Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam...
Transcript of Analisis Vektor dan Fasor - · PDF fileVektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam...
EEEE28232823ELEKTROMAGNETIKA IELEKTROMAGNETIKA I
Analisis Vektor dan Fasor
Modul #02
Program Studi S1 Teknik TelekomunikasiJurusan Teknik Elektro - Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Bandung – 2006
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 2
Outline
Pendahuluan
Aljabar Skalar
Aljabar Vektor
Sistem Koordinat
Transformasi Koordinat
Jarak Antara 2 Titik
Integrasi dan Diferensiasi Vektor
Gradien, Divergensi, dan Curl
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 3
A. Berbagai Terminologi
Vektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalammagnitudo (besar) dan arah
Contoh : medan, gaya, kecepatan mobil , anginpercepatan, dsb
Skalar Besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dalammagnitudo (besar) saja
Contoh : temperatur, massa, kelembaban, massa, panjang, berat jenis, resistivitas, dsb
Keterampilan dalam membaca vektor dan fasor sangat diperlukan dalamelektromagnetika. Analisa vektor adalah tool matematika yang sangat pentingdikuasai dalam kuliah ini. Hal ini disebabkan besaran-besaran dalam MedanElektromagnetik terutama adalah besaran-besaran vektor.
Definisi vektor dan skalar,
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 4
Berbagai Terminologi
MedanMedan secara definitif berarti daerah pengaruh. Secara lebih luas, medan kemudian menjadi besaran fisis dan merupakandaerah pengaruh besaran fisis.Dilihat dari penyebabnya, vektor atau skalar, maka medan dibagi menjadi 2 ( dua ), yaitu :
Medan skalar, daerah pengaruh besaran skalarMedan vektor, daerah pengaruh besaran vektor
Notasi Vektor
Ar
atau
A
Fasor
A θ∠A
pengganti, A cos(wt+θ)
atau, )t(jeA θ+ω
Magnitude (besar) vektor
Ar
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 5
B. Aljabar SkalarSkalar ada 2 macam :a. Skalar biasa,
Dinyatakan dengan bilangan riilb. Skalar kompleks, atau FASOR
Memerlukan 2 angka riil sebagai bagian riil dan khayal. Biasa jugadinyatakan dalam amplituda dan sudut .Fasor merupakan bentuk pengganti dari bentuk sinusoidal.
Bentuk skalar kompleksAda 2 macam bentuk :
BentukrectangularBentuk polar
jbaAA +==dimana,
1j −=
)(jA
AeAAA φ=φ∠=
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 6
Aljabar Skalar
Misal diketahuidalam, Rectangular Polar
jbaA += dan jdcB +=Aj
A eAAA φ=φ∠= dan BjB eBBB φ=φ∠=
Penjumlahan danpengurangan
Rectangular,A + B = (a + jb) + (c + jd) = (a+c) + j(b+d)A - B = (a + jb) - (c + jd) = (a-c) + j(b-d)PolarUbah dulu ke bentuk rectangular, operasikan spt diatas,kembalikan lagi ke bentuk polar
Pangkat dan akarpangkat
PolarAjn
A
nn eAnAA φ=φ∠=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛φ
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛φ∠= nj
nAnnA
eAnAA
RectangularLebih baik diubah dalam bentuk polar dulu
Operasi-Operasi Bilangan Kompleks
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 7
Perka lian Pem bagian
RectangularUbah dulu kebentuk polar, operasikan spt dibawah,kembalikan lagi kebentuk rectangularPolar
BA jjBA eB.eAB.AAB φφ=φ∠φ∠=
)(jBA
BAeBA)(BA φ+φ=φ+φ∠=
B
A
j
j
B
A
eB
eA
B.
A
B
Aφ
φ
=φ∠
φ∠=
)(j
BABAe
B
A)(
B
A φ−φ=φ−φ∠=
Identitas Euler
321321ajinerImalRe
jm )msin(j)mcos(e ±=±
Integrasi dan diferensiasi fungsi sinusoidal
(...)jdt
(...)dω= (...)
j
1dt(...)
ω=∫dan
Aljabar Skalar
[ ] )cos(Re me jm =±
[ ] )sin(Im me jm ±=±
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 8
C. Aljabar Vektor
Aljabar vektor adalah operasi-operasi matematis yang dilakukan padabesaran vektor. Dalam hal ini perlu diketahui kaidah-kaidah yangberlaku dalam aljabar vektor.
Vektor Satuan
Notasi Vektor Dalam Koordinat
wwvvuu aDaDaDD ++=r dimana,
wvu adanaa ˆ,ˆ,ˆ adalah vektor satuan masingmasing sumbu koordinat
Misal :
Representasi Vektor (anah panah)• Panjang anak panah mewakili magnitudo vektor• Arah anak panah mewakili arah vektor
AaAA ˆrr
= maka,
Aa adalah vektor bermagnitudo satu dengan arah sesuai arahvektor
Ar
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 9
Aljabar Vektor
Operasi vektor
Sifat-sifat yang dimiliki penjumlahan vektoradalah :
a. Memenuhi Hukum Komutatif
ABBArrrr
+=+
A)B()B(ABArrrrrr
+−=−+=−b. Memenuhi Hukum Asosiatif
C)BA()CB(Arrrrrr
++=++
Penjumlahan vektor berarti penjumlahankomponen-komponen vektor
Br
Ar BA
rr+
Ar
Br
BArr
+
Tanda minus (-) pada vektor berarti besarnya sama, arah berlawanan
Penjumlahan vektor
wwvvuu aAaAaAA ++=r
jika , maka2w
2v
2u
AAAA
A
A
Aa
++==
r
r
rLanjutan….(vektor satuan).
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 10
Aljabar Vektor
Perkalian Dengan Skalar
( )zzyyxx
zzyyxx
amAamAamA
aAaAaAmAm
++=
++=rA
r
A2r
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 11
Aljabar Vektor
Scalar product
αcosBABArrrr
=•
a. Memenuhi hukum komutatif
ABBArrrr
•=•b. Memenuhi hukum distribusi
)CA()BA()CB(Arrrrrrr
•+•=+•
α
Br
Ar
αcosBr
α
Br
Ar
αcosAr
Vector (cross) product of two vectors
cc asinBAaCBA α==×rrrr
Dengan,Adalah vektor satuan berarahsesuai vektor C, dan tegaklurusterhadap vektor A dan vektor B
ca
α
Br
Ar
Cr Arah vektor C
sesuai dengan arahsekrup yang diputar dari vektorA ke vektor B
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 12
Aljabar Vektor
Vector (cross) product of two vectors (lanjutan…)
wwvvuu aAaAaAA ++=r
wwvvuu aBaBaBB ++=r
danJika
Maka,
ua va wa ua va
uA vA wA uA vA
uB vB wB uB vB=×= BAC
rrr
+ ++---wuvvuvwuuwuvwwv a)BABA(a)BABA(a)BABA(C −+−+−=
r
Pada cross product tidak berlaku hukum komutatif, jika :
CBArrr
=× maka C)BA(ABrrrrr
−=×−=×
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 13
Aljabar Vektor
Hubungan yang sering digunakan dalam manipulasi ...
( ) ( ) ( )acbbaccbarrrrrrrrr
ו=ו=ו
( ) 0baa =וrrr
( ) ( ) ( )baccabcbarrrrrrrrr
•−•=××
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 14
Berbagai Identitas Vektor
Aljabar Vektor
)A(B)B(AA)B(B)A()BA(rrrrrrrrrrrrrrr
×∇×+×∇×+∇•+∇•≡•∇
B)A(A)B()A(B)B(A)BA(rrrrrrrrrrrrrrr
•∇−•∇+•∇−•∇≡××∇
C)BA(B)CA()CB(Arrrrrrrrr
•−•≡××
B)AC(A)CB()C)BA(rrrrrrrrr
•×≡•×≡•×
BAAB)BA(rrrrrrrrr
×∇•−×∇•≡ו∇
AVAV)AV(rrrrrr
×∇+×∇≡×∇
)B()A()BA(rrrrrrr
×∇+×∇≡+×∇
A)A(A 2rrrrrrrr
∇−•∇∇≡×∇×∇
)B()A()BA(rrrrrrr
•∇+•∇≡+•∇
AVVA)AV(rrrrrr
•∇+∇•≡•∇
WV)WV( ∇+∇≡+∇rrr
VV 2∇≡∇•∇rrr
0A ≡×∇•∇rrr
0V ≡∇×∇rr
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 15
D. Sistem KoordinatPosisi titik P dalam suatu sistem koordinat 3 dimensidinyatakan sebagai :
P(u, v, w)Notasi vektor D dalam koordinat 3 dimensi dinyatakan :
wwvvuu aDaDaDD ˆˆˆ ++=r
3 macam sistem koordinat yang diperkenalkan : • Koordinat Kartesian• Koordinat Tabung ( Silindris )• Koordinat Bola ( Spheris )
x
y
z
ax
ay
az
x
y
z
P
φ1
ρ1
z1
azaφ
aρ
x
y
z
Paφ
ar
aθ
θ
φ
r
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 16
x
y
z
ax
ay
az
x
y
z
P
φ1
ρ1
z1
az
aφ
aρ
x
y
z
Paφ
ar
aθ
θ
φ
r
Sistem Koordinat
Arah orientasi...
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 17
Sistem Koordinat
Variabel Faktor skalaSistem koordinatu v w hu hv hw
Kartesian x y z 1 1 1Silindris ρ φ z 1 ρ 1Spheris r θ φ 1 r r sinθ
Panjang sisi volume diferensial
uuu dhdL = ; vvv dhdL = ; www dhdL =Vektor lintasan diferensial
wwwvvvuuu adhadhadhLd ++=r
;Luas sisi diferensial
vuvuuv ddhhdS = ; wvwvvw ddhhdS = ; wuwuuw ddhhdS =Vektor normal luas diferensial
wuvuv adSSd =r
; uvwvw adSSd =r
; vuwuw adSSd =r
Volume diferensial
wvuwvu dddhhhdV=
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 18
Sistem Koordinat
Gradien dari skalar G
w
wv
vu
u
aw
G
h
1a
v
G
h
1a
u
G
h
1G
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
r
Divergensi dari suatu vektor D
( ) ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂+
∂∂+
∂∂=•∇ wvuvwuuwv
wvu
Dhhw
Dhhv
Dhhuhhh
1Drr
Laplacian dari suatu skalar G
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂=∇•∇=∇
w
G
h
hh
wv
G
h
hh
vu
G
h
hh
uhhh
1GG
w
vu
v
uw
u
wv
wvu
2rrr
Kurl (pusaran) dari vektor D
wwvvuu
vu
w
wu
v
wv
u
DhDhDhuuu
hh
a
hh
a
hh
a
D∂∂
∂∂
∂∂=×∇
rr
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 19
Sistem Koordinat
Representasi elemen volume dalam gambar
dxdy
dxdz
xy
z
ax
ay
az
dydz
xy
z
φφ+dφ
zz+dz ρ+dρρ
dρρdφ
dz
x
y
z
θ
φrφ+dφ
θ+dθ
r+dr
dr
r sinθ dφr dθ
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 20
E. Transformasi KoordinatKoordinat Silindris ←→ Koordinat Kartesian• Transformasi Variabel
)z,y,x(Ar
⇔ )z,,(A φρr
Silindris ⇒ Kartesian Kartesian ⇒ Silindrisφρ= cosx 22 yx +=ρφρ= siny
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=φ −
x
ytan 1
z = z z = z
• Dot Product Vektor Satuan
• ρa φa za
xa φcos φ− sin 0
ya φsin φcos 0
za 0 0 1
Tabel 1
Tabel 2
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 21
• Transformasi Vektor )z,,(A)z,y,x(A φρ⇔rr
zzyyxx a)z,y,x(Aa)z,y,x(Aa)z,y,x(A)z,y,x(A ++=r
zz a)z,,(Aa)z,,(Aa)z,,(A)z,,(A φρ+φρ+φρ=φρ φφρρ
r
Transformasi Koordinat
Langkah 1, Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah
zz a)z,y,x(AA
a)z,y,x(AA
a)z,y,x(AA
•=
•=
•=
φφ
ρρ
r
r
r
zz
yy
xx
a)z,,(AA
a)z,,(AA
a)z,,(AA
•φρ=
•φρ=
•φρ=
r
r
r)z,,(A)z,y,x(A φρ⇒
rr)z,y,x(A)z,,(A
rr⇒φρ
Langkah 2, Ubah variabel !! Lihat tabel 1
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 22
Transformasi Koordinat
Koordinat Silindris ←→ Koordinat Kartesian...
Lihat bahwa komponenvektor tergantung padaposisi angular φ !
Lihat bahwa komponenvektor tergantung padaposisi angular φ !
zz
y
x
AA
cosAcosAA
sinAcosAA
=
φ+φ=
φ−φ=
φρ
φρ
zz
yx
yx
AA
cosAsinAA
sinAcosAA
=
φ+φ−=
φ+φ=
φ
ρ
Contoh : Mencari Aρ
( ) ( ) ( )434214342143421
0
zz
sin
yy
cos
xx aa)z,y,x(Aaa)z,y,x(Aaa)z,y,x(AA ρ
φ
ρ
φ
ρρ •+•+•=
φ=• ρ cos11aax
xaρaφ
ρa
φ−o90
x
yy
x
ya
( ) φ=φ−=• ρ sin90cos11aa oy 090cos11aa o
z ==• ρ
Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb :
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 23
Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian
Transformasi Koordinat
• Transformasi Variabel
)z,y,x(Ar
⇔ ),,( φθrAr
0≥r dan πθ ≤≤0 Spheris ⇒ Kartesian Kartesian ⇒ Spheris
φθ cossinrx = 222 zyxr ++=
φθ sinsinry = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
r
z1cosθ
z = r cos θ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= −
x
y1tanφ
• Dot Product Vektor Satuan• ra θa φa
xa sinθ φcos φθ coscos φsin−
ya φθ sinsin φθ sincos φcos
za θcos θsin− 0
Tabel 1
Tabel 2
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 24
• Transformasi Vektor ),,r(A)z,y,x(A φθ⇔rr
zzyyxx a)z,y,x(Aa)z,y,x(Aa)z,y,x(A)z,y,x(A ++=r
φφθθ φθ+φθ+φθ=φθ a),,r(Aa),,r(Aa),,r(A),,r(A rr
r
Transformasi Koordinat
Langkah 1,Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah
φφ
θθ
•=
•=
•=
a)z,y,x(AA
a)z,y,x(AA
a)z,y,x(AA rr
r
r
r
zz
yy
xx
a),,r(AA
a),,r(AA
a),,r(AA
•φθ=
•φθ=
•φθ=
r
r
r)z,,(A)z,y,x(A φρ⇒
rr)z,y,x(A),,r(A
rr⇒φθ
Langkah 2,Ubah variabel !! Lihat tabel 1
Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian...
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 25
Transformasi Koordinat
Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian...
θ−θ=
φ+φθ+φθ=
φ−φθ+φθ=
θ
φθ
φθ
sinAcosAA
cosAsincosAsinsinAA
sinAcoscosAcossinAA
rz
ry
rx
Contoh : Mencari Ar
φθ=• cossinaa xr
φθ=• sinsinaa yr
θ=• cosaa zr
Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb :
φ+φ−=
θ−φθ+φθ=
θ+φθ+φθ=
φ
θ
cosAsinAA
cosAsincosAcoscosAA
cosAsinsinAcossinAA
yx
zyx
zyxr
( )( ) ( )( ) ( )( )434214342143421θφθφθ
•+•+•=cos
rzz
sinsin
ryy
cossin
rxxr aaz,y,xAaaz,y,xAaaz,y,xAA
proyeksikan vektor satuan ar pada bidang x-y, lalu proyeksikansekali lagi pada vektor satuan ax (atau sumbu-x)
ra
θ
x-y
z
θθ−o90
)yx(ra −
φ
x
y
xa )yx(ra −
φDapatkan pengertian bahwanotasi dot adalah proyeksi !!!
Dapatkan pengertian bahwanotasi dot adalah proyeksi !!!
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 26
F. Jarak Antara Dua Titik
Jarak antara 2 titik P dan Q adalah magnitudo dari perbedaanvektor P dan Q
zzyyxx apapapP ++=r
zzyyxx aqaqaqQ ˆˆˆ ++=r
( ) ( ) ( ) zzzyyyxxx apqapqapqPQ −+−+−=
( ) ( ) ( )2zz2
yy2
xxPQ pqpqpqD −+−+−=
Jarak antara P dan Q :
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 27
G. Integrasi dan Diferensiasi Vektor
Integral Garis
a
b
il∆countourc
A(li
)
• Konsep mengenai integral garis dapat dilihat kembali padakuliah Matematika Teknik atau Kalkulus
• Untuk Skalar,
∑∫=∞→
→∆∆=
N
1iii
N0l
b
a
l)l(Alimdl)l(Ai
Pada kurva /countor c pada gambar disamping, kurva dipotong-potongdalam sejumlah N elemen panjang ∆li
Dapat dibayangkan bahwa integrasidisamping berarti adalah luas daerah dibawah contour c
a
b
c
il∆
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 28
Integrasi dan Diferensiasi Vektor
• Untuk Vektor,
→
=∞→→∆
=∆= ∑∫ abllimdlN
1ii
N0l
b
ai
• Integral garis komponen vektor tangensial terhadap countour
∫ •C
dl)z,y,x(t)z,y,x(Arr
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 29
Integrasi dan Diferensiasi Vektor
Integral garis sering dijumpaidalam persoalanelektromagnetika.
Sebagai contoh :
Energi medan didefinisikansebagai integral garis dari
gaya-gaya yang dideritasepanjang countour
∫∫ θ=•=b
a
b
a
dlcosFldFWrr
ldr
adalah vektor garis singgung terhadap countourldr
Baik dan tergantung pada posisi-nya
ldr
Fr
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 30
Integrasi dan Diferensiasi Vektor
Integral Luas• Untuk skalar, z2
z1
y1 y2
x
z
y
S
∫ ∫∫ ∫∫ ===∆∆
2
1
2
1
y
y
z
zS zy
dzdydydzdSSLuas
• Untuk Vektor, Komponen vektor yang menembus suatupermukaan/ bidang (fluks) dapatdinyatakan :
α∆=∆•= cosSFSFfluksrrr
Total fluks yang menembus suatu bidang dapat dinyatakan :
∫ •=S
SdFtotalfluksrr
Ingat, selalu tegaklurusterhadap permukaan dS !!
Sdr
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 31
H. Gradien, Divergensi, dan Curl
GradienGradien dari suatu medan skalar adalah suatu vektor yang magnitudonya menunjukkan perubahan maksimum medan danarahnya menunjukkan arah dari peningkatan tercepat medanskalar tersebut
SumberApi
Ar
Br
X
Ilustrasi ...Suhu adalah medan skalar = f (jarak thd sumber)
Jika terukur suhu pada suatu titik X, makagradien terhadap suhu di X adalah vektor A, dan bukan vektor B
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 32
Gradien ....• Jika φ adalah suatu fungsi skalar, maka didefinisikan :
φ∇=φ=φr
GradGradien zyx az
ay
ax ∂
∂+∂∂+
∂∂=∇
r
operator Delsehingga,
zyx az
ay
ax ∂
φ∂+
∂φ∂
+∂φ∂
=φ∇r
( untuk koordinat kartesian )
dimana,
• Dalam medan elektromagnetika, fungsi skalarnya biasanya adalahpotensial listrik ( V ). Jika φ diganti V, maka :
EVrr
−=∇ ( untuk medan statis )atau , VE ∇−=rr
ilustrasi….arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektoryang berarah menuju potensial yang lebih besar ( menuju kearah sumber itu sendiri )
arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektoryang berarah menuju potensial yang lebih besar ( menuju kearah sumber itu sendiri )
Gradien, Divergensi, dan CurlGradien...
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 33
Gradien, Divergensi, dan Curl
+
V∇r
Er
1V2V
3V4V
4321 VVVV >>>
Arah gradien terhadap potensialmenghasilkan vektor yang berarah menuju kearah potensialyang lebih besar → menujukearah sumber itu sendiri
Jika sumber itu adalah API, makagradien terhadap SUHU akan mengarahkepada suhu yang lebih besar, yaitu apiitu sendiri.
x
y
z
Jika misalkan suhu berubah terhadap x, maka komponen gradien terhadap x ada, …..dst.
Lihat gambar di samping !
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 34
Gradien, Divergensi, dan Curl
[ ]
[ ]zyx
zyx
zyx
ayzxazxaxyz
azyzx
ayyzx
axyzx
yzxaz
ay
ax
VE
ˆ3ˆˆ2
ˆ)(
ˆ)(
ˆ)(
ˆˆˆ
22323
323232
32
++−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+∂
∂+∂
∂−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∇−=rr
Contoh :
32yzx)z,y,x(V =Misalkan,
maka,
Jadi, jika x, y, z, diketahui pada suatu titik tertentu, maka medanlistrik E dapat langsung diketahui
Gradien...
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 35
Untuk mengestimasi dan meng-kuantisasi medan-medan vektor, sering dengan cara mengukur / kuantisasi aliran medan vektortersebut ( atau netto aliran masuk dan keluar ).
Flux : adalah netto aliran yang menembus permukaan denganarah normal terhadap permukaan
Divergensi
Gradien, Divergensi, dan Curl
∫∫ ∫∫ θ=•=ΨS S
dScosFSdFrr
ndSSd =r
Vektor dS selalu tegaklurusterhadap elemen permukaandS
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 36
Gradien, Divergensi, dan Curl
Sehingga,
Jumlah fluks total yang menembus suatu permukaan tertutuppasti adalah sama dengan sumber medan yang dilingkupioleh permukaan tertutup tersebut
∫∫ •=ΨS
SdFrr
Ilustrasi ...
Jika kita ingin mengetahui apakah adasumber yang ada dalam suatu ‘bola’ ...bisadidapat dengan menghitung fluks total yang menembus bola tersebut ... baik fluksmasuk maupun fluks keluar bola
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 37
Gradien, Divergensi, dan Curl
Definisi divergensiDivergensi mengamati unsur volume tertentu yang sangat kecil, mengamati apakah ada ‘sumber’ atau tidak di dalam volume tersebut
• Definisi dan Simbol
V
SdD
lim S
0V ∆
•∫→∆
rr
Drr
•∇simbol
x∆ y∆
z∆
• Pada Koordinat Kartesian,
[ ]
z
D
y
D
x
D
aDaDaDaz
ay
ax
D
zyx
zzyyxxzyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
++•⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂φ∂
+∂∂
+∂∂
=•∇rr
Skalar Product !!
Tugas : Silakan cari rumus divergensi untuk koordinat tabung dan koordinat bola !!
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 38
• Hasil operasi divergensi adalah SKALAR, karena Dot Product
• Jika misalkan medan vektor yang diamati adalah , maka : Dr
Jumlah vektor keluar > jumlah vektor masukArtinya : Di dalam ruang ada sumber
Jumlah vektor keluar < jumlah vektor masukArtinya : Ada kekosongan dalam volume dan
bersifat menyerap, contoh : Black HoleJumlah vektor keluar = jumlah vektor masuk
• Hasil divergensi (+)
• Hasil divergensi (-)
• Hasil divergensi = 0
Gradien, Divergensi, dan CurlDivergensi...
Sumber Kekosongan
Artinya : Tidak ada apa-apa dalam volume tersebut
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 39
Gradien, Divergensi, dan Curl
Divergensi...
Bentuk persamaan diatas, diturunkan secara langsung daridefinisi operator divergensi
V
SdF
lim S
0V ∆
•∫→∆
rr
Frr
•∇=
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 40
Gradien, Divergensi, dan Curl
Divergensi...
Divergensi rapat fluks listrik, D,terhadap suatu
volume, maka akan diketahui sumbermuatan didalam
volume itu
vD ρ=•∇rr
=ρv rapat muatanvolume
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 41
Gradien, Divergensi, dan CurlDivergensi...
Sekarang, ....bandingkan ekspresi berikut !
V
SdD
lim S
0V ∆
•∫→∆
rr
Drr
•∇dilambangkan sebagai
= ρv
= ρv
∫ •S
SdDrr
= Q
Rapat fluks listrik yang menembus permukaan tertutupadalah sama dengan total muatanyang dilingkupi permukaan itusendiri
disebut Hk GaussKesimpulan...
Adanya suatu muatan / distribusi muatan akan menyebabkanadanya rapat fluks listrik D, dan menimbulkan suatu daerah yang terpengaruh karena adanya muatan listrik tersebut, E.
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 42
Gradien, Divergensi, dan Curl
Divergensi...Penurunan Teorema Divergensi ….
∫ =•S
QSdDrr
: Rapat muatan yang menembus permukaantertutup adalah total muatan itu sendiri
(1)
Qdvv
v =ρ∫ : Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu
(2)
Qdv)D(v
=•∇∫rr
: Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu
(3)vD ρ=•∇
rrdengan substitusi maka,
dengan mempersamakan persamaan (1) dan (3) didapat TeoremaDivergensi,
( )∫ ∫ =•∇=•S v
QdvDSdDrrrr
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 43
Gradien, Divergensi, dan Curl
Contoh Aliran Penyelesaian Kasus Dalam Medan Statis...
VE ∇−=rr
(1) Jika V(x,y,z) diketahui, maka medan listrik (E) didapat….
EDrrε=
(2) Jika medan listrik (E) didapat, maka rapat fluks (D) bisa dicari….. ε = konstanta permitivitas bahan
Dv
rr•∇=ρ
(3) Kemudian rapat muatan volume didapatkan….
∫ρ= dvQ v
(4) Muatan dalam volume tertentu didapatkan ….
V
QC=(5) Akhirnya ….kita dapatkan kapasitansinya….
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 44
Gradien, Divergensi, dan Curl
Curl / PusaranCurl adalah integral garis yang membatasi luas yang sangat kecil
• Definisi dan Simbol
S
LdH
lim L
0S ∆
•∫→∆
rr
Hrr
×∇simbol
• Curl adalah Cross Product, sehingga hasilnya adalah Vektor
dS
Jr
Hr
dL
Hr
Hr
Hr
• Curl digunakan untuk mengetahui medanvektor menembus permukaan diferensialyang sangat kecil, yang menyebabkanpusaran medan lain
• Perhatikan gambar di samping !! , rapatarus J yang menembus permukaan dSmenimbulkan suatu pusaran medanmagnetik H
JHrrr
=×∇
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 45
• Pada Koordinat Kartesian,
[ ]
zxy
yzx
xyz
zyx
zyx
zzyyxxzyx
ay
H
x
Ha
x
H
z
Ha
z
H
y
H
HHHxxx
aaa
aHaHaHaz
ay
ax
H
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
−∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂−
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
=
++×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂φ∂
+∂∂
+∂∂
=×∇rr
Vector Product !!
Gradien, Divergensi, dan Curl
Curl...
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 46
Rumus umum untuk pusaran ...
Gradien, Divergensi, dan Curl
Curl...
Tugas : Silakan cari rumus curl untuk koordinat tabung dan koordinat bola !!
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 47
Gradien, Divergensi, dan Curl
Curl...Penurunan Teorema Stokes ….
∫ =•S
ILdHrr
(1)
∫ =•S
ISdJrr
(2)
JHrrr
=×∇dari persamaan (1) dan (2), dan dari definisi : maka didapat Teorema Stokes,
Bandingkan dengan Teorema Divergensi,
( )∫ ∫ =•∇=•S v
QdvDSdDrrrr
( )∫ ∫ •×∇=•L S
SdHLdHrrrrr
EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor 48
I. Berbagai Hubungan Matematis