Outline

BAB 7. Integral

Program Studi Teknik Mesin

Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember

31st May 2017

Outline

1 Integral

Pengertian

Rumus dasar

Sifat

Teknik pengintegralan

Penerapan integral

Integral

Pengertian

MATEMATIKA LANJUT

1 Integral

Pengertian

Rumus dasar

Sifat

Teknik pengintegralan

Penerapan integral

Integral

Pengertian

Integral

Y Y ′ Y”

Turunan Turunan

Integral

Figure: Anti turunan

Secara umum

jika y ′ = dydx atau dy = y ′dx maka

Rdy = y =

Ry ′

Dapat ditulis

Untuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulisRF ′(x)dx = F (x) + c

Integral

Pengertian

Integral

Y Y ′ Y”

Turunan Turunan

Integral

Figure: Anti turunan

Secara umum

jika y ′ = dydx atau dy = y ′dx maka

Rdy = y =

Ry ′

Dapat ditulis

Untuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulisRF ′(x)dx = F (x) + c

Integral

Rumus dasar

MATEMATIKA LANJUT

1 Integral

Pengertian

Rumus dasar

Sifat

Teknik pengintegralan

Penerapan integral

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabarRaxndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) danR

1x =

Rx−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1R

cosx dx = sinx + c

2R

sinx dx = −cosx + c

3R

sec2x dx = tanx + c

4R

cosec2x dx = −cotx + c

5R

secxtanx dx = secx + c

6R

cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponenRax dx = ax

ln a + c, logaritma :R a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x2 − 4x) dx =

2R(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x2 − 4x) dx =

2R(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x2 − 4x) dx =

2R(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =

Integral

Sifat

MATEMATIKA LANJUT

1 Integral

Pengertian

Rumus dasar

Sifat

Teknik pengintegralan

Penerapan integral

Integral

Sifat

Sifat

Sifat

1R{f (x) ± g(x) dx =

Rf (x) dx +

Rg(x) dx

2R

k f (x) dx = kR

f (x) dx

3R b−a f (x) dx = −

R ab f (x) dx

4R b−a f (x) dx +

R cb f (x) dx =

R c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2R 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat

1R{f (x) ± g(x) dx =

Rf (x) dx +

Rg(x) dx

2R

k f (x) dx = kR

f (x) dx

3R b−a f (x) dx = −

R ab f (x) dx

4R b−a f (x) dx +

R cb f (x) dx =

R c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2R 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat

1R{f (x) ± g(x) dx =

Rf (x) dx +

Rg(x) dx

2R

k f (x) dx = kR

f (x) dx

3R b−a f (x) dx = −

R ab f (x) dx

4R b−a f (x) dx +

R cb f (x) dx =

R c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2R 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat

1R{f (x) ± g(x) dx =

Rf (x) dx +

Rg(x) dx

2R

k f (x) dx = kR

f (x) dx

3R b−a f (x) dx = −

R ab f (x) dx

4R b−a f (x) dx +

R cb f (x) dx =

R c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2R 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat

1R{f (x) ± g(x) dx =

Rf (x) dx +

Rg(x) dx

2R

k f (x) dx = kR

f (x) dx

3R b−a f (x) dx = −

R ab f (x) dx

4R b−a f (x) dx +

R cb f (x) dx =

R c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2R 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat

1R{f (x) ± g(x) dx =

Rf (x) dx +

Rg(x) dx

2R

k f (x) dx = kR

f (x) dx

3R b−a f (x) dx = −

R ab f (x) dx

4R b−a f (x) dx +

R cb f (x) dx =

R c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2R 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat

1R{f (x) ± g(x) dx =

Rf (x) dx +

Rg(x) dx

2R

k f (x) dx = kR

f (x) dx

3R b−a f (x) dx = −

R ab f (x) dx

4R b−a f (x) dx +

R cb f (x) dx =

R c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2R 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat

1R{f (x) ± g(x) dx =

Rf (x) dx +

Rg(x) dx

2R

k f (x) dx = kR

f (x) dx

3R b−a f (x) dx = −

R ab f (x) dx

4R b−a f (x) dx +

R cb f (x) dx =

R c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1R(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2R 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Teknik pengintegralan

MATEMATIKA LANJUT

1 Integral

Pengertian

Rumus dasar

Sifat

Teknik pengintegralan

Penerapan integral

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa

1R

x(3x − 1) dx =

2R(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusi

Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1

a .

1n+1 .(ax + b)n+1 + c

1R(3x + 4)4 dx =

2R(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:

R4x(x2 + 9)5 dx= dan

Rsin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa

1R

x(3x − 1) dx =

2R(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusi

Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1

a .

1n+1 .(ax + b)n+1 + c

1R(3x + 4)4 dx =

2R(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:

R4x(x2 + 9)5 dx= dan

Rsin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa

1R

x(3x − 1) dx =

2R(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusi

Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1

a .

1n+1 .(ax + b)n+1 + c

1R(3x + 4)4 dx =

2R(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:

R4x(x2 + 9)5 dx= dan

Rsin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa

1R

x(3x − 1) dx =

2R(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusi

Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1

a .

1n+1 .(ax + b)n+1 + c

1R(3x + 4)4 dx =

2R(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:

R4x(x2 + 9)5 dx= dan

Rsin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa

1R

x(3x − 1) dx =

2R(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusi

Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1

a .

1n+1 .(ax + b)n+1 + c

1R(3x + 4)4 dx =

2R(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:

R4x(x2 + 9)5 dx= dan

Rsin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa

1R

x(3x − 1) dx =

2R(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusi

Bentuk linierR(ax + b)n dx = 1

a .

1n+1 .(ax + b)n+1 + c

1R(3x + 4)4 dx =

2R(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:RF [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :RF (u) du. contoh:

R4x(x2 + 9)5 dx= dan

Rsin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

c. Integral parsial (pertemuan minggu depan)

Bentuk umum integral parsial:R

u dv = uv −R

v du. Contoh:R3x .cos2x dx =

Integral

Penerapan integral

MATEMATIKA LANJUT

1 Integral

Pengertian

Rumus dasar

Sifat

Teknik pengintegralan

Penerapan integral

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

L2

x = a x = b x = c

L1

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)

1 L1 =R b

a y dx

2 L2 = −R c

b y dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

L2

x = a x = b x = c

L1

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)

1 L1 =R b

a y dx

2 L2 = −R c

b y dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

L2

x = a x = b x = c

L1

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)

1 L1 =R b

a y dx

2 L2 = −R c

b y dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

y = c

L1

L2

y = a

y = b

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y)

1 L1 =R b

a x dy

2 L2 = −R c

b x dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

y = c

L1

L2

y = a

y = b

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y)

1 L1 =R b

a x dy

2 L2 = −R c

b x dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

y = c

L1

L2

y = a

y = b

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y)

1 L1 =R b

a x dy

2 L2 = −R c

b x dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Y1 = f (x)

x = a x = b

Y2 = g(x)

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva

1 L =R b

a (y1 − y2) dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Y1 = f (x)

x = a x = b

Y2 = g(x)

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva

1 L =R b

a (y1 − y2) dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Y = f (x)

x = a x = b

Figure: Menghitung volume benda putar

b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x

1 v =QR b

a y2 dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Y = f (x)

x = a x = b

Figure: Menghitung volume benda putar

b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x

1 v =QR b

a y2 dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

X

y = b

y = a

X = f (y)

Y

Figure: Menghitung volume benda putar

b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y

1 v =QR b

a x2 dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

X

y = b

y = a

X = f (y)

Y

Figure: Menghitung volume benda putar

b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y

1 v =QR b

a x2 dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Contoh

1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,x = 1 dan x = 3 !

2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garisy = 3x + 4 !

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Contoh

1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,x = 1 dan x = 3 !

2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garisy = 3x + 4 !

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Contoh

1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,x = 1 dan x = 3 !

2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garisy = 3x + 4 !

Integral

Penerapan integral

Thank You