Ruang Vektor:Ruang baris, ruang kolom dan ruang nol

Edi Cahyonoedi_cahyono@innov-center.org

Jurusan Matematika FMIPAUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

Tujuan PembelajaranDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

Setelah lulus mata kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat memahami ruang vektor sebagai sistem matematika, aplikasinya serta pembelajarannya untuk sekolah menengah

Gambaran UmumDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

Sistem Matematika Ruang Vektor:•Definisi•Aksioma•Proposisi, Lemma, Teorema•Metode/prosedure

Sifat-sifat dan Aplikasi Matriks ADiberikan matriks A•Hendak dipelajari sifat dan aplikasinya•Tidak bisa secara langsung•Sistem matematika ruang vektor menyajikan alat (Proposisi, Lemma, Teorema, Metode/prosedure)

Definisi Department of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

11 12 1

21 22 2

1 2

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

.

n

n

m m mn

n

n

m m m mn

a a aa a a

Misalkan A

a a avektor vektor

a a a

a a a

a a a

disebut vektor baris dari A Perhatikan

r

r

r

, 1,..., .nibahwa R i m r

Definisi Department of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

11 12 1

21 22 21 1 1

1 2

, , ,

. , 1,..., .

n

n

m m mn

mi

Vektor vektora a aa a a

a a a

disebut vektor kolom dari A Perhatikan bahwa R i n

c c c

c

Definisi Department of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

Misalkan A matriks m x n. Subruang dari Rn yang dibangun oleh vektor baris A disebut ruang baris.Subruang dari Rm yang dibangun oleh vektor kolom A disebut ruang kolom.Solusi dari Ax = 0, yang merupakan subruang dari Rn disebut ruang nol.

ContohDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

1

2

1 2 3

2 0 1.

1 1 3

2 0 1

1 1 3 .

2 0 1, , .

1 1 3

Misalkan A

Vektor vektor baris A

Vektor vektor kolom A

r

r

c c c

ContohDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

1 2 1 2

1 2 3 1 2 3

2 0 1 1 1 3 | ,

2 0 1| , , .

1 1 3

Ruang baris dari A adalah

k k k k R

Ruang kolom dari A adalah

k k k k k k R

ContohDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

1

2

3

1

2

3

2 0 10.

1 1 3

7 , .2

17 | .2

xMisalkan x

x

x kSolusi x k untuk sebarang k R

x k

Ruang nol dari A adalah

k k R

TeoremaDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nol suatu matriks.

TeoremaOperasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu matriks.

TeoremaUntuk sebarang matriks A, ruang baris dan ruang kolomnya mempunyai dimensi yang sama.

DefinisiDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

Dimensi ruang baris (yang juga sama dengan dimensi ruang kolom) matriks A disebut rank matriks A, ditulis rank(A).Dimensi ruang nol matriks A disebut nolitas matriks A, dituliskannullity(A)

TeoremaDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

Misalkan A sebarang matriks, maka rank(A) = rank(AT).

TeoremaMisalkan A matriks m x n, maka rank(A) + nullity(A) = n.

TeoremaMisalkan A matriks m x n, maka 1) rank(A) = banyaknya variabel solusi Ax = 0.2) nullity(A) = banyaknya parameter solusi Ax = 0.

RangkumanDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

Misalkan A matriks m x n, maka rank(A) = r ≤ min{m, n}. nullity(A) = n – r. nullity(AT) = m – r.

TeoremaDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem persamaan, maka yang berikut adalah ekivalena) Ax = b konsisten (mempunyai solusi).b) b unsur di ruang kolom A.c) rank(A) = rank( [A|b] ).

TeoremaMisalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem persamaan, maka yang berikut adalah ekivalena) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b yang berukuran m x 1.b) Vektor kolom A membangun Rm.c) rank(A) = m.

TeoremaDepartment of

MathematicsUniversitas Haluoleo

Kendari ..::.. Indonesia

Misalkan A matriks m x n, Ax = b sistem persamaan yangkonsisten, dan rank(A) = r. Maka solusi umum sistem tersebutmemuat n – r parameter.

TeoremaMisalkan A matriks m x n, maka yang berikut adalah ekivalena) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial.b) Vektor kolom A bebas linear.c) Ax = b mempunyai paling banyak satu solusi (satu atau tidak

ada) untuk setiap matriks b berukuran m x 1.

Department of Mathematics

Universitas HaluoleoKendari ..::.. Indonesia

TeoremaMisalkan A matriks n x n, maka yang berikut adalah ekivalena) A mempunyai invers.b) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial.c) Bentuk tereduksi baris matriks A adalah In.d) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b berukuran n x 1.e) Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b berukuran n

x 1.f) Vektor kolom matriks A bebas linear.g) Vektor baris matriks A bebas linear.h) Vektor kolom matriks A membangun Rn.i) Vektor baris matriks A membangun Rn.k) Vektor kolom matriks A merupakan basis Rn.l) Vektor baris matriks A merupakan basis Rn.m) rank(A) = n.n) nullity(A) = 0.

Department of Mathematics

Universitas HaluoleoKendari ..::.. Indonesia