Resposta em frequência Resposta em frequência de SLITs de SLITs

1

Faculdade de Engenharia

Resposta em frequênciaResposta em frequênciade SLITsde SLITs

Sistemas e Sinais – 2009/2010


SSin SSin –– 22

Resposta em frequência de SLITsResposta em frequência de SLITs

� SLITs com entradas sinusoidais

� Resposta em frequência de um SLIT

� Traçados de Bode

� Outras representações gráficas

� SLITs como filtros selectivos nas frequências

2


SSin SSin –– 33

Resposta a entradas sinusoidaisResposta a entradas sinusoidais

SLIT estável definido pela FT: SSrr yy

( ) sin( ), 0r t t t= ω ≥

11

( )( )

( ) ( ) nn

N sG s

s p s p σσ=+ +⋯

2 2( )

( )( )R s

s j s js

ω ω= =− ω + ω+ ω

11

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) nn

N sY s G s R s

s j s j s p s p σσω= =

− ω + ω + +⋯

1

1

( ) ( )1,2 2 11

1 1( )

G j G jj j RR

s j s j s p s p

ω − ωσ

σ= − + + + +− ω + ω + +

⋯ ⋯

*

1

1

( ) ( )1,2 2 11

1 1( )

G j G jj j RR

s j s j s p s p

ω ωσ

σ= − + + + +− ω + ω + +

⋯ ⋯

Entrada sinusoidal:

Saída:


SSin SSin –– 44


* 111 11 1

( ) ( )11 1,2 2 ( 1)!( ) , 0G j G j p t p tj t j t t

j jy t e e R e R e t

σ −ω ω − −ω − ωσ σ −= − + + + + ≥⋯ ⋯

� 0, quando t�∞

*( ) ( )reg perm 2 2

( ) G j G jj t j tj j

y t e eω ωω − ω= −( ) ( )( ) ( )

2 2

j G j j t j G j j tG j e e G j e e

j j

ω ω − ω − ωω ω= −

∡ ∡

regperm( ) ( ) sin( ( ))y t G j t G j= ω ω + ω∡

determina a amplitude da saída

determina a fase da saída

( )G jω

( )G jω∡

( )G jω caracteriza a saída em regime permanente

3


SSin SSin –– 55


A função SSrr yy( )G jω → ω é a resposta em frequência do sistema

� trata-se de uma função complexa de variável real

� caracteriza a saída, em regime permanente, de um SLIT estável a uma entrada sinusoidal

� para SLITs instáveis caracteriza a componente forçada da saída para uma entrada sinusoidal

é necessário caracterizar partes real e imaginária ou módulo e fase


SSin SSin –– 66

-1 0 0

-8 0

-6 0

-4 0

-2 0

0

Mag

nitu

de (d

B)

1 0-2

10- 1

1 00

1 01

1 02

-1 8 0

-1 3 5

-9 0

-4 5

0

Pha

se (d

eg)

F re que ncy (ra d /se c )

Traçados de BodeTraçados de Bode

Representação gráfico do módulo e fase de SSrr yy

Representação do módulo � escala de decibéis (1 decibel)

( )G jω → ω

dB 1020logX X= dB

0.01 40

0.1 20

0.5 6.02

2 / 2 3.01

1 0

2 6.02

10 20

100 40

1000 60

X X

−

−

−

−

Representação da fase � escala linear

Frequências representadas em escala logarítmica

4


SSin SSin –– 77

-1 0 0

-8 0

-6 0

-4 0

-2 0

0

Mag

nitu

de (d

B)

1 0-2

10- 1

1 00

1 01

1 02

-1 8 0

-1 3 5

-9 0

-4 5

0

Pha

se (d

eg)

F re que ncy (ra d /se c )

Traçados de BodeTraçados de Bode

Década � intervalo de frequências em que a máxima é 10 vezes superior à mínima SS

rr yy

1oitava 0.3década≃

1 década frequências de ωωωω0 até 10 ωωωω0

Oitava � intervalo de frequências em que a máxima é 2 vezes superior à mínima

10log (2) 0.301=


SSin SSin –– 88

Traçados de Bode Traçados de Bode –– ganhoganho

( )G s k= ( )G j kω =

0 se 1

0 se 1

k

k

> >= < <

não depende de ω

10( ) 20 logdB

G j kω =

0 se 0( )

180 se 0

o

o

kG j

k

>ω = − <

∡

5


SSin SSin –– 99

Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo na origempólo na origem

SSrr yy1

( )G ss

=

decresce sempre 20 dB por década

10( ) 20 logdB

G jω = − ω

( ) 90oG jω = −∡

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)


SSin SSin –– 1010

Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólos na origempólos na origem

SSrr yy1

( )n

G ss

=

decresce sempre 20n dB por década

10( ) 20 logdB

G j nω = − ω

( ) 90oG j nω = − ⋅∡

-60

-40

-20

0

20

40

60

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

-360

-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

6



Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero na origemzero na origem

SSrr yy

( )G s s=

cresce sempre 20 dB por década

10( ) 20 logdB

G jω = ω

( ) 90oG jω =∡

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

0

45

90

135

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)



Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros na origemzeros na origem

SSrr yy

( ) nG s s=

cresce sempre 20n dB por década

10( ) 20 logdB

G j nω = ω

( ) 90oG j nω = ⋅∡

-60

-40

-20

0

20

40

60

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

0

90

180

270

360

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

7



Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo real no SPEpólo real no SPE

1( ) , 0

1 sp

pG s p

s p= = >

+ +

decresce 20 dB por década

( )2

10( ) 20log 1pdB

G j ωω = − +

( ) arctanp

G j ωω = −∡

1( )

1 jp

G j ωω =+

1pω ≪ ( ) 0dB

G jω ≃

( ) 0oG jω∡ ≃

1pω ≫ 10( ) 20logdB

G jp

ωω −≃

( ) 90oG jω −∡ ≃

pω =10( ) 20log 2 3

dBG jω = − −≃

( ) arctan(1) 45oG jω = − = −∡




( )2

10( ) 20log 1pdB

G j ωω = − +

( ) arctanp

G j ωω = −∡

1( )

1 jp

G j ωω =+

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

45

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)pω

8



-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

45

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


10

0( )

20 logdBp

pG j

pωω <ω = − ω >

10

0 0.1

( ) 45 45 log 0.1 10

90 10

op

o op p

op

G j

ω

ω ω

ω

<ω = − − < <− >

∡

1( )

1 jp

G j ωω =+

pω

traçado assimptótico




1( )

1 jp

G j ωω =+

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

45

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)pω

traçados real e assimptótico

9



Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero real no SPEzero real no SPE

( ) 1 , 0s z s

G s zz z

+= = + >

cresce 20 dB por década

( )210( ) 20 log 1

zdBG j ωω = +

( ) arctanz

G j ωω =∡

( ) 1j

G jz

ωω = +

1zω ≪ ( ) 0dB

G jω ≃

( ) 0oG jω∡ ≃

1zω ≫10( ) 20 log

dBG j

z

ωω ≃

( ) 90oG jω∡ ≃

zω = 10( ) 20 log 2 3dB

G jω = ≃

( ) arctan(1) 45oG jω = =∡



-10

0

10

20

30

40

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-45

0

45

90

135

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


( )210( ) 20 log 1

zdBG j ωω = +

( ) arctanz

G j ωω =∡

( ) 1j

G jz

ωω = +

zω

10



-10

0

10

20

30

40

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-45

0

45

90

135

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


10

0( )

20 logdBz

zG j

zωω <ω = ω >

10

0 0.1

( ) 45 45 log 0.1 10

90 10

oz

o oz z

oz

G j

ω

ω ω

ω

<ω = + < <

>

∡

( ) 1j

G jz

ωω = +

pω

traçado assimptótico



-10

0

10

20

30

40

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-45

0

45

90

135

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


( ) 1j

G jz

ωω = +

zω


11



Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólos complexos (SPE)pólos complexos (SPE)2

2 2( ) , 0 1

2n

n n

G ss s

ω= ≤ ζ <+ ζω + ω


( )2

2

2 2

10( ) 20log 1 2nn

dBG j ω ω

ωω ω = − − + ζ

2

2( ) arg 1 2nn

G j jω ωωω

ω = − − + ζ

∡( )2

1( )

1 2n n

G jjω ω

ω ω

ω =− + ζ

1nω ω ≪ ( ) 0dB

G jω ≃

( ) 0oG jω∡ ≃

1nω ω ≫ 10( ) 40logdB

n

G jωω −

ω≃

( ) 180oG jω −∡ ≃

nω = ω ( )10( ) 20 log 2dB

G jω = − ζ

( ) arg( 2 ) 90oG j jω = − ζ = −∡



-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Traçados de Bode Traçados de Bode –– casos elementarescasos elementares

2

2

1( )

1 2nn

G jjω ω

ωω

ω =− + ζ

nω ω

Quando 0ζ →

O módulo apresenta um valor máximo maior

A fase varia mais rapidamente

12



Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólos complexos (SPE)pólos complexos (SPE)2

2 2( ) , 0 1

2n

n n

G ss s

ω= ≤ ζ <+ ζω + ω

( )2

2

2 2

10( ) 20log 1 2nn

dBG j ω ω

ωω ω = − − + ζ

traçado do módulo apresenta um pico se 2 2ζ <

( )0dB

d G j

d

ω=

ω

2

1( )

2 1 2rG jω =

ζ − ζ

21 2r nω = ω = ω − ζ

frequência de ressonância r nω ≤ ω

1( )

2nG jω =ζ

valor de pico do traçado valor de pico do traçado do módulodo módulo

valor do módulo à valor do módulo à frequência natural dos pólosfrequência natural dos pólos



-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólos complexos (SPE)pólos complexos (SPE)

2

2

1( )

1 2nn

G jjω ω

ωω

ω =− + ζ

nω ω


Traçado assimptótico afasta-se do real à medida que 0ζ →

10

0( )

40 logn

n

dB nG j ω

ω

ω < ωω = − ω > ω

10

0 0.1

( ) 90 90 log 0.1 10

180 10

n

n n

n

o

o o

o

G j

ωω

ω ωω ω

ωω

<ω = − − < <− >

∡

13



Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros complexos (SPE)zeros complexos (SPE)2 2

2

2( ) , 0 1n n

n

s sG s

+ ζω + ω= ≤ ζ <ω


( )2

2

2 2

10( ) 20log 1 2nn

dBG j ω ω

ωω ω = − + ζ

2

2( ) arg 1 2nn

G j jω ωωω

ω = − + ζ

∡( )2

( ) 1 2n n

G j jω ωω ωω = − + ζ

1nω ω ≪ ( ) 0dB

G jω ≃

( ) 0oG jω∡ ≃

1nω ω ≫ 10( ) 40logdB

n

G jωωω

≃

( ) 180oG jω∡ ≃

nω = ω ( )10( ) 20 log 2dB

G jω = ζ

( ) arg( 2 ) 90oG j jω = ζ =∡



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

0

45

90

135

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros complexos (SPE)zeros complexos (SPE)

2

2( ) 1 2nn

G j jω ωωω

ω = − + ζ

nω ω

Quando 0ζ →

O módulo apresenta um valor mínimo menor

A fase varia mais rapidamente

14



Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros complexos (SPE)zeros complexos (SPE)2 2

2

2( ) , 0 1n n

n

s sG s

+ ζω + ω= ≤ ζ <ω

( )2

2

2 2

10( ) 20log 1 2nn

dBG j ω ω

ωω ω = − + ζ

traçado do módulo apresenta um vale se 2 2ζ <

( )0dB

d G j

d

ω=

ω

2( ) 2 1 2rG jω = ζ − ζ

21 2r nω = ω = ω − ζ

frequência de ressonância



-20

0

20

40

60

80

100

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

0

45

90

135

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec )

Traçados de Bode Traçados de Bode –– zeros complexos (SPE)zeros complexos (SPE)

2

2( ) 1 2nn

G j jω ωωω

ω = − + ζ

nω ω


Traçado assimptótico afasta-se do real à medida que 0ζ →

10

0( )

40logn

n

dB nG j ω

ω

ω < ωω = ω > ω

10

0 0.1

( ) 90 90 log 0.1 10

180 10

n

n n

n

o

o o

o

G j

ωω

ω ωω ω

ωω

<ω = + < < >

∡

15



Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo real no SPDpólo real no SPD

1( ) , 0

1 sp

pG s p

s p= = <

+ +


( )2

10( ) 20log 1pdB

G j ω−ω = − +

( ) arctanp

G j ω−ω =∡

1( )

1 jp

G j ω−

ω =−

1pω ≪ ( ) 0dB

G jω ≃

( ) 0oG jω∡ ≃

1pω ≫ 10( ) 20logdB

G jp

ωω −−

≃

( ) 90oG jω∡ ≃

pω = 10( ) 20log 2 3dB

G jω = − −≃

( ) arctan(1) 45oG jω = =∡



-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Ma

gnitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

0

30

60

90

Pha

se (d

eg)

(rad/sec)

Traçados de Bode Traçados de Bode –– pólo real no SPDpólo real no SPD

( ) , 0p

G j pp j

ω = <+ ω

pω −

16



Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero real no SPDzero real no SPD

( ) 1 , 0s p s

G s pp p

+= = + <


( )2

10( ) 20log 1pdB

G j ω−ω = +

( ) arctanp

G j ω−ω = −∡

( ) 1j

G jp

ωω = −−

1pω ≪ ( ) 0dB

G jω ≃

( ) 0oG jω∡ ≃

1pω ≫ 10( ) 20logdB

G jp

ωω−

≃

( ) 90oG jω −∡ ≃

pω = 10( ) 20 log 2 3dB

G jω = ≃

( ) arctan(1) 45oG jω = − = −∡



-10

0

10

20

30

40

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-60

-30

0

Pha

se (

deg)

(rad/sec)

Traçados de Bode Traçados de Bode –– zero real no SPDzero real no SPD

( ) , 0p j

G j pp

+ ωω = <

pω −

17



-10

-5

0

5

10

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (d

eg)

(rad/sec)

Tr. de Bode Tr. de Bode –– filtro passa tudo ordem 1filtro passa tudo ordem 1

( ) , 0p j

G j pp j

− ωω = >+ ω

pω

( ) 0dB

G jω =

( ) 2arctanp

G j ωω = −∡



-10

-5

0

5

10

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

0

90

180

270

360

Pha

se (d

eg)

(rad/sec)

Tr. de Bode Tr. de Bode –– filtro passa tudo ordem 2filtro passa tudo ordem 2

2 2

2 2

2( )

2n n

n n

jG j

j

ω − ω − ζω ωω =ω − ω + ζω ω

nω ω

( ) 0dB

G jω =

2

2( ) 2arg 1 2nn

G j jω ωωω

ω = − − + ζ

∡

18



Traçados de Bode Traçados de Bode –– atraso de transporteatraso de transporte

( ) , 0sTG s e T−= > ( ) j TG j e− ωω =

( ) 0dB

G jω =

( )G j Tω = −ω∡

-1

-0.5

0

0.5

1

Mag

nitu

de (d

B)

ω (rad/sec)

10-1

100

101

-1440

-1080

-720

-360

0

Pha

se (d

eg) se−

2se−

2se−

se−



Traçados de Bode Traçados de Bode –– caso geralcaso geral

1 2( ) ( ) ( ) ( )nG s G s G s G s= ⋯1 2( ) ( ) ( ) ( )nG j G j G j G jω = ω ω ω⋯

1 2( ) ( ) ( ) ( )ndB dB dB dBG j G j G j G jω = ω + ω + + ω⋯

1 2( ) ( ) ( ) ( )nG j G j G j G jω = ω + ω + + ω∡ ∡ ∡ ⋯ ∡

Notas

1. G(j0) é o ganho estático do sistema.

2. ∠G(j0) determina o número de pólos/zeros na origem.

3. ∠G(j∞) determina a diferença entre número de pólos e zeros (em sistemas de fase mínima ∠G(j∞) = –90º(p–z)).

19



Sistemas de fase mínimaSistemas de fase mínima

Um sistema diz-se de fase mínima se não tiver pólos nem zeros no SPD.

frequência normalizada

declive do traçado do módulo

factor de ponderação

0ln ( )1

( ) ln coth2

d G j uG j du

du

+∞

−∞

ω ω = ⋅ π ∫∡

Teorema integral de Bode: A resposta em frequência de um sistema de fase mínima obedece à seguinte relação:

0

lnuω=ω

onde

10-2

10-1

100

101

102

0

1

2

3

4

5

6

ω/ω0

ln(c

oth(

ln( ω

/ ω0)/2

))

Este resultado significa que o valor da fase (num sistema de fase mínima) é completamente definido pelo traçado do módulo!



Teorema de Bode Teorema de Bode –– aproximaçõesaproximações

10

( )20

logdB

d G jn

d

ω=

ωln ( )d G j

ndu

ω=

ln ( )d G jn

du

ω=Se 0( )

2G j n

πω∡ ≃para então0 00.1 10ω ≤ ω ≤ ω

ln ( )d G jn

du

ω=Se

0( )2 2

n mG j

+ πω∡ ≃

para

então

0 00.1ω ≤ ω ≤ ω

0 010ω ≤ ω ≤ ωparaln ( )d G j

mdu

ω=e

20



Relações tempo Relações tempo -- frequênciafrequência

Ganho estático G(0)

Valor final da resposta ao degrau unitário

Ganho da resposta em frequência para ωωωω = 0

Largura de banda a 3 dB (sistemas passa baixo)

É a dimensão da banda de frequências para a qual o módulo da resposta em frequência não cai mais do que 3 dB em relação ao ganho de baixa frequência

( )dB

G jω

cω ω

3dB

LB

10( ) ( 0) 20log 2

( 0) 3

c dBdB

dB

G j G j

G j

ω = −

−≃

1( ) ( 0)

2cG j G jω =

maior largura de banda �� maior rapidez de resposta



Traçado de NyquistTraçado de Nyquist

O traçado de Nyquist de G(s) é a linha do plano complexo constituída pelos pontos da forma

� também conhecido por traçado polar

{ }( ) :G jω − ∞ < ω < +∞Im

ReNotas

1. Se G(s*) = G*(s) então o traçado de Nyquist é simétrico em relação ao eixo real, apenas se representando

( )G jω

2. Habitualmente o traçado de Nyquist é orientado no sentido de crescimento de ω.

( )G jω∡

Técnicas de esboço

� evolução com ω e valores limite (0 e ∞)

{ }( ) : 0G jω ≤ ω < +∞

( )G jω � evolução com ω e valores limite (0 e ∞)

� cálculo de valores particulares

21



Traçado de Nyquist Traçado de Nyquist –– exemplo 1exemplo 1

( ) , 0p

G j pj p

ω = >ω+

( ) 0G jω =∡0ω →

-0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0ω =ω → ∞

( ) arctanG jp

ωω = −

∡

( )2

1( )

1 p

G jω

ω =+

( ) 1G jω →

( ) 90oG jω = −∡ω → ∞

( ) 0G jω →



Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Traçado de Nyquist Traçado de Nyquist –– exemplo 2exemplo 2

2

( ) , 0( )

pG j p

j j pω = >

ω ω +

( ) 90oG jω = −∡0ω →

0ω →

ω → ∞

( ) 90 arctanoG jp

ωω = − −

∡

( )2( )

1 p

pG j

ωω =

ω⋅ +

( )G jω → ∞

( ) 180oG jω = −∡ω → ∞

( ) 0G jω →

22



Filtros ideaisFiltros ideais

Passa baixo ( ) 0, cG jω = ω > ω

frequência (superior) de corte( )G jω

ωcω

Passa alto ( ) 0, 0 cG jω = < ω < ω

( )G jω

ωcω

frequência (inferior) de corte

Passa banda 1 2( ) 0,G jω = ω < ω ∨ ω > ω

( )G jω

ω2ω1ω

Rejeita banda 1 2( ) 0,G jω = ω < ω < ω

( )G jω

ω2ω1ω

banda passante

Largura de banda: ω2–ω1

banda de rejeição



Sistema passa baixoSistema passa baixo

Sistema cuja resposta em frequência se aproxima de um filtro passa baixo ideal.

Bω

( ) ( 0) 2BG j G jω =

dB( )G jω

ωBω

3dB−

� largura de banda a -3 dB

dB dB( ) ( 0) 3BG j G jω −≃

Notas

1. Se G(s) = k/(s+p) então

2. Quanto maior for ωB, maiores são os valores absolutos dos pólos e logo menores são as constantes de tempo do sistema � mais rápido é o sistema.

B pω =

Resposta em frequência Resposta em frequência de SLITs de SLITs

Documents

Transcript of Resposta em frequência Resposta em frequência de SLITs de SLITs