Elektromagnetika Koordinat

91
BAB 1 A. SISTEM KOORDINAT Disadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves

description

Elektromagnetika KoordinatElektromagnetika Koordinat

Transcript of Elektromagnetika Koordinat

Page 1: Elektromagnetika Koordinat

BAB 1BAB 1

A. SISTEM KOORDINATDisadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves

Page 2: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aSistem koordinat

� Sebuah titik ditentukan oleh perpotongan 3 buah bidang yang saling tegak lurus

� Suatu vektor pada sistemkoordinat

1 - 2

� Suatu vektor pada sistemkoordinat dinyatakan dalam komponen komponen yang arahnya searah vektor satuan

� Vektor satuan adalah vektor dengan magnitude 1 dengan arah tegak lurus terhadap bidang koordinat konstant

Page 3: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aSistem koordinat Cartesian (1)

1 - 3

� Sebuah titik P dinyatakan oleh P(x, y, z)

Page 4: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aSistem koordinat Cartesian (2)

1 - 4

� Sebuah vektor P dinyatakan dengan :

zzyyxx PPP a a a P ++=

Page 5: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aSistem koordinat Cartesian (3)

• P1(x, y, z)

• P2(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z)

• Panjang differensial dl

dllll = dx a + dy a + dz a

1 - 5

dllll = dx ax + dy ay + dz az

• Luas differensial

dsx = dy dz ax

dsy = dx dz ay

dsz = dx dy az

• Volume differensial

dv = dx dy dz

Page 6: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Sistem koordinat silinder (1)

1 - 6

� Sebuah titik P dinyatakan oleh P(ρ, ϕ, z)

Page 7: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Sistem koordinat silinder (2)

1 - 7

� Sebuah vektor P dinyatakan dengan :

zzPPP a a a P ++= φφρρ

Page 8: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aSistem koordinat silinder (3)

1 - 8

� Perhatikan arah vektor satuan yang berubah di tiap titik

Page 9: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aSistem koordinat silinder (4)

• P1(ρ, φ, z)• P2(ρ + ∆ρ, φ + ∆φ, z + ∆z)

• Panjang differensial dllll

dllll = dρ aρ + ρ dφ aφ + dz az

1 - 9

llll ρ φ z

• Luas differensialdsρ = ρ dφ dz aρ

dsφ = dρ dz aφ

dsz = ρ dρ dφ az

• Volume differensialdv = ρ dρ dφ dz

Page 10: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aSistem koordinat bola (1)

1 - 10

• Sebuah titik P dinyatakan oleh P(r, θ, ϕ)

Page 11: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Sistem koordinat bola (2)

• Sebuah vektor Pdinyatakan dengan :

1 - 11

a a a P φφθθ PPP rr ++=

Page 12: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aSistem koordinat bola (3)

• P1(r, θ, φ)• P2(r + ∆r, θ + ∆θ, φ + ∆φ)

• Panjang differensial dllll

dllll = dr ar + r dθ aθ +

1 - 12

dllll = dr ar + r dθ aθ +

r sin θ dφ aφ

• Luas differensialdsr = r2 sin θ dθ dφ ar

dsθ = r sin θ dr dφ aθ

dsφ = r dr dθ aφ

• Volume differensialdv = r2 sin θ dr dθ dφ

Page 13: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aTransformasi Cartesian ke Silinder (2)

A = Ax ax + Ay ay + Az az

A = Aρ aρ + Aφ aφ + Az az

???

1 - 13

???Aρ = A . aρ = (Ax ax + Ay ay + Az az) . aρ

= Ax ax . aρ + Ay ay . aρ

Aφ = A . aφ = (Ax ax + Ay ay + Az az) . aφ

= Ax ax . aφ + Ay ay . aφ

Page 14: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Transformasi Cartesian ke Silinder (1)

� Car ke Silinder

zz ===

φφ

sinρy

cosρx

1 - 14

� Sil ke cartesian

zzx

y

yx

=

=

+=

−1

22

tanφ

ρ

zz =

Page 15: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Transformasi Cartesian ke Silinder (3)

1 - 15

aρ aφ az

ax . cos φ - sin φ 0

ay . sin φ cos φ 0

az . 0 0 1

Page 16: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aTransformasi Cartesian ke Bola (1)

� Car ke Bola

θφθφθ

cos

sinsiny

cossinx

rz

r

r

===

1 - 16

x

y

zyx

z

zyx

1

222

1

222

tanφ

cosθ

ρ

=

++=

++=

� Bola ke cartesian

θcosrz =

x

ytan

zyx

zcos

zyx

1

222

1

222

φ

θ

r

=

++=

++=

Page 17: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Transformasi Cartesian ke Bola (2)

A = Ax ax + Ay ay + Az az

A = Ar ar + Aθ aθ + Aφ aφ

1 - 17

A = Ar ar + Aθ aθ + Aφ aφ

???Ar = A . ar = Ax ax . ar + Ay ay . ar + Az az . ar

Aθ = A . aθ = Ax ax . aθ + Ay ay . aθ + Az az . aθ

Aφ = A . aφ = Ax ax . aφ + Ay ay . aφ + Az az . aφ

Page 18: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aTransformasi Cartesian ke Bola (3)

1 - 18

ar aθ aφ

ax . sin θ cos φ cos θ cos φ - sin φay . sin θ sin φ cos θ sin φ cos φaz . cos θ - sin θ 0

Page 19: Elektromagnetika Koordinat

BAB 1BAB 1

B. INTEGRASI PADA VEKTORDisadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves

Page 20: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegral garis untuk besaran skalar

� Integral adalah

penjumlahan

� Pada sebuah contour (lintasan) c terdapat

1 - 20

� Pada sebuah contour (lintasan) c terdapat

besaran skalar A (llll )

� Untuk menghitung jumlah total dari besaran

A pada lintasan c dilakukan integrasi

( ) ( )∫∑ =∆=∞→

→∆c

N

iii

N

dAAi

lllll

10

Lim

Page 21: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegral garis untuk besaran vektor (1)

� Pada contour c

terdapat vektor-

vektor kecil

1 - 21

∑∫=

→∆

→∆=

N

i

i

ci

d1

0Lim lll

� Integrasi vektor pada contour c

menghasilkan vektor lurus dari titik a ke b

Page 22: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegral garis untuk besaran vektor (2)

� Salah satu aplikasi penting dari

pengertian integral garis untuk besaran

vektor di bidang elektromagnetik

adalah : Integral garis dari komponen

1 - 22

adalah : Integral garis dari komponen

vektor yang arahnya tangential

terhadap contour

� Notasi : ( ) ( ) ldzyxzyxc

tA ,,,,∫ ⋅

Page 23: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegral garis untuk besaran vektor (3)

1 - 23

� Berapa besar daya yang dibutuhkan untuk memindahkan muatan dari titik a ke b jika diberikan medan listrik seperti diatas ???

Page 24: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegral garis untuk besaran vektor (4)

1 - 24

� Rumus dasar daya : W = F . s = q E . S

� Karena arah medan listrik tidak searah denganarah lintasan yang akan ditempuh olehmuatan, maka utk menghitung daya total dibutuhkan interasi garis yg melibatkanbesaran vektor

Page 25: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegral garis untuk besaran vektor (5)

� Solusinya adalah dengan menghitung

daya di setiap segmen lintasan

E ∑ ∆α=→∆α=∆N

iiiiiii cosqWcosEqW ll

1 - 25

E 1∑

=

∆α=→∆α=∆i

iiiiiii cosqWcosEqW ll

⋅=

∆⋅==∞→

→∆

c

N

iii

N

dq

qWi

l

ll

Lim1

0

tE

tEKomponen E yang searah

dengan lintasan

Page 26: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegral garis untuk besaran vektor

pada sistem koordinat (1)

∫∫ ⋅=⋅cc

dd ll AtA

1 - 26

φθ

φρ

φθ+θ+=

+φρ+ρ=

++=

aaa

aaa

aaa

sin

drrddr

dzdd

dzdydxd

r

z

zyxl

Page 27: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a Integral garis untuk besaran vektor

pada sistem koordinat (2)

� Cartesian � A = Ax ax + Ay ay + Az az

� dl l l l = dx ax + dy ay + dz az

1 - 27

( ) ( )

( )

∫∫∫

∫∫

++=

++=

++⋅++=⋅

2

1

2

1

2

1

z

z

z

y

y

y

x

x

x

zyx

zyxzzyyxx

c

dzAdyAdxA

dzAdyAdxA

dzdydxAAAd aaaaaaA l

Page 28: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a Integral garis untuk besaran vektor

pada sistem koordinat (3)

� Silinder� A = Aρ aρ + Aφ aφ + Az az

� dllll = dρ aρ + ρ dφ aφ + dz az

1 - 28

( ) ( )

( )

∫∫∫

∫∫

+ρ+ρ=

+ρ+ρ=

+φρ+ρ⋅++=⋅

ϕ

φφ

ρ

ρρ

φρ

φρφφρρ

2

1

2

1

2

1

φ

φ

z

z

z

z

zzz

c

dzAdAdA

dzAdAdA

dzddAAAd aaaaaaA l

Page 29: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a Integral garis untuk besaran vektor

pada sistem koordinat (4)

� Bola� A = Ar ar + Aθ aφ +Aφ aφ

� dllll = dr ar + r dθ aθ + r sin θ dφ aφ

1 - 29

( ) ( )

( )

∫∫∫

∫∫

ϕ

φφ

θ

θθ

φθ

φθφφθθ

φθ+θ+=

φθ+θ+=

φθ+θ+⋅++=⋅

2

1

2

1

2

1

sin

sin

sin

drArdAdrA

drArdAdrA

drrddrAAAd

r

r

r

r

rrr

c

aaaaaaA l

Page 30: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (1)

� Penerapan : menghitung vektor yang

menembus suatu bidang dengan tegak lurus

� Differensial area ∆si yang terletak pada

bidang s

1 - 30

bidang s

� Distribusi garis vektor pada seluruh

permukaan bidang s dapat uniform dan atau

nonuniform

� Distribusi garis vektor pada differensial area

∆si dapat diasumsikan uniform

Page 31: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

� Flux yang dihitung adalah yang arahnya

normal terhadap bidang ∆si

Integrasi luas untuk besaran vektor (2)

1 - 31

Tembus semua Tidak ada yang tembus

( )s

ss

∆⋅=α∆=∆α

nF

FF cos cos

Page 32: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (3)

( )s

ss

∆⋅=α∆=∆α

nF

FF cos cos

1 - 32

∑=

∆α=N

iiii sF

1

cos listrik fluks garis alJumlah tot

∫ ⋅=s

dsF s area tembusyglistrik fluks garis alJumlah tot

Page 33: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (4)

� Contoh : Diketahui vektor B pada suatu

sistem koordinat cartesian dimana

B = (x + 2) ax + (1 – 3y) ay + 2z az

� Hitunglah jumlah vektor B yang

1 - 33

� Hitunglah jumlah vektor B yang

menembus keluar kubus dengan batas

0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1

Page 34: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (4)

� Jawab : Jumlah vektor

B yang menembus

bidang kubus adalah

vektor B yang tegak

cd

g

z

h

1 - 34

vektor B yang tegak

lurus terhadap bidang

yang ditembusX

a b

fe

Y

� Untuk perhitungan digunakan persamaan

sbb :∫ ⋅=S

dsBB tembusyang

Page 35: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (5)

∫∫∫

∫∫∫∫

+⋅+⋅+⋅

+⋅+⋅+⋅=⋅

dhgcaefbbfgc

aehdefghabcds

ddd

dddd

sBsBsB

sBsBsBsB

1 - 35

dhgcaefbbfgc

� Bidang abcd :

( ) ( )[ ]

2 2

2312

1

0

1

0

1

0

1

0

∫∫

∫∫∫

==

==

−=−=−

⋅+−++=⋅

yz

yzabcd

dzdydzdy

zyxd

x

zyx

a

aaasB

Page 36: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (6)

� Bidang efgh :

( ) ( )[ ]23121

0

1

0

⋅+−++=⋅ ∫∫∫== yzefgh

zyxd zyx aaasB

1 - 36

3 3 1

0

1

0

== ∫∫== yz

dzdydzdy xa

Page 37: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (7)

� Bidang aehd :

( ) ( )[ ]23121

0

1

0

⋅+−++=⋅ ∫∫∫== zxaehd

zyxd zyx aaasB

1 - 37

1 1 - 1

0

1

0

00

−=−= ∫∫==

==

zx

zxaehd

dzdxdzdx ya

Page 38: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (8)

� Bidang bfgc :

( ) ( )[ ]23121

0

1

0

⋅+−++=⋅ ∫∫∫== zxbfgc

zyxd zyx aaasB

1 - 38

2 2 1

0

1

0

−=−= ∫∫== zx

dzdxdzdx ya

Page 39: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (9)

� Bidang aefb :

( ) ( )[ ]23121

0

1

0

⋅+−++=⋅ ∫∫∫== yxaefb

zyxd zyx aaasB

1 - 39

0 0 - 1

0

1

0

== ∫∫== yx

dydxdydx za

Page 40: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntegrasi luas untuk besaran vektor (10)

� Bidang dhgc :

( ) ( )[ ]23121

0

1

0

⋅+−++=⋅ ∫∫∫== yxdhgc

zyxd zyx aaasB

1 - 40

2 2 1

0

1

0

== ∫∫== yx

dydxdydx za

Page 41: Elektromagnetika Koordinat

BAB 1BAB 1

C. MEDAN LISTRIK DAN MEDAN MAGNETDisadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves

Page 42: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aDefinisi medan

� Medan berhubungan dengan suatu

daerah di dalam ruang (space)

� Pada suatu daerah dikatakan terdapat

medan jika terdapat suatu fenomena

1 - 42

medan jika terdapat suatu fenomena

fisik yang berhubungan dengan sebuah

titik yang terletak pada daerah

tersebut, contoh medan gravitasi

Page 43: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Coulomb (1)

� Bersumber dari hukum gravitasi Newton secara umum

� Hukum Newton : setiap benda dengan massa m akan menarik benda lain yang bermassa m‘ yang terletak pada jarak R

1 - 43

bermassa m‘ yang terletak pada jarak R dengan gaya :

� G pada persamaan diatas adalah konstanta gravitasi, sedangkan a adalah vektor satuan dengan arah tangential thd garis yang menghubungkan kedua benda tsb

aF 2

'R

mmG=

Page 44: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Coulomb (2)

� Dengan analogi dari hukum Newton, jika benda

tersebut merupakan benda yang bermuatan, gaya

tersebut disebut dengan gaya medan listrik

� Berdasarkan percobaan diketahui :

1 - 44

� Magnitude dari gaya medan listrik tsb proporsional terhadap

perkalian kedua muatan

� Magnitude gaya tsb berbanding terbalik dengan kuadrat jarak

kedua muatan

� Arah gaya tersebut paralel thd garis yang menghubungkan kedua

muatan

� Magnitude gaya tsb tergantung thd medium tempat kedua

muatan berada

� Muatan sama : menolak, muatan beda : menarik

Page 45: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Coulomb (3)

Dimana untuk unit pada sistem SI :

• Q dinyatakan dengan coulomb (C)

12aF 221

R

QQk=

1 - 45

• Q dinyatakan dengan coulomb (C)

• F dinyatakan dengan Newton (N)

• R dinyatakan dengan meter (m)

• a12 adalah vektor satuan yang arahnya dari Q1 ke Q2

• k adalah konstanta proportionalitas, dimana :

εεεε0 = 8.854 x10-12 = 1/36ππππ x 10-9 F/m04

1πε

=k

Page 46: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Coulomb (4)

� Arah vektor satuan pada F dapat dilihatdari sudut pandang F1 dan F2

� Fi adalah gaya yang diterima oleh Qi

1 - 46

122

211

aF

aF

221

221

R

QQk

R

QQk

=

=

Page 47: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntensitas medan listrik (1)

� Jika Q2 diganti dengan sebuah muatan

kecil seharga q, dimana q merupakan

test charge, maka gaya listrik yang

dialami oleh q adalah : qQ

1 - 47

dialami oleh q adalah :

� Intensitas medan listrik E pada q

didefinisikan sbb :

122 aF 21

R

qQk=

12122

2 aaF

E 20

121

4 R

Q

R

Qk

q πε===

Page 48: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aIntensitas medan listrik (2)

� Perhatikan gambar sbb :

� Jika terdapat 1 muatan Q,

maka arah medan listrik

yang dialami oleh titik-

1 - 48

yang dialami oleh titik-

titik sekitar Q adalah

mengarah keluar

� Sehingga persamaan

umum utk E adalah : RaE 204 R

Q

πε=

Page 49: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

� Jika terdapat N buah

muatan, maka

besarnya intensitas

medan listrik yang

Intensitas medan listrik (3)

1 - 49

medan listrik yang

dialami oleh suatu

titik adalah

penjumlahan dari

setiap E yang ada

∑= πε

=N

iR

i

iiR

Q

12

04aE

Page 50: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aRepresentasi flux dari medan vektor (1)

� Vektor dinyatakan dalam magnitude dan arah

� Penggambaran medan vektor yang baik

dilakukan dengan menggunakan flux

� Flux merupakan garis panah dengan panjang

1 - 50

� Flux merupakan garis panah dengan panjang

yang sama dimana panah menyatakan arah

medan vektor

� Kuatnya medan vektor dinyatakan oleh

kerapatan dari garis-garis panah. Semakin rapat

artinya medan semakin kuat

Page 51: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aRepresentasi flux dari medan vektor (2)

JELEK BENAR : NONUNIFORM

BENAR : UNIFORM

1 - 51

� Untuk penggambaran yg lebih akurat, representasi dari garis flux dinyatakan oleh variabel D (rapat flux listrik) yang arahnya searah dengan E, dimana D = ε0 E

Page 52: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aMedan Magnet - Sejarah

� Jenis lain dari medan vektor adalah medan magnet� Dapat dilihat pada serbuk besi yang mengalami

gaya jika didekatkanmagnet permanen � Oersted (1820) menemukan bahwa magnet yang

diletakandi dekat kabel yang berarus listrik akan

1 - 52

diletakandi dekat kabel yang berarus listrik akan bergerak sendiri sampai tegak lurus terhadap kabel

� Ampere menyatakan bahwa kawat yang berarus juga memberikan gaya pada kawat lain yg berarus dan gaya ini dapat digantikan dengan magnet

� Biot-Savart berhasil mengkuantisasikan rapat flux magnet B dengan arus listrik

Page 53: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aMedan Magnet – Hk. Biot-Savart (1)

� hukum Biot-Savart mengkuantisasikan rapat flux magnet B yang dihasilkan oleh elemen arus diferesial I dl

� Dari percobaan diketahui bahwa gaya pada sebuah magnet yang disebabkan oleh flux Id

1 - 53

sebuah magnet yang disebabkan oleh flux magnet hasil dari sebuah kawat panjang dengan arus I adalah F = mB (analog dengan F = QE), dimana m adalah kuat medan dari kutub magnet

� Gaya dF yang dimiliki oleh flux magnet dB yang dihasilkan oleh elemen arus diferensial I dl(gambar belakang) memiliki karakteristik sbb :

Id

Page 54: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aMedan Magnet – Hk. Biot-Savart (2)

� Harganya berbanding lurus

dengan perkalian dari arus,

magnitude dari panjang

diferensial, dan sinus sudut

antara elemen arus dan garis

1 - 54

antara elemen arus dan garis

yang menghubungkan elemen

arus dengan titik pengamatan P

� Harganya berbanding terbalik

dengan kuadrat jarak elemen

arus ke titik P

2

sin4

r

dImdmd o α

πµ== l

BF

Page 55: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Medan Magnet – Hk. Biot-Savart (3)

• Arah dari gaya adalahtegak lurus terhadapelemen arus dan garisdari elemen arus ketitik P

1 - 55

titik P

• µ0/4π adalah konstanta proportional

24

R

Idmdmd R

o π×µ== a

BFl

Page 56: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aMedan Magnet – Penerapan (1)

Hitung besarnya rapat flux magnet B yang disebabkan oleh konduktor yang berbentuk loop (radius a) yang dialiri arus I pada titik P !!

1 - 56

Pa P

Page 57: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aMedan Magnet – Penerapan (2)

1 - 57

Page 58: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aMedan Magnet – Penerapan (3)

� Hitung rapat flux magnet di titik P yang

disebabkan elemen arus 1

( ) Idd

d RoRo

+π×µ

×µ= φ aaaIB1

ll

1 - 58

� Hitung rapat flux magnet di titik P yang

disebabkan elemen arus 2

( )222 44

zaRd

+π=

π=B1

( )224 2

za

Idd Ro

+π×µ

= φ aaB 2

l

Page 59: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aMedan Magnet – Penerapan (4)

� Komponen dB1 dan dB2 yang tegak lurus sumbu

z akan saling meniadakan

� Komponen dB1 dan dB2 pada sumbu z saling

menguatkan, yaitu | dB1 | sin θ dan | dB2 | sin θ

1 - 59

menguatkan, yaitu | dB1 | sin θ dan | dB2 | sin θ

( ) ( )

( ) 2/322

2

222222

4

4

4sin

za

dIa

za

a

za

dIa

za

dIad

o

oo

+πφµ=

++πφµ=

+πθφµ=zB

Page 60: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aMedan Magnet – Penerapan (5)

� B didapat dengan mengintegralkan dBz

dari φ = 0 sampai φ = 2π

( )o dIa

dBB2 22

φµ== ∫∫

ππ

1 - 60

( )

( ) ( )

( ) zo

oo

o

za

Ia

za

Ia

za

Ia

za

dIad

aB

BB zz

2/322

2

2/322

2

2/322

2

02/322

0

2

2

2

4

4

+µ=∴

+µ=π

+πµ=

+πφµ== ∫∫

Page 61: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Lorentz (1)

� Medan listrik dihasilkan oleh benda yang bermuatan listrik

� Medan listrik memberikan gaya kepada benda yang bermuatan baik yang

1 - 61

benda yang bermuatan baik yang bergerak ataupun yang diam sebesar :

F = Q E� Benda yang tidak bermuatan tidak akan

menghasilkan medan listrik sehingga tidak berinteraksi dengan medan listrik

Page 62: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Lorentz (2)

� Medan magnet tidak dihasilkan oleh muatan magnet

� Medan magnet dihasilkan oleh muatan listrik yang bergerak

1 - 62

listrik yang bergerak

� Medan magnet hanya memberikan gaya kepada benda bermuatan yang bergerak sebesar :

F = Qv x B

Page 63: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Lorentz (3)

� Gaya yang diterima oleh sebuah muatan yang

bergerak merupakan superposisi dari gaya karena

medan listrik dan medan magnet

F = Q (E + v x B) � Hk Lorentz

1 - 63

F = Q (E + v x B) � Hk Lorentz

� Gaya yang diberikan oleh medan magnet selalu

tegak lurus terhadap arah gerak muatan, shg gaya

ini tidak merubah kecepatan muatan

� Gaya yang diberikan oleh medan listrik

independen thd arah gerak partikel sehingga

komponen kecepatan pada arah medan listrik

dapat bertambah

Page 64: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aPerbedaan medan listrik & magnet

� Dihasilkan oleh partikel yang bermuatan dalam keadaan diam atau bergerak

� Dapat dihasilkan oleh arus

listrik (searah ataupun

tidak) yang pd intinya

dihasilkan oleh partikel

Medan listrik Medan magnet

1 - 64

bergerak

� Arah dari gaya yang diterima adalah searah dengan garis yang menghubungan dua muatan, shg independen thd gerakan partikel

� Ada perubahan kecepatan

dihasilkan oleh partikel

bermuatan yang bergerak

� Arah gaya selalu tegak

lurus terhadap arah

kecepatan partikel

tersebut bergerak

� Tidak ada perubahan

kecepatan

Page 65: Elektromagnetika Koordinat

BAB 1BAB 1

D. HUKUM MAXWELLDisadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves

Page 66: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Hukum Maxwell Bentuk Integral

� Bentuk integral -> lebih mudah

dimengerti secara fisik

� Menggambarkan secara matematis

medan magnet, medan listrik, dengan

1 - 66

medan magnet, medan listrik, dengan

muatan listrik dan distribusi arus

� Terdiri atas 4 buah hukum :

1. Hukum Gauss untuk medan listrik

2. Hukum Gauss untuk medan magnet

3. Hukum Faraday

4. Hukum Ampere

Page 67: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Gauss untuk medan listrik (1)

� Mengkuantisasikan medan listrik dengan

distribusi muatan

� Hk. Gauss : Jumlah total flux listrik yang

memancar dari sebuah permukaan bidang

1 - 67

memancar dari sebuah permukaan bidang

yang tertutup sama dengan jumlah muatan

yang terlingkupi oleh permukaan tertutup

tersebut

E = intensitas medan listrik [V/m2] atau [N/C]ε0 = permitivitas udara = 8.854 x 10-12 [F/m]Q = muatan [C]

Qds

o =⋅ε∫ sE

Page 68: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Gauss untuk medan listrik (2)

� Besaran Q dapat diganti dengan distribusi muatan per volume ρv [C/m3], dimana volume dv dilingkupi oleh luas ds

∫∫ ρ=⋅ε dvd sE

1 - 68

� Melalui hukum ini perhitungan total flux dari benda bermuatan dilakukan dengan membuat suatu bidang imajinasi yang melingkupi benda tsb � bidang gauss

∫∫ ρ=⋅εv

v

s

o dvd sE

Page 69: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Gauss untuk medan listrik –

penerapan (1)

� Pada sebuah bola dengan radius ro terdapat

muatan yang terdistribusi secara merata.

Hitunglah medan listrik di dalam dan di luar bola.

� Untuk r > r0

1 - 69

� Untuk r > r0

r

r0ρv

s

∫∫ ρ=⋅εv

v

s

o dvd sE

Page 70: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Gauss untuk medan listrik (4)

rrro

s

rro

s

o

ddrE

dEd

22 sin φθθ⋅ε=

⋅ε⇒⋅ε

π π

∫ ∫

∫∫

aa

sasE

1 - 70

( )[ ] roro

rrro

ErEr 20

2

0 0

4cos2 πε=θ−πε= π

=φ =θ∫ ∫

3

34

ov

v

v

v

v rdvdv πρ=ρ⇒ρ ∫∫

Page 71: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Gauss untuk medan listrik (5)

32

34

4 ovro rEr πρ=πε

1 - 71

( )

( ) o2

3

o2

3

rr ,V/m 3

rr ,V/m 3

ρ==

ρ=

ro

ovrr

o

ovr

r

rE

r

rE

aaE

Page 72: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Hukum Gauss untuk medan listrik (6)

� Untuk r < r0

rr0ρρρρv

∫∫ ρ=⋅εv

v

s

o dvd sE

1 - 72

s

( )

( ) o

o32

rr ,V/m 3

rr ,V/m 3

34

4

ρ==

ρ=→πρ=πε

ro

vrr

o

vrvro

rE

rErEr

aaE

Page 73: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

Hukum Gauss untuk medan magnet

� Hk. Gauss : Jumlah total flux magnet yang masuk dan keluar dari sebuah permukaan bidang yang tertutup sama dengan nol

B = rapat flux magnet [Wb/m2]

0=⋅∫s

dsB

1 - 73

tertutup sama dengan nol

� Garis flux magnet merupakan garis tertutup

[Wb/m ]

Page 74: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Faraday (1)

� Oersted pada 1820 menemukan bahwa

arus menimbulkan medan magnet

� Faraday ingin membuktikan bahwa

medan magnet juga menimbulkan arus

1 - 74

medan magnet juga menimbulkan arus

Page 75: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Faraday (2)

� Arus yang terukur hanya terjadi sesaat

sesudah on dan sesudah off

1 - 75

� Arus terjadi jika ada perubahan medan

magnet terhadap waktu

Page 76: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Faraday (3)

� Medan magnet yang berubah thd waktu

menghasilkan medan listrik yang berputar

mengelilingi medan magnet.

� Medan listrik ini menggerakkan elektron

1 - 76

� Medan listrik ini menggerakkan elektron

pada loop penerima sehingga

menimbulkan arus listrik

∫∫ ⋅−=⋅=sc

ddt

ddemf sBE l

Page 77: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Faraday (4)

� Hubungan antara contour c dan permukaan

s mengikuti kaidah tangan kanan

1 - 77

Page 78: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Faraday – Penerapan (1)

� Diketahui konduktor berbentuk loop persegi

empat ditempatkan normal terhadap rapat flux

magnet B = Bo cos ωt az . Tentukan besarnyaemf pada loop tersebut, dan bandingkan variasi

1 - 78

emf pada loop tersebut, dan bandingkan variasi

waktu dari total magnetic flux dengan emf.

Page 79: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Faraday – Penerapan (2)

� Hitung total flux magnet ψm yang

menembus loop

dydxtBda

x

b

y zzo

s

m ⋅ω=⋅=ψ ∫ ∫∫ = = cos

0 0aasB

1 - 79

� Hitung emf dengan hukum Faraday

tBabdydxtB o

a

x

b

yo

x ys

ω=ω= ∫ ∫

∫ ∫∫

= =

= =

cos cos0 0

0 0

tBabdt

dd

dt

ddemf om

sc

ωω=ψ−=⋅−=⋅= ∫∫ sin sBE l

Page 80: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Faraday – Penerapan (3)

� Perbandingan variasi t antara ψm dan emf

tBabd osm ω=⋅=ψ ∫ cos sB

1 - 80

tBabemf o ωω= sin

Page 81: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

a

� Pada saat flux magnetik yang menmbus loop menurun (½ periode pertama), emf berhargapositif

� Artinya emf akan menghasilkan arus yang nantinya menghasilkan medan magnet yang

Hukum Faraday – Penerapan (4)

1 - 81

nantinya menghasilkan medan magnet yang arahnya out of paper yang bertujuan untukmenambah flux magnet yang menembus padaloop

� � Hukum LENZ : emf hasil induksi akanmemiliki arah yang akan melawan perubahanyang terjadi pada medan magnet yang menghasilkannya.

Page 82: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Ampere (1)

� Hasil integral garis dari rapat

flux magnet sepanjang

countour c adalah sama

dengan jumlah arus yang

1 - 82

dengan jumlah arus yang

menembus bidang s yang

dilingkupi contour c

� Arus ada 2 jenis :1. Arus konvensional disebabkan pergerakkan elektron

2. Arus yang disebabkan oleh adanya perubahan thd waktu jumlah flux listrik yang menembus bidang s �arus pergeseran

Page 83: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aHukum Ampere (2)

∫∫∫ ⋅ε+⋅=⋅µ s osc

o

ddt

ddd sEsJ

Bl

Aruskonvensional

Aruspergeseran

1 - 83

konvensional pergeseran

� B = rapat flux magnet [Wb/m2]

� J = rapat arus [C/det.m2] atau [A/m2]

� E = intensitas medan listrik [V/m]

� ε0 = permitivitas udara = 8.854 x 10-12 [F/m]

� µ0 = permeabilitas udara = 4π x 10-7 [H/m]

� dllll = vektor panjang differensial

� ds = vektor luas differensial

Page 84: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aArus pergeseran (1)

� Merupakan besaran

matematis yang ditemukan

oleh Maxwell sehingga

I

C

S1

1 - 84

hukum Ampere dapat

berlaku secara umum

� Salah satu aplikasi yang

membutuhkan besaran ini

dalah pada keping kapasitor

S2

I

Page 85: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aArus pergeseran (2)

� Besarnya arus yg menembus S1I

C

S1

( )I

B1

=⋅µ∫ Sc

o

dl

1 - 85

� Besarnya arus yg menembus S2

dimana S2 melewati tengah

keping kapasitorS2

I

o

( )0

B2

=⋅µ∫ Sc

o

dl

Page 86: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aArus pergeseran (3)

� Berarti hukum Ampere tidak berlaku umum

karena bentuk permukaan yang terlibat dalam

perhitungan harus tetap

� Untuk itu, Ampere menyatakan bahwa antara

1 - 86

� Untuk itu, Ampere menyatakan bahwa antara

keping kapsitor terdapat arus pergeseran :

� Karena hukum Ampere bersifat umum maka :

( )( )

∫∫∫ ⋅∂ε∂=⋅

µ 22

sEB

S

o

Sco

dt

d l

( ) ( )∫∫ =21 ScSc

( )∫∫ ⋅

∂ε∂=

2

sE

IS

o dt

Page 87: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aArus pergeseran (3)

� Darimana asal persamaan arus

pergeseran ?

Q = (ρv) (volume) = (ρs) (luas)

1 - 87

Q = (ρv) (volume) = (ρs) (luas)

( ) Jluas

luas =ρ=→ρ==dt

dI

dt

d

dt

dQI s

s

( )∫∫ ⋅ε=⋅→ε=ρ=

s os

os ddt

dd

dt

d

dt

dsEsJ

EJ

Page 88: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aKenapa Hk. Maxwell ??? (1)

� Hukum Maxwell terdiri atas 4 hukum(Gauss utk E, Gauss utk B, Faraday, danAmpere)

� Sumbangan Maxwell ‘hanya’ pada hukum

1 - 88

� Sumbangan Maxwell ‘hanya’ pada hukumAmpere berupa arus pergeseran

� Apa kontribusi dari arus pergesaran ???

dt

d od

EJpergeseran Arus

ε==

Page 89: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aKenapa Hk. Maxwell ??? (2)

� Perhatikan hukum Faraday dan Ampere !

∫∫∫ ⋅ε+⋅=⋅µ s osc

o

ddt

ddd sEsJ

Bl∫∫ ⋅−=⋅=

sc

ddt

ddemf sBE l

1 - 89

� B berubah terhadap waktu menghasilkan E

� E yang dihasilkan oleh B yang berubah thd t juga bersifat berubah thd t

� E yang berubah terhadap t menghasilkan B

� E yang dihasilkan oleh B yang berubah thd t juga bersifat berubah thd t, dst �MEKANISME PERAMBATAN GELOMBANG

Page 90: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aKenapa Hk. Maxwell ??? (3)

E, H, I

1 - 90

Page 91: Elektromagnetika Koordinat

Dr.

Ir. C

hairu

nnis

aMedan statis

� Medan statis berarti medan yang harganya tidakberubah terhadap waktu

� Pada medan statis, hukum Maxwell berubahmenjadi :

1 - 91

� Tidak ada hubungan antara medan listrik danmedan magnet untuk kondisi statis

Qds

o =⋅ε∫ sE 0sJB +⋅=⋅

µ ∫∫ sco

dd l

0E =⋅= ∫c

demf l0sB =⋅∫s

d