Post on 26-Mar-2023
KULIAHMATEMATIKA TEKNIK
1. VEKTORDosenSYISKA YANA, ST., MT.
Departemen Teknik Elektro, Fakultas TeknikUniversitas Sumatera UtaraMedan, IndonesiaSemester GenapTA 2012/2013
1 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
Silabus1. Vektor2. Matrik3. Bilangan komplek4. Persamaan diferensial orde 15. Persamaan diferensial orde 26. Transformasi laplace7. Deret fourier8. Transformasi fourier
2 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
Referensi Anthony Croft , “Engineering Mathematics, a foundation for electronic, electrical, communications and systems engineers, 3rd edition”,Prentice Hall, 2001
Jhon Bird, "Higher Engineering Mathematic fifth edition",Elsevier Ltd., 2006
3 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
Evaluasi Tugas 20% (pokok bahasan 1-8) Quiz 10% (2 kali) UTS 35% (1-3) UAS 35% (4-8) Penilaian PAP
4 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1. VEKTOR1.1 Pengantar Vektor1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.3 Komponen Cartesian1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor1.5 Produk Skalar1.6 Produk Vektor1.7 Vektor n Dimensi
5 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.1 Pengantar Vektor Kuantitas fisik sesuatu biasanya dinyatakan dalam bentuk angka atau besar, contoh : massa sebuah batu, kecepatan sebuah kendaraan dll. Akan tetapi kuantitas fisik sesuatu tidak hanya memiliki besaran atau angka tapi juga memiliki arah, contoh : kecepatan angin 30 m/s arah utara.
Kuantitas fisik yang dinyatakan dalam angka atau bilangan tunggal disebut dengan skalar.
Sedangkan kuantitas fisik yang dinyatakan dalam angka dan memiliki arah disebut dengan vektor.
6 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Vektor : kuantitas fisik yang memiliki besar dan arah
Skalar : kuantitas fisik yang hanya memiliki besar
7 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Simbol vektor ditandai dengan a atau
Vektor ≠ dari A ke B sedangkan dari B ke A
Simbol a = simbol vektor Simbol |a|= simbol skalar
8 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.2.1 Vektor Negatif Vektor –a adalah vektor a dengan arah yang berlawanan, tapi memiliki besar yang sama dengan vektor a
= -a1.2.2 Dua vektor yang sama Dua vektor dikatakan sama jika memiliki besar dan arah yang sama.
Perhatikan gambar 1 (b), vektor dan adalah sama walaupun berbeda posisi9 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.2.3 Penjumlahan Vektor Dalam penjumlahan dua vektor berlaku hukum segitiga
Perhatikan Gambar 2, ditambah , dimana ujung diposisikan pada ujung titik B sesuai arah panah, translasi tidak mengubah arah dan besar .
10 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Dari Gambar 2 diperoleh :
Contoh 1 :Sebuah kendaraan otomatis di suatu perusahaan berfungsi memindahkan komponen-komponen peralatan listrik dari tempat A ke pekerja di tempat C, ilustrasi pada Gambar 3.Kendaraan ini bisa langsung menuju C, tapi bisa juga menuju C melalui titik B (displacement vektor/ pemindahan vektor), dengan panjang dari A sampai B,
cbaADCDAB
11 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Perpindahan dari B ke C dinyatakan dengan
Ujung dari menyentuh ujung , berlaku hukum segitiga dan diperoleh :
Dan adalah resultant dari dan
ACBCAB
12 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan SkalarContoh 2 : Penjumlahan dua gayaGaya F1 sebesar 2 N bergerak vertikal ke bawah dan F2 sebesar 3 N bergerak horizontal ke kanan (Gambar 4)
13 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Resultan F1 dan F2 diperoleh dengan translasi F1 pada ujung F2 sehingga diperoleh :
R = vektor jumlah dari F2 dan F1 dengan sudut sebesar :
Besar vektor R adalah :
RFF 21
23tan
N1332 22
14 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.2.4 Pengurangan VektorPengurangan vektor berarti penjumlahan vektor dengan vektor negatif misalnya a-b diperoleh dari a + (-b).
Contoh : Perhatikan Gambar 5
15 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.2.5 Perkalian vektor dengan skalar Diketahui k dan l adalah skalar positif a= vektor a, b = vektor b ka= vektor a dengan panjang ka dan arah yang sama
lb = vektor b dengan panjang lb dan arah yang sama
16 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan SkalarUntuk sembarang nilai k dan l, vektor a dan b,maka :
1.2.6 Unit Vektor Vektor yang memiliki panjang 1 satuan disebut unit vektor
Jika a memiliki panjang 3 maka unit vektor pada arah a adalah (1/3)a.
Unit vektor = â
akllak
lakaalkkbkabak
17 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Panjang a = |a|, sehinga unit vektor adalah :
Exercises 7.2
skalara1dan a
aaa
18 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.3 Komponen CartesianPerhatikan Gambar 7. Titik P dengan koordinat (x,y), garis OP merupakanvektor r
Panjang OP adalah |r| Jika x=I dan y=j maka :
Vektor I dan j adalah vektor orthogonal (tegak lurus θ=900 )
yjxiMPOMOPryjMPdanxiOM
19 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.3 Komponen Cartesian Menggunakan teorema phytagoras dapat dihitung panjang r :
Dapat juga ditulis dalam bentuk :
Contoh : Dua titik A dan B memiliki koordinat (5,4) dan (-3,2). Tentukan posisi vektor A dan B, vektor AB dan |AB|
22 yxr
barisvektoryxOPr
kolomvektoryxOPr
,
20 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.3 Komponen Cartesian Penyelesaian :
28
45
23
AB
abABbABaOBABOA
2323
4545
jib
jia
21 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.3 Komponen Cartesian Vektor nol : semua komponen vektor bernilai 0, skalar=0 dan panjang =0.
Kombinasi linier, dependence dan independenceDua vektor a dan b, dikali dengan skalar k1 dan k2 (k1a dan k2b) menghasilkan vektor baru yaitu vektor c = k1a+k2b.vektor c : kombinasi linier dari a dan bvektor c linier dengan a dan b, dapat dibuat persamaan :
Sehingga b linier dengan c dan a
akkc
kb
2
1
2
1
22 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.3 Komponen Cartesian Vektor a, b dan c dikatakan linier dependent (terhubung linier)
Salah satu dari vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari 2 vektor lainnya
Sekumpulan n vektor (a1,a2,…..,an) linier dependent jika :
Konstanta k1, k2,..,kn tidak bernilai nol
Jika kis=0, maka kumpulan vektor dikatakan linier independen
s=kumpulan vektor
0.....2211 nnakakak
23 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.3 Komponen Cartesian Contoh :
000
211
131
321
2915
3
: karenadependent linier adalah 211
13
915
321
:Vektor
24 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor Contoh medan skalar : Suhu ruanganSuhu disebuah ruangan yang diukur pada sembarang titik P sebesar Φ. Tinggi suhu dalam ruangan tergantung pada posisi titik mengukur suhu. Jika diukur disekitar radiator maka suhu yang terukur akan lebih tinggi dari pada suhu yang diukur di sekitar jendela. Sehingga dapat dinyatakan bahwa Φ merupakan fungsi posisi Φ(x,y,z). Φ dapat juga sebagai fungsi waktu. Temperatur / suhu adalah skalar, sehingga dapat dibuat skala pada titik P (x,y,z) dalam ruangan.
25 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor Contoh medan vektor : FluidaFluida pada sebuah titik akan berpindah dengan kecepatan dan arah tertentu. Elemen dari fluida adalah kecepatan v (merupakan sebuah vektor), sehingga diperoleh sebuah fungsi vektor (medan vektor) :
vx,vy dan vz merupakan fungsi skalar x,y dan z
kvjvivv
vvvv
zyx
zyx
,,
26 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.5 Produk Skalar (perkalian skalar) Perkalian skalar dari vektor a dan b :
Exercises 7.5
27 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) Hasil perkalian vektor a dan b adalah :
Aturan perkalian vektor :
Contoh : a. Jika :
runit vektoˆˆsin eebaba
skalar :k fdistributi
komutatifak tid
kbabkabakcabacba
abbaabba
kbabajbabaibababakbjbibbkajaiaa
122113312332
321321
:buktikan dan
28 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)b. Jika :Penyelesaian :a.
Syarat :
bakjibkjia an tentuk,23dan 32
kkbajkbaikba
kjbajjbaijbakibajibaiibakbjbibkakbjbibjakbjbibia
kbjbibkajaiaba
332313
322212312111
321332123211
321321
jkiijkkijjikikjkji
kkjjii
0
kbabajbabaibababa 122113312332
29 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)b.
kjikji
kkjkikkjjjijkijiii
kjikkjijkjiikjikjiba
75349261
132333112131122232
2332323223 32
30 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) Penyelesaian menggunakan determinanVektor a dan b dituliskan dalam bentuk matrik :
Untuk memperoleh komponen i maka :
321
321
bbbaaakji
2332
321
321baba
bbbaaakji
31 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)komponen j :
komponen k :
1331
321
321baba
bbbaaakji
1221
321
321baba
bbbaaakji
32 Syiska Yana, DTE FT USU 2013
1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)Contoh : Tentukan perkalian vektor dari :Penyelesaian :
Exercises 7.6
kjibkjia 2dan 732
kjikji
kji
kjiba
5113472143
132217122713121732
33 Syiska Yana, DTE FT USU 2013