1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem...
Transcript of 1 Analisis Vektor dan Sistem Koordinat standar...2020/01/01 · 1 Analisis Vektor dan Sistem...
FEH2G3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem Koordinat
Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi
Fakultas Teknik Elektro
Universitas Telkom
2014
Tujuan Pembelajaran
1. Mahasiswa memahami berbagai operasi vektor beserta arti
fisisnya
2. Mahasiswa memahami sifat-sifat dari Sistem Koordinat
Kartesius (SKK), Sisterm Koordinat Silinder (SKS) dan Sistem
Koordinat Bola (SKB)
3. Mahasiswa mampu melakukan transformasi representasi
vektor antar sistem koordinat
2FEG2C3 Elektromagnetika I
Organisasi Materi
o Analisis Vektor
o Sistem Koordinat
o Transformasi Koordinat
3FEG2C3 Elektromagnetika I
4FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatAnalisis Vektor
Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai.
Vektor : Besaran yang memiliki nilai dan arah.
Contoh : temperatur, laju, jarak, dll.
Contoh : medan listrik, medan magnet, dll.
5FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatAnalisis Vektor
Notasi vektor
AaAA ˆrr
=dimana:
Ar
menyatakan besar vektor A
Aa menyatakan vektor satuan searah vektor A
Vektor satuan menyatakan arah vektor, besarnya satu.
A
AaA r
r
=ˆ
6FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
o Lebih mudah menuangkan konsep vektor menggunakan sistem
koordinat.
o Tiga macam sistem koordinat yang akan dibahas:
1. Koordinat Cartesius
2. Koordinat Silinder
3. Koordinat Bola
7FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
1. Koordinat Cartesius
Dalam koordinat Cartesius, sembarang
vektor A ditulis:
Ax , Ay , dan Az adalah komponen vektor A
dalam arah , dan
zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++=r
yA y
x
z
Ar
xA
zA
dimana:
xa yaza
8FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
1. Koordinat Cartesius
Besar vektor A ditulis:
222
zyx AAAA ++=r
Vektor satuan searah A ditulis:
222
ˆˆˆˆ
zyx
zzyyxx
A
AAA
aAaAaA
A
Aa
++
++== r
r
9FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
1. Koordinat Cartesius
x
y
z
2
4
3
A
B
Gambarkan vektor berikut dalam koordinat Cartesius
A = 2ax+3ay+4az berpangkal di titik (0,0,0)
B = aρ - 2aφ + 4az berpangkal di titik (3,0,0)
10FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
1. Koordinat Cartesius
Elemen luas
yadxdzSd ˆ=r
xadydzSd ˆ=r
zadxdydS ˆ=
dxdydzdv =
Elemen volume
Elemen panjang
zyx adzadyadxld ˆˆˆ ++=r
11FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
2. Koordinat Silinder
ρ
z
φ
za
ρa
φa
Dalam koordinat Silinder sembarang
vektor A ditulis
zzaAaAaAA ˆˆˆ ++= φφρρ
r
dimana:
Aρ , Aφ , Az adalah komponen vektor
A dalam arah , danρaφa
za
12FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
2. Koordinat Silinder
x
y
z
M N
3aρ
2aφ
az
3aρ
2aφaz
B
A
Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang
sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda
karena titik pangkal yang berbeda.
Gambarkan vektor berikut dalam koordinat Silinder
A = 3aρ + 2aφ + az berpangkal di M(2,0,0)
B = 3aρ + 2aφ + az berpangkal di N(2,π/2,0)
13FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
2. Koordinat Silinder
Elemen panjang
zadzadadld ˆˆˆ ++= φρ φρρr
ρφρ adzdSd ˆ=r
φρ adzdSd ˆ=r
zaddSd ˆφρρ=r
Elemen luas
Elemen volume
dzdddv φρρ=
14FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
3. Koordinat Bola
x
y
z
θ
ϕ
ϕar
rar
θar
rr
Dalam koordinat Bola, sembarang
Vektor A ditulis :
φφθθ aAaAaAA rrˆˆˆ ++=
r
Ar , Aφ , Aθ adalah komponen vektor
A dalam arah , danra
θa φa
dimana:
15FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
3. Koordinat Bola
Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama,
namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik
pangkal yang berbeda.
Gambarkan vektor berikut dalam koordinat bola
A = 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di M(2,π/2,0)
B = 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di N(2,π/2,π/2)
y
z
MN
B
3ar
aθ
2aφ
2aφ
3ar
aθ
A
x
16FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat
3. Koordinat Bola
Elemen panjang
raddrSd ˆsin2 φθθ=
rElemen luas
Elemen volume
φθ θθ adrardadrld rˆsinˆˆ ++=
r
φθθ dddrrdv sin2=
θφθ adrdrSd ˆsin=r
φθ ardrdSd ˆ=r
17FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat
1. Koordinat Cartesius ⇒ Koordinat Silinder
zz
zzyyxx
aAaAaAA
aAaAaAA
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
⇓
++=
φφρρ
r
r
zz
x
y
yx
=
=
+=
−1
22
tanφ
ρ
zz
yx
yx
AA
AAA
AAA
=
+−=
+=
φφ
φφ
φ
ρ
cossin
sincos
( ) ( )zzyx ,,,, φρ⇒
18FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat
2. Koordinat Silinder ⇒ Koordinat Cartesius
zzyyxx
zz
aAaAaAA
aAaAaAA
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
⇓
++=
r
r
φφρρ
zz
y
x
=
=
=
φρ
φρ
sin
cos
zz
y
x
AA
AAA
AAA
=
+=
−−=
φφ
φφ
φρ
φρ
cossin
sincos
( ) ( )zyxz ,,,, ⇒φρ
19FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat
3. Koordinat Cartesius ⇒ Koordinat Bola
φφθθ aAaAaAA
aAaAaAA
rr
zzyyxx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
⇓
++=
r
r
=
+=
++=
−
−
x
y
z
yx
zyxr
1
22
1
222
tan
tan
φ
θ
( ) ( )φθ ,,,, rzyx ⇒
φφ
θθφθφ
θθφθφ
ϕ
θ
cossin
sincossincoscos
cossinsinsincos
yx
zyx
zyxr
AAA
AAAA
AAAA
+−=
−+=
++=
20FEG2C3 Elektromagnetika I
Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat
4. Koordinat Bola ⇒ Koordinat Cartesius
zzyyxx
rr
aAaAaAA
aAaAaAA
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
⇓
++=
r
r
φφθθ( ) ( )zyxr ,,,, ⇒φθ
θ
φθ
φθ
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
=
=
=
θθ
φφθφθ
φφθφθ
θ
φθ
φθ
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
AAA
AAAA
AAAA
rz
ry
rx
−=
++=
−+=