Post on 28-Oct-2014
Standar Kompetensi :Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar :Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah
Tujuan Pembelajaran :
Dapat menentukan hasil kali skalar dua vektor di bidang dan ruang
Dapat menggunakan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor
Dapat menentukan sudut antara dua vektor Dapat menentukan hasil proyeksi skalar dua vektor Dapat menentukan vektor proyeksi orthogonal dua
vektor
07/04/23 5
6
Definisi perkalian skalar dua vektor:
. cosa b a b
dengan merupakan sudut vektor a dan b.
Jadi, perkalian skalar 2 vektor adalah suatu bilangan real yang nilainya ditentukan oleh besar sudut antara dua vektor.
7
Contoh Soal:
Diketahui vektor yang panjangnya 10 dan
vektor yang panjangnya 8 membentuk sudut 30˚.
Tentukanlah nilai dari !
a
b
a b
Diketahui 10, 8, =30a b
cos 10 8 cos30
110 8 3
240 3
a b a b
Jawab:
8
a b b a
( )a b c a b a c
* Sifat Komutatif
* Sifat Distributif
* Rumus yang sering dipakai2
a a a
9
Contoh Soal:
Apabila vektor dan vektor membentuk sudut 60° dan a
b
8, 6,a b
maka ( ) ....a a b
a. 22 b. 44 c. 66 d. 88 e. 98
Jawab:( )a a b a a a b
2cosa a b
28 8 6 cos6064 2488 (D)
10
1 1 2 2 3 3a b a b a b a b
1 2 3a a i a j a k
1 2 3b b i b j b k Misalkan
Maka
11
Jenis Sudut Nilai cos Nilai Skalar
0 90 0a b
0a b
0a b
90
90 180
cos
cos
cos
0
180
cos 1
cos 1
a b a b
a b a b
12
Contoh Soal:
Jawab:
Tentukan r agar tegak lurus dengan3a i r j k
4 .b i r j k
Tegak lurus berarti 0a b
maka
2
2
01 4 ( ) ( 3) 1 0
4 3 0
11
a b
r r
r
r
r
13
Contoh Soal:If find2 3 , 3 and a i j b i j c i j
( ) ( ) ( )a b c b c a c a b
Jawab: ( ) ( ) ( )a b c b c a c a b
a b a c b c b a c a c b
a c c a
2 a c
2 (2 1 ( 3) 1)
2 (2 3)
4 2 3
14
1 1 2 2 3 3a b a b a b a b
cosa b a b
Ingat:
diperoleh
dan
1 1 2 2 3 3cosa b a b a b a b
1 1 2 2 3 3cosa b a b a b
a b
15
Contoh Soal:
Jawab:( ) ( 2, 1, 1) (1, 1, 1)
( 1, 2, 2)
( ) ( 2, 1, 1) (1, 1, 1)( 3, 0, 0)
a b
a b
Jika dan , hitung besar sudut
antara dan
( 2, 1, 1)a
( ).a b
( )a b
(1, 1, 1)b
2 2 2
2 2 2
( 1) 2 ( 2) 3
( 3) 0 0 3
a b
a b
( ) ( ) ( 1) ( 3) 2 0 ( 2) 03
a b a b
( ) ( ) 3 1cos
3 3 3a b a b
a b a b
16
Proyeksi skalar orthogonal atau singkatnya proyeksi skalar berupa bilangan real (bisa negatif, nol, atau positif).
ba b
a cb
Proyeksi skalar pada berarti memproyeksikan dengan sebagai landasan proyeksi.
b
a
a
b
Rumus:
17
ba b
a cb
Panjang proyeksi vektor pada
adalah nilai mutlak dari proyeksi
skalar orthogonal pada
b
a
a
b
Rumus:
Panjang proyeksi vektor selalu berupa bilangan real positif.
18
Contoh Soal:
Jawab:
Diketahui dan
Tentukan proyeksi skalar pada dan
panjang proyeksi pada .
2 6 3a i j k
4 2 4 .b i j k
a
b
b
a
2 2 2
( 2) 4 ( 6) 2 ( 3) ( 4) 8 12 12 8 4316 4 16 364 2 ( 4)
ba b
ab
Proyeksi skalar pada a
b
Panjang proyeksi nilainya sama dengan proyeksi skalar, hanya saja, panjang proyeksi tidak boleh bernilai negatif.
Jadi, panjang proyeksinya adalah 4.
3
19
2ba b
a bb
Proyeksi vektor orthogonal
pada adalah suatu vektor hasil
proyeksi dari dengan
sebagai landasannya.
b a
a
b
Rumus:
20
Contoh Soal:Proyeksi vektor pada adalah ….
2 3a i j k
5 4 2b i j k
Jawab:
2 2 2 2
1 5 2 ( 4) ( 3) 2 5 8 6 9
5 ( 4) 2 25 16 4 45
a b
b
Jadi proyeksi vektornya adalah 4 25 5
ba i j k
2
9 1 4 2(5 4 2 ) (5 4 2 )
45 5 5 5b
a ba b i j k i j k i j k
b
SOAL
07/04/23 22
Buckel, N., Dunbar, I. Mathematics Higher Level (Core) 3rd Edition. IBID Press. 2007.
Kuntarti, Sulistiyono, Sri Kurnianingsih. Matematika SMA dan MA. ESIS. Jakarta. 2006.
Sartono Wirodikromo. MATEMATIKA untuk SMA Kelas XII Semester 1, Kurikulum 2004 Berbasis Kompetensi, Penerbit Erlangga, 2004.
Sukino. Matematika untuk SMA Kelas XII. Erlangga. 2007Tampomas, H. Seribu Pena Matematika SMU kelas 3.
Erlangga. 1999.Wargiyanto, R., Maria, A. Buku Kerja Matematika untuk
SMA Kelas XII semester 1 Program IPA. ESIS. 2007.
DAFTAR REFERENSI
07/04/23 23
Nama : Beny Hakim, S.Si.Unit Kerja : SMA Bina Mulia