P D GE Click to buy NOW! .docut r a c k 4. Menerapkan...

59

44.. MMeenneerraappkkaann KKoonnsseepp IInntteeggrraall ddaallaamm PPeemmeeccaahhaann MMaassaallaahh

A. Tujuan AkhirSetelah mempelajari Kegiatan belajar pada Modul 17 ini diharapkan siswa dapat :8. Menjelaskan integral sebagai anti turunan.9. Membedakan integral tak tentu dan integral tertentu.10. Menentukan nilai integral tertentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.11. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.12. Menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar.

Kegiatan Belajar 1.

A. Tujuan Kegiatan Belajar 1.Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :11. menjelaskan arti integral sebagai anti turunan fungsi,12. menentukan integral tak tentu dari fungsi sederhana,13. menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar,14. menentukan integral tak tentu dari fungsi trigonometri,15. menjelaskan sifatsifat integral tak tentu,16. melakukan kajian pustaka tentang definisi hitung integral.

B. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1.

1. Pengertian Fungsi Integral

Jika fungsi y = F (x) kontinu pada domain Df, sedemikian hingga( ) ( ) ( )xfxF

dxxdF

== ' , maka

a. untuk mencari ( ) ( )xfxF =' digunakan operasi turunan fungsi atau derivative (hitungdefferensial).

b. Untuk mencari y = F (x) digunakan operasi anti turunan atau anti derivative atau lebih lazimdisebut hitung integral.

Jadi hitung integral adalah kebalikan (invers) dari hitung defferensial.

2. Integral tak tentuPerhatikan deskripsi berikut dengan mengingat kembali rumus turunan fungsi:Jika ( ) 23xxf = maka ( ) xxf 6' =Jika ( ) 63 2 += xxf maka ( ) xxf 6' =Jika ( ) 133 2 −= xxf maka ( ) xxf 6' =Jika ( ) Cxxf += 23 dengan C konstanta sembarang maka ( ) xxf 6' =Dan seterusnyaSehingga apabila yang ditanyakan f (x) dan yang diketahui f ‘(x)

∫ += Cxdxx 236Jadi secara umum

Jika ( ) ( ) ( )xfdx

xFdxF ==' maka ( ) ( )∫ += CxFdxxf

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE

www.docutrack.com Clic

k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com

http://www.docu-track.com/index.php?page=38


60

Hasil pengintegralan tersebut ditambah dengan C yaitu suatu konstanta sembarang, Integralseperti inilah yang disebut dengan integral tak tentu.

3. Integral fungsi aljabarIntegral Fungsi aljabar :

Contoh 1;Selesaikan pengintegralan berikut :a. ∫ 2 dx

b. dxx2

5∫c. ∫ x dx

Penyelesaian:

a. ∫ 2 dx = 2x + C

Perhatikan bahwa( ) ( )xfdx

CxFd=

+ )( (fungsi integran)

Misal ( ) Cxxf += 2 maka( ) 202 =+=

dxxFd

(fungsi integran)

jadi pengintegralan benar.

b. dxx2

5∫ = 3

35 x + C = x 3 + C


CxFd=


Misal ( ) Cxxf += 3

35

maka( ) 22 505 xx

dxxFd

=+= (fungsi integran)

jadi pengintegralan benar

c. ∫ x dx = ∫ 21

x dx =32

x 23

+ C =32 3x + C


CxFd=


Misal ( ) CxCxxf +=+= 23

.32.

32 3 maka

( ) xxxdx

xFd==+= 2

121

023.

32

(fungsi integran)

∫ ++

= + Cxn

dxx nn 1

11

, dengan n 1

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



61

Jadi pengintegralan benar.

4. Integral dan sifatnya. Sifatsifat Integral sebagai berikut :

Contoh 2;

Selesaikanlah integral dari ( )∫ −+ dxxx 423 2

Penyeleasian:( )∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dxdxxdxxdxxx 423423 22

= ∫ ∫ ∫−+ dxdxxdxx 423 2

= Cxxx +−+ 421.2

31.3 23

= Cxxx +−+ 423

Contoh 3 :Tentukan f(x) jika diketahui F’(x) = 2x – 3 dan f(1) = 5

Penyeleasian:f(x) = ∫ F’(x) dx = ∫ − )32( x dx = x x32 − + C

f(1) = 2 2 3.2 + C 5 = 8 – 6 + C

C = 3Jadi f(x) = 2x 332 +− x

Contoh 4 ;Tentukan fungsi F (x) jika F ‘’(x) = 2, F ‘(2) = 0 dan F (2)= 14 !

Penyelesaian ;( ) ( )∫ ∫== dxdxxFxF 2'''

( ) CxxF += 2'untuk x = 2 berarti ( ) ( ) 0222' =+−=− CF 4 + C = 0 C = 4

( ) ( )∫ ∫ +== dxxdxxFxF 42'

( ) CxxxF ++= 42

∫ ± ))()(( xgxf dx = ∫ )(xf dx ± ∫ )(xg dx

∫ )(xcf dx = c ∫ )(xf dx , di mana c adalah konstanta.

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



62

untuk x = 2 berarti ( ) ( ) ( ) 142422 2 =+−+−=− CF 4 – 8 + C = 14 C = 10Jadi F (x) = x2 + 4x + 10

5. Penerapan Integral tak tentuPenerapan pada geometriBahwa gradient garis singgung kurva di sembarang titik A (x, y) adalah turunan pertama darifungsi itu.

Sehingga untuk menentukan fungsi (F (x)) yang diketahui gradient di titik A (x, y) pada grafikfungsi, ditentukan dengan menggunakan hitung integral.

Contoh 5;Gradien garis singgung kurva di setiap titik adalah 2x. Jika kuva melalui titik (3, 3). Tentukanpesamaan kurva tersebut !

Penyelesaian ;

y = ∫ dxxF )(' = ∫ xd2 x = x2 + C

Kurva melalui titik (3, 3) berarti; C = 6Jadi , persamaan kurva yang dimaksud adalah y = x2 – 6

Penerapan pada mekanikaHubungan antara kecepatan (v) dan percepatan (a) dengan jarak tempuh (s) benda bergerak ituberturutturut dapat dirumuskan dengan persamaan sebagai berikut :

Jika kecepatan benda pada saat t detik diketahui, maka panjang lintasan benda saat t dapatdirumuskan sebagai berikut :

( ) ( )tsdtdvadants

dtdsv ''' ====

( )∫ ∫== dttFsataudtvs '

( )xFdxdym '==

Jikadxdy = F’(x) maka y = ∫ dxxF )(' atau y = ∫ dxm

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



63

Dan jika percepatan benda bergerak diketahui maka kecepatannya dapat ditentukan sebagaiberikut ;

Contoh 6;

Diketahui kecepatan benda bergerak dengan persamaan 2310 tv −= m/dt. Jika vdtds

= dan s =

0 saat t = 0, maka tentukan :a. jarak tempuh benda s dalam t !b. s saat t = 2 dt !

Penyelesaian ;2310 tv −= 2310 t

dtds

−=

dtdsv = dttds 2310 −=

∫ −= dtts 2310

Ctts +−= 310Saat t = 0, s = 0 berarti C+−= 300.100 atau C = 0Jadia. Rumus panjang lintasan 310 tts −=b. Saat t = 2 dt berarti 322.10 −=s atau s = 12 meter.

6. Integral Fungsi Trigonometri

Integral fungsi trigonometri dirumuskan sebagai berikut :

Contoh 7;Tentukan penyelesaian dari ( )∫ − dxxCosxSin2 !

Penyelesaian ;

( )∫ ∫ ∫−=− dxxdxxdxxCosxSin cossin22

( )∫ ∫== dttFvataudtav ''

∫ +−= CxCosdxxSin

∫ += CxSindxxCos

∫ += CxdxxSec 2 tan

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



64

= ∫ ∫− dxxCosdxxSin2 = CSinxxCos +−− )(2 = CxSinx +−− cos2Jika koefisien sudutnya lebih dari 1, maka runusnya sebagai berikut :

Contoh 8;Tentukan penyelesaian dari ∫ dxxCos 3

Penyelesaian :

∫ += CxSindxxCos )3(313

= CxSin +331

C, Lembar Kerja Siswa .

1. Selesaikan integral tak tentu berikut !a. ∫ x dx d. ∫ 2

3x

dx

b. ∫ 34x dx e. dxx∫ 3 2

6

c. ∫ −32x dx f. ∫ 214x x dx

2. Selesaikan integral tak tentu berikut:a. ∫ − )42( x dx d. )13( 3

3

xx −∫ dx

b. )2( 2 xx −∫ dx e. ∫ +− )653( 2 xx dx

c. )52(5 2 xxx −∫ dx f. ∫ − 2)2(x dx

3. Tentukan persamaan grafik fungsi F (x) yang melalui titik (2, 5) jika( ) xx

dxxFd 92 2 −=

( ) ( )∫ ++−=+ CbaxCosa

dxbaxSin 1

( ) ( )∫ ++=+ CbaxSina

dxbaxCos 1

( )∫ ++= CbaxTga

dxxSec 12

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



65

4. Diketahui gradien garis singgung pada sembarang titik dari sebuah fungsi y = F (x) adalah

2

1xdx

dy= , jika grafik itu melalui titik (2,1/ 2), maka tentukan persamaan grafik itu!

5. Benda bergerak dengan kecepatan v m/dt dengan persamaan v = 8t – 3, pada saat t = 1 dt posisibenda berada pada jarak 6 m. tentukan persamaan jarak tempuh benda saat t dt, dan hitunglah dimana posisi benda saat t = 5 dt !

6. Tentukan integral dari soal – soal berikut:a. ∫ − dxxSinxCos 2 d. ∫ dxxCos

41

b. ∫ dxxCos 5 e. ( )∫ + dxxCos 63

c. ∫ dxxSin21 f. ( )∫ − dxxSin 322

7. Tentukan F (x) jika F ‘(x) = Sin x dan 22

=

πF

8. Tentukan F (x) jika F ‘(x) = 3 Cos x – 2 Sin x dan ( ) 50 =F

9. Tentukan F (x) jika F ‘(x) = Sec2 x dan 84

=

πF

10.Tentukan F (x) jika F ‘(x) = 2 Cos x dan 46

=

πF

Kegiatan Belajar 2.

C. Tujuan Kegiatan Belajar 2.Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :7. Mengenal integral tertentu dan sifatsifatnya,8. Dapat menentukan nilai integral tertentu dari fungsi aljabar,9. Dapat menentukan nilai integral tertentu dari fungsi trigonometri.

B. Uraian Materi

Integral Tertentu.

Jika F (x) adalah anti turunan dari f (x) dan kontinu pada interval (a, b), maka akan berlaku;

Sifatsifat integral tertentu:

1. Sifatsifat yang berlaku pada integral tak tentu, yang sebelumnya kita pelajari masih berlakupada integral tertentu.

( ) ( )[ ]ba

b

a

xFdxxf =∫( ) ( )aFbF −=

Di mana ; a disebut batas bawah integral dan b disebut batas atas integral

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



66

2. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0=−==∫ aFaFxFdxxf aa

a

a

3. ( ) ( )∫∫ −=a

b

b

a

xfdxxf

4. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]capadakontinuxfcbamanadidxxfdxxfdxxfc

b

b

a

c

a

,,, <<+= ∫∫∫

Contoh 1 :Tentukanlah nilai dari integral tertentu berikut ini;

a. ( )dxxx∫−

1

2

23

b. dxxx∫ −2

1

2 2

Penyelesaian :

a. ( ) [ ]1 23

1

2

23 −−

=∫ xdxxx

= ( )33 21 −− = 1 – (8) = 9

b. [ ]21232

1

2 23 xxdxxx −=−∫ = ( )2323 1122 −−− = 8 – 4 – (1 – 1) = 4Contoh 2 :

Carilah batas atas p dari ∫ =p

dxx0

2 9

Penyelesaian;

∫ =p

dxx0

2 9

931

0

3 =

p

x

9031

31 33 =−p

931 3 =p

273 =p3=p

Contoh 3 :

Hitunglah nilai integral tertentu dari fungsi trigonometri berikut ini; ( )dxxx∫ −π

0

sincos

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



67

Penyelesaian;

( ) [ ]ππ

00

cossinsincos xxdxxx +=−∫ = ( )0cos0sincossin +−+ ππ = 0 + (1) – (0 + 1) = 2

C. Lembar Kerja SiswaJawablah dengan singkat dan benar !

1. Hitunglah nilai dari integal berikut!

a. ∫−

4

2

4dx d. ∫−

+2

2

)42( dxx

b. ∫2

02

1 dxx

e. . ∫−

−3

3

2 )43( dxx

c. ∫4

1

2 dxx f. ∫−

+3

1

2 )( dxxx

2. Tentukan batas atas a dari pengintegralan 640

=∫a

dxx

3. Tentukan batas bawah n dari pengintegralan ∫ −=−3

943n

dxx

4. Hitunglah nilai integral tertentu dari fungsi trigonometri berikut !

a. ∫π

31

0

2sin dxx c. ∫2

0

cos2

π

dxx e. ( )∫ +2

0

2cos2sin

π

dxxx

b. ∫4

0

4sin

π

dxx d. ∫6

0

3cos3

π

dxxf. ( )∫

π

−0

dxx2x2 sincos

Kegiatan Belajar 3.

A. Tujuan Kegiatan Belajar. Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :7. menghitung luas daerah di bawah kurva,8. menghitung luas daerah di antara dua kurva,9. menghitung volume benda putar.

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



68

B. Uraian Materi1. Menghitung Luas Daerah di Bawah Kurva y = f(x), Sumbu x, garis x = a dan garis x = b a. Jika f(x) > 0 (kurva di atas sumbux)

Luas persegipanjang berarsir = f (x) . x. Maka luas daerah yang dibatasi oleh fungsi f(x), garis x =a dan x = b, dengan cara menjumlah luas persegipanjang kecilkecil itu di sepanjang y = f (x). Jika

x mendekati 0 maka luasnya :L = atau :

b. Jika f(x) < 0 (kurva di bawah sumbu x)

Dengan cara dan pemahaman yang sama luas daerah berarsir di bawah sumbu x dapat dirumuskansebagai berikut:

Contoh 1 :

y

a b x

y = f (x)

x

y =

f (x

)

L = ∫b

a

dxxf )( = ∫b

a

dxy

x

y = f (x)

y

a b

L = ∫b

a

dxxf )( atau L = ∫a

b

dxxf )(

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



69

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, garis x = 3 dan x = 6 !

Penyelesaian :

Contoh 2 :

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4 dan sumbux !

Penyelesaian :

Titik potong dengan sumbu x adalah :x2 – 4 = 0( x – 2 ). ( x + 2 ) = 0x = 2 atau x = 2

Contoh 3 :

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3, sumbu X, garis x = 2 dan garis x = 2 !Penyelesaian :

x

y

2 2

y = x2 4

Y y = x2

0 3 6 X

L = ∫6

3

2 dxx

= [ ]6

33

31 x

= [ ] [ ]3313

31 3.6. −

= [ ] [ ]27.216. 31

31 −

= 72 – 9

= 63 satuan luas

L = dxx )4(2

2

2 −− ∫−

= [ ] 2

23

31 4 −−− xx

= [ ]))2(4)2.(()2.42.( 3313

31 −−−−−−

= [ ])8.()8( 38

38 +−−−−

= [ ]88 38

38 −+−−

= [ ]16316 −−

= [ ]165 31 −−

= [ ]3210−−

= 3210 satuan luas

L = ∫ ∫−

+−0

2

2

0

33 dxxdxx

= [ ] [ ]2

04

410

24

41 .. xx +− −

= [ ] [ ]00 416

416 −+−−

=4

164

16+

= 4 + 4

= 8 satuan luas

Y

y=x3

2 2 X

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



70

2. Menghitung Luas Daerah Antara Dua Kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) pada interval bxa ≤≤ denganf(x) > g(x) dapat ditentukan dengan rumus :

Contoh 4:

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = x !

Penyelesaian :

y = x2

Y y = x y = x2 dan y = x Titik potongnya : x2 = x x2 – x = 0 x. (x – 1 ) = 0

x = 0 atau x = 1 Jadi batas integralnya 0 sampai 1

0

Jadi L = [ ]dxxx∫ −1

0

2

= [ ]103312

21 .. xx −

= [ ] [ ]001.1. 3312

21 −−−

L = [ ]∫ −b

a

dxxgxf )()(

y = f (x)

y = g (x)

x=a x=b

f (x)

– g

(x)

x x

y

y

x

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



71

=

−

31

21

=6

23 − =

61

satuan luas

3. Menghitung Volume Benda Putar Daerah Yang Dibatasi Kurva y = f(x), Sumbu X, Garis x = a dan Garis x = b

a. Perputaran Mengelilingi Sumbu X

Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X , garisx = a dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah :

Contoh 5 :

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = 3x + 1 , sumbu X,garis x = 1 dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o !

Penyelesaian :

y = f (x)

x

y

ba

x

y y = 3x +1

X = 1 X = 2

V = [ ]∫ +2

1

213 dxx

= [ ]∫ ++2

1

2 169 dxxx

= [ ] 21

23 33 xxx ++

= [ ])11.31.3()22.32.3( 2323 ++−++

= [ ])11.31.3()24.38.3( ++−++

= [ ])133()21224( ++−++

= [ ])7()38( −

= 31 satuan volume

V = [ ]∫b

a

dxxf 2)(π atau V = ∫b

a

dxy 2π

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



72

b. Perputaran Mengelilingi Sumbu Y

Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva x = f(y), sumbu Y , garis y = a dangaris y = b diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o adalah :

Contoh 6 :

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = 4x2, sumbu Y, garisy = 0 dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o!Penyelesaian :

Kurva y = 4x2 ⇒ x2 = 4 y

V = ∫2

0

2 dyx

= [ ]∫ −2

0

4 dyy

= [ ] 2

02

214 yy −

= [ ])0.0.4()2.2.4( 2212

21 −−−

= [ ])00()28( −−−= [ ]06 −= 6 satuan volume

10. Menghitung Volume Benda Putar Daerah Yang Dibatasi Dua Kurva y1= f(x) dan y2= g(x), Garis x = a dan Garis x = ba. Perputaran Mengelilingi Sumbu X

x

y

y = a

y = b

V = [ ]∫b

a

dyyf 2)(π atau V = ∫b

a

dyx 2π

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



73

Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh dua kurva y1= f(x) dan y2= g(x),garis x = a dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o dengan 2

22

1 yy ⟩ adalah :

Contoh 7 :

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dany = x2 diputar mengelilingi sumbux sejauh 360o !

Penyelesaian :

Titik potong dua garis dicari dulu yaitu :y = x2

y = 2x ⇒ x2 = 2xx2 = 2xx2 – 2x = 0x (x – 2 ) = 0x = 0 atau x = 2

Jadi batas integralnya 0 sampai 2

V = [ ]∫ −2

0

22

21 dxyyπ

= [ ]∫ −2

0

222 )()2( dxxxπ

= [ ]∫ −1

0

424 dxxxπ

= [ ]205513

34 xx −π

= [ ])0.0.()2.2.( 5513

345

513

34 −−−π

=

−

532

332π

= π

−

1596160

= π1564

satuan volume

b. Perputaran Mengelilingi Sumbu YVolume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh dua kurva )(1 yfx = dan

)(2 ygx = , garis y = a dan garis y = b diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o dengan2

22

1 xx ⟩ adalah :

V = [ ]∫ −b

a

dxxgxf 22 )()(π atau V = [ ]∫ −b

a

dxyy 22

21π

V = [ ]∫ −b

a

dyygyf 22 )()(π atau V = [ ]∫ −b

a

dyxx 22

21π

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



74

Contoh 8 :Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva xy =dan 2y = x jika diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o !

Penyelesaian :xy = ⇒ 2yx =

2 xy = ⇒ yx 2=

Titik potongnya : yy 22 =022 =− yy

y ( y 2) = 0 y = 0 ayau y = 2

Jadi batas integralnya 0 sampai 1

V = [ ]∫ −2

0

22

21 dyxxπ

= [ ]∫ −2

0

222 )()2( dyyyπ

= [ ]∫ −2

0

424 dyyyπ

= [ ]2

05

513

34 yy −π

= [ ])0.0.()2.2.( 5513

345

513

34 −−−π

=

−− )0()

532

332(π

=

−

1596160π

= π1564

satuan volume

C. Lembar Kerja SiswaJawablah dengan singkat dan benar !

1. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut !

6

4

x

ya.

3

6

x

yb.

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



75

2. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut !

a. b.

3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 4 , sumbu X, garis x = 0 dan garisx = 3 !

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 5x – x2 dan garis y = x !5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 4 dan y = 6x – x2 !6. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir berikut diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 360o !

a. b.

7. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir berikut diputarmengelilingi sumbu Y sejauh 360o !

a. b.

x

yy = x2

y = 4 3x

x

y

y = 4 3x

y = x2

x

y

92 −= xy

x

y

xy =

x = 1 x = 4

x

y

6

6xy += 6

x

y

0

322xy =

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



76

8. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = 2x + 5, sumbuX, garis x = 1 dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o !

9. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbuY, sumbu X dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o !

10.Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = x2 3, sumbu X,garis y = 0 dan garis y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o !

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



77

EEVVAALLUUAASSII KKOOMMPPEETTEENNSSII

Kerjakan soalsoal berikut ini dengan memilih salah satu jawaban yang ada !

1. ∫ dxx23 =

A. Cxx ++332 C. Cx +3 E. Cxx +− 44 3

B. Cx +34 D. Cx +351

2. ∫ −+ dxxx )523( 2 =

A. Cxxx +++ 52332 C. Cxxx +−+ 523 E. Cxx +− 54 3

B. Cxxx +++ 54 23 D. Cxx ++ 5351

3. Integralkanlah dx)x8xx3xx4( 2 +−∫ = …

A. cxxx 23

25

27

316

56

78 ++− D. cxxx4 2

325

27

316

56 ++−

B. cxxx 21

23

25

316

56

78 ++− E. cxxx 2

325

27

163

65

87 ++−

C. cx8x3x4 23

25

27

++−

4. ∫ − dxx 22 )1( = … .

A. Cxxx ++− 3325

51 C. Cxx +− 3

325

51 E. Cxx +− 44 3

B. Cxx ++− 144 3 D. Cxxx ++− 2351 2

5. dxxx∫ − 2)2( = … .

A. Cxxxx ++− 2583

31 C. Cxxxx ++− 223

31 210 E. Cxxxx ++− 22

583

31 2

B. Cxxxx ++− 2583

31 D. Cxxxx ++− 2103

31

6. dxxx )2sin(cos +∫ = … .

A. sin x – ½ cos 2x + c C. sin x + ½ cos 2x + c E. –sin x – ½ cos 2x + cB. sin x + 2 cos 2x + c D. –sin x + 2 cos 2x + c

7. (4x3 221x

+ 5x x ) dx adalah … .

A. 4x4 +x21

+ 5x2 x + c D. x4 x21

+ 2x2 x + c

B. x4+x21

+ 5x2 x + c E. x4 x21

+ 5x2 x +c

C. x4 +x21

+ 2x2 x + c

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



78

8. dxxx )310( 24 +∫ = … .

A. 10x Cx ++ 35 3 C. Cxx ++ 35

25 E. Cxx ++ 35 32

B. Cxx ++ 35 325 D. Cxx ++ 35 32

9. Nilai ∫ (x2 + 2) dx adalah … .

A. 31

x3 + 2x + C B. 21

x3 + 2x + C C. 31

x3 + 2x2 + CD. 2x3 + 2x + C E. 3

1x3 + 2x + C

10. Nilai dari dx)2(3 22

0

−∫ x adalah … .

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12

11. Hitunglah dx3.)2( 22

2

xx +∫−

= … .

A. 24 B. 32 C. 36 D. 54 E. 64

12. ∫−

++−2

1

2 )22( dxxx = … .

A. 4 B. 4 ½ C. 4 2/3 D. 6 E. 6 2/3

13. Luas daerah yang diarsir di samping adalah … sat luas

A. 9 ½ D. 13 ½B.11 ½ E. 14 ½C. 12 ½

14. Volume benda putar yang terjadi dari garis y – x 3 = 0, garis x = 2, garis x = 4 dan diputar terhadapsumbux adalah … satuan volum.

A. 54 π32 B. 58 π3

2 C. 60 π32 D. 62 π3

2 E. 64 π32

15. Perhatikan gambar disamping ! Volume benda putar yang terjadiadalah … satuan volum.

A. 98 π31 D. 121 π3

1

B. 102 π31 E. 122 π3

1

C. 112 π31

16. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi y= x2 6x + 5, garis x= 2, garis x= 5 dan sumbu x adalah … .

x

y

9

42

0

y = x+2

f(x) = x2 + 2x + 8

x

y

0 4

y = 2x + 1

x = 4

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



79

A. 7. 2/3 sat luas C. 8 . 2/3 sat luas E. 9 sat luasB. 8 sat luas D. 8 ½ sat luas

17. Luas daearh yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah … ..

A. 326 sat luas C. 2

14 sat luas E. 31 sat luas

B. 324 sat luas D. 3

13 sat luas

18. Luas daerah berarsir pada gambar di bawah ini adalah … .satuan luas.

A. 16/3 C. 32/3 E. 16B. 16/3 D. 32/3

19. ∫ −2

1

12 )( 23 dxxx

= … .

A. 1/8 B. 1/4 C. 3/4 D. 7/4 E. 9/4

20. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 x2 dan sumbu x adalah … ..

A. 5 31 sat luas B. 6 sat luas C. 8 3

2 sat luas D. 9 sat luas E. 10 31 sat luas

21. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 2x + 3 dan sumbu x adalah … ..

A. 5 31 sat luas B. 6 sat luas C. 7 3

1 sat luas D. 9 sat luas E. 10 31 sat luas

22. Volum benda putar yang terjadi bila daerah antara kurva y = sin x dan sumbu x diputar mengelilingisumbu x dari x = ¼ π sampai dengan x = π adalah … .

A. )32(81 −ππ B. )23(8

1 +ππ C. )23(81 −ππ

D. )32(81 +ππ E. )44(8

1 −ππ

23. Daerah yang dibatasi y = X ; sumbu x, x = 0 dan x = 4 diputar mengelilingi sumbu x sejauh satuputaran.Isi benda putar yang terjadi adalah … satuan volume.

A. B. C. D. E.

24. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 2, garis x = 1 dan garis x= 3 diputar mengelilingi sumbu X adalah … satuan volum.

A. 34π B. 38π C. 46π D. 50π E. 52π

25. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva Y = x + 3, sumbu x, garis x= 2 dan x = 1 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah … .

A. 19 B. 1931 C. 44 D. 45 E. 47

y

x

y = 3x – x2

02

2

x22

y

Click t

o buy NOW!

PDFXCHANGE


k to buy N

OW!PDFXCHANGE

www.docutrack.com



P D GE Click to buy NOW! .docut r a c k 4. Menerapkan...

Documents

Transcript of P D GE Click to buy NOW! .docut r a c k 4. Menerapkan...