Post on 20-Feb-2023
Généralités et torseur d’efforts
Sollicitations simples
Sollicitations composées
Autres modes de sollicitation
Conception industrielle
Introduction à la méthode des éléments finis
2010/2011 - IUT Annecy - Mesures Physiques spécialisation Matériaux et Contrôles Physico-chimiques - module SPM2A - Christine Barthod
RRéésistance des Matsistance des MatéériauxriauxStructure et Propriétés des Matériaux II
2
Hypothèses
• Structure : poutre homogène isotrope
section
ligne moyenneG(s)
S(s)
r
L
= lieu de tous les centres de gravité
3
4
• Contrainte et déformation :
définitions :
contrainte = force / surface unité : pascal (Pa)
déformation = variation de longueur / longueur initialeunité : sans unité (m/m)
rappels :
• grandeurs physiques ponctuelles• Re limite élastique d’un matériau = contrainte maximale
supportée par le matériau sans déformation irréversible de celui-ci5
• Matériau :
H : déformationsélastiques
contraintes inférieures à la limite élastique Re déformations extrêmement petites
(allongements négligeables devant les dimensions de l’élément)
L’élément peut être considéré comme indéformable
RRRe
point de striction
zone élastique
zone plastique
6
• Intérêt de ces hypothèses
lois classiques de la mécanique
générale(mécanique MPh1)
conditions complémentaires de
déformation résultant des propriétés des matériaux
(matériaux MPh1)
permet de déterminer
- les efforts intérieurs engendréspar les efforts appliqués
- les contraintes et déformations qui en résultent7
Objectif industriel
Connaître le niveau de chargement maximalqui existe dans la structure étudiée.
En précisant :
Quoi ?Combien ?Où ? Quelle amélioration possible ?
8
cahier des charges
schéma fonctionnel
calcul de pré-dimensionnement
avant projet
validation
projet
Comment est conçu un produit ?
9
En pratique, trois cas se présentent :
chargement
connu
inconnu
connu
structure
inconnue
connue
connue
problèmeà résoudre
dimensionnement
détermination des conditions d’utilisation
vérification des conditions d’utilisation
10
1) dimensionnement
• cahier des charges :
Chargement que doit supporter la structureIdée de la géométrie globale de la structureInformations sur le type de matériau à utiliser
• objectif :
Définir les dimensions de la structureChoisir le matériau qui permet la tenue mécanique de la
structurePréciser le niveau maximal de chargement autorisé 11
2) détermination des conditions d’utilisation
• objectif :
Définir le chargement que peut supporter la structurePréciser le niveau maximal de chargement autorisé
• cahier des charges :
Géométrie exacte de la structureMatériau
12
3) vérification des conditions d’utilisation
• cahier des charges :
Chargement que doit supporter la structureGéométrie exacte de la structureMatériau
• objectif :
Vérifier le niveau maximal de chargement autorisé
13
Démarche globale
Objectif :
Définir le chargement maximal autorisé
Quoi ? (quel type de sollicitation ?) Combien ? (quelle marge de sécurité ?) Où ? (en quel point ? c’est le point critique)
Quelle amélioration possible ?
14
Quel type de sollicitation ?
Sollicitations élémentaires (mécanique MPh1)
F F
Traction / compression
Cx
TorsionF
Flexion
CisaillementF
F
15
Sollicitations composées
Dans une structure réelle, soumise à des chargements réels, toutes ces sollicitations existent simultanément.
Démarche :• On repère tous les efforts extérieurs appliqués • On calcule les sollicitations élémentaires• On les combine pour évaluer le niveau global de
contrainte dans la structure (cf chapitre 3)
16
Quelle marge de sécurité ?
La théorie de l'élasticité classiqueutilise une loi de comportement linéaire.
On compare la contrainte maximale existant dans la structure max à la contrainte admissible par le matériau.
Selon les applications, il estadmissible ou non d’atteindre :
• limite élastique Re• limite de rupture Rr
RRRe
zone
élastique
zone plastique
On définit la limite admissible comme étant la résistance élastique ou de rupture corrigée d'un coefficient de sécurité k dont la valeur est fixée, soit par les normes en vigueur, soit par le concepteur lorsque les normes font défaut.
M.S. = =limite adm Remax k max
On choisit :
limite admissible =
Ce coefficient de sécurité k est destiné à prendre en compte un certain nombre d'incertitudes :
- sur les caractéristiques du matériau- sur la modélisation du problème - sur le chargement réel
Rek
Objectif de conception : MS >117
18
En quel point ?
Il faut déterminer les efforts intérieurs en chaque point de la structure pour calculer les contraintes en chaque point
Principe de la coupe :transformer les efforts intérieurs en efforts extérieurs
coup
e
19
• Schématiser le système
Établir le schéma de calcul
structure : poutre = ligne moyenne conditions aux limites (C.L.):
forces extérieures = connuesréactions aux appuis = inconnues
Objectif : connaitre le point critique
• Comprendre la réalité physique
Torseur d’efforts
Calculer les efforts intérieurs en chaque point
MM
20
2) C.L. : forces extérieures appliquées
ponctuelles ou réparties
forces connues
Comprendre la réalité physiqueSchématiser le système
1) structure
M
21
on idéalise les réactions aux appuis et encastrements : forces inconnues
3) C.L. : forces de contact
appui mobile
RY 1 inconnue
appui fixe
2 inconnuesRY
RX
encastrement 3 inconnuesRY
RXM
schémaréalité
22
réalité
forces extérieures = connuesligne moyenne
réactions aux appuis = inconnues
schéma de calcul
M
23
• Déterminer les efforts intérieurs
a) Poser le schéma de calcul
b) Calculer les réactions extérieures (issues des CL)
c) Étudier où sont les changements de structure ou de chargement?
d) Calculer les éléments de réduction pour chaque coupe
e) Tracer les diagrammes
f) Conclusion
OK
F = 0M = 0
Étude des discontinuités
Présentation des résultats
Principe de la coupe
24
- de structure : modification de la section de la poutre
- de chargement
a) b) c) Étude des discontinuités
Ex 2 :xF2
F1 F3
Détermine les portions de la structure d'étude sur lesquelles le comportement est constant ou linéaire
S1 S2 S1
Ex 1 :
(ex 1 : 3 ; ex 2 : 2) 25
- Si on retire une partie de la structure :
x
y
d) Principe de la coupe
coup
e
26
T
xM N
Mf
Mt
- Pour conserver l’équilibre de la structure initiale, on définit un torseur d’efforts qui remplace la partie manquante
N,T,Fz,Mt,Mfz,Mfy
Ce sont les éléments de réduction du torseur au point M. Ces forces et moments sont des forces extérieures à la «nouvelle» structure d’étude.
27
-calcul des éléments de réduction pour chaque portion
• On calcule les efforts extérieurs à chaque structure d’étude, N(x),T(x),Mf(x) et Mt(x), en chaque point M d’abscisse x à l’aide de la RFD:
F = 0 M = 0
• On vérifie les résultats à l’aide de la relation T(x) = - d ( Mf (x)) / dx
28
• On trace les graphes N, T, Mf et Mt en fonction de x, c’est-à-dire donnant les efforts intérieurs existant en chaque point de la poutre
e) Présentation des résultats
xN
xT
xMt xMf
x=0 : début de la poutre x=L : fin de la poutre
f) Conclusion 29
Exemple sur la première coupe•On coupe avant B
•On conservela partie gauche
• exemple
xF
2F/3 F/3
F
a 2a A CB
A CB
a) Schéma
b) Effortsextérieurs
c) Où faire les coupes ?
d) Calcul des éléments de réduction
30
calcul…
31
Intérêt de la détermination du torseur d’efforts
Chaque élément de réductionN(x),T(x), Mf(x), Mt(x) est liéà une sollicitation élémentaire. x
N effort normalT effort tangentielMt moment de torsionMf moment fléchissant
traction/compressioncisaillementtorsionflexion
M
T
NMf
Mt
32
Caractéristiques mécaniques élastiquesOrdres de grandeur
Re
MPa
90-150---
120-170--
100-23012-1760-80--
275-1100------
250-300-
430-490----
1000-1500-
Metals and alloys
33
Plastics
All plastics are viscoelastic and consequently the elasticity varies considerably with temperature and strain rate.The table below gives approximate values at 20°C for slow rates of strain.
Glasses
Re
MPa
20-30-
76-97-
62-8382-11755-65
21-3569-10450-7630-4034-5210-2055-80
Traction et compression(tension and compression)
3
Traction & compression : définition
dans une section droite :
N 0 ( effort normal )
tous les autres élémentsde réduction sont nuls
sollicitation par un effort normalaux sections droites de la poutre
xN
4
Exemples
• Éprouvette de traction
• Effet poids propre d’un câblesuspendu
S0
L0
L
5
Traction & compression : contrainte N
F F
dFxF
ds N
dFxds
NF S
NN dFx dFxds
ds ds def :
Si N = constante, alors SNN
L
6
• traction
• compression
N>0F S donc N >0
N<0F Sdonc N <0
7
Traction & compression : loi expérimentale
Re
zone élastique
N
N
( = - // )
loi de Hooke:N = E N
E SL NΔL donc
Essai de traction (cf. TP)
SN
LL
8
Traction & compr. : dimensionnement
on doit s’assurerqu’en chaque point de la structure
l N l Re
si N est connu, on peut calculer Smin
si S est connu, on peut calculer Nmax
… comme N = N / S :
9
Traction & compression : validité des loisConditions d’application de la théorie :
équilibre du système
Les lois de comportement ne s’appliquent plus lorsqu’on est dans un état instable
phénomène de FLAMBAGE (chap4)
• la poutre est rectiligne de
grande longueur
• la charge de compression est importante et atteint
une valeur critique
Par ex : en compression lorsque
10
Traction & compression : problème type
Effet du poids propre1) schéma de calcul
2) calcul des réactions extérieures
3) étude des discontinuités
4) calcul des éléments deréduction
(vérification T, Mf)
5) tracé des diagrammes
6) conclusion
L
11
Données :
- Section du câble : S- Masse volumique - Résistance élastique Re
Hypothèses :
- câble suspendu- on ne néglige pas le poids propre du câble
L
12
calcul…
13
Traction & compression : synthèse
F F
contrainte constante sur S
Dimensionnement :Contrainte normaleA comparer à Re
Contrainte :
Élément de réduction associé : effort normal N
Schéma :
SNN
N
Cisaillement(shear)
15
Cisaillement : définition
dans une section droite :
T 0 (effort tranchant)
tous les autres élémentsde réduction sont nuls
sollicitation par un effort tranchant dans le plan des sections droites de la poutre
xM
T
16
rivetage
Exemples
cisaillement pur
poinçonnage
17
En général, le cisaillement n'est pas pur.
traction cisaillement
dans section oblique
T 0 et Mf 0
flexion et cisaillement
18
Cisaillement : contrainte c
contrainte telle que T dsS
NB : c est une contrainte tangentielle
TS
Hypothèse : constante sur la section
valeur moyenne de la contrainte
Peut être très inférieure à la valeur maximaleLa répartition dépend de la forme de la section
19
En réalité, la répartition descontraintes sur une sectionest la suivante :
b(y) est la largeur de la section à la côte y
I est le moment quadratique de la section
T
I b yy ds
( )
def : facteur de forme en cisaillement
max = moy = T / S
y
b(y)
20
Quelques valeurs de pour des formes de sections simplestype de section
facteur de forme en cisaillement
section circulaire pleine
section circulaire creuse
section rectangle
section losange régulière
r R
hb
4 / 3
3 / 2
9 / 8
21
Cisaillement : loi expérimentale
= déformation due au cisaillement
lim
x
c cvx
dvdx0
c
x
22
Essai de cisaillement
Re’
zone élastique
zone plastique
(pente de la droite) Loi de Hooke
= G
Re' limite élastique en cisaillement = Re / 3
Ordres de grandeur : acier : G = 80770 MPa
alu : G = 25960 MPa
E 2 (1+ )G =
23
Cisaillement : dimensionnement
on doit s’assurerqu’en chaque point de la structure
l l Re’
si T est connu, on peut calculer Smin
si S est connu, on peut calculer Tmax
3RR e'
e
24
Cisaillement : validité des lois
Conditions d’application de la théorie :
équilibre du système
lois applicables tant qu’on restedans le domaine élastique
25
Cisaillement : Problème type
Poinçonnage
poinçon
supporttôle
F
de
problème : - la tôle doit céder au cisaillement- le poinçon doit résister à la compression
26
données : poinçon : résistance élastique choisie avec une forte
marge de sécurité : - acier doux : Rp = 60 MPa- acier trempé : Rp = 800 MPa
tôle : résistance à la rupture en cisaillement :acier doux : Rr' = 180 MPa
dimensionnement du dispositif :1) calcul du poinçon2) calcul de la tôle
27
calcul…
28
Cisaillement : synthèse
F
F
Facteur de forme en cisaillement :
Section circulaire : 4/3Section rectangulaire : 3/2
Dimensionnement :Contrainte tangentielleA comparer à Re’
Contrainte :
Élément de réduction associé : effort tranchant T
Schéma :
STλτC
c
Torsion(twisting)
31
Torsion : définition
dans une section droite :
Mt 0 (moment de torsion)
tous les autres élémentsde réduction sont nuls
sollicitation dans le plan de la section tendance à faire tourner l'une par rapport à l'autre deux sections voisines.
xM Mt
32
Exemples
barre de torsionC
x
moteurengrenages compresseur
arbre de transmissionarbres en
torsion
ressorts
33
Hypothèse : section
circulaire
Torsion : contrainte t
x
M
M’
Mt distance à l’axe
de torsion
angle de torsionx distance
ΔxΔαρΔx
MM'γ t t =
dxdα
ΔxΔαlim θ
0Δx
déformation due à la torsion:
glissement relatif :
t = G t = G ! non constante sur la section
34
x
dS
Mt
tMt
On pose : J0 = dS moment quadratique polaire(par rapport au point central)
Mt = t dS
= G dS
= G dS
Mt = G J0
t = G
t
NB : t est une contrainte tangentielle
donc JMtρt =
0
35
Quelques valeurs de J pour des formes de sections simples
type de sectionJ0 moment quadratique polaire( moment quadratique /point )
section circulaire pleine
section circulaire creuse
section rectangle
b
section losange régulière
r dSS
2
32
4D
32
44 dD
b h b h2 2
12
a 4
6non utilisable pour calculs de section sollicitées en torsionnon utilisable pour calculs de section sollicitées en torsion
D
D
h
b
a
d
36
Essai de torsionMt = k
(pente de la droite)Mt (N.m)
(°.m-1)
zone élastique
zone plastique
élastique petit : quelques degrés par mètre plastique très grand : 30 à 50 tr/m avant rupture
Torsion : loi expérimentale
Mte
Jkθρdonc t = 0
37
Torsion : dimensionnement
on doit s’assurerqu’en chaque point de la structure
l t l Re’
contrainte tangentielle idem cisaillement
38
Torsion : validité des loisLes lois relatives à la torsion
sont considérées comme:
- exactes pour les sections circulaires (même creuses)
- acceptables si le centre de gravité de la section est confondu avec le centre de torsion
- fausses si le centre de gravité de la section n'est pas confondu avec le centre de torsion très complexe (calcul numérique)
39
Exemples de cas où les lois sont inapplicables :
profil en UG T
aubeG
T
40
Torsion : problèmes types
Arbre cylindrique en torsion
On considère une éprouvette cylindrique en cuivre de diamètre d = 25 mm et de longueur L = 1 m soumise à un essai de torsion.On donne pour le cuivre : E = 130 GPa ; = 0,34 ; Re = 150 MPa
a) Calculer l’angle de torsion sous un couple Mt = 210 N.m b) Calculer la contrainte maximale de torsion dans l’arbrec) Conclure
Mt x
41
Données :
- Matériau : E = 130 GPa ; = 0,34 ; Re = 150 MPa- Moment du couple M = 210 Nm
Hypothèses :
- arbre cylindrique- on néglige le poids propre de l’arbre
42
calcul…
43
Torsion : synthèse
C
Module de torsion J :Section circulaire pleine : Section circulaire creuse :
Dimensionnement :Contrainte tangentielleA comparer à Re’
Contrainte :
Élément de réduction associé : moment de torsion Mt
Schéma :
t = G
32
4D
32
44 dD
JMtρ
t
flexion plane(bending)
47
Flexion : définition
dans une section droite :
Mf 0 (moment de flexion)
tous les autres élémentsde réduction sont nuls
Les efforts qui s'exercent sur une section droite ont tendance à faire tourner la section autour de l'axe z.
M
Mf xz
48
flexion pure
F F
A B C D
BC est en flexion pure
flexion plane simple Mf 0 ; T 0et N 0F
F’
F
flexion et torsionMf 0 ; T 0et Mt 0
En général, la flexion n’est pas pure !
49
Exemples d ’applications industrielles
50
Flexion : contrainte
f est unecontrainte normale
compression(N < 0 )
traction(N > 0 )
fibre neutre(N = 0 )
x
y
51
Hypothèses : ( BERNOUILLI 1705 )Pendant la déformation, les sections droites - restent planes- restent perpendiculaires aux fibres déformées
Iz moment quadratique( par rapport à l’axe de flexion Oz)P
z
zf y
IMf(P)σ
dSy IS
2 z def:
y
x
y
z
dS f
yPP
yP distance àl ’axe neutre
52
Quelques valeurs de z pour des formes de sections simples
type de sectionmoment quadratique/ axe z
section circulaire pleine
section circulaire creuse
section rectangle
section losange régulière
S
dSyI 2
64Dπ 4
64
dDπ 44
12h b 3
12a4
sectionen I 2
Sh2
D
d
h
b
a
h
D
53
Flexion : loi expérimentale
On applique la force sur la pige centrale On peut donc calculer f
Les jauges mesurent // et
jauges de déformation
f
n
Re
Essai de flexion 3 points
h
b
54
déformée contraintes normales(traction/compression)
flècheRef : http://www.si.ens-cachan.fr
v
55
Relation contrainte - déformation
loi de Hooke = E loi de Poisson = -
yI
Mf(P)σ Pz
zf
yI E
Mfε(P) Pz
zdonc
x
y
z yPP
P(xP,yP)
ligne neutre
56
Flexion : dimensionnement
en flexionon doit s’assurer
qu’en chaque point de la structure
l N l Re
contrainte normale idem traction/compression
57
def. déplacement normal à la ligne neutre
Calcul de la flèche v(x)
v(x)?
flèche au point central
v
58
on admet :
dxdv(x)θ(x) (1)
y
x
(x)(x+dx)
xx+dx
v(x+dx)v(x)
2
2
P// dxvdy(P)ε (2)
59
Pour avoir la flèche v(x),il faut donc intégrer deux fois
deux constantes définiespar les conditions aux limites
P
//
P
//2
2
yEσ
yε
dxvd
= E
2
2
P// dxvdy(P)ε
RAPPEL :
un appui en x0 v(x0)= 0
un encastrement v(x0) = 0 en x0 dv(x0)/dx = 0
z
z2
2
IEMf
dxvdP
zzf yI
Mf(P)σ or donc
équation de la déformée
60
La hauteur d’une poutre a beaucoup plus d’importance que sa largeur d’un point de
vue des flexions simples
Pz
zf y
IMf(P)σ
z
z2
2
IEMf
dxvd
contrainte
flèche
La contrainte et la flèche dans une section de poutre sont
inversement proportionnelles au moment quadratique IZ
Considérations pratiques de dimensionnement en flexion
64DπI
4
12h bI
3
2ShI
2
D
h
h
61
Flexion : validité des lois
Conditions d’application de la théorie :
équilibre du système
lois applicables tant qu’on restedans le domaine élastique
62
Flexion : problème typeexemple : calcul de la flèche
BC en flexion pure
Calcul de la contrainte de flexion maximaleet de la flèche
en tout point de la poutre AD
F F
A B C D
a b a
63
Données
Dimensions : réglet de 50 cm
a= 10 cmb= 30 cmsection: largeur 1cm, épaisseur 2 mm
Forces appliquées : F= 10 N
Caractéristiques matériauacier : E = 200 GPa
Re= 240 MPa
64
Démarche :
on utilise la relation de la déformée :
donc :pour calculer la flèche v(x) en tout point d ’abscisse x, il faut connaître le moment fléchissant en tout point Mf(x)
c’est-à-dire déterminer l’élément de réduction Mf
z
z2
2
IEMf
dxvd
65
Calcul des réactions et des éléments de réduction :
Réactions : RB = RC = F
Eléments de réduction T et Mfdiscontinuité d’efforts en B, C et D3 coupes et 3 torseurs d’efforts : sur [AB], [BC], [CD]
F F
A B C D
Sur [AB], càd pour 0<x<a , T(x)= F et Mf(x)= - FxSur [BC], càd pour a<x<a+b , T(x)=0 et Mf(x)= - Fa
Sur [CD] càd pour a+b<x<2a+b , T(x)= - F et Mf(x)= F[ x-(2a+b)]
66
Diagrammes des éléments de réduction :
F F
A B C D
T
x
Mf
x-Fa
- Fa
67
Calcul de la contrainte de flexion maximale :
Calcul de la flèche en tout point :
68
x v(x)a 1,00E-01 0 8,75E-03b 3,00E-01 0,025 6,86E-03F 1,00E+01 0,05 4,84E-03E 2,00E+11 0,075 2,60E-03largeur 1,00E-02 0,1 0,00E+00épaisseur 2,00E-03 0,1 0,00E+00I 6,67E-12 0,175 -6,33E-03
0,25 -8,44E-030,325 -6,33E-03
0,4 0,00E+000,4 0,00E+00
0,425 2,60E-030,45 4,84E-03
0,475 6,86E-030,5 8,75E-03
V1(x)
V2(x)
V3(x)
flèche sur AD
-1,E-02-8,E-03-6,E-03-4,E-03-2,E-030,E+002,E-034,E-036,E-038,E-031,E-02
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
x (m)
v(x)
(m)
v(x)
Calcul sous Excel
contrainte max 3,00E+08
69
Flexion : synthèse
Moment quadratique IZ :Section rectangulaire :Section circulaire creuse :
Dimensionnement :Contrainte normaleA comparer à Re
Contrainte :
Élément de réduction associé : moment fléchissant Mf
Schéma :F
Pz
zf y
IMf(P)σ
64
dDπ 44 12h b 3
Mf
f < 0
f > 0f = 0
2
Sollicitations composées : définition
Cas le plus général :tous les effets existent simultanément.
Les éléments de réduction N, Mf, T, Mt 0
Toutes les contraintes définies dans les chapitres précédents existent :
- traction / compression - cisaillement- torsion - flexion
3
Soll. composées : tenseur contrainte
les contraintes de traction ou de flexion sont normales à la
section
• Contraintes normales ou tangentielle
F S
normale
S
F
tangentielle
les contraintes de cisaillement ou de torsion
sont tangentielles par rapport à la section
letangentielcontraintenormalecontraintecontrainte n
n
4
defij = contraintesur la face de normale i,dans la direction jx
z
y
• Tenseur contrainte
def : tenseur des contraintesen un point quelconque
T
Sxx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
x
xy y
xz yz z
x xy
xy y
.......
cas plan
rq : les contraintes normales sont les termes de la diagonale 5
traction compression pure
T
0 00 0 00 0 0
• Identification des termes ijpar rapport aux cas connus
F x
section de normale xcontrainte dans la direction x
t = xx = x
6
section de normale xcontrainte dans la direction xf = xx = x
T
0 00 0 00 0 0
F
x
flexion pure
7
cisaillement pur
T
0 00 0
0 0 0
F
x
section de normale xcontrainte dans la direction y
cy = xy = xy
8
torsion pure
T
0 00 0
0 0 0
x
Mt
P
Q
PQ
y
par exemple !
section de normale xcontrainte dans la direction
tangentielle au point étudié
t = xy = xyOU t = xz = xz
9
Une sollicitation même simple engendre des déformations dans toutes les directions.
Sollicitations composées :comportement mécanique
loi de comportement linéaire
domaine élastique du matériau
LIMITES
phénomènes physiques simples
10
Hyp : on reste en domaine élastique
Cas des sollicitations élémentaires
contraintes limitées par la limite admissibleRe / k ou Re’ / k
Cas des sollicitations composées :
critères de résistance
contraintes normales
contraintes tangentielles
11
• Critères de limite élastique
La limite élastique est atteinte pour des raisons de micro-physique à l'échelle cristallographique alors qu'on souhaite disposer d'un critère macroscopique.
Idées de critères basés sur :
•les valeurs des déformations
• les valeurs des contraintes
• les valeurs de l'énergiede déformation
• les expériences
Ce sont les premiers apparus.Ils sont abandonnés aujourd'hui.
Ils sont très utilisés, mais théorie complexe.
Leur traitement mathématique est assez commode
Sans doute les plus fiables, dans la mesure où on ne les extrapole pas. Dénués de tout fondement
12
Parmi tous ces critères, divers choix sont possibles :
• Convention :
• Usage :
• Simplicité :
S'il n'y a pas de critère réglementaire, on fait le choix d'un (ou plusieurs) critère(s) en fonction des habitudes locales, ou on prend un critère déjà utilisé dans un calcul similaire et qui a déjàfait ses preuves.
Pour les calculs de prédétermination ou d'avant-projet.
Choix d’un critère basé sur l’énergie
Application des règlements lorsqu'ils existent et qu'ils sont applicables au cas traité : comme ils sont en général de rédaction assez complexe, on les utilise pour les calculs de vérification d'un projet définitif.
13
• contrainte équivalente de Von Misès VM :
VM x
+ Y + z
- x Y - x z - Y Z
+ 3 (XY + YZ
+ XZ
• un matériau va se déformer plastiquement si :
VM > Re
• basé sur des considérations énergétiques
• Critère de Von Misès
14
traction compression pure
VM x VM x
• application à quelques cas connus
F x
critère de limite élastique : VM Rex Re
15
cisaillement pur F
x
critère de limite élastique : VM ReXY Re / 3
VM 3 XY VM 3 XY
16
Soll. composées : problèmes types
1) analyse des contraintes élémentaires dans la vis2) calcul des contraintes élémentaires (valeur et direction)3) calcul de la contrainte équivalente
On utilise une visseuse qui applique un couple de 2 Nm pour visser une vis de 4 mm de diamètre.Le matériau de la vis a une limite élastique Re= 300 MPa.
Lors du vissage, on applique en plus un effort axial de 400 N sur la vis.
Calculer la contrainte de Von Misès dans la vis et conclure quant à sa résistance mécanique.
visseuse
17
F
a 2a A CB
• On veut choisir le matériau pour construire une étagère appuyée à ses deux extrémités. A un tiers de la longueur, on prévoit de poser un objet dont la masse crée une force ponctuelle F égale à 150 N.
• On donne L = 120 cm, e = 8 mm, b = 10 cm.• Calculer la contrainte maximale de Von Misès dans l’étagère et
conclure quant au matériau à choisir.
(cf. chapitre 1 poutre sur deux appuis)
1) analyse des contraintes élémentaires dans la vis2) calcul des contraintes élémentaires (valeur et direction)3) calcul de la contrainte équivalente4) Choix du matériau
étagère
2
Flambage(buckling)
3
Flambage : définition
Il y a flambagequand
sous l’action d’un effort axialde compression important
une poutre rectilignede grande longueur fléchit.
compression axialeimportante
Poutre rectilignede grande longueur
(une dimension 10x plus grande que les 2 autres)
4
• état instable
• se produit lorsque la charge atteint une valeur critique
F Fc
5
Flambage : théorie d’Euler
• poutre rectiligne
•chargements alignés sur la ligne moyenne
•comportement élastique
•articulations parfaites
hypothèses
traction-compression et flexion non indépendantes
On écrit l’équilibre du systèmesur le système déformé
6
Flambage : comportement mécaniquecas appuyé-appuyé
F
Poutre en appui simple à une extrémitéEffort de compression sur l’autre extrémité
7
• Calcul des éléments de réduction
• Schéma de calcul
xFA B
y
xA
yR F
… sur la poutre déformée !
• Calcul des réactions R = F
8
xA
y H
TN
MfF
v(x) flèche
Hypothèses : v(x) << L ; dv/dx << 1
• Calcul des éléments de réduction
Fx = 0 Fy = 0
MH = 0
N + F cos =0T - F sin =0
Mf(x) + F v(x) =0
N= -FT = F
Mf(x)= -F v(x)9
équation différentielle du 2ème
ordre à coefficients constants
• Calcul de la flèche de flambage
0vIEFv"soit I E
vFIE
Mfdx
vd2
2
Solution de la forme : v(x) = K erx
r2 + 2 = 0r = ± j
0 v ωv" alors IEF ω pose on 22
x)EIFcos( Bx)
EIFsin(A v(x)
ZZ
10
Il y a donc différents modes de déplacement de la poutre, modes qui sont actifs pour k = 1, 2,...
c’est-à-dire pour , pour
On cherche A et B à partir des conditions aux limites en x=0 v(0) = 0 B=0en x=L v(L)= 0
Cela correspond à différentes valeurs de F appelées charges limites de flambage Fk (pour k entier) :
Alors, v(x) = A sin (k x/L)
222z
k πkLIEF
A 0 donc (k entier)
0 L)EIFsin(A
k L EIF
Z
L EIF
L EIF
11
• Si F < F1 alors A = 0
la poutre est en compression pas de flambage
• Lorsque F = F1 1er mode de flambage
v = A sin (x / L ) xy
v(x)
• Lorsque F = F2 2ème mode de flambage
v = A sin (2x / L ) xy
v(x)
12
Flambage : dimensionnement
2
2
1 L πEIF
2z2
k
222z
k
LI E πkF
πkLIEF
Considérations pratiques de dimensionnement
inversement proportionnelle au moment quadratique IZ
Charge critique :
• section rectangulaire : Fk proportionnelle à h3
• section circulaire : Fk proportionnelle à D4
13
Flambage : loi expérimentale
Selon les conditions aux limites : libre, appuyéou encastré
14
Réglet L = 50 cmb = 15 mme = 0,7 mm
acier E = 200 GPa, Rp= 120 MPaappuyé-appuyé
• Charge limite de flambage :
= 3,39 N
• Contrainte de compression : = N / S = 3,39 /(15x0,7) = 0,32 MPa
<< Rp
2
2
1 L πEIF
Flambage : problème type
15
Flambage : conclusion
poutre longue en compression
vérifier la résistance en compression&
contrôler la charge limite de flambage
Matage(bearing)
Chapitre 7 - 17
Matage : définition
• Écrasement localisé de la matière dû à un champ de pression trop élevé dans une zone de contact entre deux pièces.
• Le matage correspond en général à une déformation plastique.
Chapitre 7 - 18Matage d’un rail
Matage d’un anneau
Matage d’un rivet à mater
Chapitre 7 - 19
•Pression de matage :
•Dimensionnement au matageon doit s’assurer que dans la zone de contact
Pmatage < Padmissible matage
Matage : comportement
Pmatage = F / S
avec S surface matée
Pressions admissibles de matage :dépend des conditions de fonctionnement et des matériaux en présence
Ex acier inox E355 : Assemblage fixe : 30 à 200 MPaDéplacement sans charge: 10 à 40 MPaDéplacement sous charge : 3 à 15 MPa
Chapitre 7 - 20
Exemple : rivetage de deux tôles
surface de contact rivet / tôle
Vérifier la résistance au matage :
P < Padmissible matage
Pmatage = F / S
avec S = D e / 2S
FF
Chapitre 7 - 21
Application numérique : (cf. ex5 TD3 cisaillement)
F = 2,5 kND = 10 mme = 2 mm
S = D e / 2 = 31,4 mm²
Pmatage = F / S = 79 MPa
A comparer à la pression admissible
Chapitre 7 - 22
Exemple : clavetage
Il existe du matage au niveau de la surface en contact entre clavette et rainure de clavetage de l’arbre
Pression de matage :
DLb4C
SFp
m
A comparer avec la pression admissible au matage
Chapitre 7 - 23
Application numérique :
C= 110 N.mD = 50 mmb = 12 mmL = 75 mm
Sm = L b /2 = 450 mm²
Pmatage = 4C / DLb = 10 MPa
A comparer à la pression admissible
Fluage(creep)
Chapitre 7 - 25
Fluage : définition
• Le fluage est le phénomène physique qui provoque la déformation irréversible d'un matériau soumis à une contrainte constante pendant une durée suffisante et à une température supérieure à la température ambiante.
• Cette déformation est de nature viscoplastique et dépendante du temps de maintien.
Chapitre 7 - 26
Un essai de fluage consiste à solliciter une pièce sous charge constante (inférieure à la charge de limite élastique) à une température supérieure à la température ambiante.
Fluage : comportement
Fatigue(fatigue)
Chapitre 7 - 28
Processus qui sous l'action de contraintes ou déformations cycliques, répétées ou alternées modifie les propriétés locales d’un matériau.
Cette évolution locale et progressive mais irréversible des caractéristiques mécaniques d'une structure peut entraîner la formation de fissures et éventuellement la rupture de la pièce sollicitée en fatigue.
Remarque : les matériaux métalliques sont particulièrement sensibles à la fatigue.
Fatigue : définition
Chapitre 7 - 29http://mms2.ensmp.fr/mat_paris/duree/transparents/Amphi_Fatigue_2008.pdf
Chapitre 7 - 30
Essai de fatigue :
En règle générale, les sollicitations appliquées résultent de la superposition d'une contrainte constante et d'une contrainte variable (sinusoïdale, carré, aléatoire,...).Selon les proportions respectives de ces deux contraintes, les effets de la fatigue varient.
Fatigue : comportement
Chapitre 7 - 31
• Phase I : amorçage de la fissure
– Formation d'une micro-fissure (80 à 90 % de la durée de vie de la pièce)
– Germination favorisée par toute discontinuité de surface (exemple: piqûres de corrosion, entailles, congés de raccordement à angle droit, usinages, inclusions de surface).
– Phase réversible : la pièce peut être réparée par un traitement thermique ou mécanique
• Phase II : phase de propagation de la fissure
• Phase III : phase de rupture finale de la pièce
Chapitre 7 - 32
Exemple de cycle de fatigue :
La pièce considérée est soumise à des cycles de contraintes d'amplitude et de fréquence constantes. Des essais systématiques permettent d'estimer le nombre N de cycles qu'elle peut supporter avant rupture.
La courbe obtenue est appelée courbe de Wöhlerou courbe S-N (Stress-Number of cycles).
© OTUA - Office Technique pour l'Utilisation de l'Acier -
Chapitre 7 - 33
Fatigue : notion de fiabilité
Définition : aptitude d'un système à fonctionnersans incident pendant un temps donné
= probabilité qu'a un produit d'accomplir de manière
satisfaisante une fonction requise, sous des conditions données et pendant une période de temps donnée.
La courbe de Wöhler fournit la probabilité de rupture par fatigue c’est-à-dire la probabilité associée à la fonction de répartition F(t) de l’évènement « défaillance ».Alors R(t) = 1- F(t) est la probabilité que le produit soit en bon fonctionnement au temps t, c’est à dire la fiabilité au temps t.
qualité
2
Démarche de conception
1) Cahier des charges
2) Pré-dimensionnement
3) Choix des matériaux
4) Dimensionnement final (étude des discontinuités de géométrie ou d’efforts dans la structure)
5) Validation
1) Analyse et schéma fonctionnels
2) Pré-calcul RDM
3) Analyse des résultats et dimensionnement
4) Calcul des concentrations de contraintes
5) Essai sur prototype
3
Conception : cahier des charges
• Facteur de sécurité• Contrainte d’encombrement• Contrainte de matériaux• Efforts appliqués (type et modes de sollicitation)
• Effets éventuels des grandeurs d’influence (température, humidité, pression,…)
• …..
Analyse et schéma fonctionnels
4
Conception : pré-dimensionnement
• Concevoir la structure à partir de l’analyse et du schéma fonctionnels
• Simplifier en une structure équivalente• Poser le schéma de la structure
Pré-calcul RDM
5
Conception : choix des matériaux
• En fonction du pré-dimensionnement• Facteur de sécurité• Marge de sécurité souhaitée• Type de matériau souhaité
Analyse des résultatset dimensionnement
6
Conception : dimensionnement final
• A partir des résultats précédents: analyse détaillée
• Points particuliers dans la structure ?• Où sont appliqués les efforts ?
Étude des concentrations de contraintes
7
Hypothèse : contrainte continue dans une section
En réalité, vrai seulement :- loin des discontinuités de géométrie- loin des conditions aux limites- loin des points d’application des forces
A la discontinuité, il y a des concentrations de contraintes.
À prendre en compte !
8
• Abaques• Logiciels libres • Calcul de résistance des matériaux
plus précis : méthodes numériques(cf. chapitre 6)
facteur de concentration de contrainte Kt
max = kt N
Définition :
14
Exemple : congé de raccordement
r =1,5
D=40 d=25
A
D= 40 mm ; d = 25 mm ; r = 1,5 mm ; t=(D-d)/2 = 7,5 mm On utilise l’abaque ou le logiciel de calcul d/D = 0,625 ; r/t = 0,2 donc Kt = 2,3
Calcul du facteur de concentration de contrainte en A
Amélioration : on augmente le rayon de raccordement r
r (mm) r / t Kt1,5 0,2 2,33 0,4 1,95 0,67 1,6
On améliore la résistance de 50%
15
à retenir…
• Un trou perturbe le comportement de la pièce, aussi petit soit-il… on peut optimiser mais en modifiant la géométrie
• Pas d’angle vif : l’outil a lui-même un rayon ; l’agrandir dès que possible… on peut optimiser sans modifier l’encombrement
16
Conception : validation
Réaliser le dimensionnement « définitif »– Structure choisie– Matériau choisi– Dimensions choisies et analysées
Essai sur prototype
17
• Réaliser les essais sur le prototype– Savoir appliquer les efforts : actionneur ou
machine de traction– Savoir mesurer les efforts : capteur et chaîne de
mesure
• Améliorations ??
• Calcul plus précis : méthodes numériques> calcul par éléments finis
10
Abaques
CMAO, Machines et Mécanismes,
Laboratoire CASM
Kt
Chapitre 5 - 11
Guide du dessinateur, les
concentrations de contraintes,
CETIM
d/b
d/D
Chapitre 5 - 12
www.fatiguecalculator.com stress concentration finder
Logiciels libres
(a)
13
Exemples de discontinuitéde géométrie
a) arbre épaulé
b) arbre avec gorges
c) arbre avec clavetage
d) plaque épaulé
e) plaque avec gorges
f) plaque trouée
…(b)
(f)(e)(d)
(c)
2
Mise au point dans les années 1975.
Initialement, utilisée pour :
• dimensionnement de structures compliquées• dans le cas où on ne peut pas faire d’essai• pour réduire le nombre d’essais• pour optimiser les dimensions, les masses,
les matériaux à utiliser,…
MEF : historique et intérêt
3
Méthode adaptée à la modélisation de tout phénomène physique
Permet de :– mettre en situation un objet
quelconque dans un environnement choisi.
– renseigner sur le phénomène physique mis en œuvre.
Principaux codes industriels :
ANSYS, NASTRAN, SAMCEF, ABAQUS, IDEAS, MECHANICA, FLUX2D, FLUX3D, FLUENT
4
Discrétiser la structure :définir de très petits éléments sur lesquels on peut considérer que les phénomènes physiques sont globalement linéaires
Simuler les conditions aux limites en étudiant de proche en proche le comportement de ces petits éléments, la méthode permet de calculer le comportement global de la structure
MEF : principe
5
MEF : mise en œuvre sur cas simples
Poutre en traction
(effort concentré)
F
Calcul RDM
U= F x / (SE)
Calcul par EF
• Discrétisation
• CL: U(0)=0, force F
• Analyse : On travaille sur les nœuds
• Calcul : On assemble sur les éléments
• Résultat : le code calcule :
U(N2)= 2F a / (SE) et U(N3) = 4F a / (SE)
N1 N2 N3
x
U
6
Poutre en traction
(effort concentré + réparti)F
Calcul RDM
U= (fl + F)x – fx²/2 / (SE)
Calcul par EF
• Discrétisation 1
• CL: U(0)=0, force F et répartition f
• Résultat : le code calcule :
U(N2)= L(3 f L / 4 + F ) / (2SE)
U(N3) = L( f L + 2F ) / (2SE)
•Discrétisation 2
N1 N2 N3
x
U
f
N1 N2 N3 N4 N5 N6
7
MEF : démarche
réaliser un calcul simplifié RDM pour obtenir un ordre de grandeur des résultats
étude par éléments finis
vérifier la cohérence des résultats entre calcul simplifié RDM et simulation EF
réaliser un essai pour valider les simulations
optimiser le système
8
AVANT : travail d’analyse choisir le type de modélisation choisir les éléments poser les hypothèses choisir les conditions aux limites
APRES : travail d’analyse critique• exploitation des résultats• vérification des ordres de
grandeurs• vérification des hypothèses
La modélisation d’un système est toujours simplifiéepar rapport à la réalité :
il faut donc toujours vérifier la cohérence des résultats.
MEF : mise en œuvre
9
MEF : exemples
• Étude de concentration de contraintes :plaque trouée en traction
On cherche la valeur de la contrainte maximaleModélisation du problème sous ANSYS®
- dimensions : longueur = 100 mm ; largeur = 50 mm épaisseur = 1 mm ; diamètre trou = 10 mm
- matériau : acier : Re= 180 MPa ; E= 210 GPa : = 0,28
force appliquée en traction longitudinale : 10 kN
10
A) Calcul analytique (ref. abaques et logiciel)
- Calcul de la contrainte moyenne (ou nominale) dans la section du trou : N = 10000 NS= (w-d)e = 40 mm²
N = N / S = 250 MPa
- Calcul de Kt d’après les abaques :
d/w =10/50=0,2
donc Kt = 2,52
et Nmax = 630 MPa 0,2
11
1) Définir la géométrie
B) Méthode numérique
12
2) Définir les matériaux
13
3) Réaliser le maillage = discrétiser
14
4) Définir les conditions aux limites : forces et déplacements imposés
15
5) Lancer le calcul
16
6) Exploiter les résultats
17
(MPa)
Contrainte non moyennée
18
(MPa)
Contrainte moyennée
19
C) Analyse des résultats
Étudier l’ordre de grandeur des résultats
Comparer les résultats obtenus avec le résultat du calcul analytique simplifié
Calcul analytique : Nmax = 630 MPa
Calcul éléments finis : Nmax = 600 à 620 MPa
Ordre de grandeur correct !
Le calcul analytique est donc fiable :ne pas hésiter à le faire !
20
• Étude de concentration de contraintes :réduction de section
On cherche la valeur de la contrainte maximaleModélisation du problème sous ANSYS®
- dimensions : longueur = 120 mm ; largeur = 50 mm épaisseur = 1 mm ; rayon du congé de raccordement = 10 mm
- matériau : acier : Re= 180 MPa ; E= 210 GPa : = 0,28
force appliquée en traction longitudinale : 5000 N
r ?
F
A) Calcul analytique (ref. abaques et logiciel)
- Calcul de la contrainte nominale dans la section du congé :
N = 5000 NS= ed = 35 mm²
N = N / S = 143 MPa
- Calcul de Kt d’après les abaques :
d/D = 35/50 = 0,7r/(D-d) = 10/(50-35) = 0,67
donc Kt = 2,1
et Nmax = 300 MPa
0,7
22
R = 10 mm 300 MPa
0 50 100 200 220 240 26 0 280 300 ( MPa )
F=5000 N
Maillage et conditions aux limites
Résultats : contraintes
Kt = 300/143Kt = 2,1
23
250 MPa
0 50 100 200 220 240 260 270 280 300 ( MPa )
Amélioration : augmentation du rayon du congé de raccordement
R = 20 mm
Diminution de la contrainte
Meilleure tenue mécanique de la pièce
Kt = 250/143Kt = 1,7
24
C) Analyse des résultats
Comparaison calcul EF / calcul analytique :
Ordre de grandeur correct !
analytiquerayon du congé r 10 20
largeur max D 50 50largeur min d 35 35
d/D 0,7 0,7D-d 15 15
r/(D-d) 0,67 1,33Kt 2,1 1,6
logiciel Kt 2,1 1,7
éléments finis Kt 2,1 1,72,0 1,0
25
MEF : conclusion
La méthode des éléments finis est précise et permet d’optimiser les structures. Elle permet d’étudier le comportement d’une structure sous diverses sollicitations.
Mais la mise en œuvre est délicate et demande du savoir-faire notamment pour le maillage et l’application des conditions aux limites.
Il est donc toujours nécessaire de réaliser un calcul initial simplifié.