Master essay in : Applying the Fourier transform to solve ODEs and PDEs

| Table des matières |

Dédicaces i

Remerciements ii

Résumé iii

Abstract iv

1 Tranformée de Fourier 2

1.1 Espaces fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.5 Transformée de Fourier d�une translation . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.6 Transformée de Fourier d�une homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.7 Dérivée de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.8 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Quelques exemples de calcul de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Exemple 1 : fonction "fenêtre" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Exemple 2 : fonction "exponentielle décroissante " . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Exemple 3 : fonction "cloche" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Exemple 3 la mesure de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2

TABLE DES MATIÈRES

1.3.5 Remarques générales sur le calcul des transformées de Fourier . . . . 13

2 Transformée de Fourier d�une équation di¤érentielle ordinaire du second

degré 14

2.1 Rappel sur la résolution d�une équation di¤érentielle ordinaire du second degré. 14

2.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Utilisation de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Transformée de Fourier d�une équation aux dérivées partielles 23

3.1 Rappels sur la transformée de Fourier d�une fonction à plusieurs variables . . 23

3.1.1 Transformée de Fourier d�une fonction à deux variables . . . . . . . . 23

3.1.2 Produit de convolution de deux fonctions à deux variables . . . . . . 25

3.1.3 Théorème d�échange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Application à l�équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Application à l�équation de la corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Conclusion et perspective 36

Bibliographie 37

UNIVERSITÉ DE YAOUNDÉ I - ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

TRANSFORMÉE DE FOURIER D�UNE EQUATIONDIFFERNTIELLE ORDINAIRE DU SECOND ORDRE

Mémoire présenté et soutenu en vue de l�obtention du Diplome de Professeur de

DIPES II 2012 3

TABLE DES MATIÈRES

l�Enseignement Secondaire Deuxième Grade (DI.P.E.S. II)

par :

MBOUNA DIEUDONNE

Maître ès sciences

Option : Analyse et Géométrie

Matricule : CM04� 06SCI0444

Sous la direction de

Dr. TEGANKONG DAVID

Chargé de Cours, École Normale Supérieure, Université Yaoundé I

Année Académique : 2011-2012

DIPES II 2012 4

| Dédicaces |

Je dédie ce mémoire à :

F Mon papa Mr FODO Paul Bazzar.

Qu�il trouve en ce mémoire le fruit de ses nombreux sacri�ces.

i

| Remerciements |

J�exprime ma profonde gratitude à tous ceux qui de près ou de loin ont contribué à la

réalisation de ce travail.

Je ne saurais commencer sans l�éternel tout puissant qui nous donne le sou e de vie et

nous remplit jour après jour de bénédictions.

J�exprime ma reconnaissance au Docteur TEGANKONG DAVID, chargé de cours au dé-

partement de Mathématiques de L�École Normale Supérieure de Yaoundé pour avoir accepté

de diriger ce travail malgré ses multiples occupations.

Je pense à ma mère madame DOUANLA Genevieve et à madame TIFFE Frestine pour

leurs nombreux sacri�ces.

Je pense à toute ma famille pour ce qu�elle a pu consentir comme sacri�ce pour faire de

moi ce qu�elle peut apprécier aujourd�hui.

Je pense aussi à monsieur KENGNE Emmanuel pour son soutien moral.

Je demande à tous les enseignants du département de mathématiques de L�École Normale

Supérieure de Yaoundé I, de recevoir mes vifs remerciements.

Je remercie également tous mes camarades de l�Université de Yaoundé I, plus particuliè-

rement ceux de L�Ecole Normale Supérieure de Yaoundé, je pense ici aux étudiants Douanla

Frédéric, SONMI Nana carlos et TSAFACK Ngouné sagesse dont l�aide a été très importante

dans la réalisation de ce travail.

Que tous ceux que j�ai oubliés et qui se reconnaissent, trouvent ici mes remerciements les

plus profonds.

ii

| Résumé |

Dans ce travail, il est question pour nous de dé�nir la transformée de Fourier,del�utiliser

pour résoudre les équations di¤érentielles ordinaires du second degré et d�élargir cette me-

thode à des équations aux dérivées partielles.

iii

| Abstract |

In this work, we de�ne the Fourier�s transforms,to use it in solving ordinary second-order

di¤erential equations and extend this method to partial di¤erential equations.

iv

| Introduction |

La résolution de certaines équations de la physique mathématique requiert le plus sou-

vent l�utilisation des séries de Fourier, de la transformée de Fourier et quelque fois de la

transformée de Hankel.

Joseph Fourier mathématicien français a¢ rma dans un mémoire daté de 1807 ; qu�il etait

possible ; dans certaines conditions, de décomposer une fonction périodique sous la forme

d�une somme in�nie de signaux sinusoidaux appelés : séries de Fourier. Ensuite, il essaya

d�étendre cette décomposition aux fonctions non périodiques : transformée de Fourier.

La richessesse qu�apporte la théorie des distributions sur celle des fonctions ou des me-

sures provient fondamentalement du fait que les distributions sont destinées à être dérivée.

La di¢ culté initiale (une fonction, même continue, n�est pas toujours dérivable) est com-

plètement éliminée : considérée comme distribution, toute fonction continue est dérivable ;

la dérivabilité s�étend même à des fonctions discontinues qui sont dérivables autant de fois

qu�on le veut.

L�objectif de ce travail est de résoudre une équation di¤érentielle linéaire du second degré

à coe¢ cients constants par la transformée de Fourier. Pour ce faire, nous avons réparti notre

travail en trois chapitres.

Le premier porte sur la transformée de Fourier et ses propriétés. Dans le second chapitre,

nous utilisons la transformée de Fourier pour résoudre quelques équations di¤érentielles

ordinaires du second degré. Nous terminerons au chapitre trois par la transformée de Fourier

des équations aux dérivées partielles.

1

? ? Chapitre Un ? ?

Tranformée de Fourier

La théorie des distributions a apporté les outils mathématiques dont les ingénieurs avaient

besoin. Elle s�est révélée en particulier être un moyen exceptionnel pour comprendre le pro-

duit de convolution et la transformée de Fourier, instruments puissants de calcul en trai-

tement de signal. Il est d�ailleurs symptomatique qu�un des premiers articles de Laurent

Schwartz sur les distributions ait été publié dans les annales de télécommunications. Dans ce

chapitre nous allons dé�nir la transformée de Fourier, le produit de convolution, les propriétés

qui s�y attachent et quelques exemples.

1.1 Espaces fondamentaux

1.1.1 Dé�nitions

Dé�nition 1.1. On appelle support d�une fonction f , l�adhérance de l�ensemble

fx 2 R , f(x) 6= 0g: On le note suppf .

Dé�nition 1.2. Soit un ouvert de Rn. On désigne par D() l�espace vectoriel des fonctions

de classe C1 à support compact dans .

Dé�nition 1.3. Soit un ouvert de Rn. On désigne par S() l�espace vectoriel des fonctions

de classe C1 telle que pour tout (m; k) 2 N2; � = (�1; �2; :::; �n) 2 Nn; j�j = �1+�2+:::+�n;

Pm;k(f) = supx2Rnj�j�k

((1 + jxj2)mD�f(x)) soit �ni. Il est encore appelé espace de Schwartz.

Dé�nition 1.4. Soit un ouvert de Rn: On appelle distribution sur ; toute forme linéaire

continue sur D().

C�est-à-dire T : D()! C est une distribution si :

� T est linéaire : T (�f + �g) = �T (f) + �T (g) pour tout �; � 2 C et f; g 2 D()

2

1.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER

� T est continue : pour tout compact K de ,il existe mK 2 N; cK > 0 tels que

jT (f)j = j hT; fi j � cK supx2K jD�f(x)j avec j�j � mK :

Remarque: 1.1.1. (PK;m)m est une famille de semi-normes sur l�espace des fonctions com-

plexes de classe Ck dé�nies sur :

PK;m(f) = supfjD�f(x)j; x 2 K; j�j � mg: K compact de (ouvert de Rn):

Dé�nition 1.5. On appelle distribution tempérée sur ; toute forme linéaire cotinue sur

S(): C�est-à-dire une distribution T : S() ! C linéaire tel qu�il existe(m; k) 2 N2 et

A � 0 véri�ant j hT; fi j � APK;m(f): On note S 0() l�espace des distributions tempérées sur

:

Remarque: 1.1.2. On a les inclusions continues suivantes : D() � L1() � S(); et en

passant au dual on obtient : S 0() � L1() � D0():

1.

Dé�nition 1.6. On appelle ordre d�une distribution T 2 D0(); le plus petit entier

naturel mK telque la continuité de T soit satisfaite.

S�il n�existe pas un tel entier, on dit que T est d�ordre in�ni.

1.1.2 Exemples

Soit un ouvert de Rn:

1. Soit x0 2 ; f une fonction localement intégrable sur;T : D() �! C

f 7�! f(x0)est

une distribution sur notée �x0 et qu�on appelle distribution (d�ordre 0) de Dirac au

point x0:

2. Soit f 2 L1(Rn);Tf : D() �! C

g 7�!Z

f(x)g(x)dx = hTf ; giest une distribution sur

; appelé distribution (d�ordre 0) associé à f .

1.2 Transformée de Fourier

Le son est de nature ondulatoire. Il correspond à une vibration qui se propage dans le

temps. Pourtant, lorqu�on écoute un instrument de musique, on n�entend pas une vibration

DIPES II 2012 3


(une fonction du temps), mais une note ; c�est-à-dire une fréquence. Notre oreille a donc pesé

le poids relatif de chaque fréquence dans le signal temporel : elle a calculé la transformée de

Fourier du signal original.

Soit f : R ! R une application.

Dé�nition 1.7. On dit que f est localement intégrable sur R si f est intégrable sur tout

compact de R. C�est-à-dire pour tout [a; b] � R;Z b

a

f(x)dx existe.

Remarque: 1.2.1. Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables.

Et l�inclusion est stricte ; la fonction partie entière est localement intégrable mais non conti-

nue.

Dé�nition 1.8. Soit f une fonction dé�nie sur R et I = [�p; p] un intervalle de R tels que

f soit 2p-périodique.

On appelle série de Fourier de f la série ci-dessous :

a02+Xn�1

�an cos(

n�x

p) + bn sin(

n�x

p)

�(1.1)

où

8>>>>><>>>>>:an =

1

p

Z p

�pf(x) cos(

n�x

p)dx; 8n 2 N

bn =1

p

Z p

�pf(x) sin(

n�x

p)dx:

(1.2)

Une approche intuitive du problème est la généralisation des séries de Fourier aux

fonctions non périodiques. Elle consiste à faire tendre la période vers l�in�ni. Ainsi on a les

dé�nitions suivantes :

Dé�nition 1.9. Soit f une fonction appartenant à L1(Rn).

On appelle transformée de Fourier de f , la fonction F(f) dé�nie de Rn vers C telle

que pour tout � 2 Rn

F(f)(�) =ZRnf(x)e�2�i�xdx: (1.3)

De cette dé�nition, on peut dire que la transformée de Fourier est une opération qui trans-

forme une fonction intégrable sur Rn en une autre fonction décrivant le spectre fréquentiel

de cette dernière.

DIPES II 2012 4


1.2.1 Propriétés fondamentales

Si f 2 L1(Rn), alors F (�) = F(f)(�) est de limite nulle en �1 et +1.

Preuve. Cf[5].

1.2.2 Linéarité

Propriété 1.1. La transformation de Fourier est une application linéaire de L1(Rn) dans

F (Rn;C).

Cette propriété est essentielle pour pouvoir utiliser la transformée de Fourier dans la

résolution des systèmes physiques linéaires.

1.2.3 Continuité

Propriété 1.2. La transformée de Fourier est continue et bornée.

Preuve. En e¤et, pour tout f 2 L1(Rn); � 2 Rn; F(f)(�) =RRn e

�2�i�xf(x)dx.

8� 2 Rn la fonction x 7�! e�2i��xf(x) est intégrable car je�2�i�xf(x)j � jf(x)j ;8x 2 R.

8x 2 Rn la fonction x 7�! e�2i��xf(x) est continue sur Rn et je�2�i�xf(x)j � jf(x)j , 8� 2 Rn

et f intégrable, d�ou F(f) est continue sur Rn.

De plus on a :

jF(f)(�)j = jRe�2�i�xf(x)dxj

�Rje�2�i�xjjf(x)jdx 8� 2 Rn

�Rjf(x)jdx

= kfkL1(Rn)

On en déduit que

jjF(f)jj � jjf jjL1(Rn) où jjF(f)jj1 = supfjF(f)(�)j; � 2 Rng

d�où F est bornée.

Théorème 1.1. (théorème et dé�nition)

1) F : S(Rn) ! S(Rn) est un automorphisme topologique. Son inverse est noté F et

dé�ni par :

F(f)(�) =ZRnf(x)e2�i�xdx:

DIPES II 2012 5


et on a FF =FF=idS(Rn)2) : F : S 0(Rn) ! S 0(Rn) est un automorphisme topologique lorsque S 0(Rn) est munit

de la topologie duale forte ou faible et aussi, FF =FF=idS0(Rn)Preuve. Cf[5]

1.2.4 Symétrie

Propriété 1.3. (Symétrie) Soit f 2 L1(Rn). 8t; � 2 Rn. Posons f_(t) = f(�t) on

a :

F(f_)(�) = F(f)(��):

Preuve. En e¤et,

F(f_)(�) =Z +1

�1f(�t)e�2�i�tdt

=

Z +1

�1f(u)e2�i�udu ici on a posé u = �t

=

Z +1

�1f(u)e�2�i(��)udu

= F(f)(��)

donc

8f 2 L1(Rn); 8t; � 2 Rn F(f_)(�) = F(f)(��):

1.2.5 Transformée de Fourier d�une translation

Propriété 1.4. Soit T 2 R. Soit f une fonction dé�nie sur Rn. On note fT (x) = f(x� T ).

Si f 2 L1(Rn) alors F(fT )(�) = e�2�i�TF(f)(�).

Preuve. En e¤et,

F(fT )(�) =ZRnfT (x)e

�2�i�xdx

=

ZRnf(x� T )e�2�i�xdx:

On pose t = x� T . Alors

F(fT )(�) =ZRnf(t)e�2�i�(t+T )dt

= e�2�i�TZRnf(t)e�2�i�tdt

= e�2�i�TF(f)(�)

DIPES II 2012 6


donc F(fT )(�) = e�2�i�TF(f)(�):

On déduit que F(f)(�) = e2�i�TF(f)(�� T ):

1.2.6 Transformée de Fourier d�une homothétie

Propriété 1.5. Soient k > 0 et f : R �! C. On note fk(x) = f(kx). Si f 2 L1(Rn) alors

F(fk)(�) =1

kF(f)(�

k):

Propriété 1.6. Soit f 2 L1(Rn).

1. Si f est dérivable alors 8� 2 Rn, F( @f@ti)(�) = 2�i�iF(f)(�).

2. Ce résultat peut se généraliser pour la dérivation d�ordre n 8n 2 N�, c�est-à-dire

si f est de classe Cn alors 8� 2 Rn, F(D�f)(�) = (2�i�)�F(f)(�), avec � =

(�1; �2; :::; �n) 2 Rn; j�j � n.

Preuve.

1.

F(@f@ti)(�) =

ZRn

@f

@ti(t)e�2�i�tdt

=

ZRn�1

dt0ZR

@f

@ti(t)e�2�i�tdti où t�=(t1,t2,...ti�1,ti+1,...tn)

=

ZRn�1

dt0f lima!+1

Z a

�a

@f

@ti(t)e�2�i�tdtig

= lima!+1

ZRn�1

dt0f[e�2�i�tf(t)]a�a + 2i��iZ a

�af(t)e�2�i�tdtig

Soit F : ti 7! F (ti) =

ZRn�1

jf(t)jdt0:F est intégrable sur R; donc limti!+1 F (t) = 0:

Ainsi,

F(@f@ti)(�) = 2i��i

ZRnf(t)e�2�i�tdt

= 2�i�iF(f)(�):

Preuve.

1. Se fait Par récurrence sur �

On constate que les opérations de dérivations n fois se réduisent à des multiplications

par (2��)n.

DIPES II 2012 7


Cette propriété est le principal intérêt de la transformée de Fourier. Elle permet de rem-

placer les opérations compliquées d�intégrations ou de dérivations par des divisions ou des

multiplications.

1.2.7 Dérivée de la transformée de Fourier

Propriété 1.7. Soit f 2 L1(Rn).

1. Si x 7�! xf 2 L1(R) alors 8� 2 R la dérivée de la transformée de Fourier de f est

dé�nie par :d

d�F(f)(�) = F(�2�ixf)(�) = �2�iF(xf)(�):

2. Si 8n 2 N� x 7�! xnf 2 L1(Rn) alors 8� 2 Rn

D�F(f)(�) = F((�2�ix)�f)(�):

Preuve.

1.d

d�F(f)(�) = d

d�

�Z +1

�1f(t)e�2�i�tdt

�=

Z +1

�1

d

d�f(t)e�2�i�tdt

=

Z +1

�1�2�itf(t)e�2�i�tdt

= �2�iZ +1

�1tf(t)e�2�i�tdt

= �2�iF(xf)(�):

2. Se fait Par recurrence sur n.

1.2.8 Produit de convolution

Dé�nition 1.10. Soient f et g deux applications de Rn dans Rn telles que f; g 2 L1(Rn).

On appelle produit de convolution de f et g si elle existe la fonction f � g dé�nie par :

(f � g)(x) =ZRnf(x� y)g(y)dy 8x 2 Rn

Propriété 1.8. Le produit de convolution est commutatif, associatif et distributif.

Preuve. Cf[1].

DIPES II 2012 8


Théorème 1.2 (d�échange). Soient f; g 2 L1(Rn) telles que f � g 2 L1(Rn). Alors on a :

1. F(f � g) = F(f) � F(g) ;

2. F(f � g) = F(f) � F(g).

Preuve. Cas où n=2. Posons a = (a1; a2) , da = da1da2, � = (�1; �2) et x = (x1; x2).

1-Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) =ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx

or,ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx =

ZR2

�ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)da

�e�2�i�xdx

=

ZR2

ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)e�i2��xdadx (Fubini)

=

ZR2

�ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)e�2�i�(x�a)da

�e�i2��adx:

En é¤ectuant le changement de variables b = x� a, on obtientZR2

�ZR2f1(a1; a2)f2(b1; b2)e

i�bda

�e�2�i�adb =

ZR

�ZRf1(a1; a2)f2(b1; b2)e

�i2��bda

�e�2�i�adb

=

�ZR2f1(a1; a2)e

�2�i�a� �Z

R2f2(b1; b2)e

�2�i�b�(Fubini)

= [F(f1)(�1; �2] : [F(f2)(�1; �2]

= F(f1)(�)F(f2)(�):

On a donc

Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) =

ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx

= F(f1)(�)F(f2)(�)

= F(f1)(�)F(f2)(�):

2-

Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g(�1; �2) = Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)(�1; �2) car F est linéaire

=

ZR2f1(x1; x2)f2(x1; x2)e

�i2��xdx:

En utilisant le fait que f2(x1; x2) =ZR2F(f2)(�)ei2��xd� � = (�1; �2), on obtientZ

R2f1(x1; x2)f2(x1; x2e

�2�i�xdx =

ZR2f1(x1; x2)

�ZR2F(f2)(�)ei2��

�e�i�x

=

ZR2

ZR2f1(x1; x2)F(f2)(�)ei2�x(��)d�dx

=

ZR2

�ZR2f1(x1; x2)e

�i2�x(��)dx

�F(f2)(�)d�:

DIPES II 2012 9

1.3. QUELQUES EXEMPLES DE CALCUL DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER

Ainsi,

Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g(�1; �2) =

ZR2

�ZR2f1(x1; x2)e

�i2�x(��)dx

�F(f2)(�)d�

=

ZR2(F(f1)(�� )F(f1)(�)d�

=

ZR2F(f1)(�� )F(f2)(�)d�

= (F(f1) � F(f2))(�)

Le cas n entier naturel quelconque se montre de façon similaire.

Il vient du Théorème 1:3 ci-dessus que :

� La transformée de Fourier d�un produit de convolution est le produit des transformées

de Fourier.

� La transformée de Fourier d�un produit est le produit de convolution des transformées

de Fourier.

Ce théorème d�échange est l�un des théorèmes les plus important de la transformée de

Fourier dans la résolution des systèmes linéaires.

1.3 Quelques exemples de calcul de la transformée de

Fourier

Dans ce paragraphe, nous allons étudier quelques fonctions pour lesquelles le calcul de la

transformée de Fourier peut être simple.

Pour chacune des fonctions qui suivent, avant de calculer sa transformée de Fourier, nous

commencerons par donner son expression analytique. Ensuite, nous prouverons qu�elle est

bien dé�nie dans l�espace L1(R).

1.3.1 Exemple 1 : fonction "fenêtre"

� Dé�nition

La fonction "fenêtre" fF (t) est dé�nie par l�expression analytique suivante :

fF (t) =

8<:1

28t 2 [�1; 1]

0 8t =2 [�1; 1]

L�intégrale de fF (t) sur R valant 1, il est clair que cette fonction appartient à L1(R).

DIPES II 2012 10


� Calcul de sa transformée de Fourier

� Pour � = 0 on a F(fF )(0) =ZRfF (x)dx =

Z 1

�1

1

2dx = 1.

� pour � 6= 0, on a F(fF )(�) =Z 1

�1e�2�i�xdx =

1

2

�e�2i�w

�i2�w

�1�1

ce qui donne

F(fF )(�) =e�2�� e2��4�i�

=sin(2��)

2��:

1.3.2 Exemple 2 : fonction "exponentielle décroissante "

� Dé�nition

La fonction exponentielle décroissante fe(t) est dé�nie sur R par l�expression analytique

suivante :

fe(t) = e�jtj:Z

Rfe(t)dt =

Z �1

+1e�jtjdt

=

Z 0

�1etdt+

Z +1

0

e�tdt

= 2;

c�est-à-dire que fe 2 L1(R).

� Calcul de sa transformée de Fourier

F(fe)(�) =ZRfe(t)e

�2�i�tdt

=

Z 0

�1ete�2�i�tdt+

Z +1

0

e�te�2�i�tdt

=

Z 0

�1e(1�2�i�)tdt+

Z +1

0

e�(1+2�i�)tdt

=

�e(1�2�i�)t

1� 2�i�

�0�1

+

�e�(1+2�i�)t

1 + 2�i�

�0�1

=1

1� 2�i� +1

1 + 2�i�

=2

1 + 4�2�2

Soit �nalement F(fe)(�) =2

1 + 4�2�2.

DIPES II 2012 11


1.3.3 Exemple 3 : fonction "cloche"

� Dé�nition

La fonction "cloche" est dé�nie sur R par l�expression analytique suivante : fc(t) =1

1 + t2.

Cette fonction appartient à L1(R) carZR

1

1 + t2dt = 2�.

� Calcul de sa de transformée de Fourier

On a la relation F(fe)(�) =2

1 + (2��)2= 2fc(2��), c�est-à-dire 2F(fc)(2��) = fe(�),

on obtient F(fc)(�) = �e�j�j .

1.3.4 Exemple 3 la mesure de Dirac

� Dé�nition

La mesure de Dirac est dé�nie par :

�n(t) =

8>>><>>>:0 si t < �1=2n

n si t 2 [�1=2n; 1=2n]

0 si t > 1=2n

où n 2 R+ ; �0(t) = 0 et limn!+1 �n(t) = �(t):

� Dé�nition On appelle fonction généralisée de Dirac ; la distribution � telle queZRf(t)�(t� t0)dt = f(t0):

� Calcul de sa de transformée de Fourier La transformée de Fourier de la mesure

de Dirac est :

F(�n)(�) = e2i��n:

DIPES II 2012 12


1.3.5 Remarques générales sur le calcul des transformées de Fou-

rier

Le calcul de la transformée de Fourier de certaines foncttions en revenant à la dé�nition

peut s�avérer compliquer et demander des calculs supplémentaires.C�est le cas par exemple

de la fonction fenètre dont on a besoin du téorème des résidus :

F(fc)(�) =Z +1

�1

e�2�i�t

1 + t2dt

Après décomposition de la fonction en "éléments simples" on obtient

F(fc)(�) =1

2

Z +1

�1

e�2�i�t

1 + itdt+

1

2

Z +1

�1

e�2�i�t

1� it dt:

En faisant le changement de variables u = t� i et v = t+ i cela donne :

F(fc)(�) = �i

2e2��

Zu = t� i

t 2 R

e�i2��u

udu+

Zv = t+ i

t 2 R

e�i2��v

vdv:

DIPES II 2012 13

? ? Chapitre Deux ? ?

Transformée de Fourier d�une

équation di¤érentielle ordinaire du

second degré

Nous donnons dans cette partie deux exemples de résolution d�équations di¤érentielles

linéaires du second degré à coe¢ cients constants. Nous résolvons d�une part de façon classique

et d�autre part par la transformée de Fourier. En�n nous généralisons au cas d�une équation

di¤érentielle linéaire d�ordre n quelconque à coe¢ cients constants.

2.1 Rappel sur la résolution d�une équation di¤éren-

tielle ordinaire du second degré.

La forme générale de telles équations est :

ad2f

dx2+ b

df

dx+ cf = g

où a; b et c sont les constantes et g une fonction arbitraire.On rappelle ici une methode

de résolution :

1. Résolution de l�équation homogène associée :

ad2f

dx2+ b

df

dx+ cf = 0

2. Recherche d�une solution particuliere de l�équation avec second menbre.

14

2.1. RAPPEL SUR LA RÉSOLUTION D�UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

ORDINAIRE DU SECOND DEGRÉ.

3. La solution s�obtient en superposant la solution homogène avec la solution particulière.

4. On détermine les constantes d�intégration à partir des conditions aux limites et/ou

conditions initiales.

2.1.1 Exemple

Un cas particulier est celui d�un pendule (de masse ponctuelle) en oscillations forcés (un

couple de forces est exercé). Le modèle le plus simple décrivant ce problème est donné par

l�équation de l�oscillateur harmonique :

d2f

dx2� w20

df

dx= g

où f est l�angle du pendule avec la verticale ; w0 la pulsation propre. Dans cet exemple

nous choississons arbitrairement g(t) = Y (t) sin(t) où Y est la fonction de Heaviside dé�nie

par :

Y (t) =

8<: 1 si t > 0

0 si t < 0

�Résolution de l�équation homogène.L�équation carctéristique associée à cette équa-

tion est :

r2 � w20 = 0

La résolution de du polynome caractéristique nous donne r1;2 = �w0. Par conséquent la

solution de l�équation homogène est une combinaison linéaire des fonctions ew0tet e�w0t:Et

comme Y (t) + Y (�t) = 1; on a alors :

fh(t) = AY (t)e�w0t +BY (�t)ew0t

où A et B sont des réels quelconques.

� Recherche de la solution particulière.

Généralement, on cherche cette solution sous la forme de l�excitation. Dans notre cas

nous allons chercher la solution particulière sous la forme

fp(t) = (at+ b) sin(t)

DIPES II 2012 15

2.1. RAPPEL SUR LA RÉSOLUTION D�UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

ORDINAIRE DU SECOND DEGRÉ.

En injectant cette solution particulière dans l�équation intiale, on trouve une équation de

compatibilité :

�(at+ b) sin(t) + 2a cos(t)� w20(at+ b) sin(t) = sin(t) si t > 0

Par identi�cation, on trouve a = 0 et b = � 1w20+1

:

� La solution générale est donc donnée par

f(t) = AY (t)e�w0t +BY (�t)ew0t � sin(t)

w20 + 1si t > 0

ou plus présisément

f(t) = AY (t)e�w0t +BY (�t)ew0t � Y (t) sin(t)w20 + 1

avec A;B 2 R:

� Déterminons à présent les coe¢ cients A et B pour que l�équation de départ soit satis-

faite.

Calculons d�abord la dérivée de Y.

f 0(t) = A[�(t)e�w0t � w0Y (t)e�w0t] +B[��(t)ew0t + w0Y (�t)ew0t]�1

w20 + 1(�(t) sin t+ Y (t) cos t)

= A[� � w0Y (t)e�w0t] +B[�� + w0Y (�t)ew0t]�Y (t) cos t

w20 + 1

car pour toute fonction f continue et g 2 D(R); on a : hf�; gi = h�; fgi = (fg)(0) =

f(0)g(0) = hf(0)�; gi : Donc f� = f(0)�:

De même on a

f 00(t) = A[�0 � w0� + w20Y (t)e�w0t] +B[��0 � w0� + w20Y (�t)ew0t]�1

w20 + 1(� � Y (t) sin t)

En remplaçant dans l�équation di¤érentielle de départ, on a par identi�cation8<: A�B = 0

A+B = � 1w0(w20+1)

ce qui donne

A = B = � 1

2w0(w20 + 1):

DIPES II 2012 16

2.2. UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER

Ainsi, on obtient

f(t) = �Y (t) sin t

w20+1� Y (t)e�w0t

2w0(w20+1)� Y (�t)ew0t

2w0(w20+1):

2.2 Utilisation de la transformée de Fourier

Dans ce paragraphe nous allons résoudre les équations di¤érentielles ordinaires du second

degré par transformée de Fourier.

Théorème 2.1. L�unique solution tempérée de l�équation di¤érentielle

ad2f

dx2+ b

df

dx+ cf = g

est donnée par

f = F (1

�4�2t2a+ 2i�tb+ c) � g

où g est aussi une fonction tempérée.

Preuve. En appliquant la transfomée de Fourier à cette équation di¤érentielle ordinaire

on obtient :

(�4�2t2a+ 2i�tb+ c)�F(f) = F(g)

c�est-à-dire

F(f) = F (1

�4�2t2a+ 2i�tb+ c)�F(g)

et par transformée de Fourier inverse on obtient �nalement

f = F( 1

�4�2t2a+ 2i�tb+ c)� g

Proposition 2.1.d2f

dx2+ �f = 0

admet une unique solution tempérée si � < 0:

DIPES II 2012 17


Preuve. Cette équation admet une unique solution tempérée si et seulement si l�équation

homogène associé admet une unique solution.En appliquant la transformée de Fourier à cette

dernière,on a :

(�4�2t2+�)�F(f) = 0:Elle admet unique solution si et seulement si �4�2t2+� 6= 0 ;

c�est-à-dire �4�2t2 6= � et donc � doit etre inférieur à 0.

2.2.1 Exemples

Exemple 1

Réprenons l�exemple précédent où on avait l�équation di¤érentielle

d2f

dx2� w20f = Y (t) sin(t)

D�après ce qui précède,la solution de cette équation est donnée(puisque l�excitation est

une fonction tempérée) par :

f(t) = �F( 1

4�2t2 + w20)� Y (t) sin(t)

� Calculons d�abord F( 14�2t2+w20

)

1. Soit la fonction f(t) = Y (t)e�w0t, calculons sa transformée de Fourier.

F(f)(t) =Z +1

0

e�w0xe�2�itxdx

=

Z 0

�1e�x(w0+2i�t)dx

= � 1

w0 + 2i�t

�e�x(w0+2i�t)

�+10

=1

w0 + 2i�t

Donc F(f)(t)= 1w0+2i�t

:

Et par transformée de Fourier inverse, on obtient :

F( 1

w0 + 2i�x)(t) = Y (t)e�w0t

DIPES II 2012 18


Par un resonnement similaire, on trouve aussi

F( 1

w0 � 2i�x)(t) = Y (�t)ew0t

et en remarquant que

1

4�2t2 + w20=

1

2w0(

1

w0 + 2i�t+

1

w0 � 2i�t)

on en déduit que

F( 1

4�2t2 + w20)(t)=

1

2w0(Y (t)e�w0t + Y (�t)ew0t):

La solution de l�équation di¤érentielle proposé est alors

f(t) = �Y (t) sin(t)� 1

2w0(Y (t)e�w0t + Y (�t)ew0t)

= � 1

2w0(Y (t) sin(t)�Y (t)e�w0t)� 1

2w0(Y (t) sin(t)�Y (�t)ew0t)

= � 1

2w0

Z +1

�1Y (x) sin(x)Y (x� t)e�w0(x�t)dt� 1

2w0

Z +1

�1Y (x) sin(x)Y (�x+ t)ew0(x�t)dt

1. � Remarquons que

Y (t) =

8<: 1 si t > 0

0 si t < 0

et

Y (x� t) =

8<: 1 si x > t

0 si x < t

Donc avec t > 0 on a soit x > t; x < t soit t > 0 et x < t: f se divise alors en deux

intégrales à savoir :

f(t) = � 1

2w0

Z +1

0

sin(x)ew0(x�t)dx si t < 0

et

f(t) = � 1

2w0[

Z +1

0

sin xe�w0(x�t)dx+

Z +1

t

sin xew0(x�t)dx] si t > 0

qui par une double intégration par parties nous donne

DIPES II 2012 19


1.

f(t) =

8>>><>>>:� sin tw20+1

� ew0t

2w0(w20+1)si t > 0

� e�w0t

2w0(w20+1)si t < 0

Cette fonction est C1 sur les ouverts ]�1; 0[ et]�1; 0[.

limt!0=

f(t) = limt!0�

f(t) = � 1

2w0(w20 + 1):

Donc f est continue en 0(et on a f(0) = � 12w0(w20+1)

).Donc dérivable au sens des

distributions.Ainsi,l�unique solution de l�équation di¤érentielle proposée est donc

f(t) = �Y (t) sin t

w20+1� Y (t)e�w0t

2w0(w20+1)� Y (�t)ew0t

2w0(w20+1):

Exemple 2

Résolvons dans D0+(R) l�équation di¤érentielle

d2f

dt2+ f = Y (t) sin(t)

1. Recherche d�une solution élémentaire de l�équation

d2f

dt2+ f = �

Nous la cherchons sous la forme

fe(t) = Y (t)g(t)

où g est une fonction deux fois dérivable:Ainsi,

f0

e(t) = Y 0(t)g(t) + Y (t)g0(t)

= �(t)g(t) + Y (t)g0(t)

= g(0)� + Y (t)g0(t)

�(t)g(t) = g(0)� puisque le support de � est f0g

et la dérivée seconde nous donne

f00

e (t) = Y (t)g00(t) + g0(0)� + g(0)�

0:

DIPES II 2012 20


Et en remplacant dans l�équation à second menbre �; on trouve8<: g00(t) + g(t) = 0

g(0) = 0 et g0(0) = 1

La résolution de cette équation nous donne g(t) = A sin t+B sin t où A et B sont des

constantes à déterminer.En tenant compte du fait que g(0) = 0 et g0(0) = 1;on obtient

�nalement

g(t) = sin t

c�est-à-dire

fe(t) = Y (t) sin(t):

2. L�unique solution de l�équation de départ s�obtient par produit de convolution de la

solution élémentaire avec le second menbre de l�équation dé¤érentielle.Ceci dit,

f(t) = (Y (x) sin(x)�Y (x) sin(x))(t)

=

Z +1

�1Y (x)Y (t� x) sin(x) sin(t� x)dx

=

8><>:Z t

0

sin(t) sin(t� x)dx si t > 0

0 si t < 0

En calculant cette intégral et en tenant compte du fait que

sin p sin q =1

2(cos(p� q)� cos(p+ q))

on trouve

f(t) =

8<: 12(sin(t)� t cos(t)) si t > 0

0 si t < 0

soit

f(t) = Y (t)2(sin(t)� t cos(t)):

La résolution d�une équation di¤érentielle ordinaire du second degré avec la transformée

de Fourier est plus rapide que la résolution classique.toute fois il faut bien maitriser le calcul

de la transformée de Fourier.Par un raisonnement analogue,on peut résoudre une équation

di¤érentielle ordinaire de degré quelconque.

Théorème 2.2. L�unique solution tempérée de l�équation di¤érentielle ordinaire

DIPES II 2012 21


andnf

dxn+ an�1

dn�1f

dxn�1+ :::+ a0f = g

est donnée par

f = F( 1

an(2i�t)n + an�1(2i�t)n�1 + :::+ a0)�g:

où g est une fonction tempérée et la déconposition en éléments simples de

1

an(2i�t)n + an�1(2i�t)n�1 + :::+ a0

facilite le calcul de sa transformée de Fourier inverse.

Preuve. En appliquant la transformée de Fourier à l�équation di¤érentielle précédente,

on obtient :

an(2i�t)nF(f) + an�1(2i�t)n�1F(f) + :::+ a0F(f) = F(g)

ou encore

[an(2i�t)n + an�1(2i�t)

n�1 + :::+ a0]F(f) = F(g)

et si

an(2i�t)n + an�1(2i�t)

n�1 + :::+ a0 6= 0

alors

F(f) = 1

an(2i�t)n + an�1(2i�t)n�1 + :::+ a0F(g)

et par transformation de Fourier inverse, on trouve alors

f = F( 1

an(2i�t)n + an�1(2i�t)n�1 + :::+ a0) �g:

Nous venons de voir comment résoudre une équation di¤érentielle en utilisant la trans-

formée de Fourier.Dans le chapitre suivant nous allons étandre cette methode de résolution

aux équations aux dérivées partielles.

DIPES II 2012 22

? ? Chapitre Trois ? ?

Transformée de Fourier d�une

équation aux dérivées partielles

Comme nous avons pas de forme générale pour les équations aux dérivées partielles,nous

allons examiner quelques cas particuliers et essayer d�en tirer des enseignements et faire si

possible la comparaison avec la résolution classique.

3.1 Rappels sur la transformée de Fourier d�une fonc-

tion à plusieurs variables

3.1.1 Transformée de Fourier d�une fonction à deux variables

Soit f(x; y) une fonction à deux variables dé�nie sur R2 telle que :

� pour x �xé, la fonction y 7�! f(x; y) 2 L1(R) ;

� pour y �xé la fonction x 7�! f(x; y) 2 L1(R) ;

� f(x; y) 2 L1(R2).

En �xant y et en considérant f(x; y) comme uniquement une fonction de x, on a d�après

la dé�nition de la transformée de Fourier d�une fonction a une variable

F (�; y) = F(f(x; y))(�; y) =Z 1

�1f(x; y)e�2�i�xdx: (3.1)

De même en considérant F (�; y) comme uniquement une fonction de y, on à

F (�; �) = F(f(x; y))(�; y) =Z 1

�1F (�; y)e�2�i�ydy: (3.2)

23

3.1. RAPPELS SUR LA TRANSFORMÉE DE FOURIER D�UNE FONCTION À

PLUSIEURS VARIABLES

En combinant (3:1) et (3:2), on obtient

F (�; �) =

Z 1

�1

�Z 1

1f(x; y)e�2�i�xdx

�e�2�i�ydy

=

Z 1

�1

Z 1

�1f(x; y)e�2�i(�x+�y)dxdy:

On peut ainsi conclure que

F (�; �) =

Z 1

�1

Z 1

�1f(x; y)e�2�i(�x+�y)dxdy (3.3)

qui est la transformée de Fourier de f(x; y).

Remarque: 3.1.1. On peut étendre cette dé�nition sur Rn n > 2.

Soit f une fonction dé�nie sur Rn, n � 1 telle que :

� 8xi 2 R, i = 1; :::; nZRjf(x1; :::; xi; :::; xn)j dxi <1

� f(x1; :::; xn) 2 L1(Rn) ;

alors on a

F (�1; �2; :::; �n) =

ZRnf(x1; x2; :::; xn)e

�2�i�xdx

où � = (�1; �2; :::; �n), dx = dx1 � dx2 � :::� dxn et �x = �1x1 + �2x2 + :::+ �nxn.

Propriété 3.1. De même qu�au chapitre 1, si f est une fonction dé�nie sur S(R2) telle que

F (�; �) soit sa transformée de Fourier alors

f(x; y) =

Z 1

�1

Z 1

�1F (�; �)e�2�i(�x+�y)d�d�: (3.4)

Preuve. En e¤et, d�après la formule (3.1) F (�; y) admet pour inverse

f(x; y) =

Z 1

�1F (�; y)e2�i�ydy: (3.5)

De même on a

F (�; y) =

Z 1

�1F (�; �)e2�i�ydy: (3.6)

En combinant (3:5) et(3:6), on obtient

f(x; y) =

Z 1

�1

�Z 1

1F (�; �)e2�i�xdx

�ei2��ydy

=

Z 1

�1

Z 1

�1F (�; �)e2�i(�x+�y)dxdy (Fubini):

DIPES II 2012 24

3.1. RAPPELS SUR LA TRANSFORMÉE DE FOURIER D�UNE FONCTION À

PLUSIEURS VARIABLES

3.1.2 Produit de convolution de deux fonctions à deux variables

Dé�nition 3.1. Soient f1 et f2 deux fonctions à deux variables dé�nies sur R2 telles que

f1; f2 2 L1(R2) et f1:f2 2 L1(R2).

On appelle produit de convolution de f1 et f2 la fonction dé�nie par :

(f1 � f2)(x1; x2) =ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)da1da2:

Remarque: 3.1.2. De même que le produit de convolution d�une fonction à une variable,

il est commutatif, associatif et distributif par rapport à la loi +.

3.1.3 Théorème d�échange

Théorème 3.1. Soient f1 et f2 deux fonctions à deux variables dé�nies sur R2. 8(�1; �2); (x1; x2) 2

R2, on a :

1. Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) = F(f1(x1; x2))(�1; �2):F(f2(x1; x2))(�1; �2)

2. Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g = F(f2(x1; x2)) � F(f1(x1; x2)).

Preuve. Posons a = (a1; a2) , da = da1da2, � = (�1; �2) et x = (x1; x2).

1-Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) =ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx

or,ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx =

ZR2

�ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)da

�e�2�i�xdx

=

ZR2

ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)e�i2��xdadx (Fubini)

=

ZR2

�ZR2f1(a1; a2)f2(x1 � a1; x2 � a2)e�2�i�(x�a)da

�e�i2��adx:

En é¤ectuant le changement de variables b = x� a, on obtientZR2

�ZR2f1(a1; a2)f2(b1; b2)e

i�bda

�e�2�i�adb =

ZR

�ZRf1(a1; a2)f2(b1; b2)e

�i2��bda

�e�2�i�adb

=

�ZR2f1(a1; a2)e

�2�i�a� �Z

R2f2(b1; b2)e

�2�i�b�(Fubini)

= [F(f1)(�1; �2] : [F(f2)(�1; �2]

= F(f1)(�)F(f2)(�):

On a donc

Fff1(x1; x2) � f2(x1; x2)g(�1; �2) =

ZR2f1(x1; x2) � f2(x1; x2)e�2�i�xdx

= F(f1)(�)F(f2)(�)

= F(f1)(�)F(f2)(�):

DIPES II 2012 25

3.2. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CHALEUR

2-

Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g(�1; �2) = Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)(�1; �2) car F est linéaire

=

ZR2f1(x1; x2)f2(x1; x2)e

�i2��xdx:

En utilisant le fait que f2(x1; x2) =ZR2F(f2)(�)ei2��xd� � = (�1; �2), on obtientZ

R2f1(x1; x2)f2(x1; x2e

�2�i�xdx =

ZR2f1(x1; x2)

�ZR2F(f2)(�)ei2��

�e�i�x

=

ZR2

ZR2f1(x1; x2)F(f2)(�)ei2�x(��)d�dx

=

ZR2

�ZR2f1(x1; x2)e

�i2�x(��)dx

�F(f2)(�)d�:

Ainsi,

Fff1(x1; x2)f2(x1; x2)g(�1; �2) =

ZR2

�ZR2f1(x1; x2)e

�i2�x(��)dx

�F(f2)(�)d�

=

ZR2(F(f1)(�� )F(f1)(�)d�

=

ZR2F(f1)(�� )F(f2)(�)d�

= (F(f1) � F(f2))(�)

d�où 1 et 2.

3.2 Application à l�équation de la chaleur

Dans ce paragraphe, nous utiliserons premièrement la résolution classique et deuxième-

ment la transformée de Fourier pour résoudre l�équation de la propagation de la chaleur dans

une barre in�nie.

Equation 8>>><>>>:@u

@t= K

@2u

@x2

u(x; 0) = f(x); où �1 < x < +1 t > 0 (a)

ju(x; t)j < M (b)

(3.7)

1)-Première méthode : résolution classique

Pour trouver la solution, appliquons la méthode de séparation des variables qui consiste

à rechercher une solution particulière de cette équation sous forme de produit de deux fonc-

tions.

DIPES II 2012 26


Posons

u(x; t) = X(x)T (t): (3.8)

En portant (3.2) dans l�équation (3.1), on aura : X(x)T (t) = KX 00(x)T (t) ou

T 0

KT=X 00

X= C: (3.9)

Chacun de ces rapports ne peut dépendre respectivement ni de x ni de t, et c�est pourquoi

on les égale à une constante C.

- Si C = O alors (3.3) devient8<: T 0 = 0

X 00 = 0=)

8<: T = a

X = bx+ c

où a; b et c sont des réels. Il en résulte de cela que u(x; t) = a(bx+ c).

Pour que u(x; t) soit bornée il faudrait que b = 0. On a donc u(x; t) = ac.

Dans ce cas , f(x) = 0 car, u(x; 0) = f(x) =) f(x) = ab et u(0; t) = 0 =) ab = 0. Ce qui

contredit l�hypothèse f 6= 0. Par conséquent, C 6= 0.

- supposons C > 0, c�est-à-dire 9� 2 R = C = �2. Alors l�équation (3.3) devientT 0

KT= X00

X= �2. Nous obtenons de cette, égalité le système8<: T 0 �K�2T = 0

X 00 � �2X = 0:(3.10)

En utilisant l�équation caractéristique, le système (3.4) implique8<: T = A1eK�2t

X = A2 cos�x+B2 sin�x;

d�où u(x; t) = eK�t(A cos�x+B sin�x) où A = A1A2 ; B = A1B2.

Pour que u(x; t) soit bornée il faut que eK�2t �! 0, c�est-à-dire t �! �1. u(x; t) est dé�ni

pour t > 0 d�où u(x; t) n�est pas bornée. C�est-à-dire que C n�est pas positif.

D�après ces deux résultats ci-dessus, on conclut que C est négatif.

- C < 0 implique qu�il existe � 2 R tel que C = ��2 et l�équation (3.3) devientT 0

KT= X00

X= ��2, c�est-à-dire que 8<: T 0 �K�2T = 0

X 00 � �2X = 0(3.11)

DIPES II 2012 27


En utilisant l�équation caractéristique, on obtient

T = Ce�K�2t et X = A cos�x+B sin�x:

En remplaçant T et X par leurs expressions dans (3:2), on obtient

u�(x; t) = e�K�2t[A(�) cos�x+B(�) sin�x]: (3.12)

(La constante C est incluse dans A(�) et B(�))

Pour chaque valeur de �, on obtient une solution de la forme (3.6). Les constantes arbitraires

A et B ont pour chaque valeur de � des valeurs dé�nies. C�est pourquoi on peut estimer que

A et B sont des fonctions de �.

En intégrant l�expression (3.6) par rapport au paramètre � entre 0 et 1, on obtient

u(x; t) =

Z +1

0

e�K�2t[A(�) cos�x+B(�) sin�x]d�: (3.13)

La somme des solutions de la forme (3.6) est aussi une solution (du fait de la linéarité de

(3.1)).

En posant t = 0 on obtient en vertu de la condition (a)

u(x; 0) = f(x) =

Z +1

0

[A(�) cos�x+B(�) sin�x]d�: (3.14)

En supposant que la fonction f(x) est telle qu�elle peut être représentée par une intégrale

de Fourier, on a

u(x; 0) =1

�

Z +1

0

��Z +1

�1f(�) cos��d�

�cos�x+

�Z +1

�1f(�) sin��d�

�sin�x

�d�:

(3.15)

En comparant les membres de droite de (3.8) et (3.9), on obtient

A(�) =1

�

Z +1

�1f(�) cos��d�

B(�) =1

�

Z +1

�1f(�) sin��d�

9>>=>>; : (3.16)

portant (3.10) dans la formule (3.7) on obtient

u(x; t) =1

�

Z +1

0

e�K�2t

Z +1

�1(f(�) cos�� cos�xd� + sin�� sin�xd�) d�

=1

�

Z +1

0

e�K�2t

�Z +1

�1f(�) cos�(�� x)d�

�d�:

En inversant l�ordre d�intégration, on a en dé�nitive

u(x; t) =1

�

Z +1

�1

�Z +1

0

f(�)e�K�2t cos�(�� x)d�

�d�: (3.17)

DIPES II 2012 28


La relation (3.11) est la solution du problème posé ci-dessus.

- Transformons la formule (3.11) en calculant l�intégrale �gurant entre paren-

thèses. Z +1

0

e�K�2t cos�(�� x)d� = 1p

Kt

Z +1

0

e�z cos �zdz (3.18)

où � =1pKt(�� x) .

Posons K(�) =Z +1

0

e�z2

cos �zdz. On a K 0(�) = �Z +1

0

e�z2

z sin �zdz . En faisant une

intégration par parties on a : K 0(�) = 12(e�z

2sin �; t)� �

2

Z +1

0

e�z2

cos �zdz,

c�est-à-dire K 0(�) = ��2K(�). Cette équation di¤érentielle admet pour solution

K(�) = Ce��2

4 : (3.19)

-Déterminons la constante C.

Il vient de (3:13) que K(0) =Z +1

0

e�t2

dt =

p�

2.

Par conséquent dans l�inégalité (3.13) on doit avoir C =p�

2.

Ainsi,

K(�) =

p�

2e��24 : (3.20)

D�où Z +1

0

e�Kt2

dt cos�(�� x)d� =p�pkte�

�2

u :

En remplaçant K(�) par sa valeur dans (3.12) on obtientZ +1

0

e�Kt2

dt cos�(�� x)d� = 1

2

r�

Kte�

(��x)24Kt : (3.21)

Portant cette expression (3.15) dans (3:11) on obtient

u(x; t) =1

2pK�t

Z +1

�1f(�)e

�(�� x)24Kt d� :

Cette formule appelée intégrale de poisson, est la solution du problème posé sur la propaga-

tion de la chaleur dans une barre in�nie.

2)Deuxième méthode : utilisation de la transformée de Fourier

DIPES II 2012 29


Utilisons la transformée de Fourier pour résoudre l�équation(3:1).

En �xant t et en appliquant la transformée de Fourier par rapport à la variable x à l�équation

(3:1) on a :

Fxf@u@t g = FxfK @2u@2xg

= KFxf@2u@2xg car Fx est lin�eaire:

On a ainsi

Fxf@u

@tg = KFxf

@2u

@2xg: (3.22)

-Calculons chaque membre de l�égalité (3.22).

Fx�@u

@t

�(�; t) =

Z +1

�1

@u

@t(x; t)e�2�i�xdx

=@

@t

Z +1

�1u(x; t)e�2�i�xdx

=@

@tFx(u)(�; t) (3.23)

KFx�@2u

@x2

�(�; t) = K(2�i�)2Fx(u)(�; t) (3.24)

(d�après la Propriété 1:9 ).

En portant (3:23) et (3:24) dans l�égalité (3:22), on obtient l�équation di¤érentielle

@

@tFx(u)(�; t)� 4K�2�2Fx(u)(�; t) = 0: (3.25)

Étant donné que Fx(u) dépend seulement de t, on a

Fx(u)(�; t) = Ce�K4�2�2t: (3.26)

Pour t = 0 on a Fx(u)(�; 0) = C.

-Déterminons C.

Fx(u(x; 0))(�; 0) =Z +1

�1u(x; 0)e�2�i�xdx

=

Z +1

�1f(x)e�2�i�xdx

= Fff(x)g(�);

d�où F(u)(�; 0) = C =) C = Fff(x)g(�).

De ce fait, l�égalité (3.26) devient

Fx(u)(�; t) = Fff(x)g(�)e�K4�2�2t: (3.27)

DIPES II 2012 30


En appliquant F�1� à (3:27), on obtient :

u(x; t) = F�1�

hFff(x)g(�) e�K4�2�2t

i(x; t)

= F�1� [Fff(�)g] (x) � F�1

�

�e�K4�

2�2t�(x; t)

= f(x) � F�1�

�e�K4�

2�2t�(x; t) car Fx = F :

-DéterminonsF�1�

�e�K4�

2�2t�(x; t).

F�1�

�e�K4�

2�2t�(x; r) =

Z +1

�1e�K4�

2�2te2�i�xd�

=

Z +1

�1e�K4�

2�2t+2�i�xd�;

or,

�K4�2�2t+ 2�i�x = K4�2t��2 � i�x

K2�t

�= K4�2t

"�� ix

K4�t

��

ix

K4�t

�2#

= �4�2t�� ix

K4�t

�2� a x

2

4�t:

D�où

F��e�K4�

2�2t�(x; t) =

ZRe�4�

2kt(�� ixK4�t)

2� x2

4Ktd�

=

ZRe�

x2

4Kt e�4�2kt+

(��ix)24�Kt d�

= e�x2

4Kt

ZRe�4�

2(kt+ ��ix4�Kt)

2

d�:

En posant w = �� ix4�Kt

dw = d�, on a

F�1�

�e�K4�

2�2(x; �)�= e�

x2

4Kt

ZRe�4�

2ktw2d�

= e�x2

4Kt

�r�

4�2Kt

�(car

ZRea

2udu =

r�

a2):

Par conséquent,

u(x; t) = f(x) ��

1

2p�Kt

e�x2

4Kt

�=

Z +1

�1f(u)

1

2p�Kt

e�14kt(x�w)2dw

=1

2p�Kt

Z +1

�1f(u)e�

14Kt

(w�x)2dw:

DIPES II 2012 31

3.3. APPLICATION À L�ÉQUATION DE LA CORDE VIBRANTE

On conclut donc que

u(x; t) = 12p�Kt

Z +1

�1f(u)e�

14Kt

(w�x)2dw

qui est la solution du problème posé sur la propagation de la chaleur dans une barre in�nie

obtenue en utilisant la transformée de Fourier.

3.3 Application à l�équation de la corde vibrante

Dans ce paragraphe, nous utiliserons premièrement la résolution classique et deuxième-

ment la transformée de Fourier pour résoudre l�équation de la corde vibrante.

Equation 8>>>><>>>>:@2u

@t2= a2

@2u

@x2

u(x; 0) = f(x) (a)@u

@t(x; 0) = g(x) (b)

(3.28)

1)-Première méthode : résolution classique

Posons

X = x+ at et Y = x� at ,

on obtient alors 8>>>><>>>>:@u

@t= a(

@u

@X� @u

@Y)

@u

@x=@u

@X+@u

@Y

et par suite 8>>>><>>>>:@2u

@t2= a2(

@2u

@X2� 2 @2u

@Y @X+@2u

@Y 2)

@2u

@x2=@2u

@X2+ 2

@2u

@Y @X+@2u

@Y 2

:

L�équation aux dérivées partielle@2u

@t2= a2

@2u

@x2devient �4 @2u

@Y @X= 0:Et les solutions de

cette dernière sont de la forme

u(X;Y ) = u1(X) + u2(Y )

où u1 et u2 sont des fonctions arbitraires deux fois dérivables.

DIPES II 2012 32


Les solutions de@2u

@t2= a2

@2u

@x2sont alors de la forme

u(x; t) = u1(x+ at) + u2(x� at):

De plus,dérivons cette relation par rapport à la variable t

@u

@t(x; t) = au01(x+ at)� au02(x� at)

et en tenant compte des équations (a) et (b) on a :8<: u1(x) + u2(x) = f(x) (1)

au01(x)� au02(x) = g(x) (2)

En dérivant (1) par rapport à x, on trouve u01(x) + u02(x) = f

0(x) (3):

(2) et (3) constituent un système de Grammer (en u01 et u02) ;donc :8<: u01(x) =

12(f 0(x) + 1

ag(x))

u02(x) =12(f 0(x)� 1

ag(x))

et on en déduit 8<: u1(x) =12f(x) + 1

2a

R xx0g(z)dz + c

u02(x) =12f(x)� 1

2a

R xx0g(z)dz + d

où c et d sont des réels quelconques.Pour que (1) soit véri�é, il faut que c+ d = 0:

On en déduit l�unique solution suivante pour le problème considérée :

u(x; t) =1

2[f(x+ at) + f(x� at)] + 1

2a

Z x+at

x0

g(z)dz � 1

2a

Z x�at

x0

g(z)dz

c�est-à-dire

u(x; t) = 12[f(x+ at) + f(x� at)] + 1

2a

Z x+at

x�atg(z)dz

qui est l�unique solution de l�équation de la corde vibrante.

2)-Deuxième méthode : utilisation de la transformée de Fourier

Utilisons la transformée de Fourier pour résoudre le problème(3:28).

En �xant t et en appliquant la transformée de Fourier par rapport à la variable x à

l�équation (3:28) on a :

Fxf@2u@t2g = Fxfa2 @

2u@2xg

= a2Fxf@2u@2xg car Fx est lin�eaire:

DIPES II 2012 33


On a ainsi

Fxf@2u

@t2g = a2Fxf

@2u

@2xg: (3.29)

-Calculons chaque membre de l�égalité (3.29).

Fx�@2u

@t2

�(�; t) =

Z +1

�1

@2u

@t2(x; t)e�2�i�xdx

=@2

@t2

Z +1

�1u(x; t)e�2�i�xdx

=@2

@t2Fx(u)(�; t) (3.30)

a2Fx�@2u

@x2

�(�; t) = a2(2�i�)2Fx(u)(�; t) (3.31)

(d�après la Propriété 1:9 ).

En portant (3:30) et (3:31) dans l�égalité (3:29), on obtient l�équation di¤érentielle

@2

@t2Fx(u)(�; t)� 4a2�2�2Fx(u)(�; t) = 0: (3.32)

Étant donné que Fx(u) dépend seulement de t, on a

Fx(u)(�; t) = A cos(2�a�t) +B sin(2�a�t): (3.33)

où A et B sont des constantes arbitraires.En appliquant la transformée de Fourier aux

équations (a) et (b), on obtient8<: Fx(u)(x; 0) = F(f)(x)@@t(Fx(u))(x; 0) = F(g)(x)

En tenant compte de cela,et des équations (a) et (b) on a :8<: A = F(f)

B = 12�a�

F(g)

Ainsi donc

Fx(u)(�; t) = cos(2�a�t)F(f) +sin(2�a�t)

2�a�F(g)

Et par transformation de Fourier inverse,on obtient :

u(x; t) = f � F�1� (cos(2�a�t))(x; t) + g � F�1

� (sin(2�a�t)

2�a�)(x; t)

Et on a8>>><>>>:F�1� (cos(2�a�t))(x) =

12[�at(x) + ��at(x)]

F�1� (

sin(2�a�t)2�a�

)(x) =

8<: 12a

si x 2 [�at; at]

0 sinon(confert chapitre1)

DIPES II 2012 34


Donc

u(x; t) =1

2(f � �at + f � ��at)(x; t) +

1

2a(g � 1)(x; t) si x 2 [�at; at]

=1

2[f(x+ at) + f(x� at)] + 1

2a

Z at

�atg(x� r)dr

et en posant z = x� r, on obtient �nalement

u(x; t) = 12[f(x+ at) + f(x� at)] + 1

2a

Z x+at

x�atg(z)dz

qui est l�unique solution du problème posé.

Remarque: 3.3.1. On constate qu�en utilisant les deux méthodes ci-dessus on aboutit au

même résultat, mais celui de la prémière méthode a été obtenu après plusieurs transfor-

mations.On constate aussi qu�en appliquant la transformée de Fourier à une équation aux

dérivées partielles,celle-ci devient une équation di¤érentielle ordinaire et on procède par la

suite comme au chapitre deux.

DIPES II 2012 35

| Conclusion et Perspectives |

L�objectif de ce travail était de :

- Dé�nir la transformée de Fourier ;

-établir ses proprétés ;

-résoudre les équations aux dérivées partielles en utilisant la transformée de Fourier ;

-résoudre quelques équations aux dérivées partielles avec cette methode.

Au terme de celui ci, nous pouvons retenir que :

-Pour toute fonction f 2 L1(R),sa transformée de Fourier est donnée par : F(f)(�) =ZRf(x)e�2��xdx ,qu�en appliquant la transformée de Fourier à une équation di¤érentielle or-

dinaire,elle devient une équation simple à inconnue transformée de Fourier et la résolution de-

vient plus simple.Et en appliquant cette méthode à une équation aux dérivées partielles,celle-

ci devient une équation di¤érentielle ordinaire et on procède comme précédemment.

Ces résultats nous ont permis de résoudre l�équation de la chaleur et l�équation de la

chaleur et l�équation de la corde vibrante. Cependant il est important de signaler que nous

nous sommes limités aux fonctions à deux variables.

Si la fonction u à n variables avec n > 2 comment résoudre l�équation aux dérivées par-

tielles en utilisant cette methode ? La réponse à cette question pourrait faire l�objet de nos

prochaines recherches.

36

| Bibliographie |

[1] CARSLAW.H.S, Introduction to the theory of Fourier�s series and integrals ; University

Press Glasgow, 1906.

[2] Hanna.J, Rowland.J.H : Fourier Series, Transforms, and boundary value problems ; A

Wiley-intersection publication New York, 1990.

[3] Maruis Tucsnack, Distributions et équations fondamentalesde la Physique.

[4] Spigel.M.R, theory and problems of Fourier analysis with application to boundary

value problems ; New York, 1974.

[5] Vretblad.A, Fourier Analysis and its Applications ; Springer New York, 2003.

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Master essay in : Applying the Fourier transform to solve ODEs and PDEs

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