Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx

7/26/2019 Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx

1/14

MODUL I

SISTEM KOORDINAT

KERTESIUS, VEKTOR,GRAFIK PERSAMAAN

Materi Kuliah

Modul 1 : Sistem Koordinat kartesius, vektor,grafik persamaan

Modul 2 : Fungsi n variabel dan TurunanParsial

Modul 3 : Penerapan Turunan Parsial Modul 4 : Integral Lipat Dua

Modul 5 : Integral Lipat Tiga

Modul 6 : Kalkulus Medan vektor

Modul 7 : Deret Tak Hingga

Modul 8 : Deret Fourier


2/14

Ruang Dimensi TigaRuang dimensi tiga adalah himpunan semua bilangan tripel real, dan

dinyatakan dengan R3. Setiap titik dalam ruang dimensi tiga dinyatakan

dengan tiga pasangan bilangan berurut. Untuk menyatakan ruang

dimensi tiga, biasanya digunakan sistem koordinat kartesius.

Grafik PersamaanGrafik suatu persamaan didalam ruang dimensi tiga adalah himpunan

semua titik-titik (x,y,z) yang koordinatnya berupa bialangan yang memenuhi

persamaan tersebut. Grafik persamaan di dalam ruang dimensi tiga disebut

dengan permukaan.

Contoh

Gambarkanlah sketsa grafik

suatu bidang,

2x + 4y + 3z = 12.


3/14

Grafik Permukaan Benda Pejal

Grafik permukaan suatu bendadimana permukaannya dibatasi

oleh beberapa permukaan.

Contoh

Buatlah sketsa grafik

permukaan benda pejal di oktan

pertama yang dibatasi oleh

permukaan bidang-bidang:

(1)y+z=4,

(2)x+y= 2,

(3) y=x,(4) z= 0, xoy

(5)x= 0, yoz

Sketsa Benda Pejal dimaksud

Contoh :Buatlah sketsa benda pejal di

oktan pertama, dimana

sisi-sisinya dibatasi oleh

permukaan silinder

paraboloida, x = y2, dan

x = 2 y2,

permukaan bidang

y + z = 4, dibatasi pulaoleh bidang xy (z = 0)

dan yz (x = 0)


4/14

Contoh :Buatlah sketsa benda pejal yang dibatasi oleh permukaan paraboloida, z = x2

+ y2, silinder lingkaran tegak, x2+ y2= 4, dan z=0 (bidang xy).

Contoh :Buatlah sketsa benda pejal yang dibatasi oleh permukaan bola, x2+ y2

+ z2= 8, dan diatas kerucut : x2+ y2= z2yang terletak diatas bidang xy.

x2+ y2+ z2= 8,

Bola

Kerucut


5/14

SOAL-SOAL LATIHAN1. Dibawah permukaan bola, x2+ y2+ z2= 4z, dan diatas, z=x2 + y2.

2. Dibawah permukaan bola, x2+ y2+ z2= 16, dan di dalam silinderlingkaran tegak,x2 + y2= 4y, dan diatas bidangxy.

3. Dibawah kerucut,x2+ y2= z2, di dalam siliner lingkaran tegak,x2 + y2

= 4x, dan diatas bidangxy.

4. Benda pejal Sdibawah bidang, y + z = 4, dan dibatasi, z= 4x2, z= 5

x2,x= 0, y= 0.

5. Benda pejal Sdibawah permukaan silinder, y2+ z2= 16, dan dibatasi

oleh bidang-bidang,x+ y= 4,x= 0, y= 0, dan z= 0.

6. Benda pejal Sdibawah bidang,x + z = 4, dan dibatasi oleh,x= y2, y=

0, dan z= 0.

7. Benda pejal Sdibatasi silinder parabolik, 2z = y2, dan bidang-bidang, y

+ z= 4,x+ y = 4,x= 0, dan z= 0.8. Benda pejal Sdibatasi oleh silinder parabolik, y =x2, dan bidang-

bidang,x= z,x+ z = 4, y= 0 dan z= 0.

9. Benda pejal Sdibatasi oleh bidang-bidang, y + z = 4,x= z, y= z,x= 0,

dan z= 0.

10. Benda pejal Sdibawah bidang,x + y + z = 6, dan dibatasi oleh, y=x2,

y= 0, dan z= 0.

VEKTOR di R2 dan R3

Definisi. Vektor adalah segmen garis yang mempunyai arah. Titik awal disebut

pangkal vektor (titik A), titik akhir disebut dengan titik ujung vektor (titik B), garis

lurus yang melalui AB disebut dengan garis pembawa vektor.

A B

Pangkal vektorUjung vektor

v

|v| = panjang vektor

Vektor di Bidang

y0

x0 x1

y1 Q

P

v

vvektor pada bidang yang menghubungkan titik

P(x0,y0) dan Q(x1,y1), ditulis :

v=

2

121 ],[

v

vvv

01

010101 ],[

yy

xxyyxx

221

201

22

21 )()( yyxxvv |v|=

y


6/14

Vektor dalam ruang

x0

x1

y0y1

z1

z0

Q

P v

v =[v1,v2,v3], vektor dalam ruang yang

menghubungkan titik P(x0,y0,z0) dan Q(x1,y1,z1), ditulis :

3

2

1

321 ],,[

v

v

v

vvvv

01

01

01

010101 ],,[

zz

yy

xx

zzyyxx

Panjang vektornya diberikan oleh :

201

221

201

33

22

21 )()()( zzyyxxvvv |v|=

Contoh :

P(1,2,3)

Q(4,6,1)

R(3,5,8)

u= PQ= [4-1,6-2,1-3] = [3,4,-2]

v= PR= [3-1,5-2,8-3] = [2,3,5]

w= QR= [3-4,5-6,8-1] = [-1,-1,7]

Operasi pada vektor

Jika, , dan adalah vektor-vektor di ruang-3, dan k

adalah konstanta tak nol maka :

332211 ,, vuvuvu vu

],,[ 321 uuuu ],,[ 321 vvvv

],,[ 332211 vuvuvu vu

],,[],,[ 321321 kukukuuuukk u

(1).

(2).

(3).

Bentuk geometri

Kesamaan

u v u

v

v

u + v

Panjang dan arah sama

Elemen seletak dijumlahkan

Setiap elemen dikalikan dengan k

Penjumlahan Perkalian dengan skalar

u

ku


7/14

Vektor Normal

Andaikan u adalah vektor di R2 atau R3, vektor normal u ditulis nudidefinisikan sebagai sebuah vektor searah u dimana panjangnya 1.

|u|

unu

Contoh :

u= [1,-2,3], maka,

14

3,

14

2,

14

1

941

]3,2,1[un

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu dan searah dengan sumbu

koordinat.

i= [1,0,0], searah sumbux

j= [0,1,0], searah sumbu y

k= [0,0,1], searah sumbu z

j= [0,1,0]

k= [0,0,1]

i= [1,0,0]

Hasil Kali Titik, Proyeksi

Misalkan udan v adalah vektor-vektor di R2 (R3), dan misalkan pula sudutantara udan v, maka hasil kali titik (dot product) ditulis u vdidefinisikan oleh :

0

|v||u|vu

cos jika u 0 dan v 0

jika u =0 atau v = 0

v

u

Misalkan, u= [u1,u2,u3], dan v= [v1,v2,v3] hasil kali titik udan vdiberikan pulaoleh,

332211321321 ],,[],,[ vuvuvuvvvuuu vu

|v||u|

vu

cos

Misalkan, udan vadalah vektor-vektor tak nol, maka sudut antara udan v

diberikan pula oleh,

2/

2/

2/0

jika hanya jika u v > 0

jika hanya jika u v < 0

jika hanya jika u v = 0


8/14

Contoh :

P(2,6,4)

Q(4,8,5)

R(7,7,3)

u= PQ = [4-2,8-6,5-4] = [2,2,1]

v= PR = [7-2,7-6,3-4] = [5,1,-1]

w= RQ = [4-7,8-7,5-3] = -3,1,2]

u

v

w

|u| = 3122 222

1421)3( 222

33)1(15 222 |v| =

|w| =

u v= [2,2,1][5,1,-1] = 10 + 2 1 = 11

u w= [2,2,1][-3,1,2] = -6 + 2 + 2 = -2

-v w= [-5,-1,1][-3,1,2] = 15 -1 + 2 = 16

= 0,7056

= cos-1(0,7056)

= 45,1o

|v||u|

vu

cos

)33)(3(

11

|w||u|

wu

cos

)14)(3(

2

= -0,1782

= cos-1(-0,1782)

= 100,3o

|w||-v|

wv-

cos

)14)(33(

16

= cos-1(0,8229)

= 34,6o

Proyeksi

Andaikan udan avektor tak nol di R2 (R3), maka :

a|a|

auua 2

v= proy vkomponen vektor u

sepanjang a

w= u v

= u- proy a|a|

au-uua 2

w

u

v

awkomponen vektor u

ortogonal dengan v

Penerapan proyeksi, jarak titik P(x0,y0) ke garis ax+ by+ c = 0

ax + by + c = 0

n = [a,b]

P(x0,y0)

D

D = |proynQP|

Q(x,y)

|n|

|n

QP|

22

00 ||

ba

cbyax


9/14

Rumus-rumus hasil kali titik

u v= | u | | v| cos u v=

i i =j j = k k = 1

i j =j i = i k =k i =j k = k j = 0

v v= | v|2, dan | v | = (v v)1/2

u v= v u

u (v +w) = u v+ u w

k(u v) = (ku) v= u (kv)

v v> 0, jika v 0, dan v v= 0 jika v = 0.

332211 vuvuvu

Hasil Kali Silang

Jika, u= [u1,u2,u3], dan v = [v1,v2,v3], vektor-vektor di R3 (R2), hasil kali silang

vektor (cross product) u dan vditulis uv didefinisikan oleh,

u

v= [u2v3-u3v1,-(u1v3-u3v1),u1v2-u2v1]

kji21

21

31

31

32

32

vv

uu

vv

uu

vv

uu

321

321

vvv

uuu

kji

Dalam bentuk geometri

u v

|u

v|=|u||v| sin

Dari gambar diperoleh hasil :

u (uv)

v (uv)

|uv|2= |u|2|v|2 (uv)2


10/14

Contoh :

u=[3,-1,2], dan v=[-2,4,3]

342

213

kji

u

v =(-3-8)i (9+4)j+ (12-2)k= [-11,-13,10]

u(u

v) = [3,-1,2][-11,-13,10] = -33+13 +20 = 0

v(uv) = [-2,4,3][-11,-13,10] = 22-52+30 = 0

Contoh :

u

v

|uv|2= |u|2|v|2 (uv)2

= |u|2|v|2 (|u||v| cos )2

= |u|2|v|2(1 cos2)

= |u|2|v|2sin2

|uv| = |u||v| sin , A = |uv|

A = |u||v| sin

Rumus-rumus hasil kali silang

u(uv) = 0 (uv) ortogonal ke u

v(uv) = 0 (uv) ortogonal ke v

|uv|2= |u|2|v|2 (uv)2dan |uv|= |u||v| sin

uv= (vu)

u(v +w) = (uv) + (uw)

(u + v)w= (uw) + (vw)

k(uv) = (ku)v = u (kv)

i j =k;j i = -k ;j k = i ; k j = -i; ki =j ; i k = -j

i i =0 ;j j = 0; k k = 0

u(vw) =

321

321

321

www

vvv

uuu


11/14

Bidang Datar

Q

P

n

Bidang yang melalui titik tetap P(x0,y0,z0) dengan

normal bidang n=[A,B,C]adalah himpunan titik-titikQ(x,y,z) sedemikian rupa sehingga,

nPQ = 0

[A,B,C][x-x0,y-y0,z-z0] = 0

A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0

Ax + By + Cx = D

Pendekatan vektor

PQ

R X

v

u

u = PQ = [u1,u2,u3] ; v= PR = [v1,v2,v3]

PX =[x-x0,y-y0,z-z0]Dalam bentuk vektor :

PX =

u + v

[x,y,z] = [x0,y0,z0] + [u1,u2,u3] + [u1,u2,u3]

Contoh :

Persamaan bidang yang melalui P(1,2,4), Q(4,6,5), dan R(2,5,7).

n

P(1,2,4) Q(4,6,5)

R(2,5,7)

u

v

>u = PQ = [3,4,1]

v = PR = [1,3,3]

Cara pertama

Titik tetap P(x0,y0,z0) = P(1,2,4)

n=uv

n=uv

331

143kji

= [12-3,-(9-1),9-4] = [9,-8,5]

Persamaan bidangnya adalah :

9(x 1) 8(y 2) + 5(z 4) = 0 atau 9(x 4) 8(y 6) + 5(x 5) = 0

9x 8y + 5z = 13

X(x,y,z)


12/14

Cara kedua :

PX =

u + v

[x,y,z] = [1,2,4] + [3,4,1] + [1,3,3]

Persamaan parameternya adalah :

x = 1 + 3+ (1)

y = 2 + 4+ 3 (2)

z = 4 + + 3 (3)

5

13

yx

5

234

yx

Jika dan disubstitusikan pada persamaan (3) diperoleh hasil :

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hasil :

5z = 20 + (3x y 1) 3(4x 3y + 2)

9x 8y + 5z = 13

52343

5134

yxyxz

Garis lurus dalam ruang

v

Q(x,y,z)Garis lurus yang melalui titik tetap P(x0,y0,z0)

dengan vektor arah v=[a,b,c] adalah

himpunan titik-titik Q(x,y,z) sedemikian rupa

sehingga,

PQ = tv

[x x0,y y0,z z0] = t[a,b,c]

[x,y,z] = [x0,y0,z0] + t[a,b,c]

P(x0,y0,z0)

Bentuk persamaan parameter

garis lurus adalah :

x = x0+ at

y = y0+ bt

z = z0+ ct

Bentuk simetris persamaan garis

lurus adalah :

c

zz

b

yy

a

xx 000


13/14

Contoh :

Persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang-bidang,

3x + 2y z = 14, dan 4x + 5y + 2z = 21

Jawab

n1=[3,2,-1]

n2=[4,5,2]

v=[a,b,c]

Vektor arah garis :

n1= [3,2,-1]

n2 = [4,5,2]

v = n1n2

254

123

kji

v

= [4+5,-(6+4),15-8]

= [9,-10,7]

Titik tetap

Dari kedua pesamaan linier, ambil

z = 0 dperoleh hasil :

3x + 2y = 14

4x + 5y = 21

x = 4

y = 1

Persamaan garis vektor :

[x,y,z] = [4,1,0] + t[9,10,7]

Parameter

x = 4 + 9t; y = 1 10t; z = 7t

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Bilamana u = , dan v = , nyatakanlah u sebagai jumlahan

vektor m yang sejajar v dan suatu vektor n yang tegak lurus dengan v.

2. Carilah vektor u dan v, sedemikian rupa sehingga u tegak lurus v dan masing-

masing tegak lurus dengan w =

3. Carilah vektor u dan v, sedemikian rupa sehingga u tegak lurus v dan masing-

masing tegak lurus dengan w =

4. Dengan menggunakan vektor, carilah besarnya sudut antara bidang 2x + y 2z

= 10, dan bidang 6x 2y + 3z = 4

5. 22. Carilah persamaan bidang yang melalui tiga buah titik (2,4,2) ; (3,6,1) dan(4,1,7)

6. Carilah persamaan bidang yang memuat titik (2,4,3) dan (5,3,6) dan tegak lurus

dengan bidang 2x + y + 4z = 12

7. 24. Carilah persamaan bidang yang melalui (4,6,5), tegak lurus dengan bidang x

+ 2y 2z = 10,dan 2x 3y + 3z = 8

8. Carilah jarak antara bidang 2x + 2y z = 10 ke titik (3,2,5)


14/14

9. Carilah persamaan bidang yang memuat garis, x = 3 + 4t, y = 2 + 3t, z = 1 + 2t

dan tegak lurus dengan bidang 2x y + 3z = 10.

10. Carilah persamaan bidang yang memuat garis, x = 2 + 3t, y = 3 2t, z = 1 + 4t

dan sejajar dengan garis, x = 3 + 5t, y = 3 + 3t, z = 2 t.

11. Carilah persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang, x 3y + 2z =

10, dan bidang 3x + 2y 3z = 10.

12. Carilah persamaan garis yang melalui titik (3,2,6) dan sejajar dengan garis

yang merupakan perpotongan bidang, 2x + 3y z = 9, dan x + 2y 3z = 10.

13. Carilah persamaan bidang yang memuat kedua garis sejajar,

x = 3 5t, y = 3 + 2t, z = 4 + t dan x = 2 + 5t, y = 1 2t , z = 2 t.

14. Carilah titik potong kedua garis berikut ini, dan tentukan pula persamaan

bidangnya.x = 2t, y = 2 + 3t, z = 1 + t dan x = t, y = 2 t , z = 1 + t.

15. Carilah jarak antara kedua garis yang bersilangan berikut ini, yaitu : x = 3 + 2t, y = 2 2t, z = 4 + 3t dan x = 2 t, y = 1 + 3t , z = 3 2t.

SOAL-SOAL LATIHAN

Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx

Documents

Transcript of Modul 1 Koordinat Kartesius, Grafik Dan Vektor R3.Pdfx