Post on 02-Jan-2016
INTEGRAL KOMPLEKS
Andaikan t adalah variable real.
F(t) fungsi bernilai complex dari variabel real dan ditulisF(t) = u(t) + i v(t)
dengan u, v fungsi real dari variabel real t.
Definisi:Untuk fungsi bernilai kompleks dari variabel real F(t) = u(t) + iv(t) dengan a ≤ t ≤ b didefiniskan.
b
aF(t)dt
b
au(t)dt
b
av(t)dti
b
a
b
a
dttFdttF ))(Re()(Re1.
2.
3.
4.
5.
b
a
b
a
dttFdttF ))(Im()(Im
b
a
b
a
dttFkdttkF )()( , dimana k sembarang konstanta kompleks
b
a
b
a
dttFdttF )()( , dimana a ≤ b
a
b
b
a
dttFdttF )()(
Sifat-sifat:
Lintasang(t) dan h(t) bernilai nol dan kontinu di titik
Untuk satu nilai t, (x, y) = (g(t)), h(t)) menyatakan satu titik pada bidang z. Suatu kurva himpunan titik z=x+iy dengan x = g(t), y = h(t) masing-masing fungsi real dan konstanta dari variabel real t
iyxz dan h(t))(g(t),y)(x,h(t)y
g(t)x
ba,
ba,
(g(a), h(a)) adalah titik awal(g(b), h(b)) adalah titik akhirJika t1 ≠ t2 sehingga (g(t1), h(t1)) tidak berimpit dengan (g(t2), h(t2)).(g(a), h(a)) dan (g(b), h(b)) berimpit maka akan membentuk kurva tertutup.
Tidak boleh karena kurva tidak tunggal
Tertutup tidak tunggal
Tertutup tunggal
Kurva C: ,dimana a≤t≤b.g’(t) dan h’(t) ada dan kontinu di untuk t , g’ dan h’ tidak bersama-sama nol maka C disebut kurva mulus
Kurva C merupakan rangkaian kurva mulus C1, C2, C3, . . ., Cntitik akhir Cj berimpit dengan titik awal Cj+1 untuk j = 1, 2, . . .,n–1. Maka C disebut lintasan
h(t) ig(t)z ba,
ba,
C = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C1
Jika titik awal C1 berimpit dengan titik Cn ,maka C lintasan tertutup.
Lintasan tertutup tunggal
y)dyQ(x,y)dxP(x,y)dyQ(x,y)dxP(x,ccc
c
22 ?dyxyydxx
integral lintasan tertutup
Contoh:
C adalah garis patah yang berawal dari (0, 1) melalui (1, 1)dan berakhir (1, 0)
Jawab:
dyxydxy xdyxydxy xdyxydxy x 2
c
22
c
22
c
2
21
dttdt 0dt 0dt t0
1
20
1
1
0
1
0
2
(1, 1)
C2
C1
(1, 0)
(0, 1)
C = C1 + C2C1: x = t y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1C2: x = 1 y = t dimana 1≥ t ≥ 0
03
t
3
t0
1
31
0
3
Integral lintasan kompleks juga disebut integral kontur kompleks.Fungsi f(z) = u(x, y) + i v(x, y) yang didefinisikan kontinu sepotong-sepotong pada lintasan di bidang kompleks dengan C = {z=x + iy / x = g(t), y = h(t), a ≤ t ≤ b} dengan titik awal α dan titik akhir β berturut-turut berkorespondensi dengan t = α dan t = β.
CCC
y)dyu(x,y)dxv(x,iy)dyv(x,y)dxu(x,f(z)dz
b
a
b
aC
)dtuh'(vg')dtvh'(ug'f(z)dz i
b
aC
(t)dtz' f(z(t))f(z)dz
dapat ditulis dalam integral t yang dinyatakan dengan
Jika z pada C dengan z(t) = x(t) + i y(t) dan x(t) = g(t), y(t) = h(t), a ≤ t ≤ b sehingga dz = z’(t) = dx + i dy
1.1.
2.2.
3.3.
4.4.
βααβ CC
f(z)dzf(z)dz
CC
f(z)dzkkf(z)dz
C 2C 1C 21 (z)dzf(z)dzfdz (z)f(z)f
21 CCCf(z)dzf(z)dzf(z)dz
, k konstanta
, C = C1 + C2
Contoh:
Hitunglah jika f(z) = y – x + 6ix2 dan lintasan C terdiri atas dua penggal garis dan z = 0 sampai z = i dan z = i sampai z =1+ i.
C f(z)dz
21 CCCf(z)dzf(z)dzf(z)dz
CCC
y)dyu(x,y)dxv(x,iy)dyv(x,y)dxu(x,f(z)dz
1Cf(z)dz
1
0
dt 0i1
0
dt t2
1
1
0
dt t)(1 1
0
2dt6ti 2i2
1
2
1i2
2
1C dzzf )( i21
x
C2
y
C1
O
i
2Cf(z)dz
C = C1 + C2C1: x = 0 y = t dimana 0 ≤ t ≤ 1C2: x = t y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1
Jika C lintasan tertutup tunggal dengan arah positif dan E daerah tertutup yang terdiri atas titik di dalam dan pada C.
P(x, y) dan Q(x, y) fungsi real terdefinisi pada E beserta derivatif-derivatif parsial dari tingkat pertama kontinu pada E maka:
C : arah positif
dydx y
P
x
Qdy y)Q(x,dx y)P(x,
c E
Bukti:C lintasan tertutup tunggal yang mempunyai bentuk garis-garis // sumbu koordinat memotong C di dua titikAkan dibuktikan
c E
dxdyy
PdxyxP ),(
Kurva ABC, y = α1(x)Kurva ADC, y = α2(x)
x
C
y
D
O
B
A
c
d
a b
E
dxdyy
P
b
a
x
xdydx
y
P)(
)(
2
1
α
α
dx (x))αP(x,(x))αP(x,b
a 21
b
adxxxP )(,( 1 dxxxP
b
a )(,( 2 CdxyxP ),(
b
a
xx dxyxP )(
)(2
1),(
E
dxdyy
Q CdyyxQ ),(
Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan
Dengan mengambil Kurva BCD, x = β2(y)
Kurva BAD, x = β1(y)
c
dyyxQdxyxP ),(),( dxdyy
P
x
Q
E
1
dxdyy
P
x
Q
E
2
dxdyy
P
x
Q
E
3
dxdyy
P
x
Q
E
4
Perluasan:
E1
E4
E3
E2
c
dyyxQdxyxP ),(),( dxdyy
P
x
Q
E
1
dxdyy
P
x
Q
E
2
dxdyy
P
x
Q
E
3
dxdyy
P
x
Q
E
4
Catatan,Lintasan yang saling berlawanan meniadakan
Z0
2. Untuk suatu titik Z0 dan sebarang lingkaran C yang berpusat di Z0 yang ditentukan, dan C
berarah positif berlaku
i2C0
z-z
dz
... 3, 2,n ;0 C n
0 )z(z
dz
1.
2.
r Cos θ
r Sin θ
a
b
Z0
Zθ
Bukti: z0 = a + bi
r = jari-jariz dilingkaran z = x + iyx = a + r cos θy = b + r sin θz = z0 + (r cos θ + i r sin θ)
z - z0 = r cos θ + i r sin θ
0
1
zz
)sin r(cos
1
i)sin (cos
r
1 i
dzzz 0
1
2
0
)cos.sin
()sin(cos
drr
rr
2
0
)cos.cos
()sin(sin
drr
rr
i
iidi
202
0
2
0
3. Jika C lingkaran |z| = 1 dengan arah positif dan f(z) = suatu cabang dari z-1+i = e(-1+i) ln z
(| z | > 0, ) 0 < arg z <2π). Hitunglah C f(z)dz
Untuk z pada C berlaku z = eiθ dengan 0 ≤ θ ≤ 2π.
2
0
)('))(( dzzf 2π
0
iθi)1( dθieeC dzzf )(
2π
0 θ
2π
0
θ iedθei
)ei(1 2π
Misal: z – z0 = r eiθ yang dapat dibuat dalam bentuk: z – z0 = r (cos θ + i sin θ) z = z0 + r.eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π
dz = r.eiθ dθ
dθ r.e
i.r.e
zz
1 2π
0 iθ
iθ
0
dz
2π
0dθ i
2π 0 iθ
πi2
z – z0 = r eiθ sehingga (z – z0)n = rn einθ
der
iredz
zz inn
i
n
2
00 )(
1
Petunjuk 2
deri nin 2
0
)1(1
TEOREMA CAUCHY
Jika f analitik dan f ’ kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, maka 0)( C dzzf
Contoh:Jika C keliling lingkaran | z | = 2 maka C z
dz
92
sama dengan nol. Buktikan!Bukti:
9
1)( 2 z
zf adalah fungsi yang analitik pada dan di dalam C.
22 )9(
2)('
z
zzf juga kontinu pada dan di dalam C
menurut teorema Cauchy maka 0)( C dzzf
TEOREMA CAUCHY-GOURSAT
Jika f(z) analitik pada D, himpunan titik-titik di lintasan tertutup tunggal C dan titik interiornya maka 0)( C dzzf
Bentuk lain dari Teorema CAUCHY-GOURSATJika f fungsi analitik suatu domain terhubung tunggal D maka untuk setiap lintasan tertutup C yang seluruhnya di dalam D berlaku 0)( C dzzf
Contoh pada hal. 76
TeoremaJika C lintasan tertutup tunggal yang berarah positif dan Cj lintasan tertutup tunggal berarah positif di
dalam interior C, sedemikian sehinggaInt(Cj) ∩ Int(Ck) = Ø untuk j ≠ k (j, k = 1, 2, ..., n) dan
jika f analitik pada daerah D dan didalam C kecuali di dalam daerah Int(Cj), j = 1, 2, ..., nMaka
C dzzf )(
1
)(j
C j dzzfC
Teorema ini dikenal sebagai perluasan teorema C-G (CAUCHY-GOURSAT).
Akibat perluasan teorema CAUCHY-GOURSAT, diberikan lintasan tertutup tungal C1 dan C2 terletak pada Int C1.Jika f analitik pada C1 , C2 dan pada daerah diantara mereka maka sebarang lintasan tertutup tunggal C pada Int C1 mengelilingi C2 berlaku:
1
)(C
dzzf 2
)(C
dzzf C dzzf )(
C2
C
C1
Contoh:Buktikan bahwa jika C suatu lintasan tertutup sepanjang bujur sangkar dengan titik sudut
ii2
1
2
1,
2
1
2
1 ,
2
1
2
1, i .
2
1
2
1i dan
dengan arah positif maka C
iz
dzπ2
Penyelesaian:
Dibuat lingkaran γ dengan pusat O jari-jari lebih kecil ½ dengan arah positif
O
γ
x
y
i2
1
2
1
i2
1
2
1
i2
1
2
1
i2
1
2
1
41
Dengan mengambil z0 = 0 dan
R =
Fungsi f(z) = z
1 adalah fungsi analitik kecuali di O, f(z)
analitik di C dan γ daerah diantara kedua lintasan
menurut perluasan Teorema CAUCHY-GOURSAT
C zdz
γπi
z
dz2
γ
πiz
dz2
TeoremaJika fungsi f analitik di suatu titik, maka f mempunyai derivatif dari semua tingkat yang juga analitik dititik itu.
TeoremaJika f di definisikan dan analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah positif dan z0 titik sebarang dalam C sehingga berlaku.
dzzz
zf
izf
00 2
1 )()(
π
Integral Cauchy
TeoremaJika f didefinisikan dan analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah positif, maka untuk semua z di dalam fungsi f mempunyai derivatif dari segala tingkat yang juga analitik di dalam C. Untuk setiap n positif bulat nilai turunan f(n)(z) dengan C arah positif berlaku
dzzz
zf
i
nC n 1
0
)(
2
!)( 0zf n
Contoh:Tentukan C
dzzz
z231 ))((
C adalah:
(a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2(b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2
Penyelesaian:
r=2C
O x
y
(a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2
C: lingkaran | z | = 2, dengan fungsi f(z) diambil
23)(
z
zzf analitik pada C dan di dalam
4
1untuk zo= 1
ii
fidzzz
zC
2
1
4
2)1(.2
)3)(1( 2
f(zo) =
dzzz
zf
izf
C
0
0
)(
2
1)(
(b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2 C: lingkaran | z – 4 | = 2 dengan f(z) diambil 1
)(
z
zzf
terdefinisi dan analitik di C
z0 = 3 dan f’(3 )4
1
dz
zz
zf
izf
C
20
0
)(
2
!1)('
ii
fidzzz
zC
2
1
4
2)3('.2
)3)(1( 2
4
C
O x
y maka 2)1(
1)('
z
zf
COMPILED BY PRAMUDJONO
MASIH KURANG JELAS ?
Lihat latihan soal 5 hal 55 Untuk memahami kerjakan latihan itu untuk lebih jelas
kerjakan tugas berikut, Minggu Depan (Individu)
1. Hitung, untuk C adalah
a. Busur seperempat lingkaran dengan pusat O dari titik (0, -1) sampai (1,0)b. Garis patah dari (0, -1) ke (0,0) dan dari (0,0) ke (1,0).
2. Jika C adalah lintasan dari (-1,0) ke (1,0) kemudian mengelilingi lingkaran = 1 dengan arah positif kembali ke (1,0). Tentukan
C
dzz.
iz 1
C
iz
dz
1
3. Tentukan
dengan C adalah lingkaran =3
4. Tentukan
dengan C adalah =2
5. Tentukan deret Laurent dari
C
dzziz
}2
23{
z
C zz
dz2)4(
3z
4
.cos
z
iz
3. Tentukan
dengan C adalah lingkaran =3
4. Tentukan
dengan C adalah =2
5. Tentukan deret Laurent dari
C
dzziz
}2
23{
z
C zz
dz2)4(
3z
4
.cos
z
iz
TUGAS 2 Minggu Depan (KELOMPOK)1 (satu) Kelompok Maksimum 3 orang, dikumpulkan pada saat kuis