1

SSIISSTTEEMM PPEENNGGUUKKUURRAANN

NNOOTTAASSII IILLMMIIAAHH

OOPPEERRAASSII--MMAATTEEMMAATTIIKKAA VVEEKKTTOORR

BBAABB II FFiissiikkaa DDaassaarr II

2

I. SISTEM PENGUKURAN

1.1 Definisi Besaran dan Satuan

Fisika pada dasarnya selalu berhubungan dengan pengukuran, baik pengukuran secara

langsung seperti mengukur waktu, panjang, massa dll, ataupun secara tidak langsung

seperti mengukur energi, gaya, kecepatan dll. Dalam Fisika, pengukuran saja tidak

cukup, pada tahap selanjutnya pengukuran tersebut haruslah menghasilkan angka-

angka yang dapat dihitung dan akhirnya diinterpretasikan (ditafsirkan). Semua hal

yang bisa diukur dan dinyatakan dalam angka dalam ilmu Fisika disebut dengan istilah

quantity atau BESARAN (Besaran Fisika).

Fisika seperti halnya Matematika merupakan disiplin ilmu yang banyak melibatkan

angka dan perhitungan, perbedaannya adalah, di dalam Fisika angka dan perhitungan

pada umumnya diperoleh dari hasil pengukuran dan percobaan (secara langsung

ataupun tidak dan percobaan ril ataupun dalam fikiran), sedangkan dalam Matematika

kita tidak harus melakukan pengukuran dan percobaan. Dapatlah kita katakan bahwa

matematika merupakan suatu “alat” yang digunakan Fisika.

Sistem, cara atau aturan untuk menyatakan sebuah besaran fisika ke dalam angka

dinamakan sistem satuan. Sistem satuan juga menunjukkan bagaimana sebuah besaran

diukur atau dibandingkan dengan besaran sejenis lain. Contoh sederhana misalnya,

ketika kita mengukur panjang sebuah meja dengan menjengkalnya, kita peroleh bahwa

panjangnya 20 jengkal, artinya cara mengukur panjang meja adalah dengan cara

membandingkannya dengan jengkal tangan kita, dan hasilnya panjang meja sebanding

dengan 20 jengkal kita. Jika kita lakukan menggunakan hasta, misalkan kita dapatkan

hasil 4 hasta, artinya kita mengukur meja dengan cara membandingkannya terhadap

hasta tangan kita dan hasilnya panjang meja sebanding dengan 4 hasta tangan kita.

Namun demikian, tidaklah akurat mengukur dengan jengkal atau hasta, sebab jengkal

dan hasta masing-masing manusia tidaklah sama dan mungin berubah menurut usia.

Untuk itu perlu dibuat alat pembanding yang standar dan berlaku secara internasional

relatif tetap menurut waktu. Salah satu badan internasional yang mengatur sistem

satuan ini adalah International Bureau of Weights and Measures di Paris. Badan ini

membuat standardisasi untuk panjang (meter), waktu (detik) dan massa (kilogram),

seluruh dunia mengacu pada standar ini sehingga disebut juga dengan sistem

internasional (SI atau MKS).

3

Gb 1.2 Batang meter dan kilogram standar terbuat dari

platina-iridium

Gb 1.1 Jarak dari kutub utara ke katulistiwa melalui kota Paris pernah dijadikan acuan untuk

panjang 1 meter

Untuk satuan panjang, satuan meter disepakati

sebagai satuan standar internasional. Meter berasal

dari bahasa Yunani metron yang berarti ukuran. Pada

awalnya yang digunakan sebagai patokan 1 meter

adalah panjang tali dalam pendulum yang memiliki

perioda ½ detik, kemudian pada tahun 1791 acuan ini

diubah, sebagai patokan panjang satu meter adalah

diperoleh dari jarak antar kutub utara ke khatulistiwa

melalui kota Paris ditetapkan berjarak 107 meter,

sehingga satu meter adalah jarak tersebut dibagi

dengan 107. Namun ternyata cara seperti ini selain

tidak praktis juga berubah karena jarak ini

dipengaruhi oleh faktor gravitasi yang mengubah

permukaan bumi. Pada tahun 1927 setelah melalui

berbagai perubahan, International Bureau of

Weights and Measures membuat sebuah batang besi

terbuat dari logam platina–iridium sebagai patokan

1 meter dan 1 kilogram. Pada tahun 1960

standardisasi ini diubah agar lebih teliti dengan mengacu pada 1,650,763.73 kali

panjang gelombang dari cahaya dalam vakum, dan akhirnya versi terakhir yang lebih

akurat adalah mengacu pada kecepatan cahaya, 1 meter adalah jarak yang ditempuh

cahaya selama 1/299 792 458 detik.

Di samping itu dikenal pula sistem satuan lain yang

dikenal dengan singkatan cgs (centimeter, gram dan

sekon/detik) atau fps (feet, pound dan sekon). Dalam

beberpa hal satuan khusus diperlukan untuk

mempermudah perhitungan, misalnya dalam Astronomi

dikenal satuan khusus tahun-cahaya yakni jarak yang

ditempuh kecepatan cahaya dalam satu tahun yaitu 1

tahun (365x24x60x60 detik) dikalikan dengan kecepatan

cahaya kira-kira 3 x 108 m/s hasilnya 9.460.800.000.000.000

meter, mengingat jarak dalam dunia Astronomi sangatlah jauh satuan khusus semacam

Gambar 1.3 Panjang diameter galaksi

Bimasakti sekitar 100.000 tahun cahaya

4

ini sangat diperlukan, jika dalam dunia Astronomi digunakan satuan meter maka

betapa tidak praktisnya untuk menyatakan diameter dari galaksi Bima Sakti yang

jaraknya 100.000 tahun-cahaya yaitu 900.460.800.000.000.000.000 meter !!

Sebaliknya dalam dunia Kristalografi yang berurusan dengan hal-hal yang sangat kecil,

satuan yang lebih kecil diperlukan yaitu Angstrom (oA), di mana 1 OA adalah

0,00000000001 meter, sehingga untuk menyatakan panjang ikatan tunggal carbon

sepanjang 0, 0,0000000000154 cukup ditulis dengan 1,54 oA.

1.2 Konversi Satuan dan Faktor konversi

Kita bisa saja mengonversi hasil pangukuran kita dalam sistem satuan yang berbeda,

misalnya dari meter ke centimeter, contoh sederhana tinggi seroang mahasiswa 1,7

meter adalah 170 centimeter. Nampaknya sangat sederhana, namun kadang untuk

satuan yang lebih kompleks harus berhati-hati, misalnya dari 4 km/jam ke satuan SI

m/s, maka :

ikdet

m11,1

detik

m

18

54

ikdet3600

m10004

jam

km4 ≈⋅==

atau contoh lain :

Konversikan 5 kg�m/s2 ke g�cm/s2, maka :

2

5

22 s

cmg10x5

s

)cm100)(g1000(5

s

mkg5

⋅==

⋅

angka 5/18 dan 105 pada kedua kasus di atas dikenal sebagai “faktor konversi”

2. NOTASI ILMIAH dan ATURAN PEMBULATAN

Aturan notasi ilmiah diperlukan karena pada kenyataanya kita akan berhadapan

dengan angka-angaka yang sangat besar atau sangat kecil, untuk tujuan inilah notasi

ilmiah diperkenalkan. Dalam notasi ilmiah sebuah angka harus dinyatakan dalam

satuan (angka 1 hingga 10) dikalikan dengan 10 pangkat bilangan bulat. Misalnya

1100000 ditulis dalam notai ilmiah sebagai 1,1 x 106. Bilangan 6 pada pangkat 10

dinamakan eksponen. Contoh lain 0,000124 dapat ditulis dengan 1,24 x 10-4 saja.

Contoh :

Tuliskan dalam notasi ilmiah hasil kali dari 4,55 x 107 dengan 2,77 x 105.

Jawab :

(4,55 x 107)x(2,77 x 105) = (4,55x2,77)( 107x105) = (12,6035)x1012 = 1,26035 x 1013

5

Karena ilmu Fisika seringkali berhubungan dengan angka hasil pengukuran, dan pada

umumnya data hasil pengukuran tidak dalam bentuk bilangan bulat, bahkan bilangan

desimal dengan digit yang sangat banyak, maka diperlukan sebuah aturan pembulatan

untuk menyingkat laporan pengukuran hingga digit yang diperlukan saja. Misalnya jika

kita peroleh panjang meja 2,7435 meter, bukankah cukup melaporkannya hingga satu

digit di belakang koma saja menjadi 2,7 meter ?

Aturan pembulatan terkadang sangat penting ketika kit berhadapan dengan angka-

angka pecahan dengan jumlah desimal yang banyak. Ada tiga aturan pembulatan :

Aturan I :

Jika angka dibelakang angka terakhir yang ingin dituliskan kurang dari 5, maka

hilangkan angka tersebut dan semua angka dibelakangnya. Misalnya kita ingin

membulatkan 5,3467 menjadi 1 angka dibelakang koma, karena angka terakhir setelah

angka 3 adalah 4, dan 4 kurang dari 5, maka kita hilangkan seluruh angka dibelakang 3

tersebut menjadi 5.3.

Contoh :

Bulatkanlah 4,3423 menjadi sampai dua digit di belakang koma

Jawab :

Hasil pembulatannya 4,34 karena setelah digit kedua bernilai di bawah 5 (yakni 2)

Aturan I :

Namun jika angka dibelakang angka terakhir yang ingin dituliskan lebih dari 5, maka

tambahkan digit terakhir dengan 1. Misalnya kita ingin membulatkan 5,3867 menjadi 1

angka dibelakang koma, karena angka terakhir setelah angka 3 adalah 8, dan 8 lebih

dari 5, maka kita hilangkan seluruh angka dibelakang 3 tersebut dan tambahkan 3

dengan 1, sehingga 5,4

Contoh :

Bulatkanlah 4,3473 menjadi sampai dua digit di belakang koma

Jawab :

Hasil pembulatannya 4,35 karena setelah digit kedua bernilai di atas 5 (yakni 7)

6

Aturan III :

Jika angka dibelakang angka terakhir yang ingin dituliskan sama dengan 5, maka

jadikanlah digit terakhir menjadi bilangan genap terdekat. Misal jika kita bulatkan

angka 5,3567 menjadi 1 digit di belakang koma maka karena di belakang 3 adalah 5, da

3 adalah bilangan ganjil maka genapkanlah menjadi 4 (bukan 2, karena 4 lebih dekat)

menjadi 5,4. Atau jika kita bulatkan angka 5,6567 menjadi 1 digit di belakang koma

maka karena di belakang 6 adalah 5, dan 6 adalah bilangan genap maka genapkanlah

menjadi 6 (bukan 8 atau 4, karena 6 lebih dekat) menjadi 5,6.

Contoh :

Tulislah dalam otasi ilmiah dan bulatkanlah menjadi 1 digit di belakang koma hasil pengukuran

berikut : 0,0000016534.

Jawab :

1,6534x10-6 dibulatkan menjadi 1,6x10-6.

3. BESARAN SKALAR DAN VEKTOR

Besaran dibagi dalam dua kategori, pertama, besaran

skalar yaitu besaran yang hanya mempunyai nilai/besar

saja. Kedua, adalah besaran vektor, yaitu besaran Fisika

yang selain memiliki nilai, juga bergantung pada arah.

Definisi vektor seperti ini sudah kita kenal sejak SMU.

Definisi ini sebetulnya tidaklah cukup, karena arus listrik

misalnya, memiliki nilai dan juga arah, akan tetapi kuat-

arus bukanlah besaran vektor. Dengan demikian

diperlukan definisi yang lebih lengkap untuk vektor sebagai berikut : “Besaran vektor

adalah besaran yang memiliki nilai dan arah serta dapat memenuhi aturan-aturan operasi

matematika vektor”. Aturan-aturan operasi Matematika untuk vektor akan dijelaskan

dalam bagian berikutnya.

Gb.1.4 Kapasitas Memori Disket Anda 1,44 MB. Skalar atau vektor ?

7

Dalam kehidupan sehari-hari volume air, massa benda, temperatur, jumlah mahasiswa,

waktu, temperatur dll merupakan contoh-contoh besaran skalar yang tidak bergantung

arah dan hanya memiliki nilai/besar

(magnitude), artinya dari arah

manapun kita mengukurnya nilainya

tetap sama, sedangkan hal-hal seperti

kecepatan aliran sungai, gaya

gravitasi, medan listrik adalah

beberapa besaran yang tidak hanya

mempunyai nilai tapi juga

bergantung arah, maksud dari

bergantung pada arah adalah bahwa

nilai dari besaran tadi dapat berubah

pada arah yang berbeda. Arah, dalam

operasi vektor didefinisikan lebih

khusus adalah sudut yang dibentuk terhadap sumbu x positif atau arah timur dengan

arah putaran berlawanan jarum jam (Counter Clock Wise /CCW), seperti gambar

berikut ini :

Pengategorian besaran ke dalam dua jenis ini tidak semata-mata untuk tujuan

klasifikasi, akan tetapi nantinya sangat berguna dalam perhitungan dan operasi

matematika, dan juga bermanfaat dalam menjelaskan sifat-sifat sebuah besaran fisika.

Dibandingkan dengan besaran skalar, besaran vektor memiliki banyak keunikan dan

kompleksitas dalam sifatnya, sehingga memerlukan pembahasan tersendiri yang

(biasanya) terangkum dalam suatu kajian ANALISIS VEKTOR. Untuk tujuan itulah

dalam awal kuliah Fisika Dasar, akan diberikan pengantar singkat analisis vektor.

4. SIFAT VEKTOR DAN CARA MENYATAKANNYA

Sebuah vektor dilukiskan sebagai sebuah anak

panah, yang pangkalnya disebut titik tangkap

vektor, dan ujung lainnya (mata panah)

menunjukan arah vektor. Panjang dari anak panah

tersebut mewakili nilai (magnitude) dari besaran

Fisika yang dimaksud, artinya jika sebuah vektor

Gb 1.6 Penggambaran vektor

Titik tangkap

B

A

Gambar 1.5 Sudut nol dimulai dari +x dan berlawanan arah jarum jam

x 30°°°°

135°°°°

330°°°°

Vektor A

Vektor B

Vektor C

y

8

memiliki panjang anak panah lebih besar dari yang lain maka hal tersebut menunjukan

vektor tersebut lebih besar. Sebuah vektor dapat disebut "sama" jika : berjenis sama,

berarah sama dan nilainya sama, walaupun letaknya berpindah.

Maksud dari berjenis sama adalah kedua vektor yang besar dan arahnya sama tidak

dikatakan sama jika memiliki dimensi atau satuan yang berbeda, misal vektor gaya yang

besar dan arahnya 2 N dan 45° berbeda dengan vektor kecepatan yang besarnya 2 m/s

dan arahnya 45°.

Sebuah vektor dapat dituliskan dengan salah satu cara berikut :

• Huruf bercetak tebal, misalnya : F, r

• Huruf dengan tanda panah, misalnya : Fr

• Dua huruf yang mewakili pangkal dan ujung vektor, misal : →

AB

• Diuraikan dalam komponen-komponen basisnya, seperti : j5i2 −

Komponen basis atau vektor i dan j basis adalah vektor –vektor yang arahnya

sesuai dengan arah sumbu koordinat dan nilainya 1, tanda topi (^) di atas huruf i

dan j menujukan bahwa vektor tersebut adalah vektor basis. Namun untuk

kemudahan penulisan, dalam buku ini vektor basis dituliskan dengan menggunakan

hrurf i, j dan k bercetak tebal (i, j, k) dan vektornya tidak ditulis menggunakan

panah di atasnya naum dengan cetak tebal, misalnya F, v, x

Perhatikan sebuah vektor gaya 3 dimensi yang diuraikan dalam vektor-vektor

basisnya :

Gambar 1.7 Sebuah vektor dikatakan sama jika arah dan besarnya sama, meskipun posisinya berpindah

9

Cara penulisan vektor pada umumnya dituliskan dalam komponen basisnya, misalnya

vektor kecepatan : v = 2i +3j. Besar dari vektor v tersebut dapat diketahui dari

hubungan Phytagoras :

2

y

2

x vvv += , maka :

5)3(2v 22 =+=

Jika kita ingin mengetahui arah dari vektor tersebut, maka dapat ditentukan melalui :

x

y1

v

vtan −=θ , dengan θ merupakan sudut vektor terhadap sumbu x positif, sehingga :

o1 3,562

3tan ≈=θ −

F = 3i+2j+4k

i

k

j 3

5

2

x

z

y

Gambar 1.8 Vektor gaya F yang diuraikan dalam komponen-komponennya

x

y

v

θθθθ

vx

vy

Gambar 1.9 Besar dan Arah Resultan Gaya

10

5. OPERASI MATEMATIK DASAR PADA VEKTOR

4.1 Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor biasanya dilakukan antar besaran yang sejenis, misalnya

panjang dengan lebar (untuk menghitung keliling), gaya dengan gaya, dll.

Ada beberapa metoda yang bisa dilakukan dalam menjumlahkan vektor :

a. Metoda Jajaran Genjang

Dalam metoda jajarang genjang, dua vektor yang akan dijumlahkan diimpitkan

antar titik pangkalnya, sehingga nilai penjumlahannya diperoleh melalui

persamaan :

θ++= cosAB2BAC 22

dengan :

C = besar vektor hasil penjumlahan

A = besar vektor pertama yang akan dijumlah

B = besar vektor kedua yang akan dijumlah

θ = sudut terkecil antara vektor A dan B

contoh soal :

Diketahui dua buah vektor yang besarnya masing-masing A = 3 dan B = 4 serta

keduanya mengapit sudut sebesar 60°. Berapakah hasil penjumlahan kedua

vektor tersebut :

Besarnya vektor hasil penjumlahan C adalah :

37

2

1 4 3 2 4 3

60 cos AB 2 B A C

2 2

2 2

=

⋅ ⋅ ⋅ + + =

+ + = o

A

B

C

60°°°°

Gambar 1.10 Penjumlahan vektor A dan B

(1)

11

Gambar 1.11 Metoda Poligon

Arahnya dapat kita tentukan melalui hubungan sinus :

Dari hubungan sinus

C

120sin

B

sin

A

sin o

=α

=θ

atau :

o

o

28,25

427,037

32

1

3

C

120sinAsin

≈θ

≈=

=θ

arah dari vektor C adalah 25,28o terhadap sumbu x+

Cara menjumlahkan dengan metoda jajaran genjang kurang praktis jika kita

berhadapan dengan penjumlahan lebih dari dua vektor, sebab dalam metoda ini

kita hanya bisa menjumlahkan dua vektor. Untuk menjumlahkan vektor

misalnya, kita harus melakukannya dua kali penjumlahan. Dan itu tidaklah

praktis.

b. Metoda Poligon

Metoda poligon (poli=banyak,

gon=bentuk/sisi) dilakukan dengan cara

menghubungkan ujung suatu dengan

pangkal vektor yang lain. Dan hasil

akhirnya (vektor resultan) adalah dengan

menarik garis (anak panah) dari titik

pangkal vektor pertama dengan ujung

vektor terakhir.

Gambar di samping ini adalah sebuah

contoh penjumlahan dari tiga vektor yang

masing-masing besarnya 20 m,

A

B

C

θθθθ 120°°°°

αααα

12

25 m, dan 15 m, dengan arah terhadap sumbu x positif seperti terlihat dalam

gambar. Hasil dari penjumlahan adalah

vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor

ketiga. Cara seperti ini tentu saja kurang praktis ketika berhadapan dengan

persoalan vektor 3 dimensi, di mana vektor harus digambarkan dalam suatu

ruang dan cukup sulit ketika harus menghitung resultannya.

c. Metoda Analitik (2 dimensi)

Metoda analitik dilakukan dengan

menguraikan vektor dalam komponen-

komponen arahnya. Sebuah vektor dapat

diuraikan dalam komponen-komponennya

menurut sistem koordinat yang

dipergunakan, misalnya pada sistem

koordinat kartesius 2-D yang umumnya kita

kenal, suatu vektor A, dapat diuraikan

dalam komponen x (searah sumbu x) yaitu Ax dan komponen yang searah

sumbu y, Ay.

Jika beberapa vektor hendak dijumlahkan secara analitik maka vekor-vektor

tersebut diuraikan dalam komponen-komponennya,. Misalkan untuk komponen

x, jumlahnya Rx dan arah y hasil penjumlahannya Ry, kemudian jumlahkan

komponen-komponen yang searah, lalu besar vektor resultannya dihitung

melalui :

2y

2x RRR +=

dengan :

R = besar vektor resultan

Rx = Jumlah total vektor dalam arah x

Ry = Jumlah vektor dalam arah y

dan arahnya :

x

y1

R

Rtan −=θ

θ = sudut yang dibentuk antara sumbu x dengan vektor resultan

y

Ay

A

Ax x

Gb. 1.12 Vektor A diuraikan dalamkomponen-komponennya

(2)

(3)

13

Sebuah contoh soal akan memberikan gambaran lebih jelas :

Diketahui tiga vektor A, B, dan C yang besarnya 2, 3 dan 5 dalam koordinat

kartesius yang arahnya seperti pada gambar di bawah. Dengan menggunakan

metoda analitik, tentukanlah vektor resultan (R) nya , baik besar maupun arahnya:

Jawab :

Langkah pertama adalah menggambarkan vektor dan uraian komponennya dalam

sebuah koordinat kertesius sebagai berikut :

Kemudian kita uraikan masing-masing dalam komponen x dan y (dengan

pembulatan) :

Ax = A cos 60° = 2 (0,5) = 1

Ay = A sin 60° = 2 (0,866) = 1.732

Bx = B cos 135° = 3 (0,707) = 2.121

By = B sin 135° = 3 (-0,707) = -2.121

Cx = C cos 270° = 0

Cy = C sin 270° = 5 (1) = 5

Langkah kedua, jumlahkan komponen-komponen yang sejenis :

Komponen x : Rx = Ax +Bx + Cx = 1 + 2.121 + 0 = 3.212

Komponen y : Ry = Ay +By + Cy = 1.732 - 2.121 + 5 = 4.611

untuk menghitung besarnya vektor resultan :

60°

135°

270°

A

B

C

Ax Bx

Ay

By

x

y

Gambar 1.13 Penjumlahan vektor dengan menguraikan dalam komponennya

14

( ) ( )

619,5

)611,4()212,3(

RRR

22

2y

2x

=

+=

+=

arah dari vektor resultan :

4.2 Perkalian skalar dengan vektor

Jika sebuah vektor A = Axi +Ayj +Azk dikalikan dengan suatu skalar b maka hasilnya

adalah sebuah vektor baru C yang dengan :

C = bAxi +bAyj +bAzk

Contoh : A = 2i +3j -5k dan b = - 2

Maka C = (-2)( 2i +3j -5k) = -4i -6j +10k

4.3 Perkalian Antara Dua Vektor

Ada dua jenis perkalian antar vektor :

a. Perkalian titik antara dua vektor (dot product), dilambangkan dengan •

Pada perkalian vektor ada ketentuan :

• Komponen vektor yang sejenis (searah), misal i dengan i, j dengan j dan k

dengan k menghasilkan nilai 1

• Komponen yang tidak sejenis (tegak lurus), misal j dengan k menghasilkan

nilai 0

contoh :

Diketahui dua vektor gaya :

F1 = 2i +4j - 3k

F2 = -i +2j -2k

Berapakah perkalian titik antara kedua vektor gaya di atas ?

Jawab :

F1 • F2 = (2i +4j - 3k) • (-i +2j -2k)

o14,55

212,3

61,4

xR

yR

tan

≈θ

=

=θ

15

= -2 + 8 + 6

= 12

b. Pekalian silang (cross product), dilambangkan dengan x

Pada perkalian silang, terdapat ketentuan :

i x j = k j x i = -k

j x k = i k x j = -i

k x i = j i x k = -i

contoh :

diketahui dua buah vektor:

V1 = 2i + 4j - 2k

V2 = i + 2j + 5k

Berapakah perkalian silang dari kedua vektor di atas (V3) ?

V3 = ( 2i + 4j - 2k ) x ( i + 2j + 5k )

= (2i x i) + (2i x 2j) + (2i x 5k) + (4j x i ) + (4j x 2j) + (4j x 5k)

(-2k x i) + (-2k x 2j) + (-2k x 5k)

menurut aturan perkalian silang di atas maka akan dihasilkan :

= 4k - 10i - 4k + 20i - 2j + 4i

= 14i - 2j

Anda tidak harus mengingat-ingat aturan perkalian silang ini. Untuk mendapatkan

hasil perkalian metoda ini dapat digunakan :

Perkalian dengan urutan seuai siklus i-j-k hasilnya vector satuan berikutnya dan bernilai

positif, contoh :

i x j = k (sesuai urutan i-j-k)

j x k = i (sesuai siklus i-j-k kembali ke i)

k x i = j (seuai siklus i-j-k-i-j) dan sebagainya.

Jika urutan perkalian berlawanan dengan siklus maka hasilnya negatif :

j x i = -k (berlawanan dengan siklus i-j-k)

k x j = -i (berlawanan dengan siklus i-j-k)

i x k = -j (berlawanan dengan siklus i-j-k)

16

6 PEMAKAIAN VEKTOR : PERSOALAN KECEPATAN RELATIF

Persoalan klasik tentang penjumlahan

vektor adalah kasus river boat yang

menyebrangi sungai sebagai berikut :

Sebuah river boat hendak menyebrangi

sungai selebar 10 m dengan kecepatan

relatif terhadap bumi 8 m/s. Laju aliran

sungai relatif terhadap bumi 6 m/s.

Berapakah kelajuan river boat relatif

terhadap sungai ? Pemecahan dari kasus

seperti ini tentu saja harus menggunakan aturan operasi matematika vektor, karena kita

tahu bahwa kecepatan merupakan besaran vektor. Jika kita sederhanakan gambar di

atas menjadi vektor-vektor kecepatan dengan vp = kecepatan perahu terhadap bumi, vs

= kecepatan arus sungai terhadap bumi dan vp’ = kecepatan perahu terhadap arus

sungai. Maka didapatkan bahwa vp’ bisa didapatkan dengan menjumlahkan vp secara

vektor dengan vs dengan menggunakan metoda jajaran genjang :

( )

m/s 10100643686

270cosvv2vvv

22

osp

2s

2p

'p

==+=+=

⋅⋅⋅++=

arahnya dapat dihitung dengan θ =tan-1(vs/vp) = tan-1(6/8) ≈ 38,87°

8 m/s

6 m/s ???

Gb. 1.12 Aliran arus menyebabkan arah boat membelok

vp

vs

270°°°° vp

vs vp’

38,87°°°°

17

SOAL-SOAL

1. Carilah jumlah (resultan) dari dua vektor gaya berikut dengan menggunakan

metoda jajaran-genjang : 30 N arah 30° dan 20 N pada 140°

2. Dua gaya masing-masing sebesar 100 N dan 80 N membetuk sudut 60o menarik

sebuah objek, hitunglah :

a. Gaya resultan (baik besar dan arahnya)

b. Gaya ketiga agar benda diam

3. Sebuah truk diparkir dalam sebuah

galangan kapal dengan kemiringan θ,

berapakah gaya penahan minimum

yang harus dimiliki landasan galangan

agar tidak ambruk

4. Lima orang anak masing-masing menarik sebuah objek dengan menggunakan

seutas tali dengan arah yang berbeda. Jika digambarkan pada suatu bidang kartesius

hailnya seperti gambar di bawah. Ke manakah objek tersebut akan begerak dan

berapa besar gaya yang menggerakkannya ?

5. Sebuah perahu bermotor menyebrangi lebar sungai selebar 60 meter dengan

kecepatan 0,5 m/s. Jika arus sungai konstan sebesar 0,3 m/s, hitunglah :

a. Berpakah sudut arah kapal dengan arah tegak lurus lebar sungai

b. Berapa waktu yang diperlukan untuk menyebrangi sungai

Anak 1

Anak 2

Anak 3

Anak 4 Anak 5

3N

2N

4N 4N

3N 30°°°°

30°°°°

45°°°°

45°°°°

θθθθ

18

6. Hitunglah vektor resultan dari diagram berikut dengan besar vektor A = 5 N, B =2

N, C = 3 N dan D 4 N :

7. Sebuah pesawat terbang ringan dengan laju 600 km/jam bergerak ke arah barat

sementara angin bergerak ke arah utara dengan kecepaan 100 km/jam. Ke manakah

pesawat akan bergerak karena tiupan angin ini ?

8. Diketahui beberapa vektor berikut :

A = 4i – 2j + k

B = -3i + 2j

C = -i + j – 3k

Hitunglah operasi berikut ini :

a. D = A + C d. B ⋅ A

b. E = B – C e. A x C

c. A ⋅ B f. C x A

30o

45o

A B

C

30o

D

x

y