Résistance des Matériaux

Généralités et torseur d’efforts

Sollicitations simples

Sollicitations composées

Autres modes de sollicitation

Conception industrielle

Introduction à la méthode des éléments finis

2010/2011 - IUT Annecy - Mesures Physiques spécialisation Matériaux et Contrôles Physico-chimiques - module SPM2A - Christine Barthod

RRéésistance des Matsistance des MatéériauxriauxStructure et Propriétés des Matériaux II

2

Généralités & torseur d’efforts

2

Hypothèses

• Structure : poutre homogène isotrope

section

ligne moyenneG(s)

S(s)

r

L

= lieu de tous les centres de gravité

3

4

• Contrainte et déformation :

définitions :

contrainte = force / surface unité : pascal (Pa)

déformation = variation de longueur / longueur initialeunité : sans unité (m/m)

rappels :

• grandeurs physiques ponctuelles• Re limite élastique d’un matériau = contrainte maximale

supportée par le matériau sans déformation irréversible de celui-ci5

• Matériau :

H : déformationsélastiques

contraintes inférieures à la limite élastique Re déformations extrêmement petites

(allongements négligeables devant les dimensions de l’élément)

L’élément peut être considéré comme indéformable

RRRe

point de striction

zone élastique

zone plastique

6

• Intérêt de ces hypothèses

lois classiques de la mécanique

générale(mécanique MPh1)

conditions complémentaires de

déformation résultant des propriétés des matériaux

(matériaux MPh1)

permet de déterminer

- les efforts intérieurs engendréspar les efforts appliqués

- les contraintes et déformations qui en résultent7

Objectif industriel

Connaître le niveau de chargement maximalqui existe dans la structure étudiée.

En précisant :

Quoi ?Combien ?Où ? Quelle amélioration possible ?

8

cahier des charges

schéma fonctionnel

calcul de pré-dimensionnement

avant projet

validation

projet

Comment est conçu un produit ?

9

En pratique, trois cas se présentent :

chargement

connu

inconnu

connu

structure

inconnue

connue

connue

problèmeà résoudre

dimensionnement

détermination des conditions d’utilisation

vérification des conditions d’utilisation

10

1) dimensionnement

• cahier des charges :

Chargement que doit supporter la structureIdée de la géométrie globale de la structureInformations sur le type de matériau à utiliser

• objectif :

Définir les dimensions de la structureChoisir le matériau qui permet la tenue mécanique de la

structurePréciser le niveau maximal de chargement autorisé 11

2) détermination des conditions d’utilisation

• objectif :

Définir le chargement que peut supporter la structurePréciser le niveau maximal de chargement autorisé


Géométrie exacte de la structureMatériau

12

3) vérification des conditions d’utilisation


Chargement que doit supporter la structureGéométrie exacte de la structureMatériau

• objectif :

Vérifier le niveau maximal de chargement autorisé

13

Démarche globale

Objectif :

Définir le chargement maximal autorisé

Quoi ? (quel type de sollicitation ?) Combien ? (quelle marge de sécurité ?) Où ? (en quel point ? c’est le point critique)

Quelle amélioration possible ?

14

Quel type de sollicitation ?

Sollicitations élémentaires (mécanique MPh1)

F F

Traction / compression

Cx

TorsionF

Flexion

CisaillementF

F

15


Dans une structure réelle, soumise à des chargements réels, toutes ces sollicitations existent simultanément.

Démarche :• On repère tous les efforts extérieurs appliqués • On calcule les sollicitations élémentaires• On les combine pour évaluer le niveau global de

contrainte dans la structure (cf chapitre 3)

16

Quelle marge de sécurité ?

La théorie de l'élasticité classiqueutilise une loi de comportement linéaire.

On compare la contrainte maximale existant dans la structure max à la contrainte admissible par le matériau.

Selon les applications, il estadmissible ou non d’atteindre :

• limite élastique Re• limite de rupture Rr

RRRe

zone

élastique

zone plastique

On définit la limite admissible comme étant la résistance élastique ou de rupture corrigée d'un coefficient de sécurité k dont la valeur est fixée, soit par les normes en vigueur, soit par le concepteur lorsque les normes font défaut.

M.S. = =limite adm Remax k max

On choisit :

limite admissible =

Ce coefficient de sécurité k est destiné à prendre en compte un certain nombre d'incertitudes :

- sur les caractéristiques du matériau- sur la modélisation du problème - sur le chargement réel

Rek

Objectif de conception : MS >117

18

En quel point ?

Il faut déterminer les efforts intérieurs en chaque point de la structure pour calculer les contraintes en chaque point

Principe de la coupe :transformer les efforts intérieurs en efforts extérieurs

coup

e

19

• Schématiser le système

Établir le schéma de calcul

structure : poutre = ligne moyenne conditions aux limites (C.L.):

forces extérieures = connuesréactions aux appuis = inconnues

Objectif : connaitre le point critique

• Comprendre la réalité physique

Torseur d’efforts

Calculer les efforts intérieurs en chaque point

MM

20

2) C.L. : forces extérieures appliquées

ponctuelles ou réparties

forces connues

Comprendre la réalité physiqueSchématiser le système

1) structure

M

21

on idéalise les réactions aux appuis et encastrements : forces inconnues

3) C.L. : forces de contact

appui mobile

RY 1 inconnue

appui fixe

2 inconnuesRY

RX

encastrement 3 inconnuesRY

RXM

schémaréalité

22

réalité

forces extérieures = connuesligne moyenne

réactions aux appuis = inconnues

schéma de calcul

M

23

• Déterminer les efforts intérieurs

a) Poser le schéma de calcul

b) Calculer les réactions extérieures (issues des CL)

c) Étudier où sont les changements de structure ou de chargement?

d) Calculer les éléments de réduction pour chaque coupe

e) Tracer les diagrammes

f) Conclusion

OK

F = 0M = 0

Étude des discontinuités

Présentation des résultats

Principe de la coupe

24

- de structure : modification de la section de la poutre

- de chargement

a) b) c) Étude des discontinuités

Ex 2 :xF2

F1 F3

Détermine les portions de la structure d'étude sur lesquelles le comportement est constant ou linéaire

S1 S2 S1

Ex 1 :

(ex 1 : 3 ; ex 2 : 2) 25

- Si on retire une partie de la structure :

x

y

d) Principe de la coupe

coup

e

26

T

xM N

Mf

Mt

- Pour conserver l’équilibre de la structure initiale, on définit un torseur d’efforts qui remplace la partie manquante

N,T,Fz,Mt,Mfz,Mfy

Ce sont les éléments de réduction du torseur au point M. Ces forces et moments sont des forces extérieures à la «nouvelle» structure d’étude.

27

-calcul des éléments de réduction pour chaque portion

• On calcule les efforts extérieurs à chaque structure d’étude, N(x),T(x),Mf(x) et Mt(x), en chaque point M d’abscisse x à l’aide de la RFD:

F = 0 M = 0

• On vérifie les résultats à l’aide de la relation T(x) = - d ( Mf (x)) / dx

28

• On trace les graphes N, T, Mf et Mt en fonction de x, c’est-à-dire donnant les efforts intérieurs existant en chaque point de la poutre

e) Présentation des résultats

xN

xT

xMt xMf

x=0 : début de la poutre x=L : fin de la poutre

f) Conclusion 29

Exemple sur la première coupe•On coupe avant B

•On conservela partie gauche

• exemple

xF

2F/3 F/3

F

a 2a A CB

A CB

a) Schéma

b) Effortsextérieurs

c) Où faire les coupes ?

d) Calcul des éléments de réduction

30

calcul…

31

Intérêt de la détermination du torseur d’efforts

Chaque élément de réductionN(x),T(x), Mf(x), Mt(x) est liéà une sollicitation élémentaire. x

N effort normalT effort tangentielMt moment de torsionMf moment fléchissant

traction/compressioncisaillementtorsionflexion

M

T

NMf

Mt

32

Caractéristiques mécaniques élastiquesOrdres de grandeur

Re

MPa

90-150---

120-170--

100-23012-1760-80--

275-1100------

250-300-

430-490----

1000-1500-

Metals and alloys

33

Plastics

All plastics are viscoelastic and consequently the elasticity varies considerably with temperature and strain rate.The table below gives approximate values at 20°C for slow rates of strain.

Glasses

Re

MPa

20-30-

76-97-

62-8382-11755-65

21-3569-10450-7630-4034-5210-2055-80

Sollicitations simples

Traction et compression(tension and compression)

3

Traction & compression : définition

dans une section droite :

N 0 ( effort normal )

tous les autres élémentsde réduction sont nuls

sollicitation par un effort normalaux sections droites de la poutre

xN

4

Exemples

• Éprouvette de traction

• Effet poids propre d’un câblesuspendu

S0

L0

L

5

Traction & compression : contrainte N

F F

dFxF

ds N

dFxds

NF S

NN dFx dFxds

ds ds def :

Si N = constante, alors SNN

L

6

• traction

• compression

N>0F S donc N >0

N<0F Sdonc N <0

7

Traction & compression : loi expérimentale

Re

zone élastique

N

N

( = - // )

loi de Hooke:N = E N

E SL NΔL donc

Essai de traction (cf. TP)

SN

LL

8

Traction & compr. : dimensionnement

on doit s’assurerqu’en chaque point de la structure

l N l Re

si N est connu, on peut calculer Smin

si S est connu, on peut calculer Nmax

… comme N = N / S :

9

Traction & compression : validité des loisConditions d’application de la théorie :

équilibre du système

Les lois de comportement ne s’appliquent plus lorsqu’on est dans un état instable

phénomène de FLAMBAGE (chap4)

• la poutre est rectiligne de

grande longueur

• la charge de compression est importante et atteint

une valeur critique

Par ex : en compression lorsque

10

Traction & compression : problème type

Effet du poids propre1) schéma de calcul

2) calcul des réactions extérieures

3) étude des discontinuités

4) calcul des éléments deréduction

(vérification T, Mf)

5) tracé des diagrammes

6) conclusion

L

11

Données :

- Section du câble : S- Masse volumique - Résistance élastique Re

Hypothèses :

- câble suspendu- on ne néglige pas le poids propre du câble

L

12

calcul…

13

Traction & compression : synthèse

F F

contrainte constante sur S

Dimensionnement :Contrainte normaleA comparer à Re

Contrainte :

Élément de réduction associé : effort normal N

Schéma :

SNN

N

Cisaillement(shear)

15

Cisaillement : définition


T 0 (effort tranchant)


sollicitation par un effort tranchant dans le plan des sections droites de la poutre

xM

T

16

rivetage

Exemples

cisaillement pur

poinçonnage

17

En général, le cisaillement n'est pas pur.

traction cisaillement

dans section oblique

T 0 et Mf 0

flexion et cisaillement

18

Cisaillement : contrainte c

contrainte telle que T dsS

NB : c est une contrainte tangentielle

TS

Hypothèse : constante sur la section

valeur moyenne de la contrainte

Peut être très inférieure à la valeur maximaleLa répartition dépend de la forme de la section

19

En réalité, la répartition descontraintes sur une sectionest la suivante :

b(y) est la largeur de la section à la côte y

I est le moment quadratique de la section

T

I b yy ds

( )

def : facteur de forme en cisaillement

max = moy = T / S

y

b(y)

20

Quelques valeurs de pour des formes de sections simplestype de section

facteur de forme en cisaillement

section circulaire pleine

section circulaire creuse

section rectangle

section losange régulière

r R

hb

4 / 3

3 / 2

9 / 8

21

Cisaillement : loi expérimentale

= déformation due au cisaillement

lim

x

c cvx

dvdx0

c

x

22

Essai de cisaillement

Re’

zone élastique

zone plastique

(pente de la droite) Loi de Hooke

= G

Re' limite élastique en cisaillement = Re / 3

Ordres de grandeur : acier : G = 80770 MPa

alu : G = 25960 MPa

E 2 (1+ )G =

23

Cisaillement : dimensionnement


l l Re’

si T est connu, on peut calculer Smin

si S est connu, on peut calculer Tmax

3RR e'

e

24

Cisaillement : validité des lois

Conditions d’application de la théorie :


lois applicables tant qu’on restedans le domaine élastique

25

Cisaillement : Problème type

Poinçonnage

poinçon

supporttôle

F

de

problème : - la tôle doit céder au cisaillement- le poinçon doit résister à la compression

26

données : poinçon : résistance élastique choisie avec une forte

marge de sécurité : - acier doux : Rp = 60 MPa- acier trempé : Rp = 800 MPa

tôle : résistance à la rupture en cisaillement :acier doux : Rr' = 180 MPa

dimensionnement du dispositif :1) calcul du poinçon2) calcul de la tôle

27

calcul…

28

Cisaillement : synthèse

F

F

Facteur de forme en cisaillement :

Section circulaire : 4/3Section rectangulaire : 3/2

Dimensionnement :Contrainte tangentielleA comparer à Re’

Contrainte :

Élément de réduction associé : effort tranchant T

Schéma :

STλτC

c

Torsion(twisting)

31

Torsion : définition


Mt 0 (moment de torsion)


sollicitation dans le plan de la section tendance à faire tourner l'une par rapport à l'autre deux sections voisines.

xM Mt

32

Exemples

barre de torsionC

x

moteurengrenages compresseur

arbre de transmissionarbres en

torsion

ressorts

33

Hypothèse : section

circulaire

Torsion : contrainte t

x

M

M’

Mt distance à l’axe

de torsion

angle de torsionx distance

ΔxΔαρΔx

MM'γ t t =

dxdα

ΔxΔαlim θ

0Δx

déformation due à la torsion:

glissement relatif :

t = G t = G ! non constante sur la section

34

x

dS

Mt

tMt

On pose : J0 = dS moment quadratique polaire(par rapport au point central)

Mt = t dS

= G dS

= G dS

Mt = G J0

t = G

t

NB : t est une contrainte tangentielle

donc JMtρt =

0

35

Quelques valeurs de J pour des formes de sections simples

type de sectionJ0 moment quadratique polaire( moment quadratique /point )



section rectangle

b


r dSS

2

32

4D

32

44 dD

b h b h2 2

12

a 4

6non utilisable pour calculs de section sollicitées en torsionnon utilisable pour calculs de section sollicitées en torsion

D

D

h

b

a

d

36

Essai de torsionMt = k

(pente de la droite)Mt (N.m)

(°.m-1)

zone élastique

zone plastique

élastique petit : quelques degrés par mètre plastique très grand : 30 à 50 tr/m avant rupture

Torsion : loi expérimentale

Mte

Jkθρdonc t = 0

37

Torsion : dimensionnement


l t l Re’

contrainte tangentielle idem cisaillement

38

Torsion : validité des loisLes lois relatives à la torsion

sont considérées comme:

- exactes pour les sections circulaires (même creuses)

- acceptables si le centre de gravité de la section est confondu avec le centre de torsion

- fausses si le centre de gravité de la section n'est pas confondu avec le centre de torsion très complexe (calcul numérique)

39

Exemples de cas où les lois sont inapplicables :

profil en UG T

aubeG

T

40

Torsion : problèmes types

Arbre cylindrique en torsion

On considère une éprouvette cylindrique en cuivre de diamètre d = 25 mm et de longueur L = 1 m soumise à un essai de torsion.On donne pour le cuivre : E = 130 GPa ; = 0,34 ; Re = 150 MPa

a) Calculer l’angle de torsion sous un couple Mt = 210 N.m b) Calculer la contrainte maximale de torsion dans l’arbrec) Conclure

Mt x

41

Données :

- Matériau : E = 130 GPa ; = 0,34 ; Re = 150 MPa- Moment du couple M = 210 Nm

Hypothèses :

- arbre cylindrique- on néglige le poids propre de l’arbre

42

calcul…

43

Torsion : synthèse

C

Module de torsion J :Section circulaire pleine : Section circulaire creuse :

Dimensionnement :Contrainte tangentielleA comparer à Re’

Contrainte :

Élément de réduction associé : moment de torsion Mt

Schéma :

t = G

32

4D

32

44 dD

JMtρ

t

flexion plane(bending)

47

Flexion : définition


Mf 0 (moment de flexion)


Les efforts qui s'exercent sur une section droite ont tendance à faire tourner la section autour de l'axe z.

M

Mf xz

48

flexion pure

F F

A B C D

BC est en flexion pure

flexion plane simple Mf 0 ; T 0et N 0F

F’

F

flexion et torsionMf 0 ; T 0et Mt 0

En général, la flexion n’est pas pure !

49

Exemples d ’applications industrielles

50

Flexion : contrainte

f est unecontrainte normale

compression(N < 0 )

traction(N > 0 )

fibre neutre(N = 0 )

x

y

51

Hypothèses : ( BERNOUILLI 1705 )Pendant la déformation, les sections droites - restent planes- restent perpendiculaires aux fibres déformées

Iz moment quadratique( par rapport à l’axe de flexion Oz)P

z

zf y

IMf(P)σ

dSy IS

2 z def:

y

x

y

z

dS f

yPP

yP distance àl ’axe neutre

52

Quelques valeurs de z pour des formes de sections simples

type de sectionmoment quadratique/ axe z



section rectangle


S

dSyI 2

64Dπ 4

64

dDπ 44

12h b 3

12a4

sectionen I 2

Sh2

D

d

h

b

a

h

D

53

Flexion : loi expérimentale

On applique la force sur la pige centrale On peut donc calculer f

Les jauges mesurent // et

jauges de déformation

f

n

Re

Essai de flexion 3 points

h

b

54

déformée contraintes normales(traction/compression)

flècheRef : http://www.si.ens-cachan.fr

v

55

Relation contrainte - déformation

loi de Hooke = E loi de Poisson = -

yI

Mf(P)σ Pz

zf

yI E

Mfε(P) Pz

zdonc

x

y

z yPP

P(xP,yP)

ligne neutre

56

Flexion : dimensionnement

en flexionon doit s’assurer

qu’en chaque point de la structure

l N l Re

contrainte normale idem traction/compression

57

def. déplacement normal à la ligne neutre

Calcul de la flèche v(x)

v(x)?

flèche au point central

v

58

on admet :

dxdv(x)θ(x) (1)

y

x

(x)(x+dx)

xx+dx

v(x+dx)v(x)

2

2

P// dxvdy(P)ε (2)

59

Pour avoir la flèche v(x),il faut donc intégrer deux fois

deux constantes définiespar les conditions aux limites

P

//

P

//2

2

yEσ

yε

dxvd

= E

2

2

P// dxvdy(P)ε

RAPPEL :

un appui en x0 v(x0)= 0

un encastrement v(x0) = 0 en x0 dv(x0)/dx = 0

z

z2

2

IEMf

dxvdP

zzf yI

Mf(P)σ or donc

équation de la déformée

60

La hauteur d’une poutre a beaucoup plus d’importance que sa largeur d’un point de

vue des flexions simples

Pz

zf y

IMf(P)σ

z

z2

2

IEMf

dxvd

contrainte

flèche

La contrainte et la flèche dans une section de poutre sont

inversement proportionnelles au moment quadratique IZ

Considérations pratiques de dimensionnement en flexion

64DπI

4

12h bI

3

2ShI

2

D

h

h

61

Flexion : validité des lois

Conditions d’application de la théorie :


lois applicables tant qu’on restedans le domaine élastique

62

Flexion : problème typeexemple : calcul de la flèche

BC en flexion pure

Calcul de la contrainte de flexion maximaleet de la flèche

en tout point de la poutre AD

F F

A B C D

a b a

63

Données

Dimensions : réglet de 50 cm

a= 10 cmb= 30 cmsection: largeur 1cm, épaisseur 2 mm

Forces appliquées : F= 10 N

Caractéristiques matériauacier : E = 200 GPa

Re= 240 MPa

64

Démarche :

on utilise la relation de la déformée :

donc :pour calculer la flèche v(x) en tout point d ’abscisse x, il faut connaître le moment fléchissant en tout point Mf(x)

c’est-à-dire déterminer l’élément de réduction Mf

z

z2

2

IEMf

dxvd

65

Calcul des réactions et des éléments de réduction :

Réactions : RB = RC = F

Eléments de réduction T et Mfdiscontinuité d’efforts en B, C et D3 coupes et 3 torseurs d’efforts : sur [AB], [BC], [CD]

F F

A B C D

Sur [AB], càd pour 0<x<a , T(x)= F et Mf(x)= - FxSur [BC], càd pour a<x<a+b , T(x)=0 et Mf(x)= - Fa

Sur [CD] càd pour a+b<x<2a+b , T(x)= - F et Mf(x)= F[ x-(2a+b)]

66

Diagrammes des éléments de réduction :

F F

A B C D

T

x

Mf

x-Fa

- Fa

67

Calcul de la contrainte de flexion maximale :

Calcul de la flèche en tout point :

68

x v(x)a 1,00E-01 0 8,75E-03b 3,00E-01 0,025 6,86E-03F 1,00E+01 0,05 4,84E-03E 2,00E+11 0,075 2,60E-03largeur 1,00E-02 0,1 0,00E+00épaisseur 2,00E-03 0,1 0,00E+00I 6,67E-12 0,175 -6,33E-03

0,25 -8,44E-030,325 -6,33E-03

0,4 0,00E+000,4 0,00E+00

0,425 2,60E-030,45 4,84E-03

0,475 6,86E-030,5 8,75E-03

V1(x)

V2(x)

V3(x)

flèche sur AD

-1,E-02-8,E-03-6,E-03-4,E-03-2,E-030,E+002,E-034,E-036,E-038,E-031,E-02

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

x (m)

v(x)

(m)

v(x)

Calcul sous Excel

contrainte max 3,00E+08

69

Flexion : synthèse

Moment quadratique IZ :Section rectangulaire :Section circulaire creuse :

Dimensionnement :Contrainte normaleA comparer à Re

Contrainte :

Élément de réduction associé : moment fléchissant Mf

Schéma :F

Pz

zf y

IMf(P)σ

64

dDπ 44 12h b 3

Mf

f < 0

f > 0f = 0

2

Sollicitations composées : définition

Cas le plus général :tous les effets existent simultanément.

Les éléments de réduction N, Mf, T, Mt 0

Toutes les contraintes définies dans les chapitres précédents existent :

- traction / compression - cisaillement- torsion - flexion

3

Soll. composées : tenseur contrainte

les contraintes de traction ou de flexion sont normales à la

section

• Contraintes normales ou tangentielle

F S

normale

S

F

tangentielle

les contraintes de cisaillement ou de torsion

sont tangentielles par rapport à la section

letangentielcontraintenormalecontraintecontrainte n

n

4

defij = contraintesur la face de normale i,dans la direction jx

z

y

• Tenseur contrainte

def : tenseur des contraintesen un point quelconque

T

Sxx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

x

xy y

xz yz z

x xy

xy y

.......

cas plan

rq : les contraintes normales sont les termes de la diagonale 5

traction compression pure

T

0 00 0 00 0 0

• Identification des termes ijpar rapport aux cas connus

F x

section de normale xcontrainte dans la direction x

t = xx = x

6

section de normale xcontrainte dans la direction xf = xx = x

T

0 00 0 00 0 0

F

x

flexion pure

7

cisaillement pur

T

0 00 0

0 0 0

F

x

section de normale xcontrainte dans la direction y

cy = xy = xy

8

torsion pure

T

0 00 0

0 0 0

x

Mt

P

Q

PQ

y

par exemple !

section de normale xcontrainte dans la direction

tangentielle au point étudié

t = xy = xyOU t = xz = xz

9

Une sollicitation même simple engendre des déformations dans toutes les directions.

Sollicitations composées :comportement mécanique

loi de comportement linéaire

domaine élastique du matériau

LIMITES

phénomènes physiques simples

10

Hyp : on reste en domaine élastique

Cas des sollicitations élémentaires

contraintes limitées par la limite admissibleRe / k ou Re’ / k

Cas des sollicitations composées :

critères de résistance

contraintes normales

contraintes tangentielles

11

• Critères de limite élastique

La limite élastique est atteinte pour des raisons de micro-physique à l'échelle cristallographique alors qu'on souhaite disposer d'un critère macroscopique.

Idées de critères basés sur :

•les valeurs des déformations

• les valeurs des contraintes

• les valeurs de l'énergiede déformation

• les expériences

Ce sont les premiers apparus.Ils sont abandonnés aujourd'hui.

Ils sont très utilisés, mais théorie complexe.

Leur traitement mathématique est assez commode

Sans doute les plus fiables, dans la mesure où on ne les extrapole pas. Dénués de tout fondement

12

Parmi tous ces critères, divers choix sont possibles :

• Convention :

• Usage :

• Simplicité :

S'il n'y a pas de critère réglementaire, on fait le choix d'un (ou plusieurs) critère(s) en fonction des habitudes locales, ou on prend un critère déjà utilisé dans un calcul similaire et qui a déjàfait ses preuves.

Pour les calculs de prédétermination ou d'avant-projet.

Choix d’un critère basé sur l’énergie

Application des règlements lorsqu'ils existent et qu'ils sont applicables au cas traité : comme ils sont en général de rédaction assez complexe, on les utilise pour les calculs de vérification d'un projet définitif.

13

• contrainte équivalente de Von Misès VM :

VM x

+ Y + z

- x Y - x z - Y Z

+ 3 (XY + YZ

+ XZ

• un matériau va se déformer plastiquement si :

VM > Re

• basé sur des considérations énergétiques

• Critère de Von Misès

14

traction compression pure

VM x VM x

• application à quelques cas connus

F x

critère de limite élastique : VM Rex Re

15

cisaillement pur F

x

critère de limite élastique : VM ReXY Re / 3

VM 3 XY VM 3 XY

16

Soll. composées : problèmes types

1) analyse des contraintes élémentaires dans la vis2) calcul des contraintes élémentaires (valeur et direction)3) calcul de la contrainte équivalente

On utilise une visseuse qui applique un couple de 2 Nm pour visser une vis de 4 mm de diamètre.Le matériau de la vis a une limite élastique Re= 300 MPa.

Lors du vissage, on applique en plus un effort axial de 400 N sur la vis.

Calculer la contrainte de Von Misès dans la vis et conclure quant à sa résistance mécanique.

visseuse

17

F

a 2a A CB

• On veut choisir le matériau pour construire une étagère appuyée à ses deux extrémités. A un tiers de la longueur, on prévoit de poser un objet dont la masse crée une force ponctuelle F égale à 150 N.

• On donne L = 120 cm, e = 8 mm, b = 10 cm.• Calculer la contrainte maximale de Von Misès dans l’étagère et

conclure quant au matériau à choisir.

(cf. chapitre 1 poutre sur deux appuis)

1) analyse des contraintes élémentaires dans la vis2) calcul des contraintes élémentaires (valeur et direction)3) calcul de la contrainte équivalente4) Choix du matériau

étagère

Autres modes de sollicitations

2

Flambage(buckling)

3

Flambage : définition

Il y a flambagequand

sous l’action d’un effort axialde compression important

une poutre rectilignede grande longueur fléchit.

compression axialeimportante

Poutre rectilignede grande longueur

(une dimension 10x plus grande que les 2 autres)

4

• état instable

• se produit lorsque la charge atteint une valeur critique

F Fc

5

Flambage : théorie d’Euler

• poutre rectiligne

•chargements alignés sur la ligne moyenne

•comportement élastique

•articulations parfaites

hypothèses

traction-compression et flexion non indépendantes

On écrit l’équilibre du systèmesur le système déformé

6

Flambage : comportement mécaniquecas appuyé-appuyé

F

Poutre en appui simple à une extrémitéEffort de compression sur l’autre extrémité

7

• Calcul des éléments de réduction

• Schéma de calcul

xFA B

y

xA

yR F

… sur la poutre déformée !

• Calcul des réactions R = F

8

xA

y H

TN

MfF

v(x) flèche

Hypothèses : v(x) << L ; dv/dx << 1

• Calcul des éléments de réduction

Fx = 0 Fy = 0

MH = 0

N + F cos =0T - F sin =0

Mf(x) + F v(x) =0

N= -FT = F

Mf(x)= -F v(x)9

équation différentielle du 2ème

ordre à coefficients constants

• Calcul de la flèche de flambage

0vIEFv"soit I E

vFIE

Mfdx

vd2

2

Solution de la forme : v(x) = K erx

r2 + 2 = 0r = ± j

0 v ωv" alors IEF ω pose on 22

x)EIFcos( Bx)

EIFsin(A v(x)

ZZ

10

Il y a donc différents modes de déplacement de la poutre, modes qui sont actifs pour k = 1, 2,...

c’est-à-dire pour , pour

On cherche A et B à partir des conditions aux limites en x=0 v(0) = 0 B=0en x=L v(L)= 0

Cela correspond à différentes valeurs de F appelées charges limites de flambage Fk (pour k entier) :

Alors, v(x) = A sin (k x/L)

222z

k πkLIEF

A 0 donc (k entier)

0 L)EIFsin(A

k L EIF

Z

L EIF

L EIF

11

• Si F < F1 alors A = 0

la poutre est en compression pas de flambage

• Lorsque F = F1 1er mode de flambage

v = A sin (x / L ) xy

v(x)

• Lorsque F = F2 2ème mode de flambage

v = A sin (2x / L ) xy

v(x)

12

Flambage : dimensionnement

2

2

1 L πEIF

2z2

k

222z

k

LI E πkF

πkLIEF

Considérations pratiques de dimensionnement

inversement proportionnelle au moment quadratique IZ

Charge critique :

• section rectangulaire : Fk proportionnelle à h3

• section circulaire : Fk proportionnelle à D4

13

Flambage : loi expérimentale

Selon les conditions aux limites : libre, appuyéou encastré

14

Réglet L = 50 cmb = 15 mme = 0,7 mm

acier E = 200 GPa, Rp= 120 MPaappuyé-appuyé

• Charge limite de flambage :

= 3,39 N

• Contrainte de compression : = N / S = 3,39 /(15x0,7) = 0,32 MPa

<< Rp

2

2

1 L πEIF

Flambage : problème type

15

Flambage : conclusion

poutre longue en compression

vérifier la résistance en compression&

contrôler la charge limite de flambage

Matage(bearing)

Chapitre 7 - 17

Matage : définition

• Écrasement localisé de la matière dû à un champ de pression trop élevé dans une zone de contact entre deux pièces.

• Le matage correspond en général à une déformation plastique.

Chapitre 7 - 18Matage d’un rail

Matage d’un anneau

Matage d’un rivet à mater

Chapitre 7 - 19

•Pression de matage :

•Dimensionnement au matageon doit s’assurer que dans la zone de contact

Pmatage < Padmissible matage

Matage : comportement

Pmatage = F / S

avec S surface matée

Pressions admissibles de matage :dépend des conditions de fonctionnement et des matériaux en présence

Ex acier inox E355 : Assemblage fixe : 30 à 200 MPaDéplacement sans charge: 10 à 40 MPaDéplacement sous charge : 3 à 15 MPa

Chapitre 7 - 20

Exemple : rivetage de deux tôles

surface de contact rivet / tôle

Vérifier la résistance au matage :

P < Padmissible matage

Pmatage = F / S

avec S = D e / 2S

FF

Chapitre 7 - 21

Application numérique : (cf. ex5 TD3 cisaillement)

F = 2,5 kND = 10 mme = 2 mm

S = D e / 2 = 31,4 mm²

Pmatage = F / S = 79 MPa

A comparer à la pression admissible

Chapitre 7 - 22

Exemple : clavetage

Il existe du matage au niveau de la surface en contact entre clavette et rainure de clavetage de l’arbre

Pression de matage :

DLb4C

SFp

m

A comparer avec la pression admissible au matage

Chapitre 7 - 23

Application numérique :

C= 110 N.mD = 50 mmb = 12 mmL = 75 mm

Sm = L b /2 = 450 mm²

Pmatage = 4C / DLb = 10 MPa

A comparer à la pression admissible

Fluage(creep)

Chapitre 7 - 25

Fluage : définition

• Le fluage est le phénomène physique qui provoque la déformation irréversible d'un matériau soumis à une contrainte constante pendant une durée suffisante et à une température supérieure à la température ambiante.

• Cette déformation est de nature viscoplastique et dépendante du temps de maintien.

Chapitre 7 - 26

Un essai de fluage consiste à solliciter une pièce sous charge constante (inférieure à la charge de limite élastique) à une température supérieure à la température ambiante.

Fluage : comportement

Fatigue(fatigue)

Chapitre 7 - 28

Processus qui sous l'action de contraintes ou déformations cycliques, répétées ou alternées modifie les propriétés locales d’un matériau.

Cette évolution locale et progressive mais irréversible des caractéristiques mécaniques d'une structure peut entraîner la formation de fissures et éventuellement la rupture de la pièce sollicitée en fatigue.

Remarque : les matériaux métalliques sont particulièrement sensibles à la fatigue.

Fatigue : définition

Chapitre 7 - 29http://mms2.ensmp.fr/mat_paris/duree/transparents/Amphi_Fatigue_2008.pdf

Chapitre 7 - 30

Essai de fatigue :

En règle générale, les sollicitations appliquées résultent de la superposition d'une contrainte constante et d'une contrainte variable (sinusoïdale, carré, aléatoire,...).Selon les proportions respectives de ces deux contraintes, les effets de la fatigue varient.

Fatigue : comportement

Chapitre 7 - 31

• Phase I : amorçage de la fissure

– Formation d'une micro-fissure (80 à 90 % de la durée de vie de la pièce)

– Germination favorisée par toute discontinuité de surface (exemple: piqûres de corrosion, entailles, congés de raccordement à angle droit, usinages, inclusions de surface).

– Phase réversible : la pièce peut être réparée par un traitement thermique ou mécanique

• Phase II : phase de propagation de la fissure

• Phase III : phase de rupture finale de la pièce

Chapitre 7 - 32

Exemple de cycle de fatigue :

La pièce considérée est soumise à des cycles de contraintes d'amplitude et de fréquence constantes. Des essais systématiques permettent d'estimer le nombre N de cycles qu'elle peut supporter avant rupture.

La courbe obtenue est appelée courbe de Wöhlerou courbe S-N (Stress-Number of cycles).

© OTUA - Office Technique pour l'Utilisation de l'Acier -

Chapitre 7 - 33

Fatigue : notion de fiabilité

Définition : aptitude d'un système à fonctionnersans incident pendant un temps donné

= probabilité qu'a un produit d'accomplir de manière

satisfaisante une fonction requise, sous des conditions données et pendant une période de temps donnée.

La courbe de Wöhler fournit la probabilité de rupture par fatigue c’est-à-dire la probabilité associée à la fonction de répartition F(t) de l’évènement « défaillance ».Alors R(t) = 1- F(t) est la probabilité que le produit soit en bon fonctionnement au temps t, c’est à dire la fiabilité au temps t.

qualité

Conception industrielle

2

Démarche de conception

1) Cahier des charges

2) Pré-dimensionnement

3) Choix des matériaux

4) Dimensionnement final (étude des discontinuités de géométrie ou d’efforts dans la structure)

5) Validation

1) Analyse et schéma fonctionnels

2) Pré-calcul RDM

3) Analyse des résultats et dimensionnement

4) Calcul des concentrations de contraintes

5) Essai sur prototype

3

Conception : cahier des charges

• Facteur de sécurité• Contrainte d’encombrement• Contrainte de matériaux• Efforts appliqués (type et modes de sollicitation)

• Effets éventuels des grandeurs d’influence (température, humidité, pression,…)

• …..

Analyse et schéma fonctionnels

4

Conception : pré-dimensionnement

• Concevoir la structure à partir de l’analyse et du schéma fonctionnels

• Simplifier en une structure équivalente• Poser le schéma de la structure

Pré-calcul RDM

5

Conception : choix des matériaux

• En fonction du pré-dimensionnement• Facteur de sécurité• Marge de sécurité souhaitée• Type de matériau souhaité

Analyse des résultatset dimensionnement

6

Conception : dimensionnement final

• A partir des résultats précédents: analyse détaillée

• Points particuliers dans la structure ?• Où sont appliqués les efforts ?

Étude des concentrations de contraintes

7

Hypothèse : contrainte continue dans une section

En réalité, vrai seulement :- loin des discontinuités de géométrie- loin des conditions aux limites- loin des points d’application des forces

A la discontinuité, il y a des concentrations de contraintes.

À prendre en compte !

8

• Abaques• Logiciels libres • Calcul de résistance des matériaux

plus précis : méthodes numériques(cf. chapitre 6)

facteur de concentration de contrainte Kt

max = kt N

Définition :

14

Exemple : congé de raccordement

r =1,5

D=40 d=25

A

D= 40 mm ; d = 25 mm ; r = 1,5 mm ; t=(D-d)/2 = 7,5 mm On utilise l’abaque ou le logiciel de calcul d/D = 0,625 ; r/t = 0,2 donc Kt = 2,3

Calcul du facteur de concentration de contrainte en A

Amélioration : on augmente le rayon de raccordement r

r (mm) r / t Kt1,5 0,2 2,33 0,4 1,95 0,67 1,6

On améliore la résistance de 50%

15

à retenir…

• Un trou perturbe le comportement de la pièce, aussi petit soit-il… on peut optimiser mais en modifiant la géométrie

• Pas d’angle vif : l’outil a lui-même un rayon ; l’agrandir dès que possible… on peut optimiser sans modifier l’encombrement

16

Conception : validation

Réaliser le dimensionnement « définitif »– Structure choisie– Matériau choisi– Dimensions choisies et analysées

Essai sur prototype

17

• Réaliser les essais sur le prototype– Savoir appliquer les efforts : actionneur ou

machine de traction– Savoir mesurer les efforts : capteur et chaîne de

mesure

• Améliorations ??

• Calcul plus précis : méthodes numériques> calcul par éléments finis

10

Abaques

CMAO, Machines et Mécanismes,

Laboratoire CASM

Kt

Chapitre 5 - 11

Guide du dessinateur, les

concentrations de contraintes,

CETIM

d/b

d/D

Chapitre 5 - 12

www.fatiguecalculator.com stress concentration finder

Logiciels libres

(a)

13

Exemples de discontinuitéde géométrie

a) arbre épaulé

b) arbre avec gorges

c) arbre avec clavetage

d) plaque épaulé

e) plaque avec gorges

f) plaque trouée

…(b)

(f)(e)(d)

(c)

Introduction à la méthode

des éléments finis(MEF – FEM)

2

Mise au point dans les années 1975.

Initialement, utilisée pour :

• dimensionnement de structures compliquées• dans le cas où on ne peut pas faire d’essai• pour réduire le nombre d’essais• pour optimiser les dimensions, les masses,

les matériaux à utiliser,…

MEF : historique et intérêt

3

Méthode adaptée à la modélisation de tout phénomène physique

Permet de :– mettre en situation un objet

quelconque dans un environnement choisi.

– renseigner sur le phénomène physique mis en œuvre.

Principaux codes industriels :

ANSYS, NASTRAN, SAMCEF, ABAQUS, IDEAS, MECHANICA, FLUX2D, FLUX3D, FLUENT

4

Discrétiser la structure :définir de très petits éléments sur lesquels on peut considérer que les phénomènes physiques sont globalement linéaires

Simuler les conditions aux limites en étudiant de proche en proche le comportement de ces petits éléments, la méthode permet de calculer le comportement global de la structure

MEF : principe

5

MEF : mise en œuvre sur cas simples

Poutre en traction

(effort concentré)

F

Calcul RDM

U= F x / (SE)

Calcul par EF

• Discrétisation

• CL: U(0)=0, force F

• Analyse : On travaille sur les nœuds

• Calcul : On assemble sur les éléments

• Résultat : le code calcule :

U(N2)= 2F a / (SE) et U(N3) = 4F a / (SE)

N1 N2 N3

x

U

6

Poutre en traction

(effort concentré + réparti)F

Calcul RDM

U= (fl + F)x – fx²/2 / (SE)

Calcul par EF

• Discrétisation 1

• CL: U(0)=0, force F et répartition f

• Résultat : le code calcule :

U(N2)= L(3 f L / 4 + F ) / (2SE)

U(N3) = L( f L + 2F ) / (2SE)

•Discrétisation 2

N1 N2 N3

x

U

f

N1 N2 N3 N4 N5 N6

7

MEF : démarche

réaliser un calcul simplifié RDM pour obtenir un ordre de grandeur des résultats

étude par éléments finis

vérifier la cohérence des résultats entre calcul simplifié RDM et simulation EF

réaliser un essai pour valider les simulations

optimiser le système

8

AVANT : travail d’analyse choisir le type de modélisation choisir les éléments poser les hypothèses choisir les conditions aux limites

APRES : travail d’analyse critique• exploitation des résultats• vérification des ordres de

grandeurs• vérification des hypothèses

La modélisation d’un système est toujours simplifiéepar rapport à la réalité :

il faut donc toujours vérifier la cohérence des résultats.

MEF : mise en œuvre

9

MEF : exemples

• Étude de concentration de contraintes :plaque trouée en traction

On cherche la valeur de la contrainte maximaleModélisation du problème sous ANSYS®

- dimensions : longueur = 100 mm ; largeur = 50 mm épaisseur = 1 mm ; diamètre trou = 10 mm

- matériau : acier : Re= 180 MPa ; E= 210 GPa : = 0,28

force appliquée en traction longitudinale : 10 kN

10

A) Calcul analytique (ref. abaques et logiciel)

- Calcul de la contrainte moyenne (ou nominale) dans la section du trou : N = 10000 NS= (w-d)e = 40 mm²

N = N / S = 250 MPa

- Calcul de Kt d’après les abaques :

d/w =10/50=0,2

donc Kt = 2,52

et Nmax = 630 MPa 0,2

11

1) Définir la géométrie

B) Méthode numérique

12

2) Définir les matériaux

13

3) Réaliser le maillage = discrétiser

14

4) Définir les conditions aux limites : forces et déplacements imposés

15

5) Lancer le calcul

16

6) Exploiter les résultats

17

(MPa)

Contrainte non moyennée

18

(MPa)

Contrainte moyennée

19

C) Analyse des résultats

Étudier l’ordre de grandeur des résultats

Comparer les résultats obtenus avec le résultat du calcul analytique simplifié

Calcul analytique : Nmax = 630 MPa

Calcul éléments finis : Nmax = 600 à 620 MPa

Ordre de grandeur correct !

Le calcul analytique est donc fiable :ne pas hésiter à le faire !

20

• Étude de concentration de contraintes :réduction de section

On cherche la valeur de la contrainte maximaleModélisation du problème sous ANSYS®

- dimensions : longueur = 120 mm ; largeur = 50 mm épaisseur = 1 mm ; rayon du congé de raccordement = 10 mm

- matériau : acier : Re= 180 MPa ; E= 210 GPa : = 0,28

force appliquée en traction longitudinale : 5000 N

r ?

F

A) Calcul analytique (ref. abaques et logiciel)

- Calcul de la contrainte nominale dans la section du congé :

N = 5000 NS= ed = 35 mm²

N = N / S = 143 MPa

- Calcul de Kt d’après les abaques :

d/D = 35/50 = 0,7r/(D-d) = 10/(50-35) = 0,67

donc Kt = 2,1

et Nmax = 300 MPa

0,7

22

R = 10 mm 300 MPa

0 50 100 200 220 240 26 0 280 300 ( MPa )

F=5000 N

Maillage et conditions aux limites

Résultats : contraintes

Kt = 300/143Kt = 2,1

23

250 MPa

0 50 100 200 220 240 260 270 280 300 ( MPa )

Amélioration : augmentation du rayon du congé de raccordement

R = 20 mm

Diminution de la contrainte

Meilleure tenue mécanique de la pièce

Kt = 250/143Kt = 1,7

24

C) Analyse des résultats

Comparaison calcul EF / calcul analytique :

Ordre de grandeur correct !

analytiquerayon du congé r 10 20

largeur max D 50 50largeur min d 35 35

d/D 0,7 0,7D-d 15 15

r/(D-d) 0,67 1,33Kt 2,1 1,6

logiciel Kt 2,1 1,7

éléments finis Kt 2,1 1,72,0 1,0

25

MEF : conclusion

La méthode des éléments finis est précise et permet d’optimiser les structures. Elle permet d’étudier le comportement d’une structure sous diverses sollicitations.

Mais la mise en œuvre est délicate et demande du savoir-faire notamment pour le maillage et l’application des conditions aux limites.

Il est donc toujours nécessaire de réaliser un calcul initial simplifié.

Résistance des Matériaux

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