kxkcfP

dxxf1

)(lim1

)(0|||

lim)(

Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkanRiemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg

)( kcf

11

Contoh: Hitung 2

0

2 dxx

Jawab : Langkah

(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjangn

x 2

0 2x xxx

1x 2x 1ixix 1nx

sehingga

00 x

nxx 2

1 0

n.xx 22

2 20

ni

i xix 20

………………………………………………

12

(ii) Pilih ii xc

(iii) Bentuk jumlah reiman

n

i

n

inn

iii xcf

1 1

22 2

n

inn

i

1

442

n

i

n

i ni

n 112

144

nn

n

)n(n

n

22

4

2

142

(iv) Jika n

2

0

2 222nn

limdxx

13

Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b]maka integral tentu diatas menyatakan luas daerahyang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu xantara garis x = a dan x = b

Sifat integral tentu

p f x q g x dx p f x dx q g x dxa

b

a

b

a

b( ) ( ) ( ) ( )

1. Sifat linear

2. Jika a < b < c, maka

f x dx f x dx f x dxa

c

a

b

b

c( ) ( ) ( )

14

f x dxa

a( ) 0 f x dx f x dx

a

b

b

a

( )3. dan

4. Bila f(x) ganjil , maka

a

a

dxxf 0)(

5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dxa

a

a( ) ( )

2

0

15

6.6 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)

6.6.1 TDK IMisal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).Maka

Contoh: Selesaikan integral tentu

Jawab : Misal u = 2x du = 2 dx. MakaSehingga

f x dx F b F aa

b( ) ( ) ( )

sin 2

2

x dx

1cos2cos2

12cos

2

12sin

2/2

xdxx

Cxdxx 2cos2

12sin

16

Contoh: Hitung 2

0

22 3 dxxx

Jawab : misalx

dudxxdxduxu

222

duux

duxudxxx 2222

2

1

2)3(

CxCu 323 )3(6

1

3

1

2

1

0

13

6

13

321

0

22 xdxxx

3232 30316

1

27646

1

6

37

17

Contoh; hitung

5

1

|2| dxx

Jawab :

22

222

x,)x(

x,x|x|)x(f

5

1

2

1

5

2222 dxxdxxdx|x|

5

2

221

2

1

221 22 xxxx

= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )

= ½+9/2 = 5

18

Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx( )0

5

f xx x

x x( )

,

,

2 0 2

6 2 51.

2. f(x) = |x -1|

3

1

3

4

2)( xxxf 3.

19

6.6.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu) Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],

maka

Secara umum

)('))(()()(

xuxufdttfDxu

a

x

)()( xfdttfDx

a

x

)('))(()('))(()()(

)(

xuxufxvxvfdttfDxv

xu

x

20

2

4

31)(x

dttxG x

dttxG1

31)(

.

Contoh: Hitung G’(x) dari

a. b.

Jawab:

a. 31)( ttf 31)(' xxG

b. 31)( ttf 2)( xxu

)()(1)(' 232 xDxxxG

612 xx

21

Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx( )0

5

f xx x

x x( )

,

,

2 0 2

6 2 51.

2. f(x) = |x -1|

3

1

3

4

2)( xxxf 3.

22

Untuk soal 4 s/d 7 hitung integral tentu berikut

3 12 3

1

0x x dx

8 7 2 2

3

3t t dt

x

x xdx

2

31

3 1

3

sin cos/

2

0

23 3x x dx

4.

5.

6.

7.

23

Untuk soal 8 s/d 12 tentukan dari)(' xG

G xt

dtx

( )

1

121

G xt

dtx

x( )

1

12

2

G x t dtx

( ) sin 22

12

x

dssxG

)2tan()(

dtt

xGx

3

031

1)(

8.

9.

10.

11.

12.