Post on 28-Mar-2023
| Table des matières |
Dédicaces i
Remerciements ii
Résumé iii
Abstract iv
1 Tranformée de Fourier 2
1.1 Espaces fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Transformée de Fourier d�une translation . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.6 Transformée de Fourier d�une homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.7 Dérivée de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.8 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Quelques exemples de calcul de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Exemple 1 : fonction "fenêtre" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Exemple 2 : fonction "exponentielle décroissante " . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Exemple 3 : fonction "cloche" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4 Exemple 3 la mesure de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2
TABLE DES MATIÈRES
1.3.5 Remarques générales sur le calcul des transformées de Fourier . . . . 13
2 Transformée de Fourier d�une équation di¤érentielle ordinaire du second
degré 14
2.1 Rappel sur la résolution d�une équation di¤érentielle ordinaire du second degré. 14
2.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Utilisation de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Transformée de Fourier d�une équation aux dérivées partielles 23
3.1 Rappels sur la transformée de Fourier d�une fonction à plusieurs variables . . 23
3.1.1 Transformée de Fourier d�une fonction à deux variables . . . . . . . . 23
3.1.2 Produit de convolution de deux fonctions à deux variables . . . . . . 25
3.1.3 Théorème d�échange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Application à l�équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Application à l�équation de la corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Conclusion et perspective 36
Bibliographie 37
UNIVERSITÉ DE YAOUNDÉ I - ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE
TRANSFORMÉE DE FOURIER D�UNE EQUATIONDIFFERNTIELLE ORDINAIRE DU SECOND ORDRE
Mémoire présenté et soutenu en vue de l�obtention du Diplome de Professeur de
DIPES II 2012 3
TABLE DES MATIÈRES
l�Enseignement Secondaire Deuxième Grade (DI.P.E.S. II)
par :
MBOUNA DIEUDONNE
Maître ès sciences
Option : Analyse et Géométrie
Matricule : CM04� 06SCI0444
Sous la direction de
Dr. TEGANKONG DAVID
Chargé de Cours, École Normale Supérieure, Université Yaoundé I
Année Académique : 2011-2012
DIPES II 2012 4
| Dédicaces |
Je dédie ce mémoire à :
F Mon papa Mr FODO Paul Bazzar.
Qu�il trouve en ce mémoire le fruit de ses nombreux sacri�ces.
i
| Remerciements |
J�exprime ma profonde gratitude à tous ceux qui de près ou de loin ont contribué à la
réalisation de ce travail.
Je ne saurais commencer sans l�éternel tout puissant qui nous donne le sou e de vie et
nous remplit jour après jour de bénédictions.
J�exprime ma reconnaissance au Docteur TEGANKONG DAVID, chargé de cours au dé-
partement de Mathématiques de L�École Normale Supérieure de Yaoundé pour avoir accepté
de diriger ce travail malgré ses multiples occupations.
Je pense à ma mère madame DOUANLA Genevieve et à madame TIFFE Frestine pour
leurs nombreux sacri�ces.
Je pense à toute ma famille pour ce qu�elle a pu consentir comme sacri�ce pour faire de
moi ce qu�elle peut apprécier aujourd�hui.
Je pense aussi à monsieur KENGNE Emmanuel pour son soutien moral.
Je demande à tous les enseignants du département de mathématiques de L�École Normale
Supérieure de Yaoundé I, de recevoir mes vifs remerciements.
Je remercie également tous mes camarades de l�Université de Yaoundé I, plus particuliè-
rement ceux de L�Ecole Normale Supérieure de Yaoundé, je pense ici aux étudiants Douanla
Frédéric, SONMI Nana carlos et TSAFACK Ngouné sagesse dont l�aide a été très importante
dans la réalisation de ce travail.
Que tous ceux que j�ai oubliés et qui se reconnaissent, trouvent ici mes remerciements les
plus profonds.
ii
| Résumé |
Dans ce travail, il est question pour nous de dé�nir la transformée de Fourier,del�utiliser
pour résoudre les équations di¤érentielles ordinaires du second degré et d�élargir cette me-
thode à des équations aux dérivées partielles.
iii
| Abstract |
In this work, we de�ne the Fourier�s transforms,to use it in solving ordinary second-order
di¤erential equations and extend this method to partial di¤erential equations.
iv
| Introduction |
La résolution de certaines équations de la physique mathématique requiert le plus sou-
vent l�utilisation des séries de Fourier, de la transformée de Fourier et quelque fois de la
transformée de Hankel.
Joseph Fourier mathématicien français a¢ rma dans un mémoire daté de 1807 ; qu�il etait
possible ; dans certaines conditions, de décomposer une fonction périodique sous la forme
d�une somme in�nie de signaux sinusoidaux appelés : séries de Fourier. Ensuite, il essaya
d�étendre cette décomposition aux fonctions non périodiques : transformée de Fourier.
La richessesse qu�apporte la théorie des distributions sur celle des fonctions ou des me-
sures provient fondamentalement du fait que les distributions sont destinées à être dérivée.
La di¢ culté initiale (une fonction, même continue, n�est pas toujours dérivable) est com-
plètement éliminée : considérée comme distribution, toute fonction continue est dérivable ;
la dérivabilité s�étend même à des fonctions discontinues qui sont dérivables autant de fois
qu�on le veut.
L�objectif de ce travail est de résoudre une équation di¤érentielle linéaire du second degré
à coe¢ cients constants par la transformée de Fourier. Pour ce faire, nous avons réparti notre
travail en trois chapitres.
Le premier porte sur la transformée de Fourier et ses propriétés. Dans le second chapitre,
nous utilisons la transformée de Fourier pour résoudre quelques équations di¤érentielles
ordinaires du second degré. Nous terminerons au chapitre trois par la transformée de Fourier
des équations aux dérivées partielles.
1
? ? Chapitre Un ? ?
Tranformée de Fourier
La théorie des distributions a apporté les outils mathématiques dont les ingénieurs avaient
besoin. Elle s�est révélée en particulier être un moyen exceptionnel pour comprendre le pro-
duit de convolution et la transformée de Fourier, instruments puissants de calcul en trai-
tement de signal. Il est d�ailleurs symptomatique qu�un des premiers articles de Laurent
Schwartz sur les distributions ait été publié dans les annales de télécommunications. Dans ce
chapitre nous allons dé�nir la transformée de Fourier, le produit de convolution, les propriétés
qui s�y attachent et quelques exemples.
1.1 Espaces fondamentaux
1.1.1 Dé�nitions
Dé�nition 1.1. On appelle support d�une fonction f , l�adhérance de l�ensemble
fx 2 R , f(x) 6= 0g: On le note suppf .
Dé�nition 1.2. Soit un ouvert de Rn. On désigne par D() l�espace vectoriel des fonctions
de classe C1 à support compact dans .
Dé�nition 1.3. Soit un ouvert de Rn. On désigne par S() l�espace vectoriel des fonctions
de classe C1 telle que pour tout (m; k) 2 N2; � = (�1; �2; :::; �n) 2 Nn; j�j = �1+�2+:::+�n;
Pm;k(f) = supx2Rnj�j�k
((1 + jxj2)mD�f(x)) soit �ni. Il est encore appelé espace de Schwartz.
Dé�nition 1.4. Soit un ouvert de Rn: On appelle distribution sur ; toute forme linéaire
continue sur D().
C�est-à-dire T : D()! C est une distribution si :
� T est linéaire : T (�f + �g) = �T (f) + �T (g) pour tout �; � 2 C et f; g 2 D()
2
1.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER
� T est continue : pour tout compact K de ,il existe mK 2 N; cK > 0 tels que
jT (f)j = j hT; fi j � cK supx2K jD�f(x)j avec j�j � mK :
Remarque: 1.1.1. (PK;m)m est une famille de semi-normes sur l�espace des fonctions com-
plexes de classe Ck dé�nies sur :
PK;m(f) = supfjD�f(x)j; x 2 K; j�j � mg: K compact de (ouvert de Rn):
Dé�nition 1.5. On appelle distribution tempérée sur ; toute forme linéaire cotinue sur
S(): C�est-à-dire une distribution T : S() ! C linéaire tel qu�il existe(m; k) 2 N2 et
A � 0 véri�ant j hT; fi j � APK;m(f): On note S 0() l�espace des distributions tempérées sur
:
Remarque: 1.1.2. On a les inclusions continues suivantes : D() � L1() � S(); et en
passant au dual on obtient : S 0() � L1() � D0():
1.
Dé�nition 1.6. On appelle ordre d�une distribution T 2 D0(); le plus petit entier
naturel mK telque la continuité de T soit satisfaite.
S�il n�existe pas un tel entier, on dit que T est d�ordre in�ni.
1.1.2 Exemples
Soit un ouvert de Rn:
1. Soit x0 2 ; f une fonction localement intégrable sur;T : D() �! C
f 7�! f(x0)est
une distribution sur notée �x0 et qu�on appelle distribution (d�ordre 0) de Dirac au
point x0:
2. Soit f 2 L1(Rn);Tf : D() �! C
g 7�!Z
f(x)g(x)dx = hTf ; giest une distribution sur
; appelé distribution (d�ordre 0) associé à f .
1.2 Transformée de Fourier
Le son est de nature ondulatoire. Il correspond à une vibration qui se propage dans le
temps. Pourtant, lorqu�on écoute un instrument de musique, on n�entend pas une vibration
DIPES II 2012 3
1.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER
(une fonction du temps), mais une note ; c�est-à-dire une fréquence. Notre oreille a donc pesé
le poids relatif de chaque fréquence dans le signal temporel : elle a calculé la transformée de
Fourier du signal original.
Soit f : R ! R une application.
Dé�nition 1.7. On dit que f est localement intégrable sur R si f est intégrable sur tout
compact de R. C�est-à-dire pour tout [a; b] � R;Z b
a
f(x)dx existe.
Remarque: 1.2.1. Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables.
Et l�inclusion est stricte ; la fonction partie entière est localement intégrable mais non conti-
nue.
Dé�nition 1.8. Soit f une fonction dé�nie sur R et I = [�p; p] un intervalle de R tels que
f soit 2p-périodique.
On appelle série de Fourier de f la série ci-dessous :
a02+Xn�1
�an cos(
n�x
p) + bn sin(
n�x
p)
�(1.1)
où
8>>>>><>>>>>:an =
1
p
Z p
�pf(x) cos(
n�x
p)dx; 8n 2 N
bn =1
p
Z p
�pf(x) sin(
n�x
p)dx:
(1.2)
Une approche intuitive du problème est la généralisation des séries de Fourier aux
fonctions non périodiques. Elle consiste à faire tendre la période vers l�in�ni. Ainsi on a les
dé�nitions suivantes :
Dé�nition 1.9. Soit f une fonction appartenant à L1(Rn).
On appelle transformée de Fourier de f , la fonction F(f) dé�nie de Rn vers C telle
que pour tout � 2 Rn
F(f)(�) =ZRnf(x)e�2�i�xdx: (1.3)
De cette dé�nition, on peut dire que la transformée de Fourier est une opération qui trans-
forme une fonction intégrable sur Rn en une autre fonction décrivant le spectre fréquentiel
de cette dernière.
DIPES II 2012 4
1.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER
1.2.1 Propriétés fondamentales
Si f 2 L1(Rn), alors F (�) = F(f)(�) est de limite nulle en �1 et +1.
Preuve. Cf[5].
1.2.2 Linéarité
Propriété 1.1. La transformation de Fourier est une application linéaire de L1(Rn) dans
F (Rn;C).
Cette propriété est essentielle pour pouvoir utiliser la transformée de Fourier dans la
résolution des systèmes physiques linéaires.
1.2.3 Continuité
Propriété 1.2. La transformée de Fourier est continue et bornée.
Preuve. En e¤et, pour tout f 2 L1(Rn); � 2 Rn; F(f)(�) =RRn e
�2�i�xf(x)dx.
8� 2 Rn la fonction x 7�! e�2i��xf(x) est intégrable car je�2�i�xf(x)j � jf(x)j ;8x 2 R.
8x 2 Rn la fonction x 7�! e�2i��xf(x) est continue sur Rn et je�2�i�xf(x)j � jf(x)j , 8� 2 Rn
et f intégrable, d�ou F(f) est continue sur Rn.
De plus on a :
jF(f)(�)j = jRe�2�i�xf(x)dxj
�Rje�2�i�xjjf(x)jdx 8� 2 Rn
�Rjf(x)jdx
= kfkL1(Rn)
On en déduit que
jjF(f)jj � jjf jjL1(Rn) où jjF(f)jj1 = supfjF(f)(�)j; � 2 Rng
d�où F est bornée.
Théorème 1.1. (théorème et dé�nition)
1) F : S(Rn) ! S(Rn) est un automorphisme topologique. Son inverse est noté F et
dé�ni par :
F(f)(�) =ZRnf(x)e2�i�xdx:
DIPES II 2012 5
1.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER
et on a FF =FF=idS(Rn)2) : F : S 0(Rn) ! S 0(Rn) est un automorphisme topologique lorsque S 0(Rn) est munit
de la topologie duale forte ou faible et aussi, FF =FF=idS0(Rn)Preuve. Cf[5]
1.2.4 Symétrie
Propriété 1.3. (Symétrie) Soit f 2 L1(Rn). 8t; � 2 Rn. Posons f_(t) = f(�t) on
a :
F(f_)(�) = F(f)(��):
Preuve. En e¤et,
F(f_)(�) =Z +1
�1f(�t)e�2�i�tdt
=
Z +1
�1f(u)e2�i�udu ici on a posé u = �t
=
Z +1
�1f(u)e�2�i(��)udu
= F(f)(��)
donc
8f 2 L1(Rn); 8t; � 2 Rn F(f_)(�) = F(f)(��):
1.2.5 Transformée de Fourier d�une translation
Propriété 1.4. Soit T 2 R. Soit f une fonction dé�nie sur Rn. On note fT (x) = f(x� T ).
Si f 2 L1(Rn) alors F(fT )(�) = e�2�i�TF(f)(�).
Preuve. En e¤et,
F(fT )(�) =ZRnfT (x)e
�2�i�xdx
=
ZRnf(x� T )e�2�i�xdx:
On pose t = x� T . Alors
F(fT )(�) =ZRnf(t)e�2�i�(t+T )dt
= e�2�i�TZRnf(t)e�2�i�tdt
= e�2�i�TF(f)(�)
DIPES II 2012 6
1.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER
donc F(fT )(�) = e�2�i�TF(f)(�):
On déduit que F(f)(�) = e2�i�TF(f)(�� T ):
1.2.6 Transformée de Fourier d�une homothétie
Propriété 1.5. Soient k > 0 et f : R �! C. On note fk(x) = f(kx). Si f 2 L1(Rn) alors
F(fk)(�) =1
kF(f)(�
k):
Propriété 1.6. Soit f 2 L1(Rn).
1. Si f est dérivable alors 8� 2 Rn, F( @f@ti)(�) = 2�i�iF(f)(�).
2. Ce résultat peut se généraliser pour la dérivation d�ordre n 8n 2 N�, c�est-à-dire
si f est de classe Cn alors 8� 2 Rn, F(D�f)(�) = (2�i�)�F(f)(�), avec � =
(�1; �2; :::; �n) 2 Rn; j�j � n.
Preuve.
1.
F(@f@ti)(�) =
ZRn
@f
@ti(t)e�2�i�tdt
=
ZRn�1
dt0ZR
@f
@ti(t)e�2�i�tdti où t�=(t1,t2,...ti�1,ti+1,...tn)
=
ZRn�1
dt0f lima!+1
Z a
�a
@f
@ti(t)e�2�i�tdtig
= lima!+1
ZRn�1
dt0f[e�2�i�tf(t)]a�a + 2i��iZ a
�af(t)e�2�i�tdtig
Soit F : ti 7! F (ti) =
ZRn�1
jf(t)jdt0:F est intégrable sur R; donc limti!+1 F (t) = 0:
Ainsi,
F(@f@ti)(�) = 2i��i
ZRnf(t)e�2�i�tdt
= 2�i�iF(f)(�):
Preuve.
1. Se fait Par récurrence sur �
On constate que les opérations de dérivations n fois se réduisent à des multiplications
par (2��)n.
DIPES II 2012 7
1.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Cette propriété est le principal intérêt de la transformée de Fourier. Elle permet de rem-
placer les opérations compliquées d�intégrations ou de dérivations par des divisions ou des
multiplications.
1.2.7 Dérivée de la transformée de Fourier
Propriété 1.7. Soit f 2 L1(Rn).
1. Si x 7�! xf 2 L1(R) alors 8� 2 R la dérivée de la transformée de Fourier de f est
dé�nie par :d
d�F(f)(�) = F(�2�ixf)(�) = �2�iF(xf)(�):
2. Si 8n 2 N� x 7�! xnf 2 L1(Rn) alors 8� 2 Rn
D�F(f)(�) = F((�2�ix)�f)(�):
Preuve.
1.d
d�F(f)(�) = d
d�
�Z +1
�1f(t)e�2�i�tdt
�=
Z +1
�1
d
d�f(t)e�2�i�tdt
=
Z +1
�1�2�itf(t)e�2�i�tdt
= �2�iZ +1
�1tf(t)e�2�i�tdt
= �2�iF(xf)(�):
2. Se fait Par recurrence sur n.
1.2.8 Produit de convolution
Dé�nition 1.10. Soient f et g deux applications de Rn dans Rn telles que f; g 2 L1(Rn).
On appelle produit de convolution de f et g si elle existe la fonction f � g dé�nie par :
(f � g)(x) =ZRnf(x� y)g(y)dy 8x 2 Rn
Propriété 1.8. Le produit de convolution est commutatif, associatif et distributif.
Preuve. Cf[1].
DIPES II 2012 8
1.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Théorème 1.2 (d�échange). Soient f; g 2 L1(Rn) telles que f � g 2 L1(Rn). Alors on a :
1. F(f � g) = F(f) � F(g) ;
2. F(f � g) = F(f) � F(g).
Preuve. Cas où n=2. Posons a = (a1; a2) , da = da1da2, � = (�1; �2) et x = (x1; x2).
1-Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) =ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx
or,ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx =
ZR2
�ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)da
�e�2�i�xdx
=
ZR2
ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)e�i2��xdadx (Fubini)
=
ZR2
�ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)e�2�i�(x�a)da
�e�i2��adx:
En é¤ectuant le changement de variables b = x� a, on obtientZR2
�ZR2f1(a1; a2)f2(b1; b2)e
i�bda
�e�2�i�adb =
ZR
�ZRf1(a1; a2)f2(b1; b2)e
�i2��bda
�e�2�i�adb
=
�ZR2f1(a1; a2)e
�2�i�a� �Z
R2f2(b1; b2)e
�2�i�b�(Fubini)
= [F(f1)(�1; �2] : [F(f2)(�1; �2]
= F(f1)(�)F(f2)(�):
On a donc
Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) =
ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx
= F(f1)(�)F(f2)(�)
= F(f1)(�)F(f2)(�):
2-
Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g(�1; �2) = Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)(�1; �2) car F est linéaire
=
ZR2f1(x1; x2)f2(x1; x2)e
�i2��xdx:
En utilisant le fait que f2(x1; x2) =ZR2F(f2)(�)ei2��xd� � = (�1; �2), on obtientZ
R2f1(x1; x2)f2(x1; x2e
�2�i�xdx =
ZR2f1(x1; x2)
�ZR2F(f2)(�)ei2��
�e�i�x
=
ZR2
ZR2f1(x1; x2)F(f2)(�)ei2�x(���)d�dx
=
ZR2
�ZR2f1(x1; x2)e
�i2�x(���)dx
�F(f2)(�)d�:
DIPES II 2012 9
1.3. QUELQUES EXEMPLES DE CALCUL DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
Ainsi,
Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g(�1; �2) =
ZR2
�ZR2f1(x1; x2)e
�i2�x(���)dx
�F(f2)(�)d�
=
ZR2(F(f1)(�� �)F(f1)(�)d�
=
ZR2F(f1)(�� �)F(f2)(�)d�
= (F(f1) � F(f2))(�)
Le cas n entier naturel quelconque se montre de façon similaire.
Il vient du Théorème 1:3 ci-dessus que :
� La transformée de Fourier d�un produit de convolution est le produit des transformées
de Fourier.
� La transformée de Fourier d�un produit est le produit de convolution des transformées
de Fourier.
Ce théorème d�échange est l�un des théorèmes les plus important de la transformée de
Fourier dans la résolution des systèmes linéaires.
1.3 Quelques exemples de calcul de la transformée de
Fourier
Dans ce paragraphe, nous allons étudier quelques fonctions pour lesquelles le calcul de la
transformée de Fourier peut être simple.
Pour chacune des fonctions qui suivent, avant de calculer sa transformée de Fourier, nous
commencerons par donner son expression analytique. Ensuite, nous prouverons qu�elle est
bien dé�nie dans l�espace L1(R).
1.3.1 Exemple 1 : fonction "fenêtre"
� Dé�nition
La fonction "fenêtre" fF (t) est dé�nie par l�expression analytique suivante :
fF (t) =
8<:1
28t 2 [�1; 1]
0 8t =2 [�1; 1]
L�intégrale de fF (t) sur R valant 1, il est clair que cette fonction appartient à L1(R).
DIPES II 2012 10
1.3. QUELQUES EXEMPLES DE CALCUL DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
� Calcul de sa transformée de Fourier
� Pour � = 0 on a F(fF )(0) =ZRfF (x)dx =
Z 1
�1
1
2dx = 1.
� pour � 6= 0, on a F(fF )(�) =Z 1
�1e�2�i�xdx =
1
2
�e�2i�w
�i2�w
�1�1
ce qui donne
F(fF )(�) =e�2�� � e2���4�i�
=sin(2��)
2��:
1.3.2 Exemple 2 : fonction "exponentielle décroissante "
� Dé�nition
La fonction exponentielle décroissante fe(t) est dé�nie sur R par l�expression analytique
suivante :
fe(t) = e�jtj:Z
Rfe(t)dt =
Z �1
+1e�jtjdt
=
Z 0
�1etdt+
Z +1
0
e�tdt
= 2;
c�est-à-dire que fe 2 L1(R).
� Calcul de sa transformée de Fourier
F(fe)(�) =ZRfe(t)e
�2�i�tdt
=
Z 0
�1ete�2�i�tdt+
Z +1
0
e�te�2�i�tdt
=
Z 0
�1e(1�2�i�)tdt+
Z +1
0
e�(1+2�i�)tdt
=
�e(1�2�i�)t
1� 2�i�
�0�1
+
�e�(1+2�i�)t
1 + 2�i�
�0�1
=1
1� 2�i� +1
1 + 2�i�
=2
1 + 4�2�2
Soit �nalement F(fe)(�) =2
1 + 4�2�2.
DIPES II 2012 11
1.3. QUELQUES EXEMPLES DE CALCUL DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
1.3.3 Exemple 3 : fonction "cloche"
� Dé�nition
La fonction "cloche" est dé�nie sur R par l�expression analytique suivante : fc(t) =1
1 + t2.
Cette fonction appartient à L1(R) carZR
1
1 + t2dt = 2�.
� Calcul de sa de transformée de Fourier
On a la relation F(fe)(�) =2
1 + (2��)2= 2fc(2��), c�est-à-dire 2F(fc)(2��) = fe(�),
on obtient F(fc)(�) = �e�j�j .
1.3.4 Exemple 3 la mesure de Dirac
� Dé�nition
La mesure de Dirac est dé�nie par :
�n(t) =
8>>><>>>:0 si t < �1=2n
n si t 2 [�1=2n; 1=2n]
0 si t > 1=2n
où n 2 R+ ; �0(t) = 0 et limn!+1 �n(t) = �(t):
� Dé�nition On appelle fonction généralisée de Dirac ; la distribution � telle queZRf(t)�(t� t0)dt = f(t0):
� Calcul de sa de transformée de Fourier La transformée de Fourier de la mesure
de Dirac est :
F(�n)(�) = e2i��n:
DIPES II 2012 12
1.3. QUELQUES EXEMPLES DE CALCUL DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
1.3.5 Remarques générales sur le calcul des transformées de Fou-
rier
Le calcul de la transformée de Fourier de certaines foncttions en revenant à la dé�nition
peut s�avérer compliquer et demander des calculs supplémentaires.C�est le cas par exemple
de la fonction fenètre dont on a besoin du téorème des résidus :
F(fc)(�) =Z +1
�1
e�2�i�t
1 + t2dt
Après décomposition de la fonction en "éléments simples" on obtient
F(fc)(�) =1
2
Z +1
�1
e�2�i�t
1 + itdt+
1
2
Z +1
�1
e�2�i�t
1� it dt:
En faisant le changement de variables u = t� i et v = t+ i cela donne :
F(fc)(�) = �i
2e2��
Zu = t� i
t 2 R
e�i2��u
udu+
Zv = t+ i
t 2 R
e�i2��v
vdv:
DIPES II 2012 13
? ? Chapitre Deux ? ?
Transformée de Fourier d�une
équation di¤érentielle ordinaire du
second degré
Nous donnons dans cette partie deux exemples de résolution d�équations di¤érentielles
linéaires du second degré à coe¢ cients constants. Nous résolvons d�une part de façon classique
et d�autre part par la transformée de Fourier. En�n nous généralisons au cas d�une équation
di¤érentielle linéaire d�ordre n quelconque à coe¢ cients constants.
2.1 Rappel sur la résolution d�une équation di¤éren-
tielle ordinaire du second degré.
La forme générale de telles équations est :
ad2f
dx2+ b
df
dx+ cf = g
où a; b et c sont les constantes et g une fonction arbitraire.On rappelle ici une methode
de résolution :
1. Résolution de l�équation homogène associée :
ad2f
dx2+ b
df
dx+ cf = 0
2. Recherche d�une solution particuliere de l�équation avec second menbre.
14
2.1. RAPPEL SUR LA RÉSOLUTION D�UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
ORDINAIRE DU SECOND DEGRÉ.
3. La solution s�obtient en superposant la solution homogène avec la solution particulière.
4. On détermine les constantes d�intégration à partir des conditions aux limites et/ou
conditions initiales.
2.1.1 Exemple
Un cas particulier est celui d�un pendule (de masse ponctuelle) en oscillations forcés (un
couple de forces est exercé). Le modèle le plus simple décrivant ce problème est donné par
l�équation de l�oscillateur harmonique :
d2f
dx2� w20
df
dx= g
où f est l�angle du pendule avec la verticale ; w0 la pulsation propre. Dans cet exemple
nous choississons arbitrairement g(t) = Y (t) sin(t) où Y est la fonction de Heaviside dé�nie
par :
Y (t) =
8<: 1 si t > 0
0 si t < 0
�Résolution de l�équation homogène.L�équation carctéristique associée à cette équa-
tion est :
r2 � w20 = 0
La résolution de du polynome caractéristique nous donne r1;2 = �w0. Par conséquent la
solution de l�équation homogène est une combinaison linéaire des fonctions ew0tet e�w0t:Et
comme Y (t) + Y (�t) = 1; on a alors :
fh(t) = AY (t)e�w0t +BY (�t)ew0t
où A et B sont des réels quelconques.
� Recherche de la solution particulière.
Généralement, on cherche cette solution sous la forme de l�excitation. Dans notre cas
nous allons chercher la solution particulière sous la forme
fp(t) = (at+ b) sin(t)
DIPES II 2012 15
2.1. RAPPEL SUR LA RÉSOLUTION D�UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
ORDINAIRE DU SECOND DEGRÉ.
En injectant cette solution particulière dans l�équation intiale, on trouve une équation de
compatibilité :
�(at+ b) sin(t) + 2a cos(t)� w20(at+ b) sin(t) = sin(t) si t > 0
Par identi�cation, on trouve a = 0 et b = � 1w20+1
:
� La solution générale est donc donnée par
f(t) = AY (t)e�w0t +BY (�t)ew0t � sin(t)
w20 + 1si t > 0
ou plus présisément
f(t) = AY (t)e�w0t +BY (�t)ew0t � Y (t) sin(t)w20 + 1
avec A;B 2 R:
� Déterminons à présent les coe¢ cients A et B pour que l�équation de départ soit satis-
faite.
Calculons d�abord la dérivée de Y.
f 0(t) = A[�(t)e�w0t � w0Y (t)e�w0t] +B[��(t)ew0t + w0Y (�t)ew0t]�1
w20 + 1(�(t) sin t+ Y (t) cos t)
= A[� � w0Y (t)e�w0t] +B[�� + w0Y (�t)ew0t]�Y (t) cos t
w20 + 1
car pour toute fonction f continue et g 2 D(R); on a : hf�; gi = h�; fgi = (fg)(0) =
f(0)g(0) = hf(0)�; gi : Donc f� = f(0)�:
De même on a
f 00(t) = A[�0 � w0� + w20Y (t)e�w0t] +B[��0 � w0� + w20Y (�t)ew0t]�1
w20 + 1(� � Y (t) sin t)
En remplaçant dans l�équation di¤érentielle de départ, on a par identi�cation8<: A�B = 0
A+B = � 1w0(w20+1)
ce qui donne
A = B = � 1
2w0(w20 + 1):
DIPES II 2012 16
2.2. UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
Ainsi, on obtient
f(t) = �Y (t) sin t
w20+1� Y (t)e�w0t
2w0(w20+1)� Y (�t)ew0t
2w0(w20+1):
2.2 Utilisation de la transformée de Fourier
Dans ce paragraphe nous allons résoudre les équations di¤érentielles ordinaires du second
degré par transformée de Fourier.
Théorème 2.1. L�unique solution tempérée de l�équation di¤érentielle
ad2f
dx2+ b
df
dx+ cf = g
est donnée par
f = F (1
�4�2t2a+ 2i�tb+ c) � g
où g est aussi une fonction tempérée.
Preuve. En appliquant la transfomée de Fourier à cette équation di¤érentielle ordinaire
on obtient :
(�4�2t2a+ 2i�tb+ c)�F(f) = F(g)
c�est-à-dire
F(f) = F (1
�4�2t2a+ 2i�tb+ c)�F(g)
et par transformée de Fourier inverse on obtient �nalement
f = F( 1
�4�2t2a+ 2i�tb+ c)� g
Proposition 2.1.d2f
dx2+ �f = 0
admet une unique solution tempérée si � < 0:
DIPES II 2012 17
2.2. UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
Preuve. Cette équation admet une unique solution tempérée si et seulement si l�équation
homogène associé admet une unique solution.En appliquant la transformée de Fourier à cette
dernière,on a :
(�4�2t2+�)�F(f) = 0:Elle admet unique solution si et seulement si �4�2t2+� 6= 0 ;
c�est-à-dire �4�2t2 6= � et donc � doit etre inférieur à 0.
2.2.1 Exemples
Exemple 1
Réprenons l�exemple précédent où on avait l�équation di¤érentielle
d2f
dx2� w20f = Y (t) sin(t)
D�après ce qui précède,la solution de cette équation est donnée(puisque l�excitation est
une fonction tempérée) par :
f(t) = �F( 1
4�2t2 + w20)� Y (t) sin(t)
� Calculons d�abord F( 14�2t2+w20
)
1. Soit la fonction f(t) = Y (t)e�w0t, calculons sa transformée de Fourier.
F(f)(t) =Z +1
0
e�w0xe�2�itxdx
=
Z 0
�1e�x(w0+2i�t)dx
= � 1
w0 + 2i�t
�e�x(w0+2i�t)
�+10
=1
w0 + 2i�t
Donc F(f)(t)= 1w0+2i�t
:
Et par transformée de Fourier inverse, on obtient :
F( 1
w0 + 2i�x)(t) = Y (t)e�w0t
DIPES II 2012 18
2.2. UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
Par un resonnement similaire, on trouve aussi
F( 1
w0 � 2i�x)(t) = Y (�t)ew0t
et en remarquant que
1
4�2t2 + w20=
1
2w0(
1
w0 + 2i�t+
1
w0 � 2i�t)
on en déduit que
F( 1
4�2t2 + w20)(t)=
1
2w0(Y (t)e�w0t + Y (�t)ew0t):
La solution de l�équation di¤érentielle proposé est alors
f(t) = �Y (t) sin(t)� 1
2w0(Y (t)e�w0t + Y (�t)ew0t)
= � 1
2w0(Y (t) sin(t)�Y (t)e�w0t)� 1
2w0(Y (t) sin(t)�Y (�t)ew0t)
= � 1
2w0
Z +1
�1Y (x) sin(x)Y (x� t)e�w0(x�t)dt� 1
2w0
Z +1
�1Y (x) sin(x)Y (�x+ t)ew0(x�t)dt
1. � Remarquons que
Y (t) =
8<: 1 si t > 0
0 si t < 0
et
Y (x� t) =
8<: 1 si x > t
0 si x < t
Donc avec t > 0 on a soit x > t; x < t soit t > 0 et x < t: f se divise alors en deux
intégrales à savoir :
f(t) = � 1
2w0
Z +1
0
sin(x)ew0(x�t)dx si t < 0
et
f(t) = � 1
2w0[
Z +1
0
sin xe�w0(x�t)dx+
Z +1
t
sin xew0(x�t)dx] si t > 0
qui par une double intégration par parties nous donne
DIPES II 2012 19
2.2. UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
1.
f(t) =
8>>><>>>:� sin tw20+1
� ew0t
2w0(w20+1)si t > 0
� e�w0t
2w0(w20+1)si t < 0
Cette fonction est C1 sur les ouverts ]�1; 0[ et]�1; 0[.
limt!0=
f(t) = limt!0�
f(t) = � 1
2w0(w20 + 1):
Donc f est continue en 0(et on a f(0) = � 12w0(w20+1)
).Donc dérivable au sens des
distributions.Ainsi,l�unique solution de l�équation di¤érentielle proposée est donc
f(t) = �Y (t) sin t
w20+1� Y (t)e�w0t
2w0(w20+1)� Y (�t)ew0t
2w0(w20+1):
Exemple 2
Résolvons dans D0+(R) l�équation di¤érentielle
d2f
dt2+ f = Y (t) sin(t)
1. Recherche d�une solution élémentaire de l�équation
d2f
dt2+ f = �
Nous la cherchons sous la forme
fe(t) = Y (t)g(t)
où g est une fonction deux fois dérivable:Ainsi,
f0
e(t) = Y 0(t)g(t) + Y (t)g0(t)
= �(t)g(t) + Y (t)g0(t)
= g(0)� + Y (t)g0(t)
�(t)g(t) = g(0)� puisque le support de � est f0g
et la dérivée seconde nous donne
f00
e (t) = Y (t)g00(t) + g0(0)� + g(0)�
0:
DIPES II 2012 20
2.2. UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
Et en remplacant dans l�équation à second menbre �; on trouve8<: g00(t) + g(t) = 0
g(0) = 0 et g0(0) = 1
La résolution de cette équation nous donne g(t) = A sin t+B sin t où A et B sont des
constantes à déterminer.En tenant compte du fait que g(0) = 0 et g0(0) = 1;on obtient
�nalement
g(t) = sin t
c�est-à-dire
fe(t) = Y (t) sin(t):
2. L�unique solution de l�équation de départ s�obtient par produit de convolution de la
solution élémentaire avec le second menbre de l�équation dé¤érentielle.Ceci dit,
f(t) = (Y (x) sin(x)�Y (x) sin(x))(t)
=
Z +1
�1Y (x)Y (t� x) sin(x) sin(t� x)dx
=
8><>:Z t
0
sin(t) sin(t� x)dx si t > 0
0 si t < 0
En calculant cette intégral et en tenant compte du fait que
sin p sin q =1
2(cos(p� q)� cos(p+ q))
on trouve
f(t) =
8<: 12(sin(t)� t cos(t)) si t > 0
0 si t < 0
soit
f(t) = Y (t)2(sin(t)� t cos(t)):
La résolution d�une équation di¤érentielle ordinaire du second degré avec la transformée
de Fourier est plus rapide que la résolution classique.toute fois il faut bien maitriser le calcul
de la transformée de Fourier.Par un raisonnement analogue,on peut résoudre une équation
di¤érentielle ordinaire de degré quelconque.
Théorème 2.2. L�unique solution tempérée de l�équation di¤érentielle ordinaire
DIPES II 2012 21
2.2. UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
andnf
dxn+ an�1
dn�1f
dxn�1+ :::+ a0f = g
est donnée par
f = F( 1
an(2i�t)n + an�1(2i�t)n�1 + :::+ a0)�g:
où g est une fonction tempérée et la déconposition en éléments simples de
1
an(2i�t)n + an�1(2i�t)n�1 + :::+ a0
facilite le calcul de sa transformée de Fourier inverse.
Preuve. En appliquant la transformée de Fourier à l�équation di¤érentielle précédente,
on obtient :
an(2i�t)nF(f) + an�1(2i�t)n�1F(f) + :::+ a0F(f) = F(g)
ou encore
[an(2i�t)n + an�1(2i�t)
n�1 + :::+ a0]F(f) = F(g)
et si
an(2i�t)n + an�1(2i�t)
n�1 + :::+ a0 6= 0
alors
F(f) = 1
an(2i�t)n + an�1(2i�t)n�1 + :::+ a0F(g)
et par transformation de Fourier inverse, on trouve alors
f = F( 1
an(2i�t)n + an�1(2i�t)n�1 + :::+ a0) �g:
Nous venons de voir comment résoudre une équation di¤érentielle en utilisant la trans-
formée de Fourier.Dans le chapitre suivant nous allons étandre cette methode de résolution
aux équations aux dérivées partielles.
DIPES II 2012 22
? ? Chapitre Trois ? ?
Transformée de Fourier d�une
équation aux dérivées partielles
Comme nous avons pas de forme générale pour les équations aux dérivées partielles,nous
allons examiner quelques cas particuliers et essayer d�en tirer des enseignements et faire si
possible la comparaison avec la résolution classique.
3.1 Rappels sur la transformée de Fourier d�une fonc-
tion à plusieurs variables
3.1.1 Transformée de Fourier d�une fonction à deux variables
Soit f(x; y) une fonction à deux variables dé�nie sur R2 telle que :
� pour x �xé, la fonction y 7�! f(x; y) 2 L1(R) ;
� pour y �xé la fonction x 7�! f(x; y) 2 L1(R) ;
� f(x; y) 2 L1(R2).
En �xant y et en considérant f(x; y) comme uniquement une fonction de x, on a d�après
la dé�nition de la transformée de Fourier d�une fonction a une variable
F (�; y) = F(f(x; y))(�; y) =Z 1
�1f(x; y)e�2�i�xdx: (3.1)
De même en considérant F (�; y) comme uniquement une fonction de y, on à
F (�; �) = F(f(x; y))(�; y) =Z 1
�1F (�; y)e�2�i�ydy: (3.2)
23
3.1. RAPPELS SUR LA TRANSFORMÉE DE FOURIER D�UNE FONCTION À
PLUSIEURS VARIABLES
En combinant (3:1) et (3:2), on obtient
F (�; �) =
Z 1
�1
�Z 1
1f(x; y)e�2�i�xdx
�e�2�i�ydy
=
Z 1
�1
Z 1
�1f(x; y)e�2�i(�x+�y)dxdy:
On peut ainsi conclure que
F (�; �) =
Z 1
�1
Z 1
�1f(x; y)e�2�i(�x+�y)dxdy (3.3)
qui est la transformée de Fourier de f(x; y).
Remarque: 3.1.1. On peut étendre cette dé�nition sur Rn n > 2.
Soit f une fonction dé�nie sur Rn, n � 1 telle que :
� 8xi 2 R, i = 1; :::; nZRjf(x1; :::; xi; :::; xn)j dxi <1
� f(x1; :::; xn) 2 L1(Rn) ;
alors on a
F (�1; �2; :::; �n) =
ZRnf(x1; x2; :::; xn)e
�2�i�xdx
où � = (�1; �2; :::; �n), dx = dx1 � dx2 � :::� dxn et �x = �1x1 + �2x2 + :::+ �nxn.
Propriété 3.1. De même qu�au chapitre 1, si f est une fonction dé�nie sur S(R2) telle que
F (�; �) soit sa transformée de Fourier alors
f(x; y) =
Z 1
�1
Z 1
�1F (�; �)e�2�i(�x+�y)d�d�: (3.4)
Preuve. En e¤et, d�après la formule (3.1) F (�; y) admet pour inverse
f(x; y) =
Z 1
�1F (�; y)e2�i�ydy: (3.5)
De même on a
F (�; y) =
Z 1
�1F (�; �)e2�i�ydy: (3.6)
En combinant (3:5) et(3:6), on obtient
f(x; y) =
Z 1
�1
�Z 1
1F (�; �)e2�i�xdx
�ei2��ydy
=
Z 1
�1
Z 1
�1F (�; �)e2�i(�x+�y)dxdy (Fubini):
DIPES II 2012 24
3.1. RAPPELS SUR LA TRANSFORMÉE DE FOURIER D�UNE FONCTION À
PLUSIEURS VARIABLES
3.1.2 Produit de convolution de deux fonctions à deux variables
Dé�nition 3.1. Soient f1 et f2 deux fonctions à deux variables dé�nies sur R2 telles que
f1; f2 2 L1(R2) et f1:f2 2 L1(R2).
On appelle produit de convolution de f1 et f2 la fonction dé�nie par :
(f1 � f2)(x1; x2) =ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)da1da2:
Remarque: 3.1.2. De même que le produit de convolution d�une fonction à une variable,
il est commutatif, associatif et distributif par rapport à la loi +.
3.1.3 Théorème d�échange
Théorème 3.1. Soient f1 et f2 deux fonctions à deux variables dé�nies sur R2. 8(�1; �2); (x1; x2) 2
R2, on a :
1. Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) = F(f1(x1; x2))(�1; �2):F(f2(x1; x2))(�1; �2)
2. Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g = F(f2(x1; x2)) � F(f1(x1; x2)).
Preuve. Posons a = (a1; a2) , da = da1da2, � = (�1; �2) et x = (x1; x2).
1-Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) =ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx
or,ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx =
ZR2
�ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)da
�e�2�i�xdx
=
ZR2
ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)e�i2��xdadx (Fubini)
=
ZR2
�ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)e�2�i�(x�a)da
�e�i2��adx:
En é¤ectuant le changement de variables b = x� a, on obtientZR2
�ZR2f1(a1; a2)f2(b1; b2)e
i�bda
�e�2�i�adb =
ZR
�ZRf1(a1; a2)f2(b1; b2)e
�i2��bda
�e�2�i�adb
=
�ZR2f1(a1; a2)e
�2�i�a� �Z
R2f2(b1; b2)e
�2�i�b�(Fubini)
= [F(f1)(�1; �2] : [F(f2)(�1; �2]
= F(f1)(�)F(f2)(�):
On a donc
Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) =
ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx
= F(f1)(�)F(f2)(�)
= F(f1)(�)F(f2)(�):
DIPES II 2012 25
3.2. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CHALEUR
2-
Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g(�1; �2) = Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)(�1; �2) car F est linéaire
=
ZR2f1(x1; x2)f2(x1; x2)e
�i2��xdx:
En utilisant le fait que f2(x1; x2) =ZR2F(f2)(�)ei2��xd� � = (�1; �2), on obtientZ
R2f1(x1; x2)f2(x1; x2e
�2�i�xdx =
ZR2f1(x1; x2)
�ZR2F(f2)(�)ei2��
�e�i�x
=
ZR2
ZR2f1(x1; x2)F(f2)(�)ei2�x(���)d�dx
=
ZR2
�ZR2f1(x1; x2)e
�i2�x(���)dx
�F(f2)(�)d�:
Ainsi,
Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g(�1; �2) =
ZR2
�ZR2f1(x1; x2)e
�i2�x(���)dx
�F(f2)(�)d�
=
ZR2(F(f1)(�� �)F(f1)(�)d�
=
ZR2F(f1)(�� �)F(f2)(�)d�
= (F(f1) � F(f2))(�)
d�où 1 et 2.
3.2 Application à l�équation de la chaleur
Dans ce paragraphe, nous utiliserons premièrement la résolution classique et deuxième-
ment la transformée de Fourier pour résoudre l�équation de la propagation de la chaleur dans
une barre in�nie.
Equation 8>>><>>>:@u
@t= K
@2u
@x2
u(x; 0) = f(x); où �1 < x < +1 t > 0 (a)
ju(x; t)j < M (b)
(3.7)
1)-Première méthode : résolution classique
Pour trouver la solution, appliquons la méthode de séparation des variables qui consiste
à rechercher une solution particulière de cette équation sous forme de produit de deux fonc-
tions.
DIPES II 2012 26
3.2. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CHALEUR
Posons
u(x; t) = X(x)T (t): (3.8)
En portant (3.2) dans l�équation (3.1), on aura : X(x)T (t) = KX 00(x)T (t) ou
T 0
KT=X 00
X= C: (3.9)
Chacun de ces rapports ne peut dépendre respectivement ni de x ni de t, et c�est pourquoi
on les égale à une constante C.
- Si C = O alors (3.3) devient8<: T 0 = 0
X 00 = 0=)
8<: T = a
X = bx+ c
où a; b et c sont des réels. Il en résulte de cela que u(x; t) = a(bx+ c).
Pour que u(x; t) soit bornée il faudrait que b = 0. On a donc u(x; t) = ac.
Dans ce cas , f(x) = 0 car, u(x; 0) = f(x) =) f(x) = ab et u(0; t) = 0 =) ab = 0. Ce qui
contredit l�hypothèse f 6= 0. Par conséquent, C 6= 0.
- supposons C > 0, c�est-à-dire 9� 2 R = C = �2. Alors l�équation (3.3) devientT 0
KT= X00
X= �2. Nous obtenons de cette, égalité le système8<: T 0 �K�2T = 0
X 00 � �2X = 0:(3.10)
En utilisant l�équation caractéristique, le système (3.4) implique8<: T = A1eK�2t
X = A2 cos�x+B2 sin�x;
d�où u(x; t) = eK�t(A cos�x+B sin�x) où A = A1A2 ; B = A1B2.
Pour que u(x; t) soit bornée il faut que eK�2t �! 0, c�est-à-dire t �! �1. u(x; t) est dé�ni
pour t > 0 d�où u(x; t) n�est pas bornée. C�est-à-dire que C n�est pas positif.
D�après ces deux résultats ci-dessus, on conclut que C est négatif.
- C < 0 implique qu�il existe � 2 R tel que C = ��2 et l�équation (3.3) devientT 0
KT= X00
X= ��2, c�est-à-dire que 8<: T 0 �K�2T = 0
X 00 � �2X = 0(3.11)
DIPES II 2012 27
3.2. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CHALEUR
En utilisant l�équation caractéristique, on obtient
T = Ce�K�2t et X = A cos�x+B sin�x:
En remplaçant T et X par leurs expressions dans (3:2), on obtient
u�(x; t) = e�K�2t[A(�) cos�x+B(�) sin�x]: (3.12)
(La constante C est incluse dans A(�) et B(�))
Pour chaque valeur de �, on obtient une solution de la forme (3.6). Les constantes arbitraires
A et B ont pour chaque valeur de � des valeurs dé�nies. C�est pourquoi on peut estimer que
A et B sont des fonctions de �.
En intégrant l�expression (3.6) par rapport au paramètre � entre 0 et 1, on obtient
u(x; t) =
Z +1
0
e�K�2t[A(�) cos�x+B(�) sin�x]d�: (3.13)
La somme des solutions de la forme (3.6) est aussi une solution (du fait de la linéarité de
(3.1)).
En posant t = 0 on obtient en vertu de la condition (a)
u(x; 0) = f(x) =
Z +1
0
[A(�) cos�x+B(�) sin�x]d�: (3.14)
En supposant que la fonction f(x) est telle qu�elle peut être représentée par une intégrale
de Fourier, on a
u(x; 0) =1
�
Z +1
0
��Z +1
�1f(�) cos��d�
�cos�x+
�Z +1
�1f(�) sin��d�
�sin�x
�d�:
(3.15)
En comparant les membres de droite de (3.8) et (3.9), on obtient
A(�) =1
�
Z +1
�1f(�) cos��d�
B(�) =1
�
Z +1
�1f(�) sin��d�
9>>=>>; : (3.16)
portant (3.10) dans la formule (3.7) on obtient
u(x; t) =1
�
Z +1
0
e�K�2t
Z +1
�1(f(�) cos�� cos�xd� + sin�� sin�xd�) d�
=1
�
Z +1
0
e�K�2t
�Z +1
�1f(�) cos�(�� x)d�
�d�:
En inversant l�ordre d�intégration, on a en dé�nitive
u(x; t) =1
�
Z +1
�1
�Z +1
0
f(�)e�K�2t cos�(�� x)d�
�d�: (3.17)
DIPES II 2012 28
3.2. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CHALEUR
La relation (3.11) est la solution du problème posé ci-dessus.
- Transformons la formule (3.11) en calculant l�intégrale �gurant entre paren-
thèses. Z +1
0
e�K�2t cos�(�� x)d� = 1p
Kt
Z +1
0
e�z cos �zdz (3.18)
où � =1pKt(�� x) .
Posons K(�) =Z +1
0
e�z2
cos �zdz. On a K 0(�) = �Z +1
0
e�z2
z sin �zdz . En faisant une
intégration par parties on a : K 0(�) = 12(e�z
2sin �; t)� �
2
Z +1
0
e�z2
cos �zdz,
c�est-à-dire K 0(�) = ��2K(�). Cette équation di¤érentielle admet pour solution
K(�) = Ce��2
4 : (3.19)
-Déterminons la constante C.
Il vient de (3:13) que K(0) =Z +1
0
e�t2
dt =
p�
2.
Par conséquent dans l�inégalité (3.13) on doit avoir C =p�
2.
Ainsi,
K(�) =
p�
2e��24 : (3.20)
D�où Z +1
0
e�Kt2
dt cos�(�� x)d� =p�pkte�
�2
u :
En remplaçant K(�) par sa valeur dans (3.12) on obtientZ +1
0
e�Kt2
dt cos�(�� x)d� = 1
2
r�
Kte�
(��x)24Kt : (3.21)
Portant cette expression (3.15) dans (3:11) on obtient
u(x; t) =1
2pK�t
Z +1
�1f(�)e
�(�� x)24Kt d� :
Cette formule appelée intégrale de poisson, est la solution du problème posé sur la propaga-
tion de la chaleur dans une barre in�nie.
2)Deuxième méthode : utilisation de la transformée de Fourier
DIPES II 2012 29
3.2. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CHALEUR
Utilisons la transformée de Fourier pour résoudre l�équation(3:1).
En �xant t et en appliquant la transformée de Fourier par rapport à la variable x à l�équation
(3:1) on a :
Fxf@u@t g = FxfK @2u@2xg
= KFxf@2u@2xg car Fx est lin�eaire:
On a ainsi
Fxf@u
@tg = KFxf
@2u
@2xg: (3.22)
-Calculons chaque membre de l�égalité (3.22).
Fx�@u
@t
�(�; t) =
Z +1
�1
@u
@t(x; t)e�2�i�xdx
=@
@t
Z +1
�1u(x; t)e�2�i�xdx
=@
@tFx(u)(�; t) (3.23)
KFx�@2u
@x2
�(�; t) = K(2�i�)2Fx(u)(�; t) (3.24)
(d�après la Propriété 1:9 ).
En portant (3:23) et (3:24) dans l�égalité (3:22), on obtient l�équation di¤érentielle
@
@tFx(u)(�; t)� 4K�2�2Fx(u)(�; t) = 0: (3.25)
Étant donné que Fx(u) dépend seulement de t, on a
Fx(u)(�; t) = Ce�K4�2�2t: (3.26)
Pour t = 0 on a Fx(u)(�; 0) = C.
-Déterminons C.
Fx(u(x; 0))(�; 0) =Z +1
�1u(x; 0)e�2�i�xdx
=
Z +1
�1f(x)e�2�i�xdx
= Fff(x)g(�);
d�où F(u)(�; 0) = C =) C = Fff(x)g(�).
De ce fait, l�égalité (3.26) devient
Fx(u)(�; t) = Fff(x)g(�)e�K4�2�2t: (3.27)
DIPES II 2012 30
3.2. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CHALEUR
En appliquant F�1� à (3:27), on obtient :
u(x; t) = F�1�
hFff(x)g(�) e�K4�2�2t
i(x; t)
= F�1� [Fff(�)g] (x) � F�1
�
�e�K4�
2�2t�(x; t)
= f(x) � F�1�
�e�K4�
2�2t�(x; t) car Fx = F :
-DéterminonsF�1�
�e�K4�
2�2t�(x; t).
F�1�
�e�K4�
2�2t�(x; r) =
Z +1
�1e�K4�
2�2te2�i�xd�
=
Z +1
�1e�K4�
2�2t+2�i�xd�;
or,
�K4�2�2t+ 2�i�x = K4�2t��2 � i�x
K2�t
�= K4�2t
"��� ix
K4�t
���
ix
K4�t
�2#
= �4�2t��� ix
K4�t
�2� a x
2
4�t:
D�où
F��e�K4�
2�2t�(x; t) =
ZRe�4�
2kt(�� ixK4�t)
2� x2
4Ktd�
=
ZRe�
x2
4Kt e�4�2kt+
(��ix)24�Kt d�
= e�x2
4Kt
ZRe�4�
2(kt+ ��ix4�Kt)
2
d�:
En posant w = �� ix4�Kt
dw = d�, on a
F�1�
�e�K4�
2�2(x; �)�= e�
x2
4Kt
ZRe�4�
2ktw2d�
= e�x2
4Kt
�r�
4�2Kt
�(car
ZRea
2udu =
r�
a2):
Par conséquent,
u(x; t) = f(x) ��
1
2p�Kt
e�x2
4Kt
�=
Z +1
�1f(u)
1
2p�Kt
e�14kt(x�w)2dw
=1
2p�Kt
Z +1
�1f(u)e�
14Kt
(w�x)2dw:
DIPES II 2012 31
3.3. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CORDE VIBRANTE
On conclut donc que
u(x; t) = 12p�Kt
Z +1
�1f(u)e�
14Kt
(w�x)2dw
qui est la solution du problème posé sur la propagation de la chaleur dans une barre in�nie
obtenue en utilisant la transformée de Fourier.
3.3 Application à l�équation de la corde vibrante
Dans ce paragraphe, nous utiliserons premièrement la résolution classique et deuxième-
ment la transformée de Fourier pour résoudre l�équation de la corde vibrante.
Equation 8>>>><>>>>:@2u
@t2= a2
@2u
@x2
u(x; 0) = f(x) (a)@u
@t(x; 0) = g(x) (b)
(3.28)
1)-Première méthode : résolution classique
Posons
X = x+ at et Y = x� at ,
on obtient alors 8>>>><>>>>:@u
@t= a(
@u
@X� @u
@Y)
@u
@x=@u
@X+@u
@Y
et par suite 8>>>><>>>>:@2u
@t2= a2(
@2u
@X2� 2 @2u
@Y @X+@2u
@Y 2)
@2u
@x2=@2u
@X2+ 2
@2u
@Y @X+@2u
@Y 2
:
L�équation aux dérivées partielle@2u
@t2= a2
@2u
@x2devient �4 @2u
@Y @X= 0:Et les solutions de
cette dernière sont de la forme
u(X;Y ) = u1(X) + u2(Y )
où u1 et u2 sont des fonctions arbitraires deux fois dérivables.
DIPES II 2012 32
3.3. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CORDE VIBRANTE
Les solutions de@2u
@t2= a2
@2u
@x2sont alors de la forme
u(x; t) = u1(x+ at) + u2(x� at):
De plus,dérivons cette relation par rapport à la variable t
@u
@t(x; t) = au01(x+ at)� au02(x� at)
et en tenant compte des équations (a) et (b) on a :8<: u1(x) + u2(x) = f(x) (1)
au01(x)� au02(x) = g(x) (2)
En dérivant (1) par rapport à x, on trouve u01(x) + u02(x) = f
0(x) (3):
(2) et (3) constituent un système de Grammer (en u01 et u02) ;donc :8<: u01(x) =
12(f 0(x) + 1
ag(x))
u02(x) =12(f 0(x)� 1
ag(x))
et on en déduit 8<: u1(x) =12f(x) + 1
2a
R xx0g(z)dz + c
u02(x) =12f(x)� 1
2a
R xx0g(z)dz + d
où c et d sont des réels quelconques.Pour que (1) soit véri�é, il faut que c+ d = 0:
On en déduit l�unique solution suivante pour le problème considérée :
u(x; t) =1
2[f(x+ at) + f(x� at)] + 1
2a
Z x+at
x0
g(z)dz � 1
2a
Z x�at
x0
g(z)dz
c�est-à-dire
u(x; t) = 12[f(x+ at) + f(x� at)] + 1
2a
Z x+at
x�atg(z)dz
qui est l�unique solution de l�équation de la corde vibrante.
2)-Deuxième méthode : utilisation de la transformée de Fourier
Utilisons la transformée de Fourier pour résoudre le problème(3:28).
En �xant t et en appliquant la transformée de Fourier par rapport à la variable x à
l�équation (3:28) on a :
Fxf@2u@t2g = Fxfa2 @
2u@2xg
= a2Fxf@2u@2xg car Fx est lin�eaire:
DIPES II 2012 33
3.3. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CORDE VIBRANTE
On a ainsi
Fxf@2u
@t2g = a2Fxf
@2u
@2xg: (3.29)
-Calculons chaque membre de l�égalité (3.29).
Fx�@2u
@t2
�(�; t) =
Z +1
�1
@2u
@t2(x; t)e�2�i�xdx
=@2
@t2
Z +1
�1u(x; t)e�2�i�xdx
=@2
@t2Fx(u)(�; t) (3.30)
a2Fx�@2u
@x2
�(�; t) = a2(2�i�)2Fx(u)(�; t) (3.31)
(d�après la Propriété 1:9 ).
En portant (3:30) et (3:31) dans l�égalité (3:29), on obtient l�équation di¤érentielle
@2
@t2Fx(u)(�; t)� 4a2�2�2Fx(u)(�; t) = 0: (3.32)
Étant donné que Fx(u) dépend seulement de t, on a
Fx(u)(�; t) = A cos(2�a�t) +B sin(2�a�t): (3.33)
où A et B sont des constantes arbitraires.En appliquant la transformée de Fourier aux
équations (a) et (b), on obtient8<: Fx(u)(x; 0) = F(f)(x)@@t(Fx(u))(x; 0) = F(g)(x)
En tenant compte de cela,et des équations (a) et (b) on a :8<: A = F(f)
B = 12�a�
F(g)
Ainsi donc
Fx(u)(�; t) = cos(2�a�t)F(f) +sin(2�a�t)
2�a�F(g)
Et par transformation de Fourier inverse,on obtient :
u(x; t) = f � F�1� (cos(2�a�t))(x; t) + g � F�1
� (sin(2�a�t)
2�a�)(x; t)
Et on a8>>><>>>:F�1� (cos(2�a�t))(x) =
12[�at(x) + ��at(x)]
F�1� (
sin(2�a�t)2�a�
)(x) =
8<: 12a
si x 2 [�at; at]
0 sinon(confert chapitre1)
DIPES II 2012 34
3.3. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CORDE VIBRANTE
Donc
u(x; t) =1
2(f � �at + f � ��at)(x; t) +
1
2a(g � 1)(x; t) si x 2 [�at; at]
=1
2[f(x+ at) + f(x� at)] + 1
2a
Z at
�atg(x� r)dr
et en posant z = x� r, on obtient �nalement
u(x; t) = 12[f(x+ at) + f(x� at)] + 1
2a
Z x+at
x�atg(z)dz
qui est l�unique solution du problème posé.
Remarque: 3.3.1. On constate qu�en utilisant les deux méthodes ci-dessus on aboutit au
même résultat, mais celui de la prémière méthode a été obtenu après plusieurs transfor-
mations.On constate aussi qu�en appliquant la transformée de Fourier à une équation aux
dérivées partielles,celle-ci devient une équation di¤érentielle ordinaire et on procède par la
suite comme au chapitre deux.
DIPES II 2012 35
| Conclusion et Perspectives |
L�objectif de ce travail était de :
- Dé�nir la transformée de Fourier ;
-établir ses proprétés ;
-résoudre les équations aux dérivées partielles en utilisant la transformée de Fourier ;
-résoudre quelques équations aux dérivées partielles avec cette methode.
Au terme de celui ci, nous pouvons retenir que :
-Pour toute fonction f 2 L1(R),sa transformée de Fourier est donnée par : F(f)(�) =ZRf(x)e�2��xdx ,qu�en appliquant la transformée de Fourier à une équation di¤érentielle or-
dinaire,elle devient une équation simple à inconnue transformée de Fourier et la résolution de-
vient plus simple.Et en appliquant cette méthode à une équation aux dérivées partielles,celle-
ci devient une équation di¤érentielle ordinaire et on procède comme précédemment.
Ces résultats nous ont permis de résoudre l�équation de la chaleur et l�équation de la
chaleur et l�équation de la corde vibrante. Cependant il est important de signaler que nous
nous sommes limités aux fonctions à deux variables.
Si la fonction u à n variables avec n > 2 comment résoudre l�équation aux dérivées par-
tielles en utilisant cette methode ? La réponse à cette question pourrait faire l�objet de nos
prochaines recherches.
36
| Bibliographie |
[1] CARSLAW.H.S, Introduction to the theory of Fourier�s series and integrals ; University
Press Glasgow, 1906.
[2] Hanna.J, Rowland.J.H : Fourier Series, Transforms, and boundary value problems ; A
Wiley-intersection publication New York, 1990.
[3] Maruis Tucsnack, Distributions et équations fondamentalesde la Physique.
[4] Spigel.M.R, theory and problems of Fourier analysis with application to boundary
value problems ; New York, 1974.
[5] Vretblad.A, Fourier Analysis and its Applications ; Springer New York, 2003.
37