Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam...

24
EE EE 2823 2823 ELEKTROMAGNETIKA I ELEKTROMAGNETIKA I Analisis Vektor dan Fasor Modul #02 Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi Jurusan Teknik Elektro - Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung – 2006 EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 2 Outline Pendahuluan Aljabar Skalar Aljabar Vektor Sistem Koordinat Transformasi Koordinat Jarak Antara 2 Titik Integrasi dan Diferensiasi Vektor Gradien, Divergensi, dan Curl

Transcript of Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam...

Page 1: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EEEE28232823ELEKTROMAGNETIKA IELEKTROMAGNETIKA I

Analisis Vektor dan Fasor

Modul #02

Program Studi S1 Teknik TelekomunikasiJurusan Teknik Elektro - Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Bandung – 2006

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 2

Outline

Pendahuluan

Aljabar Skalar

Aljabar Vektor

Sistem Koordinat

Transformasi Koordinat

Jarak Antara 2 Titik

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

Gradien, Divergensi, dan Curl

Page 2: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 3

A. Berbagai Terminologi

Vektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalammagnitudo (besar) dan arah

Contoh : medan, gaya, kecepatan mobil , anginpercepatan, dsb

Skalar Besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dalammagnitudo (besar) saja

Contoh : temperatur, massa, kelembaban, massa, panjang, berat jenis, resistivitas, dsb

Keterampilan dalam membaca vektor dan fasor sangat diperlukan dalamelektromagnetika. Analisa vektor adalah tool matematika yang sangat pentingdikuasai dalam kuliah ini. Hal ini disebabkan besaran-besaran dalam MedanElektromagnetik terutama adalah besaran-besaran vektor.

Definisi vektor dan skalar,

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 4

Berbagai Terminologi

MedanMedan secara definitif berarti daerah pengaruh. Secara lebih luas, medan kemudian menjadi besaran fisis dan merupakandaerah pengaruh besaran fisis.Dilihat dari penyebabnya, vektor atau skalar, maka medan dibagi menjadi 2 ( dua ), yaitu :

Medan skalar, daerah pengaruh besaran skalarMedan vektor, daerah pengaruh besaran vektor

Notasi Vektor

Ar

atau

A

Fasor

A θ∠A

pengganti, A cos(wt+θ)

atau, )t(jeA θ+ω

Magnitude (besar) vektor

Ar

Page 3: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 5

B. Aljabar SkalarSkalar ada 2 macam :a. Skalar biasa,

Dinyatakan dengan bilangan riilb. Skalar kompleks, atau FASOR

Memerlukan 2 angka riil sebagai bagian riil dan khayal. Biasa jugadinyatakan dalam amplituda dan sudut .Fasor merupakan bentuk pengganti dari bentuk sinusoidal.

Bentuk skalar kompleksAda 2 macam bentuk :

BentukrectangularBentuk polar

jbaAA +==dimana,

1j −=

)(jA

AeAAA φ=φ∠=

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 6

Aljabar Skalar

Misal diketahuidalam, Rectangular Polar

jbaA += dan jdcB +=Aj

A eAAA φ=φ∠= dan BjB eBBB φ=φ∠=

Penjumlahan danpengurangan

Rectangular,A + B = (a + jb) + (c + jd) = (a+c) + j(b+d)A - B = (a + jb) - (c + jd) = (a-c) + j(b-d)PolarUbah dulu ke bentuk rectangular, operasikan spt diatas,kembalikan lagi ke bentuk polar

Pangkat dan akarpangkat

PolarAjn

A

nn eAnAA φ=φ∠=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛φ

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛φ∠= nj

nAnnA

eAnAA

RectangularLebih baik diubah dalam bentuk polar dulu

Operasi-Operasi Bilangan Kompleks

Page 4: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 7

Perka lian Pem bagian

RectangularUbah dulu kebentuk polar, operasikan spt dibawah,kembalikan lagi kebentuk rectangularPolar

BA jjBA eB.eAB.AAB φφ=φ∠φ∠=

)(jBA

BAeBA)(BA φ+φ=φ+φ∠=

B

A

j

j

B

A

eB

eA

B.

A

B

φ

=φ∠

φ∠=

)(j

BABAe

B

A)(

B

A φ−φ=φ−φ∠=

Identitas Euler

321321ajinerImalRe

jm )msin(j)mcos(e ±=±

Integrasi dan diferensiasi fungsi sinusoidal

(...)jdt

(...)dω= (...)

j

1dt(...)

ω=∫dan

Aljabar Skalar

[ ] )cos(Re me jm =±

[ ] )sin(Im me jm ±=±

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 8

C. Aljabar Vektor

Aljabar vektor adalah operasi-operasi matematis yang dilakukan padabesaran vektor. Dalam hal ini perlu diketahui kaidah-kaidah yangberlaku dalam aljabar vektor.

Vektor Satuan

Notasi Vektor Dalam Koordinat

wwvvuu aDaDaDD ++=r dimana,

wvu adanaa ˆ,ˆ,ˆ adalah vektor satuan masingmasing sumbu koordinat

Misal :

Representasi Vektor (anah panah)• Panjang anak panah mewakili magnitudo vektor• Arah anak panah mewakili arah vektor

AaAA ˆrr

= maka,

Aa adalah vektor bermagnitudo satu dengan arah sesuai arahvektor

Ar

Page 5: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 9

Aljabar Vektor

Operasi vektor

Sifat-sifat yang dimiliki penjumlahan vektoradalah :

a. Memenuhi Hukum Komutatif

ABBArrrr

+=+

A)B()B(ABArrrrrr

+−=−+=−b. Memenuhi Hukum Asosiatif

C)BA()CB(Arrrrrr

++=++

Penjumlahan vektor berarti penjumlahankomponen-komponen vektor

Br

Ar BA

rr+

Ar

Br

BArr

+

Tanda minus (-) pada vektor berarti besarnya sama, arah berlawanan

Penjumlahan vektor

wwvvuu aAaAaAA ++=r

jika , maka2w

2v

2u

AAAA

A

A

Aa

++==

r

r

rLanjutan….(vektor satuan).

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 10

Aljabar Vektor

Perkalian Dengan Skalar

( )zzyyxx

zzyyxx

amAamAamA

aAaAaAmAm

++=

++=rA

r

A2r

Page 6: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 11

Aljabar Vektor

Scalar product

αcosBABArrrr

=•

a. Memenuhi hukum komutatif

ABBArrrr

•=•b. Memenuhi hukum distribusi

)CA()BA()CB(Arrrrrrr

•+•=+•

α

Br

Ar

αcosBr

α

Br

Ar

αcosAr

Vector (cross) product of two vectors

cc asinBAaCBA α==×rrrr

Dengan,Adalah vektor satuan berarahsesuai vektor C, dan tegaklurusterhadap vektor A dan vektor B

ca

α

Br

Ar

Cr Arah vektor C

sesuai dengan arahsekrup yang diputar dari vektorA ke vektor B

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 12

Aljabar Vektor

Vector (cross) product of two vectors (lanjutan…)

wwvvuu aAaAaAA ++=r

wwvvuu aBaBaBB ++=r

danJika

Maka,

ua va wa ua va

uA vA wA uA vA

uB vB wB uB vB=×= BAC

rrr

+ ++---wuvvuvwuuwuvwwv a)BABA(a)BABA(a)BABA(C −+−+−=

r

Pada cross product tidak berlaku hukum komutatif, jika :

CBArrr

=× maka C)BA(ABrrrrr

−=×−=×

Page 7: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 13

Aljabar Vektor

Hubungan yang sering digunakan dalam manipulasi ...

( ) ( ) ( )acbbaccbarrrrrrrrr

ו=ו=ו

( ) 0baa =וrrr

( ) ( ) ( )baccabcbarrrrrrrrr

•−•=××

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 14

Berbagai Identitas Vektor

Aljabar Vektor

)A(B)B(AA)B(B)A()BA(rrrrrrrrrrrrrrr

×∇×+×∇×+∇•+∇•≡•∇

B)A(A)B()A(B)B(A)BA(rrrrrrrrrrrrrrr

•∇−•∇+•∇−•∇≡××∇

C)BA(B)CA()CB(Arrrrrrrrr

•−•≡××

B)AC(A)CB()C)BA(rrrrrrrrr

•×≡•×≡•×

BAAB)BA(rrrrrrrrr

×∇•−×∇•≡ו∇

AVAV)AV(rrrrrr

×∇+×∇≡×∇

)B()A()BA(rrrrrrr

×∇+×∇≡+×∇

A)A(A 2rrrrrrrr

∇−•∇∇≡×∇×∇

)B()A()BA(rrrrrrr

•∇+•∇≡+•∇

AVVA)AV(rrrrrr

•∇+∇•≡•∇

WV)WV( ∇+∇≡+∇rrr

VV 2∇≡∇•∇rrr

0A ≡×∇•∇rrr

0V ≡∇×∇rr

Page 8: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 15

D. Sistem KoordinatPosisi titik P dalam suatu sistem koordinat 3 dimensidinyatakan sebagai :

P(u, v, w)Notasi vektor D dalam koordinat 3 dimensi dinyatakan :

wwvvuu aDaDaDD ˆˆˆ ++=r

3 macam sistem koordinat yang diperkenalkan : • Koordinat Kartesian• Koordinat Tabung ( Silindris )• Koordinat Bola ( Spheris )

x

y

z

ax

ay

az

x

y

z

P

φ1

ρ1

z1

azaφ

x

y

z

Paφ

ar

θ

φ

r

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 16

x

y

z

ax

ay

az

x

y

z

P

φ1

ρ1

z1

az

x

y

z

Paφ

ar

θ

φ

r

Sistem Koordinat

Arah orientasi...

Page 9: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 17

Sistem Koordinat

Variabel Faktor skalaSistem koordinatu v w hu hv hw

Kartesian x y z 1 1 1Silindris ρ φ z 1 ρ 1Spheris r θ φ 1 r r sinθ

Panjang sisi volume diferensial

uuu dhdL = ; vvv dhdL = ; www dhdL =Vektor lintasan diferensial

wwwvvvuuu adhadhadhLd ++=r

;Luas sisi diferensial

vuvuuv ddhhdS = ; wvwvvw ddhhdS = ; wuwuuw ddhhdS =Vektor normal luas diferensial

wuvuv adSSd =r

; uvwvw adSSd =r

; vuwuw adSSd =r

Volume diferensial

wvuwvu dddhhhdV=

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 18

Sistem Koordinat

Gradien dari skalar G

w

wv

vu

u

aw

G

h

1a

v

G

h

1a

u

G

h

1G

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

r

Divergensi dari suatu vektor D

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂+

∂∂+

∂∂=•∇ wvuvwuuwv

wvu

Dhhw

Dhhv

Dhhuhhh

1Drr

Laplacian dari suatu skalar G

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂=∇•∇=∇

w

G

h

hh

wv

G

h

hh

vu

G

h

hh

uhhh

1GG

w

vu

v

uw

u

wv

wvu

2rrr

Kurl (pusaran) dari vektor D

wwvvuu

vu

w

wu

v

wv

u

DhDhDhuuu

hh

a

hh

a

hh

a

D∂∂

∂∂

∂∂=×∇

rr

Page 10: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 19

Sistem Koordinat

Representasi elemen volume dalam gambar

dxdy

dxdz

xy

z

ax

ay

az

dydz

xy

z

φφ+dφ

zz+dz ρ+dρρ

dρρdφ

dz

x

y

z

θ

φrφ+dφ

θ+dθ

r+dr

dr

r sinθ dφr dθ

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 20

E. Transformasi KoordinatKoordinat Silindris ←→ Koordinat Kartesian• Transformasi Variabel

)z,y,x(Ar

⇔ )z,,(A φρr

Silindris ⇒ Kartesian Kartesian ⇒ Silindrisφρ= cosx 22 yx +=ρφρ= siny

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=φ −

x

ytan 1

z = z z = z

• Dot Product Vektor Satuan

• ρa φa za

xa φcos φ− sin 0

ya φsin φcos 0

za 0 0 1

Tabel 1

Tabel 2

Page 11: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 21

• Transformasi Vektor )z,,(A)z,y,x(A φρ⇔rr

zzyyxx a)z,y,x(Aa)z,y,x(Aa)z,y,x(A)z,y,x(A ++=r

zz a)z,,(Aa)z,,(Aa)z,,(A)z,,(A φρ+φρ+φρ=φρ φφρρ

r

Transformasi Koordinat

Langkah 1, Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah

zz a)z,y,x(AA

a)z,y,x(AA

a)z,y,x(AA

•=

•=

•=

φφ

ρρ

r

r

r

zz

yy

xx

a)z,,(AA

a)z,,(AA

a)z,,(AA

•φρ=

•φρ=

•φρ=

r

r

r)z,,(A)z,y,x(A φρ⇒

rr)z,y,x(A)z,,(A

rr⇒φρ

Langkah 2, Ubah variabel !! Lihat tabel 1

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 22

Transformasi Koordinat

Koordinat Silindris ←→ Koordinat Kartesian...

Lihat bahwa komponenvektor tergantung padaposisi angular φ !

Lihat bahwa komponenvektor tergantung padaposisi angular φ !

zz

y

x

AA

cosAcosAA

sinAcosAA

=

φ+φ=

φ−φ=

φρ

φρ

zz

yx

yx

AA

cosAsinAA

sinAcosAA

=

φ+φ−=

φ+φ=

φ

ρ

Contoh : Mencari Aρ

( ) ( ) ( )434214342143421

0

zz

sin

yy

cos

xx aa)z,y,x(Aaa)z,y,x(Aaa)z,y,x(AA ρ

φ

ρ

φ

ρρ •+•+•=

φ=• ρ cos11aax

xaρaφ

ρa

φ−o90

x

yy

x

ya

( ) φ=φ−=• ρ sin90cos11aa oy 090cos11aa o

z ==• ρ

Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb :

Page 12: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 23

Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian

Transformasi Koordinat

• Transformasi Variabel

)z,y,x(Ar

⇔ ),,( φθrAr

0≥r dan πθ ≤≤0 Spheris ⇒ Kartesian Kartesian ⇒ Spheris

φθ cossinrx = 222 zyxr ++=

φθ sinsinry = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

r

z1cosθ

z = r cos θ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −

x

y1tanφ

• Dot Product Vektor Satuan• ra θa φa

xa sinθ φcos φθ coscos φsin−

ya φθ sinsin φθ sincos φcos

za θcos θsin− 0

Tabel 1

Tabel 2

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 24

• Transformasi Vektor ),,r(A)z,y,x(A φθ⇔rr

zzyyxx a)z,y,x(Aa)z,y,x(Aa)z,y,x(A)z,y,x(A ++=r

φφθθ φθ+φθ+φθ=φθ a),,r(Aa),,r(Aa),,r(A),,r(A rr

r

Transformasi Koordinat

Langkah 1,Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah

φφ

θθ

•=

•=

•=

a)z,y,x(AA

a)z,y,x(AA

a)z,y,x(AA rr

r

r

r

zz

yy

xx

a),,r(AA

a),,r(AA

a),,r(AA

•φθ=

•φθ=

•φθ=

r

r

r)z,,(A)z,y,x(A φρ⇒

rr)z,y,x(A),,r(A

rr⇒φθ

Langkah 2,Ubah variabel !! Lihat tabel 1

Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian...

Page 13: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 25

Transformasi Koordinat

Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian...

θ−θ=

φ+φθ+φθ=

φ−φθ+φθ=

θ

φθ

φθ

sinAcosAA

cosAsincosAsinsinAA

sinAcoscosAcossinAA

rz

ry

rx

Contoh : Mencari Ar

φθ=• cossinaa xr

φθ=• sinsinaa yr

θ=• cosaa zr

Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb :

φ+φ−=

θ−φθ+φθ=

θ+φθ+φθ=

φ

θ

cosAsinAA

cosAsincosAcoscosAA

cosAsinsinAcossinAA

yx

zyx

zyxr

( )( ) ( )( ) ( )( )434214342143421θφθφθ

•+•+•=cos

rzz

sinsin

ryy

cossin

rxxr aaz,y,xAaaz,y,xAaaz,y,xAA

proyeksikan vektor satuan ar pada bidang x-y, lalu proyeksikansekali lagi pada vektor satuan ax (atau sumbu-x)

ra

θ

x-y

z

θθ−o90

)yx(ra −

φ

x

y

xa )yx(ra −

φDapatkan pengertian bahwanotasi dot adalah proyeksi !!!

Dapatkan pengertian bahwanotasi dot adalah proyeksi !!!

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 26

F. Jarak Antara Dua Titik

Jarak antara 2 titik P dan Q adalah magnitudo dari perbedaanvektor P dan Q

zzyyxx apapapP ++=r

zzyyxx aqaqaqQ ˆˆˆ ++=r

( ) ( ) ( ) zzzyyyxxx apqapqapqPQ −+−+−=

( ) ( ) ( )2zz2

yy2

xxPQ pqpqpqD −+−+−=

Jarak antara P dan Q :

Page 14: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 27

G. Integrasi dan Diferensiasi Vektor

Integral Garis

a

b

il∆countourc

A(li

)

• Konsep mengenai integral garis dapat dilihat kembali padakuliah Matematika Teknik atau Kalkulus

• Untuk Skalar,

∑∫=∞→

→∆∆=

N

1iii

N0l

b

a

l)l(Alimdl)l(Ai

Pada kurva /countor c pada gambar disamping, kurva dipotong-potongdalam sejumlah N elemen panjang ∆li

Dapat dibayangkan bahwa integrasidisamping berarti adalah luas daerah dibawah contour c

a

b

c

il∆

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 28

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

• Untuk Vektor,

=∞→→∆

=∆= ∑∫ abllimdlN

1ii

N0l

b

ai

• Integral garis komponen vektor tangensial terhadap countour

∫ •C

dl)z,y,x(t)z,y,x(Arr

Page 15: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 29

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

Integral garis sering dijumpaidalam persoalanelektromagnetika.

Sebagai contoh :

Energi medan didefinisikansebagai integral garis dari

gaya-gaya yang dideritasepanjang countour

∫∫ θ=•=b

a

b

a

dlcosFldFWrr

ldr

adalah vektor garis singgung terhadap countourldr

Baik dan tergantung pada posisi-nya

ldr

Fr

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 30

Integrasi dan Diferensiasi Vektor

Integral Luas• Untuk skalar, z2

z1

y1 y2

x

z

y

S

∫ ∫∫ ∫∫ ===∆∆

2

1

2

1

y

y

z

zS zy

dzdydydzdSSLuas

• Untuk Vektor, Komponen vektor yang menembus suatupermukaan/ bidang (fluks) dapatdinyatakan :

α∆=∆•= cosSFSFfluksrrr

Total fluks yang menembus suatu bidang dapat dinyatakan :

∫ •=S

SdFtotalfluksrr

Ingat, selalu tegaklurusterhadap permukaan dS !!

Sdr

Page 16: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 31

H. Gradien, Divergensi, dan Curl

GradienGradien dari suatu medan skalar adalah suatu vektor yang magnitudonya menunjukkan perubahan maksimum medan danarahnya menunjukkan arah dari peningkatan tercepat medanskalar tersebut

SumberApi

Ar

Br

X

Ilustrasi ...Suhu adalah medan skalar = f (jarak thd sumber)

Jika terukur suhu pada suatu titik X, makagradien terhadap suhu di X adalah vektor A, dan bukan vektor B

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 32

Gradien ....• Jika φ adalah suatu fungsi skalar, maka didefinisikan :

φ∇=φ=φr

GradGradien zyx az

ay

ax ∂

∂+∂∂+

∂∂=∇

r

operator Delsehingga,

zyx az

ay

ax ∂

φ∂+

∂φ∂

+∂φ∂

=φ∇r

( untuk koordinat kartesian )

dimana,

• Dalam medan elektromagnetika, fungsi skalarnya biasanya adalahpotensial listrik ( V ). Jika φ diganti V, maka :

EVrr

−=∇ ( untuk medan statis )atau , VE ∇−=rr

ilustrasi….arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektoryang berarah menuju potensial yang lebih besar ( menuju kearah sumber itu sendiri )

arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektoryang berarah menuju potensial yang lebih besar ( menuju kearah sumber itu sendiri )

Gradien, Divergensi, dan CurlGradien...

Page 17: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 33

Gradien, Divergensi, dan Curl

+

V∇r

Er

1V2V

3V4V

4321 VVVV >>>

Arah gradien terhadap potensialmenghasilkan vektor yang berarah menuju kearah potensialyang lebih besar → menujukearah sumber itu sendiri

Jika sumber itu adalah API, makagradien terhadap SUHU akan mengarahkepada suhu yang lebih besar, yaitu apiitu sendiri.

x

y

z

Jika misalkan suhu berubah terhadap x, maka komponen gradien terhadap x ada, …..dst.

Lihat gambar di samping !

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 34

Gradien, Divergensi, dan Curl

[ ]

[ ]zyx

zyx

zyx

ayzxazxaxyz

azyzx

ayyzx

axyzx

yzxaz

ay

ax

VE

ˆ3ˆˆ2

ˆ)(

ˆ)(

ˆ)(

ˆˆˆ

22323

323232

32

++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+∂

∂+∂

∂−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∇−=rr

Contoh :

32yzx)z,y,x(V =Misalkan,

maka,

Jadi, jika x, y, z, diketahui pada suatu titik tertentu, maka medanlistrik E dapat langsung diketahui

Gradien...

Page 18: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 35

Untuk mengestimasi dan meng-kuantisasi medan-medan vektor, sering dengan cara mengukur / kuantisasi aliran medan vektortersebut ( atau netto aliran masuk dan keluar ).

Flux : adalah netto aliran yang menembus permukaan denganarah normal terhadap permukaan

Divergensi

Gradien, Divergensi, dan Curl

∫∫ ∫∫ θ=•=ΨS S

dScosFSdFrr

ndSSd =r

Vektor dS selalu tegaklurusterhadap elemen permukaandS

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 36

Gradien, Divergensi, dan Curl

Sehingga,

Jumlah fluks total yang menembus suatu permukaan tertutuppasti adalah sama dengan sumber medan yang dilingkupioleh permukaan tertutup tersebut

∫∫ •=ΨS

SdFrr

Ilustrasi ...

Jika kita ingin mengetahui apakah adasumber yang ada dalam suatu ‘bola’ ...bisadidapat dengan menghitung fluks total yang menembus bola tersebut ... baik fluksmasuk maupun fluks keluar bola

Page 19: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 37

Gradien, Divergensi, dan Curl

Definisi divergensiDivergensi mengamati unsur volume tertentu yang sangat kecil, mengamati apakah ada ‘sumber’ atau tidak di dalam volume tersebut

• Definisi dan Simbol

V

SdD

lim S

0V ∆

•∫→∆

rr

Drr

•∇simbol

x∆ y∆

z∆

• Pada Koordinat Kartesian,

[ ]

z

D

y

D

x

D

aDaDaDaz

ay

ax

D

zyx

zzyyxxzyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

++•⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂φ∂

+∂∂

+∂∂

=•∇rr

Skalar Product !!

Tugas : Silakan cari rumus divergensi untuk koordinat tabung dan koordinat bola !!

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 38

• Hasil operasi divergensi adalah SKALAR, karena Dot Product

• Jika misalkan medan vektor yang diamati adalah , maka : Dr

Jumlah vektor keluar > jumlah vektor masukArtinya : Di dalam ruang ada sumber

Jumlah vektor keluar < jumlah vektor masukArtinya : Ada kekosongan dalam volume dan

bersifat menyerap, contoh : Black HoleJumlah vektor keluar = jumlah vektor masuk

• Hasil divergensi (+)

• Hasil divergensi (-)

• Hasil divergensi = 0

Gradien, Divergensi, dan CurlDivergensi...

Sumber Kekosongan

Artinya : Tidak ada apa-apa dalam volume tersebut

Page 20: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 39

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Bentuk persamaan diatas, diturunkan secara langsung daridefinisi operator divergensi

V

SdF

lim S

0V ∆

•∫→∆

rr

Frr

•∇=

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 40

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...

Divergensi rapat fluks listrik, D,terhadap suatu

volume, maka akan diketahui sumbermuatan didalam

volume itu

vD ρ=•∇rr

=ρv rapat muatanvolume

Page 21: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 41

Gradien, Divergensi, dan CurlDivergensi...

Sekarang, ....bandingkan ekspresi berikut !

V

SdD

lim S

0V ∆

•∫→∆

rr

Drr

•∇dilambangkan sebagai

= ρv

= ρv

∫ •S

SdDrr

= Q

Rapat fluks listrik yang menembus permukaan tertutupadalah sama dengan total muatanyang dilingkupi permukaan itusendiri

disebut Hk GaussKesimpulan...

Adanya suatu muatan / distribusi muatan akan menyebabkanadanya rapat fluks listrik D, dan menimbulkan suatu daerah yang terpengaruh karena adanya muatan listrik tersebut, E.

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 42

Gradien, Divergensi, dan Curl

Divergensi...Penurunan Teorema Divergensi ….

∫ =•S

QSdDrr

: Rapat muatan yang menembus permukaantertutup adalah total muatan itu sendiri

(1)

Qdvv

v =ρ∫ : Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu

(2)

Qdv)D(v

=•∇∫rr

: Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu

(3)vD ρ=•∇

rrdengan substitusi maka,

dengan mempersamakan persamaan (1) dan (3) didapat TeoremaDivergensi,

( )∫ ∫ =•∇=•S v

QdvDSdDrrrr

Page 22: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 43

Gradien, Divergensi, dan Curl

Contoh Aliran Penyelesaian Kasus Dalam Medan Statis...

VE ∇−=rr

(1) Jika V(x,y,z) diketahui, maka medan listrik (E) didapat….

EDrrε=

(2) Jika medan listrik (E) didapat, maka rapat fluks (D) bisa dicari….. ε = konstanta permitivitas bahan

Dv

rr•∇=ρ

(3) Kemudian rapat muatan volume didapatkan….

∫ρ= dvQ v

(4) Muatan dalam volume tertentu didapatkan ….

V

QC=(5) Akhirnya ….kita dapatkan kapasitansinya….

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 44

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl / PusaranCurl adalah integral garis yang membatasi luas yang sangat kecil

• Definisi dan Simbol

S

LdH

lim L

0S ∆

•∫→∆

rr

Hrr

×∇simbol

• Curl adalah Cross Product, sehingga hasilnya adalah Vektor

dS

Jr

Hr

dL

Hr

Hr

Hr

• Curl digunakan untuk mengetahui medanvektor menembus permukaan diferensialyang sangat kecil, yang menyebabkanpusaran medan lain

• Perhatikan gambar di samping !! , rapatarus J yang menembus permukaan dSmenimbulkan suatu pusaran medanmagnetik H

JHrrr

=×∇

Page 23: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 45

• Pada Koordinat Kartesian,

[ ]

zxy

yzx

xyz

zyx

zyx

zzyyxxzyx

ay

H

x

Ha

x

H

z

Ha

z

H

y

H

HHHxxx

aaa

aHaHaHaz

ay

ax

H

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂

∂+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

−∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂−

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

=

++×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂φ∂

+∂∂

+∂∂

=×∇rr

Vector Product !!

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl...

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 46

Rumus umum untuk pusaran ...

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl...

Tugas : Silakan cari rumus curl untuk koordinat tabung dan koordinat bola !!

Page 24: Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah Contoh: medan, gaya, kecepatan mobil , ... Sistem koordinat Variabel

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 47

Gradien, Divergensi, dan Curl

Curl...Penurunan Teorema Stokes ….

∫ =•S

ILdHrr

(1)

∫ =•S

ISdJrr

(2)

JHrrr

=×∇dari persamaan (1) dan (2), dan dari definisi : maka didapat Teorema Stokes,

Bandingkan dengan Teorema Divergensi,

( )∫ ∫ =•∇=•S v

QdvDSdDrrrr

( )∫ ∫ •×∇=•L S

SdHLdHrrrrr

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 48

I. Berbagai Hubungan Matematis