Post on 23-Apr-2023
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
BAB III
MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIATE PADA DERET
BERKALA MUSIMAN
Model fungsi transfer multivariat pada deret berkala pola musiman adalah
penggabungan beberapa karakteristik dari model ARIMA univariat pola musiman
dan analisis regresi berganda, sehingga menjadi suatu model yang menggabungkan
pendekatan deret berkala pola musiman dengan pendekatan kausal. Model fungsi
transfer pola musiman ini memodelkan deret berkala output (ππ‘) yang diperkirakan
akan dipengaruhi oleh beberapa deret berkala input (ππ‘), dan input-input lainnya
yang digabungkan dalam satu kelompok sebagai faktor gangguan (noise) ππ‘.
Seluruh sistem tersebut adalah sistem yang dinamis, dengan kata lain deret input
ππ‘ memberikan pengaruh kepada deret output melalui fungsi transfer, yang
mendistribusikan dampak ππ‘ melalui beberapa periode waktu yang akan datang.
3.1 Deret Berkala Pola Musiman
Menurut Makridakis dkk. (1999, hlm.356), musiman merupakan suatu pola
yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Apabila pada deret
memperlihatkan suatu pola musim tertentu secara konsisten, maka koefisien
autokorelasi dengan lag 12 bulan untuk data bulanan dan lag 4 untuk data kuartal
akan mempunyai nilai positif yang tinggi yang memperlihatkan adanya pengaruh
musiman. Deret berkala pola musiman memiliki karakteristik yang ditunjukkan
dengan adanya korelasi beruntun yang kuat pada jarak semusim, yaitu waktu yang
berkaitan dengan banyak observasi per periode musim. Metode peramalan dengan
adanya pola musiman adalah dekomposisi, exponensial smoothing winter, dan
seasonal Autoregresive Integrated Moving Average (SARIMA)
3.1.1 Seasonal Autoregresive Integrated Moving Average (SARIMA)
Secara umum ππ‘ didalamnya mengandung korelasi periode yang mewakili
korelasi antara ...ππ‘β2, ππ‘β1, ππ‘ , ππ‘+1, β¦ . Box jenkins mengusulkan bahwa korelasi
antara observasi dalam periode musim dapat dikenal dengan anggapan bahwa input
20
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
gerakan pada ARIMA musimam tidak independen, melainkan beruntun korelasi.
Diketahui bahwa ππ‘ dihasilkan oleh model pola musiman :
ππ(π΅π) (1 β π΅π)π·ππ‘ = ππ(π΅π)ππ‘ (3.1)
dengan ππ‘ merupakan input gerakan non musiman yang dihasilkan oleh proses
ARIMA, dengan proses ARIMA yang memiliki bentuk umum yaitu :
ππ(π΅)(1 β π΅)πππ‘ = ππ(π΅) ππ‘ (3.2)
Apabila persamaan (3.1) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2) maka
diperoleh bentuk model ARIMA musiman yang dapat dinyatakan sebagai SARIMA
(p, d, q)(P, D, Q )π yang berbentuk:
ππ(π΅)ππ(π΅π)(1 β π΅)π(1 β π΅)π·ππ‘ = ππ(π΅)ππ(π΅π)ππ‘ (3.3)
ππ‘ =ππ(π΅)ππ(π΅π)ππ‘
ππ(π΅)ππ(π΅π)(1 β π΅)π(1 β π΅)π·
dengan
ππ(π΅) = (1 β π1π΅ β π2π΅2 β β― β πππ΅π) merupakan operator AR(p),
ππ(π΅) = (1 β π1π΅ β π2π΅2 β β― β πππ΅π) merupakan operator MA(q),
ππ(π΅π) = (1 β π1π΅π β π2π΅2π β β― β πππ΅ππ) merupakan operator AR(P) pola
musiman,
ππ(π΅π) = (1 β π1π΅π β π2π΅2π β β― β πππ΅ππ) merupakan operator MA(Q) pola
musiman,
g adalah banyak periode per musim.
3.2 Model Fungsi Transfer
Model fungsi transfer merupakan model yang berbeda dengan ARIMA,
karena model ARIMA hanya menghubungkan deret dari data masa lalu, sementara
model fungsi transfer menghubungkan deret dari data masa lalu dan
menghubungkan deret tersebut dengan deret berkala lainnya. Tujuan model fungsi
transfer adalah untuk menetapkan model sederhana, yang menghubungkan ππ‘
dengan ππ‘ dan ππ‘
21
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Konsep fungsi transfer ditunjukan pada Gambar 3.1 berikut:
Gambar 3.1 Konsep Fungsi Transfer
Menurut Makridakis dkk. (1999, hlm.448), bentuk umum model fungsi transfer
tunggal adalah:
ππ‘ = π£(π΅)ππ‘ + ππ‘ (3.4)
dengan
ππ‘ menyatakan deret output,
ππ‘ menyatakan deret input,
ππ‘ menyatakan pengaruh kombinasi dari seluruh faktor yang mempengaruhi ππ‘,
π£(π΅) = (π£0 + π£1π΅ + π£2π΅2 + β― + π£ππ΅π) fungsi transfer dengan k adalah orde
fungsi transfer.
Deret input dan output dari persamaan (3.4) dapat ditransformasikan, dalam
hal ini dengan melakukan penyelisihan supaya model stasioner. Untuk
membedakan data mentah ππ‘, ππ‘, ππ‘ pada persamaan (3.4) dengan data yang telah
ditransformasi, data hasil transformasi ditulis menggunakan huruf kecil xt, yt, nt.
Orde dari fungsi transfer adalah k (menjadi orde tertinggi untuk proses
penyelisihan) dan nilainya terkadang dapat lebih besar dari banyaknya lag pada
korelasi silang. Oleh karena itu nilai π tidak terlalu dibatasi sehingga model fungsi
transfer dapat ditulis sebagai :
π¦π‘ =π(π΅)
πΏ(π΅)π₯π‘βπ +
π(π΅)
π(π΅)ππ‘ (3.5)
Seluruh pengaruh
lain (noise) ππ‘
Deret
output ππ‘ Fungsi
transfer
Deret
input ππ‘
22
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
dengan π(π΅) =π(π΅)π΅π
πΏ(π΅) dan ππ‘ =
π(π΅)
π(π΅)ππ‘
dimana
π(π΅) = π0 β π1π΅ β π2π΅2 β β― β ππ π΅π
πΏ(π΅) = 1 β πΏ1π΅ β πΏ2π΅2 β β― β πΏππ΅π,
π(π΅) = 1 β π1π΅ β π2π΅2 β β― β πππ΅π,
π(π΅) = 1 β π1π΅ β π2π΅2 β β― β πππ΅π,
π¦π‘ merupakan nilai ππ‘ yang telah ditransformasi dengan penyelisihan,
π₯π‘ merupakan nilai ππ‘ yang telah ditransformasi dengan penyelisihan,
ππ‘ merupakan nilai gangguan random,
r,s,p,q,b menyatakan konstanta.
Pada fungsi transfer multivariat terdapat beberapa variabel input π₯π‘ yang
dimasukkan pada bentuk pemodelan. Bentuk umum persamaan fungsi transfer
multivariat sebagai berikut:(Wei, 2006, hlm.362)
π¦π‘ = β π£π(π΅)π₯ππ‘ + ππ‘ππ=1 (3.6)
π£π(π΅) =ππ(π΅)π΅ππ
πΏπ(π΅) fungsi transfer ke-j untuk deret input π₯ππ‘, j = 1,2,β¦,k.
Persamaan (3.6) dapat pula dinyatakan sebagai berikut:
π¦π‘ = β [πΏπ(π΅)]β1
ππ(π΅)π΅πππ₯ππ‘ + [ππ(π΅)]β1
ππ(π΅)ππ‘ππ=1 (3.7)
dengan
π¦π‘ merupakan variabel dependen,
π₯ππ‘ merupakan variabel independen ke-j,
ππ(π΅) merupakan operator moving average orde sj untuk variabel ke-j,
πΏπ(π΅) merupakan operator autoregressive orde rj untuk variabel ke-j,
ππ(π΅) merupakan operator moving average orde q,
ππ(π΅) merupakan operator autoregressive orde p,
ππ‘ merupakan nilai gangguan acak.
23
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Apabila deret input π₯ππ‘ dan π₯ππ‘ tidak berkorelasi untuk i β j, maka analisis
dan perhitungannya sama seperti model fungsi transfer input tunggal. Sedangkan
untuk deret multivariat π₯ππ‘ dengan i β j yang saling berkorelasi perlu dilakukan
analisis korelasi silang (cross correlation) antar deret berkala untuk mengetahui
deret mana yang harus dikeluarkan dari model.
3.3 Prosedur Pembentukan Model Fungsi Transfer Multivariat
Terdapat empat tahap utama dalam prosedur pembentukan model fungsi
transfer multivariat untuk deret input (ππ‘) dan deret output (ππ‘) yaitu:
(Makridakis dkk, 1999, hlm.450)
3.3.1 Tahap Pertama : Identifikasi Bentuk Model
1) Mempersiapkan deret input dan deret output tunggal
Pada tahap ini dilakukan identifikasi kestasioneran deret input dan deret
output. Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata maka untuk menghilangkan
ketidakstasionerannya adalah dengan melakukan penyelisihan dengan cara
mentransformasikan deret-deret input dan output. Transformasi yang biasa
digunakan : (Makridakis dkk, 1999, hlm.451)
(1 β π΅)ππ‘ = π₯π‘
(1 β π΅)ππ‘ = π¦π‘ (3.8)
2) Pemutihan deret input
Pemutihan deret input bertujuan untuk membuat deret input menjadi lebih
dapat diatur dengan menghilangkan seluruh pola yang diketahui supaya yang
tertinggal hanya white noise. Pemutihan deret input π₯π‘ dengan proses ARIMA
(ππ₯, 0, ππ₯) dapat didefinisikan dengan :
ππ₯(π΅)π₯π‘ = ππ₯(π΅)πΌπ‘ (3.9)
sehingga, deret πΌπ‘ menjadi:
ππ₯(π΅)
ππ₯(π΅)π₯π‘ = πΌπ‘ (3.10)
3) Pemutihan deret output
24
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Fungsi transfer yang akan ditetapkan yaitu memetakan π₯π‘ kedalam π¦π‘. Jika
suatu transformasi pemutihan diterapkan untuk π₯π‘ maka harus menerapkan
transformasi yang sama untuk π¦π‘. Transformasi pada π¦π‘ tidak harus mengubah
π¦π‘ menjadi white noise, tetapi deret π¦π‘ yang telah diputihkan menjadi deret π½π‘,
adalah :
ππ₯(π΅)
ππ₯(π΅)π¦π‘ = π½π‘ (3.11)
4) Perhitungan korelasi silang dan autokorelasi deret input dan deret output
yang telah diputihkan.
Kovarian antara dua variabel π dan π ditetapkan sebagai berikut:
πΆπ₯π¦ = πΈ{(π β οΏ½Μ οΏ½)(π β οΏ½Μ οΏ½)}
Bentuk ini dapat digunakan untuk menetapkan dua varian yaitu πΆπ₯π₯ dan
πΆπ¦π¦. Dengan memasang subskrip waktu di bawah variabel π dan π dan dengan
memisalkan k sebagai time lag (beda waktu pada setiap pasangan data).
Kovarians silang πΆπ₯π¦(π) dan πΆπ¦π₯(π) adalah:
πΆπ₯π¦(π) = πΈ{(ππ‘ β οΏ½Μ οΏ½)(ππ‘+π β οΏ½Μ οΏ½)} (3.12)
πΆπ¦π₯(π) = πΈ{(ππ‘ β οΏ½Μ οΏ½)(ππ‘+π β οΏ½Μ οΏ½)} (3.13)
dengan π = 0,1,2,3, β¦ dan setererusnya. Persamaan (3.12) dan (3.13)
didefinisikan sebagai ekspektasi. Dalam prakteknya, taksiran kovarians-silang
dihitung dengan rumus sebagai berikut:
πΆπ₯π¦(π) =1
πβ (ππ‘ β οΏ½Μ οΏ½)(ππ‘+π β οΏ½Μ οΏ½)πβπ
π‘=1 (3.14)
πΆπ¦π₯(π) =1
πβ (ππ‘ β οΏ½Μ οΏ½)(ππ‘+π β οΏ½Μ οΏ½)πβπ
π‘=1 (3.15)
Kovarians silang dapat diubah menjadi korelasi silang dengan membagi
kovarians tersebut oleh dua standar deviasi sebagai berikut:
ππ₯π¦(π) = οΏ½ΜοΏ½ππ(π) =πΆππ(π)
βπΆππ(0)πΆππ(0)=
πΆπ₯π¦(π)
ππ₯ ππ¦ (3.16)
Dimana k β₯ 0.
Rumus standar error berikut digunakan untuk memeriksa apakah ππ₯π¦(π)
berbeda nyata dari nol atau tidak.(Wei, 2006, hlm.330)
ππΈππ₯π¦(π)=
1
βπβπ (3.17)
25
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Apabila pada uji korelasi silang ππ₯π¦(π), π₯π‘ tidak saling berkorelasi dengan
π¦π‘ maka π₯π‘ merupakan white noise dengan korelasi silang yang diharapkan
adalah nol, dengan k = 0 sehingga ππΈππ₯π¦(π)=
1
βπ, tetapi apabila uji korelasi
silang ππ₯π¦(π), π₯π‘ berkorelasi dengan π¦π‘ maka π₯π‘ merupakan indikator penentu
terhadap π¦π‘ dengan k > 0.
Pada model fungsi transfer multivariat perhitungan korelasi silang pada
masing-masing input π₯ terhadap output π¦ digunakan untuk mengetahui nilai
(π, π , π) yang diidentifikasi dari plot korelasi silang. Setelah diperoleh nilai
(π, π , π) pada masing-masing input, lalu dilakukan korelasi silang serentak
antara nilai π¦ terhadap seluruh variabel inputnya.
5) Penaksir langsung bobot respon impuls
Setelah menentukan korelasi silang, langkah selanjutnya yaitu melakukan
penaksiran langsung bobot respon impuls. Bobot respon impuls ini berguna
untuk menghitung deret noise. Untuk penaksiran bobot respon impuls secara
langsung rumusnya adalah sebagai berikut:
π£π =ππΌπ½(π)ππ½
ππΌ (3.18)
dengan
ππΌπ½(π) menyatakan nilai dari korelasi silang antara πΌπ‘ dan π½π‘ pada lag ke-k,
ππ½ menyatakan standar deviasi dari deret output yang telah diputihkan,
ππΌ menyatakan standar deviasi dari deret input yang telah diputihkan.
6) Penetapan (π, π , π) untuk model fungsi
Tiga parameter kunci dalam model fungsi transfer adalah (π, π , π), π
menunjukkan derajat fungsi πΏ(π΅), π menunjukkan derajat fungsi π(π΅) dan π
menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada subskrip dari π₯π‘βπ pada
persamaan
π¦π‘ =π(π΅)
πΏ(π΅)π₯π‘βπ +
π(π΅)
π(π΅)πΌπ‘ (3.19)
26
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Berikut ini beberapa aturan yang dapat digunakan untuk menduga nilai
π, π , π dari suatu fungsi transfer:
a. Nilai π menyatakan bahwa π¦π‘ tidak dipengaruhi oleh π₯π‘ sampai periode π‘ +
π. Besarnya π dapat ditentukan dari lag yang pertama kali signifikan pada
plot korelasi silang. Nilai ini merupakan nilai yang paling mudah ditentukan
apabila korelasi silang diperoleh dari ππΌπ½(0) = ππΌπ½(1) = ππΌπ½(2) = 0 tetapi
ππΌπ½(3) = 0,5 maka dapat ditentukan π = 3, dengan kata lain terdapat tiga
periode sebelum runtun waktu input Ξ± mulai mempengaruhi runtun waktu
output Ξ².
b. Nilai π menyatakan seberapa lama deret output (π¦π‘) terus menerus
dipengaruhi oleh π₯π‘βπβ1, π₯π‘βπβ2, β¦ , π₯π‘βπβπ sehingga dapat dikatakan
bahwa nilai π adalah bilangan pada lag plot korelasi silang sebelum
terjadinya pola menurun.
c. Nilai π menunjukkan bahwa π¦π‘ dipengaruhi oleh nilai masa lalunya yaitu
π¦π‘β1, β¦ , π¦π‘βπ.
π = 0, bila ada beberapa lag plot pada korelasi silang yang terpotong.
π = 1, bila plot pada korelasi silang menunjukan suatu pola eksponensial
menurun.
π = 2, bila plot pada korelasi silang menunjukan suatu pola eksponensial
menurun dan pola sinus.
Berikut beberapa bentuk fungsi transfer yang umum digunakan dalam
peramalan: (Wei, 2006, hlm.325)
Tabel 3.1 Model Fungsi Transfer dengan π = π
(π, π , π) Fungsi Transfer
(0,0,2)
(0,1,2)
(0,2,2)
π£(π΅)π₯π‘ = π0π₯π‘β2
π£(π΅)π₯π‘ = (π0 β π1)π₯π‘β2
π£(π΅)π₯π‘ = (π0 β π1π΅ β π2π΅2)π₯π‘β2
27
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Tabel 3.2 Model Fungsi Transfer dengan π = π
(π, π , π) Fungsi Transfer
(1,0,2)
(1,1,2)
(1,2,2)
π£(π΅)π₯π‘ =π0
(1 β πΏ1π΅)π₯π‘β2
π£(π΅)π₯π‘ =(π0 β π1π΅)
(1 β πΏ1π΅)π₯π‘β2
π£(π΅)π₯π‘ =(π0 β π1π΅ β π2π΅2)
(1 β πΏ1π΅)π₯π‘β2
Tabel 3.3 Model Fungsi Transfer dengan π = π
(π, π , π) Fungsi Transfer
(2,0,2)
(2,1,2)
(2,2,2)
π£(π΅)π₯π‘ =π0
(1 β πΏ1π΅ β πΏ2π΅2)π₯π‘β2
π£(π΅)π₯π‘ =(π0 β π1π΅)
(1 β πΏ1π΅ β πΏ2π΅2)π₯π‘β2
π£(π΅)π₯π‘ =(π0 β π1π΅ β π2π΅2)
(1 β πΏ1π΅ β πΏ2π΅2)π₯π‘β2
7) Penaksir awal deret gangguan (ππ‘)
Bobot respon impuls diukur secara langsung dan ini memungkinkan
dilakukannya perhitungan nilai taksiran dari deret gangguan ππ‘,
ππ‘ = π¦π‘ β οΏ½ΜοΏ½π‘
= π¦π‘ βοΏ½ΜοΏ½(π΅)
οΏ½ΜοΏ½(π΅)π΅ππ₯π‘
= π¦π‘ β π£(π΅)π₯π‘
28
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
= π¦π‘ β π£0π₯π‘ β π£1π₯π‘β1 β π£2π₯π‘β2 β β― β π£ππ₯π‘βπ (3.20)
8) Penetapan (ππ, ππ) untuk model ARIMA dari deret gangguan ππ‘
Setelah menggunakan persamaan (3.21), lalu nilai-nilai ππ‘ dianalisis dengan
cara ARIMA untuk menemukan model ARIMA yang tepat sehingga diperoleh
nilai ππ dan ππ. Dengan cara ini fungsi ππ(π΅) dan ππ(π΅) untuk deret gangguan
ππ‘ dapat diperoleh untuk mendapatkan persamaan:
ππ(π΅)ππ‘ = ππ(π΅)ππ‘ (3.21)
3.3.2 Tahap Kedua : Penaksiran Parameter Pada Model Fungsi Transfer
Setelah model ARIMA diperoleh dari deret noise, maka akan diperoleh
hasil dari suatu model fungsi transfer.
Model fungsi transfer yang telah ditentukan secara tentatif adalah :
ππ‘ = π£(π΅)ππ‘ + ππ‘
Terdapat sebuah contoh untuk mengaplikasikan model fungsi transfer dan
ARIMA. Misal digunakan model fungsi transfer (r,s,b) = (2,2,2) dan ARIMA
(p,d,q) = (2,0,1), maka bentuk model fungsi transfernya adalah :
π¦π‘ =(π0βπ1π΅βπ2π΅2)
(1βπΏ1π΅βπΏ2π΅2)π₯π‘β2 +
(1βπ1π΅)
(1βπ1π΅βπ2π΅2)ππ‘ (3.22)
Pada tahap ini akan menaksir nilai-nilai ππ, πΏπ, ππ, dan ππ, yang didapat
dengan cara mensubstitusikan persamaan khusus seperti berikut:
π£π = 0 untuk j < b
π£π = πΏ1ππβ1 + β― + πΏπππβπ + π0 untuk j = b (3.23)
π£π = πΏ1ππβ1 + β― + πΏπππβπ + ππβπ untuk j = b+1,β¦,b+s
π£π = πΏ1ππβ1 + β― + πΏπππβπ untuk j > b+s
Jika rumus ini digunakan dengan menggunakan contoh dari model fungsi
transfer pada persamaan (3.23) dengan nilai (π, π , π) = (2,2,2), maka akan
menghasilkan rumus:
π£0 = 0 (1)
π£1 = 0 (2)
π£2 = πΏ1π£1 + πΏ2π£0 + π0 (3)
29
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
π£3 = πΏ1π£2 + πΏ2π£1 β π1 (4)
π£4 = πΏ1π£3 + πΏ2π£2 β π2 (5)
π£5 = πΏ1π£4 + πΏ2π£3 (6)
π£6 = πΏ1π£5 + πΏ2π£4 (7)
π£7 = πΏ1π£6 + πΏ2π£5 (8)
dengan menggunakan pembobotan impuls, maka akan didapat nilai-nilai parameter
yang diperlukan dengan cara mensubstitusikannya.
3.3.3 Tahap Ketiga : Pemeriksaan Diagnosis Model Fungsi Transfer
Tunggal
Pada tahap ini diperlukan pengecekan deret gangguan ππ‘ dan hubungan
deret ππ‘ dengan πΌπ‘. Deret ππ‘ yang sudah didapat melalui tahap 1 dan 2, secara
umum bentuk model fungsi transfer adalah:
π¦π‘ =π(π΅)
πΏ(π΅)π₯π‘βπ +
π(π΅)
π(π΅)ππ‘ (3.24)
Bila persamaan (3.25) dikalikan dengan πΏ(π΅)π(π΅) diperoleh :
πΏ(π΅)π(π΅)π¦π‘ = π(π΅)π(π΅)π₯π‘βπ + πΏ(π΅)π(π΅)ππ‘ (3.25)
ππ‘ dapat diekspresikan sebagai fungsi dari berbagai macam nilai y, nilai x dan nilai
a sebelumnya.
Berikut adalah contoh tahap penguraian bentuk ππ‘, misal model fungsi transfer yang
digunakan adalah model fungsi transfer (r,s,b) = (1,1,1) dan model ARIMA (p,d,q)
= (1,0,1), maka bentuk model fungsi transfernya adalah :
π¦π‘ =(π0 β π1π΅)
(1 β πΏ1π΅)π₯π‘β1 +
(1 β π1π΅)
(1 β π1π΅)ππ‘
Lalu kalikan setiap parameter dengan (1 β πΏ1π΅)(1 β π1π΅) diperoleh:
(1 β πΏ1π΅)(1 β π1π΅)π¦π‘ = (π0 β π1π΅)(1 β π1π΅)π₯π‘β1 +
(1 β π1π΅)(1 β πΏ1π΅)ππ‘
Dengan melakukan penguraian perkalian diatas, maka π¦π‘ menjadi :
(1 β π1π΅ β πΏ1π΅ + πΏ1π1π΅2)π¦π‘ = (π0 β π0π1π΅ β π1π΅ + π1π1π΅2)π₯π‘β1
+( 1 β πΏ1π΅ β π1π΅ + π1πΏ1π΅2) ππ‘
π¦π‘ β (π1 + πΏ1)π¦π‘β1 + (πΏ1π1)π¦π‘β2 = (π0)π₯π‘β1 β (π0π1 + π1)π₯π‘β2 +
(π1π1)π₯π‘β3 + ππ‘ β (πΏ1 + π1)ππ‘β1 + (π1πΏ1)ππ‘β2
30
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
π¦π‘ = (π1 + πΏ1)π¦π‘β1 β (πΏ1π1)π¦π‘β2 + (π0)π₯π‘β1 β (π0π1 + π1)π₯π‘β2 +
(π1π1)π₯π‘β3 + ππ‘ β (πΏ1 + π1)ππ‘β1 + (π1πΏ1)ππ‘β2 (3.26)
Persamaan (3.27) dapat digunakan untuk peramalan, tetapi terdapat parameter yang
harus dicari yaitu ππ‘, sehingga diperoleh nilai ππ‘ dari persamaan (3.27) yaitu:
ππ‘ = π¦π‘ β (π1 + πΏ1)π¦π‘β1 + (πΏ1π1)π¦π‘β2 β (π0)π₯π‘β1 + (π0π1 + π1)π₯π‘β2 β
(π1π1)π₯π‘β3 + (πΏ1 + π1)ππ‘β1 β (π1πΏ1)ππ‘β2 (3.27)
3.3.4 Tahap Keempat : Peramalan Model Fungsi Transfer Multivariat
Peramalan fungsi transfer multivariat dilakukan dengan cara memodelkan
seluruh variabel yang sudah diidentifikasi sebelumnya secara serentak. Identifikasi
nilai-nilai bobot respon impuls dan korelasi silang dijadikan dasar dalam
pemodelan yang menghasilkan fungsi transfer multivariat. Cara yang dilakukan
dalam model fungsi transfer multivariat sama halnya yang dilakukan pada model
input tunggal. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut :
1) Mengidentifikasi deret input dan output untuk mengetahui kestasioneran
dan menentukan orde model ARIMA.
2) Menghitung estimasi parameter model ARIMA yang sesuai untuk masing-
masing deret input. Lalu dilakukan uji untuk mengetahui model memenuhi proses
white noise atau belum.
3) Dilakukan korelasi silang untuk masing-masing deret input terhadap deret
output. Korelasi silang berguna untuk menghitung deret noise dan juga menentukan
orde model fungsi transfer yakni dengan mengidentifikasi plot korelasi silang.
4) Menentukan nilai π, π , π pada masing-masing deret dan menghitung nilai
gangguan (ππ‘) sehingga model fungsi transfer input tunggal selesai terbentuk.
Tahapan tersebut merupakan pembentukan model fungsi transfer input tunggal.
Sedangkan untuk model fungsi transfer multivariat dilakukan dengan cara :
5) Nilai π, π , π masing-masing deret input yang telah didapat lalu dilakukan
estimasi secara serentak.
6) nilai gangguan gabungannya didapat dari rumus
ππ‘ = π¦π‘ β οΏ½ΜοΏ½π‘
31
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
= π¦π‘ β β π£π(π΅)π₯π‘βπππ=0 (3.28)
Nilai-nilai (π, π , π) yang telah diidentifikasi dalam model fungsi transfer input
tunggal dijumlahkan sehingga model multivariat menjadi
π¦π‘ = βππ(π΅)
πΏπ(π΅)π΅πππ₯ππ‘ +
π(π΅)
π(π΅)ππ‘
ππ=1 (3.29)
atau
π¦π‘ = β π£π(π΅)π₯ππ‘ + ππ‘
π
π=1
3.4 Model Fungsi Transfer Pola Musiman
Pada subbab sebelumnya tidak disebutkan bahwa model fungsi transfer
mengandung pola tertentu sehingga membuat deret berkala menjadi tidak stasioner,
dimana ini merupakan perluasan dari model fungsi transfer yaitu model fungsi
transfer dengan deret berkala pola musiman, deret berkala pada subbab (3.1.1)
memiliki bentuk ARIMA (π, π, π) menjadi SARIMA (π, π, π)(π, π·, π)π, sehingga
perluasan dari model fungsi transfer (3.5) untuk model fungsi transfer bivariat
dengan pola musiman menjadi : (Chiogna, M, 2011, hlm.3)
ππ‘ =π(π΅)Ξ©(π΅π)
πΏ(π΅)Ξ(π΅π)ππ‘βπ +
π(π΅)π(π΅π)
(1βπ΅)π(1βπ΅π)π·π(π΅)π(π΅π)ππ‘ (3.30)
dimana
Ξ©(π΅π) = Ξ©0 β Ξ©1π΅π β Ξ©2π΅2π β β― β Ξ©ππ΅ππ,
Ξ(π΅π) = 1 β Ξ1π΅π β Ξ2π΅2π β β― β Ξπ π΅π π,
π(π΅π) = 1 β π1π΅π β π2π΅2π β β― β πππ΅ππ,
π(π΅π) = 1 β π1π΅π β π2π΅2π β β― β πππ΅ππ.
Sehingga untuk model fungsi transfer multivariat (3.7) dengan pola musiman,
berbentuk:
ππ‘ = βππ(π΅)Ξ©π(π΅π)π΅ππ
πΏπ(π΅)Ξπ(π΅π)ππ(π‘)π
π=1 +π(π΅)π(π΅π)
(1βπ΅)π(1βπ΅π)π·π(π΅)π(π΅π)ππ‘ (3.31)
Dengan :
Ξ©π(π΅π) merupakan operator moving average orde Sj untuk variabel ke-j,
Ξπ(π΅π) merupakan operator autoregressive orde Rj untuk variabel ke-j,
32
Danica Dwi Prahesti, 2016 PERAMALAN CURAH HUJAN KOTA BANDUNG MENGGUNAKAN MODEL FUNGSI TRANSFER MULTIVARIAT PADA DERET BERKALA MUSIMAN Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
ππ(π΅π) merupakan operator moving average orde Q,
ππ(π΅π) merupakan operator autoregressive orde P,
P,Q,R,S adalah konstanta,
g adalah banyak periode per musim.