Sub Pokok Bahasan

• Definisi Vektor• Penjumlahan vektor• Vektor Satuan• Penjumlahan vektor secara analitis• Perkalian Skalar• Perkalian Vektor

Sasaran Pembelajaran

• Mahasiswa mampu mencari besar vektor, menentukan vektor satuan

• Mahasiswa mampu menyelesaikan operasi-operasi vektor

Syarat Kelulusan

100 %

Definisi Vektor• Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel,

yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

• Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah di atas huruf (misal Ā) Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.

a

b

R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

Penjumlahan Vektor• Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S

yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.

• Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.

b

ca

RS

T

T = R + S

Besar Vektor ResultanJika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :

Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S

RS

T

T = R + S

θ

(1.1)

Pengurangan VektorUntuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.

AB

-B

DD = A – B

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 kmkemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km

Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km.

Tentukan besar perpindahan mobil tersebut !

N

E

U

20 km

40 kmB

S10 km

Contoh

Jawab :40 km

10 km

20 km

10 km

40 km

A

B

C

D = A + B + C

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.

Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

m17101040 22

Contoh

Vektor Satuan• Vektor satuan didefenisikan sebagai :

• Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.

• Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.– Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif– Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif– Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

RRr (1.2)

Penulisan Vektor Secara Analitis

2z

2y

2x RRRR

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + RzkBesar vektor R adalah :

R

Ry

Rz

Rx

Vektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitisb. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor

Jawab :

(2,2)

(-2,5)

x

y

Vektor perpindahan :R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)jR = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

pangkal

ujung

θ

Rx

Ry

a.

Contoh

o1

x

y1 3743tan

RR

tan

(2,2)

(-2,5)

x

y

pangkal

ujung

θ

Rx

Ry

b.

Besar vektor R = 543RR 222y

2x c. satuan

Sudut yang dibentuk :

Contoh

Penjumlahan Vektor Cara AnalitisJika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j

xAxB

yA

yB

A

B

xA + xB

A + B

A

B

yA + yB

(1.3)

Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i - 4j Tentukan :

a. A + B dan |A + B|b. A - B dan |A – B|

Jawab :a. A + B = 3i + 2j + 2i - 4j = 5i - 2j

|A + B| = 29)2(5 22

b. A - B = 3i + 2j - (2i - 4j) = i + 6j

|A – B| = 3761 22

AB

A + B

-BA - B

Contoh

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh

vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA =

10 satuan !4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. |A + B + C|

Soal

R = Rxi + RyjDiketahui :

Rx = R cos θ = 4 cos 60o = 2 satuanRy = R sin θ = 4 sin 60o = 2 satuan

Dengan demikian R = 2i + 2 j satuanVektor satuan :

r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j

60o

X

Y

R

θ

3

3

1.

3

Solusi

m5224RR 222y

2x

jiRr 55

552

R

X

Y

R

1 5

2

a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0).

Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j.

b. R =

c.

2.

Solusi

4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4jb. |A + B + C| = |2i + 4j - 7i + 8j| = |-5i + 12j|

|-5i + 12j| = = 13 satuan

3. Besar vektor A = = 5 satuanDengan demikian nilai c = 2 satuan

22 43

22 125

Solusi

Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos θ (1.4)Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :

A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.

A

Bθ

Perkalian Skalar

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0

Perkalian Skalar

ABcos B.A

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i - 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B !Jawab :

A

B

θ

Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4).

A . B = (3i + 4j) . (4i - 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4

Besar vektor A = 543 22 Besar vektor B = 20)2(4 22

4 4 2cos5 20 10 5 125AB

A.B

Dengan demikian θ = 79,7o

AB

Contoh

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :

A X B = C (1.6) Besar vektor C adalah :

C = AB sin θ (1.7)Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A X B tidak sama dengan B X A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

B

B

A

A

C = A X B

C’ = B X A

θ

θ

C = -C’

Perkalian Vektor

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i X i = j X j = k X k = 0 i X j = k ; j X k = i; k X i = j

j X i = -k ; k X j = -i; i X k = -j

Perkalian Vektor

Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i - 2j + kTentukan : a. A X B

b. Buktikan A X B = -B X AJawab :

A X B = (3i + 4j) X (4i X 2j + k) = 3.4(iXi) + 3.(-2)(iXj) + 3.1(iXk) + 4.4(jXi) + 4.(-2)(jXj) + 4.1(jXk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k

a.

B X A = (4i X 2j + k) X (3i + 4j) = 4.3(iXi) + 4.4(iXj) +(-2).3(jXi) + (-2).4(jXj) + 1.3(kXi) + 1.3(kXj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A X B terbukti

b.

Contoh

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k !

2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k !

3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j – k

B = 4 i + 2 j + 3 kC = 2 j – 3 k

Tentukan : a. A . (B X C) b. A . (B + C) c. A X (B + C)4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

Soal

61)(21A 222

Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :

54)(3B 22

1.

Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :65

7AB

cos B.A

Dengan demikian θ = 55,1o

Besar vektor B :

2. A

BAB

θ

Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :

2614

)4(31

)4).(1(3.21.4B

cosAA222B

A.B

Solusi

B X C = (4i + 2j + 3k) X (2j – 3k) = 8(i X j) – 12(i X k) – 6(j X k) + 6(k X j) = 8k + 12j X 12iA . (B X C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4

3. a.

B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12b.A X (B + C) = (i + 2j – k) X (4i + 4j) = i – 4j – 4kc.

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0 R . S = RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

4.

Solusi

Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.

S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8)

S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.

Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.

Besaran Fisis

Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.

Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1.

Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.

y

xx1 x2 x3 x4

y1

y2

y3

Besaran Fisis

Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.

t (detik) x (meter)

0 9

1 4

2 1

3 0

4 1

5 4

6 9

7 16

8 25

9 360 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t

x(t)

x(t) = (t – 3)2

Besaran Fisis

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

r

E(r)

Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

2rqE k

r (m) E (N/C)

1 9

2 2,25

3 1

4 0,5625

5 0,36

6 0,25

7 0.1837

8 0,1406

9 0,1111

10 0,09

Besaran Fisis

1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !

x

F

F =kx

Contoh

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :

Q(t) = q(1 – e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t !

2.

t

Q = q(1 – e-At)

Q

q

Contoh

P11(71), P15(72), P41(73), P49(74), P59(75)

PR

Solusi PR

P11(71), P15(72), P41(73), P49(74), P59(75)

P11(71)

P15(72)

P41(73)

P49(74)

P59(75)

KINEMATIKANext