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Faculdade de Engenharia
Resposta em frequênciaResposta em frequênciade SLITsde SLITs
Sistemas e Sinais – 2009/2010
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 22
Resposta em frequência de SLITsResposta em frequência de SLITs
� SLITs com entradas sinusoidais
� Resposta em frequência de um SLIT
� Traçados de Bode
� Outras representações gráficas
� SLITs como filtros selectivos nas frequências
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 33
Resposta a entradas sinusoidaisResposta a entradas sinusoidais
SLIT estável definido pela FT: SSrr yy
( ) sin( ), 0r t t t= ω ≥
11
( )( )
( ) ( ) nn
N sG s
s p s p σσ=+ +⋯
2 2( )
( )( )R s
s j s js
ω ω= =− ω + ω+ ω
11
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) nn
N sY s G s R s
s j s j s p s p σσω= =
− ω + ω + +⋯
1
1
( ) ( )1,2 2 11
1 1( )
G j G jj j RR
s j s j s p s p
ω − ωσ
σ= − + + + +− ω + ω + +
⋯ ⋯
*
1
1
( ) ( )1,2 2 11
1 1( )
G j G jj j RR
s j s j s p s p
ω ωσ
σ= − + + + +− ω + ω + +
⋯ ⋯
Entrada sinusoidal:
Saída:
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 44
Resposta a entradas sinusoidaisResposta a entradas sinusoidais
* 111 11 1
( ) ( )11 1,2 2 ( 1)!( ) , 0G j G j p t p tj t j t t
j jy t e e R e R e t
σ −ω ω − −ω − ωσ σ −= − + + + + ≥⋯ ⋯
� 0, quando t�∞
*( ) ( )reg perm 2 2
( ) G j G jj t j tj j
y t e eω ωω − ω= −( ) ( )( ) ( )
2 2
j G j j t j G j j tG j e e G j e e
j j
ω ω − ω − ωω ω= −
∡ ∡
regperm( ) ( ) sin( ( ))y t G j t G j= ω ω + ω∡
determina a amplitude da saída
determina a fase da saída
( )G jω
( )G jω∡
( )G jω caracteriza a saída em regime permanente
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SSin SSin –– 55
Resposta a entradas sinusoidaisResposta a entradas sinusoidais
A função SSrr yy( )G jω → ω é a resposta em frequência do sistema
� trata-se de uma função complexa de variável real
� caracteriza a saída, em regime permanente, de um SLIT estável a uma entrada sinusoidal
� para SLITs instáveis caracteriza a componente forçada da saída para uma entrada sinusoidal
é necessário caracterizar partes real e imaginária ou módulo e fase
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 66
-1 0 0
-8 0
-6 0
-4 0
-2 0
0
Mag
nitu
de (d
B)
1 0-2
10- 1
1 00
1 01
1 02
-1 8 0
-1 3 5
-9 0
-4 5
0
Pha
se (d
eg)
F re que ncy (ra d /se c )
Traçados de BodeTraçados de Bode
Representação gráfico do módulo e fase de SSrr yy
Representação do módulo � escala de decibéis (1 decibel)
( )G jω → ω
dB 1020logX X= dB
0.01 40
0.1 20
0.5 6.02
2 / 2 3.01
1 0
2 6.02
10 20
100 40
1000 60
X X
−
−
−
−
Representação da fase � escala linear
Frequências representadas em escala logarítmica
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 77
-1 0 0
-8 0
-6 0
-4 0
-2 0
0
Mag
nitu
de (d
B)
1 0-2
10- 1
1 00
1 01
1 02
-1 8 0
-1 3 5
-9 0
-4 5
0
Pha
se (d
eg)
F re que ncy (ra d /se c )
Traçados de BodeTraçados de Bode
Década � intervalo de frequências em que a máxima é 10 vezes superior à mínima SS
rr yy
1oitava 0.3década≃
1 década frequências de ωωωω0 até 10 ωωωω0
Oitava � intervalo de frequências em que a máxima é 2 vezes superior à mínima
10log (2) 0.301=
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SSin SSin –– 88
Traçados de Bode Traçados de Bode –– ganhoganho
( )G s k= ( )G j kω =
0 se 1
0 se 1
k
k
> >= < <
não depende de ω
10( ) 20 logdB
G j kω =
0 se 0( )
180 se 0
o
o
kG j
k
>ω = − <
∡
5
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SSin SSin –– 99
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo na origempólo na origem
SSrr yy1
( )G ss
=
decresce sempre 20 dB por década
10( ) 20 logdB
G jω = − ω
( ) 90oG jω = −∡
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 1010
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólos na origempólos na origem
SSrr yy1
( )n
G ss
=
decresce sempre 20n dB por década
10( ) 20 logdB
G j nω = − ω
( ) 90oG j nω = − ⋅∡
-60
-40
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
-360
-270
-180
-90
0
Pha
se (
deg)
6
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 1111
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero na origemzero na origem
SSrr yy
( )G s s=
cresce sempre 20 dB por década
10( ) 20 logdB
G jω = ω
( ) 90oG jω =∡
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
0
45
90
135
180
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 1212
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros na origemzeros na origem
SSrr yy
( ) nG s s=
cresce sempre 20n dB por década
10( ) 20 logdB
G j nω = ω
( ) 90oG j nω = ⋅∡
-60
-40
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
0
90
180
270
360
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
7
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 1313
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo real no SPEpólo real no SPE
1( ) , 0
1 sp
pG s p
s p= = >
+ +
decresce 20 dB por década
( )2
10( ) 20log 1pdB
G j ωω = − +
( ) arctanp
G j ωω = −∡
1( )
1 jp
G j ωω =+
1pω ≪ ( ) 0dB
G jω ≃
( ) 0oG jω∡ ≃
1pω ≫ 10( ) 20logdB
G jp
ωω −≃
( ) 90oG jω −∡ ≃
pω =10( ) 20log 2 3
dBG jω = − −≃
( ) arctan(1) 45oG jω = − = −∡
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SSin SSin –– 1414
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo real no SPEpólo real no SPE
( )2
10( ) 20log 1pdB
G j ωω = − +
( ) arctanp
G j ωω = −∡
1( )
1 jp
G j ωω =+
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-135
-90
-45
0
45
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)pω
8
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 1515
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-135
-90
-45
0
45
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo real no SPEpólo real no SPE
10
0( )
20 logdBp
pG j
pωω <ω = − ω >
10
0 0.1
( ) 45 45 log 0.1 10
90 10
op
o op p
op
G j
ω
ω ω
ω
<ω = − − < <− >
∡
1( )
1 jp
G j ωω =+
pω
traçado assimptótico
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 1616
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo real no SPEpólo real no SPE
1( )
1 jp
G j ωω =+
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-135
-90
-45
0
45
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)pω
traçados real e assimptótico
9
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 1717
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero real no SPEzero real no SPE
( ) 1 , 0s z s
G s zz z
+= = + >
cresce 20 dB por década
( )210( ) 20 log 1
zdBG j ωω = +
( ) arctanz
G j ωω =∡
( ) 1j
G jz
ωω = +
1zω ≪ ( ) 0dB
G jω ≃
( ) 0oG jω∡ ≃
1zω ≫10( ) 20 log
dBG j
z
ωω ≃
( ) 90oG jω∡ ≃
zω = 10( ) 20 log 2 3dB
G jω = ≃
( ) arctan(1) 45oG jω = =∡
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SSin SSin –– 1818
-10
0
10
20
30
40
50
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-45
0
45
90
135
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero real no SPEzero real no SPE
( )210( ) 20 log 1
zdBG j ωω = +
( ) arctanz
G j ωω =∡
( ) 1j
G jz
ωω = +
zω
10
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SSin SSin –– 1919
-10
0
10
20
30
40
50
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-45
0
45
90
135
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero real no SPEzero real no SPE
10
0( )
20 logdBz
zG j
zωω <ω = ω >
10
0 0.1
( ) 45 45 log 0.1 10
90 10
oz
o oz z
oz
G j
ω
ω ω
ω
<ω = + < <
>
∡
( ) 1j
G jz
ωω = +
pω
traçado assimptótico
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2020
-10
0
10
20
30
40
50
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-45
0
45
90
135
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero real no SPEzero real no SPE
( ) 1j
G jz
ωω = +
zω
traçados real e assimptótico
11
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2121
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólos complexos (SPE)pólos complexos (SPE)2
2 2( ) , 0 1
2n
n n
G ss s
ω= ≤ ζ <+ ζω + ω
decresce 40 dB por década
( )2
2
2 2
10( ) 20log 1 2nn
dBG j ω ω
ωω ω = − − + ζ
2
2( ) arg 1 2nn
G j jω ωωω
ω = − − + ζ
∡( )2
1( )
1 2n n
G jjω ω
ω ω
ω =− + ζ
1nω ω ≪ ( ) 0dB
G jω ≃
( ) 0oG jω∡ ≃
1nω ω ≫ 10( ) 40logdB
n
G jωω −
ω≃
( ) 180oG jω −∡ ≃
nω = ω ( )10( ) 20 log 2dB
G jω = − ζ
( ) arg( 2 ) 90oG j jω = − ζ = −∡
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2222
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Traçados de Bode Traçados de Bode –– casos elementarescasos elementares
2
2
1( )
1 2nn
G jjω ω
ωω
ω =− + ζ
nω ω
Quando 0ζ →
O módulo apresenta um valor máximo maior
A fase varia mais rapidamente
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2323
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólos complexos (SPE)pólos complexos (SPE)2
2 2( ) , 0 1
2n
n n
G ss s
ω= ≤ ζ <+ ζω + ω
( )2
2
2 2
10( ) 20log 1 2nn
dBG j ω ω
ωω ω = − − + ζ
traçado do módulo apresenta um pico se 2 2ζ <
( )0dB
d G j
d
ω=
ω
2
1( )
2 1 2rG jω =
ζ − ζ
21 2r nω = ω = ω − ζ
frequência de ressonância r nω ≤ ω
1( )
2nG jω =ζ
valor de pico do traçado valor de pico do traçado do módulodo módulo
valor do módulo à valor do módulo à frequência natural dos pólosfrequência natural dos pólos
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2424
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólos complexos (SPE)pólos complexos (SPE)
2
2
1( )
1 2nn
G jjω ω
ωω
ω =− + ζ
nω ω
traçados real e assimptótico
Traçado assimptótico afasta-se do real à medida que 0ζ →
10
0( )
40 logn
n
dB nG j ω
ω
ω < ωω = − ω > ω
10
0 0.1
( ) 90 90 log 0.1 10
180 10
n
n n
n
o
o o
o
G j
ωω
ω ωω ω
ωω
<ω = − − < <− >
∡
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2525
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros complexos (SPE)zeros complexos (SPE)2 2
2
2( ) , 0 1n n
n
s sG s
+ ζω + ω= ≤ ζ <ω
cresce 40 dB por década
( )2
2
2 2
10( ) 20log 1 2nn
dBG j ω ω
ωω ω = − + ζ
2
2( ) arg 1 2nn
G j jω ωωω
ω = − + ζ
∡( )2
( ) 1 2n n
G j jω ωω ωω = − + ζ
1nω ω ≪ ( ) 0dB
G jω ≃
( ) 0oG jω∡ ≃
1nω ω ≫ 10( ) 40logdB
n
G jωωω
≃
( ) 180oG jω∡ ≃
nω = ω ( )10( ) 20 log 2dB
G jω = ζ
( ) arg( 2 ) 90oG j jω = ζ =∡
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2626
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
0
45
90
135
180
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros complexos (SPE)zeros complexos (SPE)
2
2( ) 1 2nn
G j jω ωωω
ω = − + ζ
nω ω
Quando 0ζ →
O módulo apresenta um valor mínimo menor
A fase varia mais rapidamente
14
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2727
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros complexos (SPE)zeros complexos (SPE)2 2
2
2( ) , 0 1n n
n
s sG s
+ ζω + ω= ≤ ζ <ω
( )2
2
2 2
10( ) 20log 1 2nn
dBG j ω ω
ωω ω = − + ζ
traçado do módulo apresenta um vale se 2 2ζ <
( )0dB
d G j
d
ω=
ω
2( ) 2 1 2rG jω = ζ − ζ
21 2r nω = ω = ω − ζ
frequência de ressonância
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2828
-20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
0
45
90
135
180
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec )
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros complexos (SPE)zeros complexos (SPE)
2
2( ) 1 2nn
G j jω ωωω
ω = − + ζ
nω ω
traçados real e assimptótico
Traçado assimptótico afasta-se do real à medida que 0ζ →
10
0( )
40logn
n
dB nG j ω
ω
ω < ωω = ω > ω
10
0 0.1
( ) 90 90 log 0.1 10
180 10
n
n n
n
o
o o
o
G j
ωω
ω ωω ω
ωω
<ω = + < < >
∡
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2929
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo real no SPDpólo real no SPD
1( ) , 0
1 sp
pG s p
s p= = <
+ +
decresce 20 dB por década
( )2
10( ) 20log 1pdB
G j ω−ω = − +
( ) arctanp
G j ω−ω =∡
1( )
1 jp
G j ω−
ω =−
1pω ≪ ( ) 0dB
G jω ≃
( ) 0oG jω∡ ≃
1pω ≫ 10( ) 20logdB
G jp
ωω −−
≃
( ) 90oG jω∡ ≃
pω = 10( ) 20log 2 3dB
G jω = − −≃
( ) arctan(1) 45oG jω = =∡
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 3030
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Ma
gnitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
0
30
60
90
Pha
se (d
eg)
(rad/sec)
Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo real no SPDpólo real no SPD
( ) , 0p
G j pp j
ω = <+ ω
pω −
16
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 3131
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero real no SPDzero real no SPD
( ) 1 , 0s p s
G s pp p
+= = + <
cresce 20 dB por década
( )2
10( ) 20log 1pdB
G j ω−ω = +
( ) arctanp
G j ω−ω = −∡
( ) 1j
G jp
ωω = −−
1pω ≪ ( ) 0dB
G jω ≃
( ) 0oG jω∡ ≃
1pω ≫ 10( ) 20logdB
G jp
ωω−
≃
( ) 90oG jω −∡ ≃
pω = 10( ) 20 log 2 3dB
G jω = ≃
( ) arctan(1) 45oG jω = − = −∡
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 3232
-10
0
10
20
30
40
50
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-90
-60
-30
0
Pha
se (
deg)
(rad/sec)
Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero real no SPDzero real no SPD
( ) , 0p j
G j pp
+ ωω = <
pω −
17
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 3333
-10
-5
0
5
10
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (d
eg)
(rad/sec)
Tr. de Bode Tr. de Bode –– filtro passa tudo ordem 1filtro passa tudo ordem 1
( ) , 0p j
G j pp j
− ωω = >+ ω
pω
( ) 0dB
G jω =
( ) 2arctanp
G j ωω = −∡
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 3434
-10
-5
0
5
10
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
0
90
180
270
360
Pha
se (d
eg)
(rad/sec)
Tr. de Bode Tr. de Bode –– filtro passa tudo ordem 2filtro passa tudo ordem 2
2 2
2 2
2( )
2n n
n n
jG j
j
ω − ω − ζω ωω =ω − ω + ζω ω
nω ω
( ) 0dB
G jω =
2
2( ) 2arg 1 2nn
G j jω ωωω
ω = − − + ζ
∡
18
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SSin SSin –– 3535
Traçados de Bode Traçados de Bode –– atraso de transporteatraso de transporte
( ) , 0sTG s e T−= > ( ) j TG j e− ωω =
( ) 0dB
G jω =
( )G j Tω = −ω∡
-1
-0.5
0
0.5
1
Mag
nitu
de (d
B)
ω (rad/sec)
10-1
100
101
-1440
-1080
-720
-360
0
Pha
se (d
eg) se−
2se−
2se−
se−
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SSin SSin –– 3636
Traçados de Bode Traçados de Bode –– caso geralcaso geral
1 2( ) ( ) ( ) ( )nG s G s G s G s= ⋯1 2( ) ( ) ( ) ( )nG j G j G j G jω = ω ω ω⋯
1 2( ) ( ) ( ) ( )ndB dB dB dBG j G j G j G jω = ω + ω + + ω⋯
1 2( ) ( ) ( ) ( )nG j G j G j G jω = ω + ω + + ω∡ ∡ ∡ ⋯ ∡
Notas
1. G(j0) é o ganho estático do sistema.
2. ∠G(j0) determina o número de pólos/zeros na origem.
3. ∠G(j∞) determina a diferença entre número de pólos e zeros (em sistemas de fase mínima ∠G(j∞) = –90º(p–z)).
19
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SSin SSin –– 3737
Sistemas de fase mínimaSistemas de fase mínima
Um sistema diz-se de fase mínima se não tiver pólos nem zeros no SPD.
frequência normalizada
declive do traçado do módulo
factor de ponderação
0ln ( )1
( ) ln coth2
d G j uG j du
du
+∞
−∞
ω ω = ⋅ π ∫∡
Teorema integral de Bode: A resposta em frequência de um sistema de fase mínima obedece à seguinte relação:
0
lnuω=ω
onde
10-2
10-1
100
101
102
0
1
2
3
4
5
6
ω/ω0
ln(c
oth(
ln( ω
/ ω0)/2
))
Este resultado significa que o valor da fase (num sistema de fase mínima) é completamente definido pelo traçado do módulo!
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SSin SSin –– 3838
Teorema de Bode Teorema de Bode –– aproximaçõesaproximações
10
( )20
logdB
d G jn
d
ω=
ωln ( )d G j
ndu
ω=
ln ( )d G jn
du
ω=Se 0( )
2G j n
πω∡ ≃para então0 00.1 10ω ≤ ω ≤ ω
ln ( )d G jn
du
ω=Se
0( )2 2
n mG j
+ πω∡ ≃
para
então
0 00.1ω ≤ ω ≤ ω
0 010ω ≤ ω ≤ ωparaln ( )d G j
mdu
ω=e
20
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SSin SSin –– 3939
Relações tempo Relações tempo -- frequênciafrequência
Ganho estático G(0)
Valor final da resposta ao degrau unitário
Ganho da resposta em frequência para ωωωω = 0
Largura de banda a 3 dB (sistemas passa baixo)
É a dimensão da banda de frequências para a qual o módulo da resposta em frequência não cai mais do que 3 dB em relação ao ganho de baixa frequência
( )dB
G jω
cω ω
3dB
LB
10( ) ( 0) 20log 2
( 0) 3
c dBdB
dB
G j G j
G j
ω = −
−≃
1( ) ( 0)
2cG j G jω =
maior largura de banda �� maior rapidez de resposta
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SSin SSin –– 4040
Traçado de NyquistTraçado de Nyquist
O traçado de Nyquist de G(s) é a linha do plano complexo constituída pelos pontos da forma
� também conhecido por traçado polar
{ }( ) :G jω − ∞ < ω < +∞Im
ReNotas
1. Se G(s*) = G*(s) então o traçado de Nyquist é simétrico em relação ao eixo real, apenas se representando
( )G jω
2. Habitualmente o traçado de Nyquist é orientado no sentido de crescimento de ω.
( )G jω∡
Técnicas de esboço
� evolução com ω e valores limite (0 e ∞)
{ }( ) : 0G jω ≤ ω < +∞
( )G jω � evolução com ω e valores limite (0 e ∞)
� cálculo de valores particulares
21
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SSin SSin –– 4141
Traçado de Nyquist Traçado de Nyquist –– exemplo 1exemplo 1
( ) , 0p
G j pj p
ω = >ω+
( ) 0G jω =∡0ω →
-0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
0ω =ω → ∞
( ) arctanG jp
ωω = −
∡
( )2
1( )
1 p
G jω
ω =+
( ) 1G jω →
( ) 90oG jω = −∡ω → ∞
( ) 0G jω →
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SSin SSin –– 4242
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Traçado de Nyquist Traçado de Nyquist –– exemplo 2exemplo 2
2
( ) , 0( )
pG j p
j j pω = >
ω ω +
( ) 90oG jω = −∡0ω →
0ω →
ω → ∞
( ) 90 arctanoG jp
ωω = − −
∡
( )2( )
1 p
pG j
ωω =
ω⋅ +
( )G jω → ∞
( ) 180oG jω = −∡ω → ∞
( ) 0G jω →
22
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SSin SSin –– 4343
Filtros ideaisFiltros ideais
Passa baixo ( ) 0, cG jω = ω > ω
frequência (superior) de corte( )G jω
ωcω
Passa alto ( ) 0, 0 cG jω = < ω < ω
( )G jω
ωcω
frequência (inferior) de corte
Passa banda 1 2( ) 0,G jω = ω < ω ∨ ω > ω
( )G jω
ω2ω1ω
Rejeita banda 1 2( ) 0,G jω = ω < ω < ω
( )G jω
ω2ω1ω
banda passante
Largura de banda: ω2–ω1
banda de rejeição
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SSin SSin –– 4444
Sistema passa baixoSistema passa baixo
Sistema cuja resposta em frequência se aproxima de um filtro passa baixo ideal.
Bω
( ) ( 0) 2BG j G jω =
dB( )G jω
ωBω
3dB−
� largura de banda a -3 dB
dB dB( ) ( 0) 3BG j G jω −≃
Notas
1. Se G(s) = k/(s+p) então
2. Quanto maior for ωB, maiores são os valores absolutos dos pólos e logo menores são as constantes de tempo do sistema � mais rápido é o sistema.
B pω =